- Преподавателю
- Математика
- Справочный материал на тему РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
Справочный материал на тему РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Мукушева Б.Т. |
Дата | 01.12.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Тема: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ,
СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Модуль (абсолютная величина) числа, уравнение, неравенство, числовой промежуток
Вам известно, что модуль или абсолютная величина числа, а обозначается символом:
Также вы знаете, что
Аналогично определяется модуль функции, а именно:
Например:
При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, используем следующий алгоритм:
-
выражение, содержащееся под знаком модуля, приравниваем к нулю и решаем уравнение
-
используя найденные корни, разбиваем числовую ось на промежутки
-
исходное уравнение решаем для каждого промежутка по отдельности, причём знак абсолютной величины опускаем на основе определения модуля
-
проверяем принадлежность решения рассматриваемому промежутку
-
найденные решения уравнений будут корнями исходного уравнения
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Решим уравнение:
Решение. Сначала решим уравнения , затем отметим на числовой оси полученные корни: и
Тогда имеем четыре числовых промежутка: и
Решим данное уравнение (1) на каждом из этих промежутков.
-
На промежутке по определению абсолютной величины: Следовательно, на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению: , имеющему единственный корень:. Этот корень не принадлежит промежутку . Следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке не имеет корней.
-
На промежутке по определению абсолютной величины: Следовательно, на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению , имеющему единственный корень: . Этот корень не принадлежит промежутку, следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке корней не имеет.
-
На промежутке по определению абсолютной величиныСледовательно, на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению , имеющему единственный корень: . Этот корень принадлежит промежутку , следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке имеет единственный корень, равный единице.
-
На промежутке по определению абсолютной величины: Следовательно, на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению: , имеющему единственный корень: . Этот корень не принадлежит промежутку , следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке не имеет корней.
Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень .
Пример 2. Решим уравнение:
Решение. Сначала приравниваем нулю выражение, которое под знаком модуля: . Это уравнение приимеет корень. Этот корень будет точкой разбиения числовой оси. Ещё одной точкой разбиения является точка , в которой теряется смысл выражения под знаком модуля.
Этими двумя точками, и , числовая ось разбивается на следующие три промежутка:
Решим исходное уравнение на каждом из этих промежутков:
-
На промежутке по определению абсолютной величины: Следовательно, данное уравнение равносильно уравнению , которое не имеет корней. Следовательно, исходное уравнение на это промежутке не имеет корней.
-
На промежутке по определению абсолютной величины: Получим уравнение, которое имеет единственный корень: х = 0.
-
На промежутке по определению абсолютной величины: Следовательно, исходное уравнение, как и в первом случае, не имеет корней на этом промежутке.
Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень: x = 0.
Пример 3. Решим неравенство:
Решение. Решаем уравнение и . Получим и . Этими двумя точками числовая ось разбивается на три промежутка
- 2 3 х
Рассмотрим данное неравенство на каждом из полученных промежутков:
-
принеравенство принимает вид:
или , т.е. решениями данного неравенства являются значения х, удовлетворяющие системе неравенств:
Отсюда,
- 2 х
2) приисходное неравенство принимает вид: или
Следовательно, решениями исходного неравенства являются значения х, удовлетворяющие системе неравенств: , а именно
-
приисходно неравенство принимает вид: или , другими словами, решениями являются значения х, удовлетворяющие системе неравенств: т.е.
Таким образом, в итоге решением данного неравенства будут значения х, удовлетворяющие неравенствам: и , т.е. промежутки
Ответ:
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
-
Решите уравнение Ответ:
-
Решите уравнение Ответ:
-
Решите уравнение Ответ:
-
Решите уравнение Ответ:
-
Решите уравнение Ответ:
-
Решите уравнение Ответ: 1
-
Решите уравнение Ответ:
-
Решите неравенство Ответ:
-
Решите неравенство Ответ:
-
Решите неравенство Ответ:
Тема: УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Уравнение, корень уравнения, посторонний корень, равносильные уравнения, неравенство, решение неравенства, равносильные, неравенства, область допустимых значений переменной.
Если в уравнении (неравенств) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то эти коэффициенты называются параметрами, а уравнение (неравенство) - уравнением с параметрами (неравенством с параметрами).
При решении уравнения или неравенства с параметрами необходимо:
-
определить, при каких значениях параметров существуют решения;
-
найти множество решений, соответствующее каждой допустимой системе значений параметров.
Основной принцип решения уравнений с параметрами можно сформулировать так: необходимо разбить область изменения параметра на такие промежутки, что при изменении параметра на каждом из них получающиеся уравнения решались одним и тем же методом. Отдельно для каждого промежутка находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра. Используемые при этом приёмы такие же, как и при решении уравнений с числовыми коэффициентами.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Решим уравнение для каждого значения параметра а.
Решение. Рассмотрим два случая.
-
Пусть , тогда данное уравнение имеет вид:. Этому уравнению удовлетворяет любое действительное значение х.
-
Пусть , тогда данное уравнение является линейным уравнением и его единственным решение: .
Ответ:х - любое число при при
Пример 2. При каких значениях, а уравнение имеет один корень?
Решение. Рассматривая данное уравнение как квадратное уравнение относительно , устанавливаем, что оно равносильно совокупности уравнений и . Уравнение при имеет одно решение, а при не имеет решения.
