Урок математики по теме Геометрический и физический смысл производной (11 класс)

Урок по теме: «Геометрический и физический смысл производной».

Цели урока:

- обобщить теоретические знания по теме производная, геометрический и физический смысл производной

- закрепить умение находить производные функций,

- решать задачи на геометрический и физический смысл производной,

- готовиться к ЕГЭ

Развивающие задачи:

• развивать творческую сторону мышления;

• развивать уверенность в себе, интерес к предмету.

Воспитательные задачи:

• воспитывать потребность в знаниях;

• формировать навыки умственного труда - поиск рациональных путей решения, самообразования, самовоспитания;

• воспитывать культуру общения, взаимопомощь, умение слушать товарища.

Оборудование: карточки, компьютер.

Ход урока.

1. 1 этап - Организационный (1 мин).

Учитель сообщает тему урока, цель и поясняет, что во время урока будет использоваться раздаточный материал, который лежит на партах, и будет проведена разноуровневая самостоятельная работа, а также имеется шкала оценок. (Такая же табличка висит на доске).

Девиз урока - на доске: «Все отвлеченные понятия пояснять, как только можно, и примерами, и задачами, и приложениями…» М.В.Остроградский.

2. 2 этап- Повторение теоретического материала по теме производная. (10 мин).

Учитель приглашает к доске ученика написать таблицу производных элементарных функций.

Функция y=f (x)

Производная y′= f′(x)

C

0

xЄR

x^-1

a^x

a^x lnx

e^x

e^x

log x

lnx

sinx

cosx

cosx

- sinx

tg x

ctgx

-

(Все теоретические и практические вопросы урока демонстрируются на экране).

Учитель: Сформулируйте определение производной функции в точке.

Ученик: Производной функции f в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение при .

Учитель: Сформулируйте правила вычисления производных.

Ученики. 1. Если функция y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x, то и их сумма имеет производную в точке x ,причем производная суммы равна сумме производных.

(f(x)+g(x))′= f′(x)+g′(x)

2. Если функция y=f(x) имеет производную в точке x, то и функция y=k f(x) имеет производную в точке x, причем (k (f(x))′=k f′(x)

Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

3.Если функция y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x, то и их произведение имеет производную в точке x

(f(x) ∙ g(x))′= f′(x) g(x)+f(x)g′(x)

Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.

4. Если функция y=f(x) и y= g(x) имеют производную в точке x и в этой точке g(x)≠0, то и частное имеет производную в точке x , причем

Учитель. Что называется касательной к графику функции?

Ученик. Касательной к графику дифференцируемой в точке x₀ функции f- называется прямая, проходящая через точку (x₀ ;f(x₀) ) и имеющая угловой коэффициент f′(x₀).

Учитель: В чем состоит геометрический смысл производной?

Ученик. Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Учитель. Назовите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x_0.

Ученик.y= f(x₀)+ f′(x₀) ( x-x₀).

Учитель. В чем состоит физический смысл производной?

Ученик. Если материальная точка движется прямолинейно по закону S(t), то производная функции y= S(t) выражает мгновенную скорость материальной точки в момент времени t₀, т.е. v= S′(t). Производная от координаты по времени есть скорость. Производная от скорости по времени есть ускорение.

3 этап - Устный счет ( на экране ) - 5 минут.

(Вопросы устного счета на экране).

Найти производные функции:

2e^x ;2^x

x⁴

x⁸

x⁶

2x³

2x⁵-3x²+2

7x⁶+3x³+5x²

2x^-4

( 3x-6)²

(8+7x)²

log₂x; sin 2x; cos(3x+4)

ln x; sin²x; sin ( 3-2x)

cos 2x

Учитель. Решим у доски несколько задач на применение этих правил.

Задача№1. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x)= 2-x²+3x⁴ в его точке с абсциссой x₀=-1. (-10)

Задача №2. Через точку графика функции y(x)= -0,5x²+4x+7 с абсциссой x₀=2 проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс. (2)

Задача № 3. Составьте уравнение касательной к графику функции y= x²-2x в точке x₀=-1 (у=-4х-1).

Задача №4. При движении тела по прямой расстояние S( в метрах) от начальной точки изменяется по закону S(t)=t³-t²+5t+1( t- время движения в секундах). Найти скорость в (м/с) тела через 3 секунды после начала движения.(26)

Физминутка. (Слайд)

4 этап урока- Разноуровневая самостоятельная работа. (20 минут).

Для работы Мудреновой Дарье:(сдает экзамен на профильном уровне)

Задача 1. На рисунке изображен график функции

у = ах² + вх +с и четыре прямые. Одна из прямых - график производной. Укажите номер этой прямой.

Решение.

1. По рисунку определяем вершину параболы,

это точка (4; -5).

2. Тогда уравнение параболы имеет вид: y = a(x-4)² - 5

3. По рисунку х=1 - корень уравнения a(x-4)² -5 =0, отсюда a = .

4. Получим уравнение параболы у = (х - 4)² -5.

5. Производная y' = ∙2 ∙(x-4) = x - = x - 4

6. При х = 0, y' = -4 , при х = 4, y' = 0.

7. Значит, графиком производной данной функции является прямая № 3

Задача 2. При каком значении а прямая у = -10х +а является касательной к параболе f(x) = 3x² -4x-2 ?

Решение.

1. Пусть х₀ - абсцисса точки касания, составим уравнение касательной в этой точке.

2. у = 3х² - 4х -2

3. у₀ = 3х ₀² - 4х₀ -2

4. y' = 6х - 4

5. y₀ ' = 6х₀ - 4

6. Получим уравнение касательной

у = 3х ₀² - 4х₀ -2 + (6х₀ - 4)(х - х₀) ,

у = (6х₀ - 4)х - 3х₀² -2.

7. Чтобы прямая у = -10х +а являлась касательной к параболе f(x) = 3x² -4x-2, необходимо, чтобы

6х₀ - 4 = -10, отсюда

х₀ = -1, тогда

а = - 3х₀² -2 = -3-2 = -5

Содержание разноуровневой самостоятельной работы

Уровень 1

Вариант 1

Задача №1.

Тело движется по прямой так, что расстояние S (в м) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t)=5t²-3t+6. Через сколько секунд после начала движения произойдет остановка?

1) 2) 3) 4) 6

Задача №2

Определите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции у(х)=4х²-8х+4 параллельна оси абсцисс.

1) -8 2) 1 3) 0 4) 4

Задача№3

Определите угол, который образует касательная, проведенная к графику функции у=2х²+4х-3 с осью ОХ, в точке с абсциссой .

1) 45⁰ 2) 30⁰ 3) 60⁰ 4) 135⁰

Задача №4

На кривой у=х²-х+1 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у=3х-1.

1) -2 2) 1 3) 2 4) 3

Задача №5.

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у=-2х⁴+3х+5 в его точке с абсциссой .

1) 67 2) -61 3) 19 4) 72

Уровень 2 Вариант 1

(Задания 2,3,5 -дополнительно для уровня 1).

1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

у = х⁶ - 2х⁵ + Зх⁴ + х² + 4х + 5 в точке х₀ = - 1.

2. Функция у = f(x) определена на промежутке (- 4; 6]. На рисунке изображен график ее производной. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффициент.

3.Функция у = f(x) задана своим графиком на промежутке [- 8;4] Укажите абсциссу точки графика (или сумму абсцисс, если их несколько), в которой тангенс угла наклона касательной равен 0.

4.Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к параболе у = х² - 2х - 3 в точках пересечения параболы с осью абсцисс.

5.На рисунке изображены прямые, которые являются касательными к графику функции

у =f(x) в точках с абсциссами x₁, х_2, х₃, х_4. Определите количество неотрицательных чисел среди значений производной у = f'(x) в этих точках.

У

х

Уровень 2 Вариант 2 (для Даши)

1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = х⁵+ 2х⁴ + х^3, + 12 в точке х₀ = 1.

2. Функция у = f(х) определена на промежутке (-5; 3). На рисунке изображен график ее производной. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наименьший угловой коэффициент.

3. Функция у = f(x) задана своим графиком на промежутке [а;в] Укажите абсциссу точки графика (или сумму абсцисс, если их несколько), в которой тангенс угла наклона касательной равен нулю.

4.Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к параболе у =х² - 9 в точках пересечения параболы с осью абсцисс.

5.На рисунке изображены прямые, которые являются касательными к графику функции у =f(x) в точках с абсциссами x₁, х_2, х₃, х_4. Определите количество неотрицательных чисел среди значений производной у = f'(x) в этих точках.

y

х

Домашнее задание

(Для «3» - 3задачи решить, для «4»- 4, для «5» - 5, с последующей защитой своего способа решения.)

1. Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффициент.

2. Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной этой функции.

К графику функции провели касательные во всех точках, абсциссы которых целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.

3 Прямая пересекает ось абсцисс при , касается графика функции в точке . Найдите .

4. Функция определена на промежутке . Используя изображенный на рисунке график производной , определите количество касательных к графику функции , которые составляют угол с положительным направлением оси Ox.

5. Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной . Определите число касательных к графику функции , тангенс угла наклона которых к положительному направлению оси Ox равен 3.

6. Прямая пересекает ось ординат при , касается графика функции в точке . Найдите .

7. Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной этой функции.

К графику функции провели касательные во всех точках, абсциссы которых целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.

8. Прямая пересекает ось ординат при , касается графика функции в точке . Найдите .

9. Функция определена на промежутке . Используя изображенный на рисунке график производной , определите количество касательных к графику функции , которые составляют угол с положительным направлением оси Ox.

10 Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффициент.

5 этап - Подведение итога урока.( 4 минуты)

Учитель подводит итог урока, называет наиболее активных учеников, выставляет оценки.

Оценки выставляются по шкале :

Шкала оценок.

1.Теоретический материал -

2.Устный счет -

3.Решение опорных задач -

4. Самостоятельная работа -

Итоговая оценка -( в журнал - среднее арифметическое 1-4)