Уравнение при любом значении, а имеет единственное решение.
Пример 3. Решим уравнение:
Решение. Замечаем, что значения 0 и не являются допустимыми значениями для х. Параметры а и bтоже неравны нулю. Освобождаем уравнение от знаменателей. Получаем:
Если , то уравнению (1) удовлетворяют все значения х, кроме х = 0. Исходное уравнение в этом случае принимает вид: .
Если то, разделив уравнение (1) на , получим квадратное уравнение: . Корни его: ,
Ответ: любое действительное число, кроме х = 0 при; и при
Пример 4. Решим уравнение
Решение.Допустимые значения переменной х и параметра, а в данном уравнении определяются системой неравенств:
или .
Кроме того, если а и х имеют одинаковые знаки , то и решением уравнения может быть только положительное значение переменной, а это значит, что и Если а и х имеют разные знаки то и решением уравнения может быть только отрицательное значение переменной, но при этом также и . Таким образом, уравнение имеет отличные от нуля решения, если при а = 0.
Перепишем уравнение в виде и возведём обе его части в квадрат. После преобразований получим: , откуда:
1) при произвольных значениях а;
2) , или .
Последнее уравнение имеет решения, еслиВозведём обе части этого уравнения в квадрат и после упрощения получим: , откуда при находим:
Найденные значения будут корнями данного уравнения, если:
или
Отсюда получим:
или
Третье неравенство последней системы неравенств выполняется при любом значении а. Поэтому решением последней системы неравенств является общее решение неравенств и т.е.
Ответ:
Пример 5. Решим неравенство
Решение.Дискриминант уравнения будет .
Рассмотрим три случая:
-
При или получаем: . Следовательно, для каждого данное неравенство имеет решение и его решением является любое действительное число.
-
При D = 0 или получается: и . Следовательно, здесь также для каждого и данное неравенство имеет решение и его решением является любое действительное число.
-
Приили получится: и . Следовательно, на каждом из промежутков и данное неравенство имеет решение и его решение имеет вид: и где:
Ответ: х - любое действительное число при
при
Пример 6. Решим неравенство: .
Решение. 1) При правая часть неравенства отрицательна, тогда при любом значении х левая часть неравенства больше правой.
-
Приа = 0 исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме
х = - 3.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
-
Решите уравнение
Ответ: принет решений, при ,
-
Решите уравнение
Ответ: при, , при, , нет решений
-
Решите уравнение
Ответ: при,, при , нет решений
-
Решите уравнение
Ответ: при,, при , нет решений
-
Найдите все значения а, при которых число х = 2 является корнем уравнения
.
Ответ: значений, а нет
-
Найдите все значения а, при которых число х = - 3 является решением неравенства
Ответ:
-
Найдите все значения а, при которых число х = - 2 является корнем уравнения
Ответ:
-
Может ли при каком-нибудь значении, а уравнение имеет три корня?
Ответ: нет
-
Найдите все значения а, при которых число х = 2является корнем уравнения
Ответ:
-
Найдите все значения параметра а, такие, чтобы уравнение имело 2 различных корня.
Ответ:
ТЕСТ №1
-
Решите уравнение:
A) B) C) D) E)
-
Решите уравнение
A) B) C) D) E)
-
Решите уравнение
A) 3;5 B) - 3;- 5 C) - 5;3 D) 5; -3 E)
-
Решите уравнение
A) 6;-2 B) -6;-2 C) 6;2 D) -6;2 E)
-
Решите уравнение
A) B) C) D) E)
-
Решите уравнение при каждом значении параметра а.
A) приа = 1 решения нет B) при а = 1 одно решение C) а = 1
D) нет решений E)
-
Для каждого значения, а найдите число корней уравнения
A) при a< 0 нет корней B) при a< 0 нет корней
приа = 0 один корень при а = 0 один корень
приа > 0 два корня при а > 0 нет корней
C) приa< 0 два корня D) при а = 0 три корня
приа = 0 нет корней при а > 0 два корня
приа > 0 один корень при a< 0 один корень
E) приa< 0 три корня
приа > 0 два корня
приа = 0 нет корней
-
Для каждого значения, а найдите число корней уравнения
A) B) C) D) E)
-
Найдите все значения а, при которых число х = -2 является решением неравенства
A) решений нет B) C) D) E)
-
Найдите все значения а, при которых число х = 2 не является решением неравенства
A) нет решения B) C) D) E)
ТЕСТ №2
-
Решите уравнение
A) B) C) D) E)
-
Решите уравнение
A) 0;1 B) -1;0 C) -1;1 D) 0 E) 1
-
Решите уравнение
A) B) C) D) E)
-
Решите уравнение
A) B) C) D) E)
-
Решите уравнение при каждом значении параметра а
A) приB) при а = 3, х = а C) при
D) приприE) нет решений
-
Решите уравнение
A) 0;10 B) 10;10 C) 0 D) -10;0 E) -10;10
-
Решите неравенство
A) ; B) ; C) ; D) ; E) нет решений
-
Решите уравнение
A) B) нет решений C)
D) E)
-
Найдите все значения а, при которых число х = -2 является корнем уравнения
х = -2
A) B) C) D) E)
-
Найдите все значения а, при которых число х = 2 является корнем уравнения
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
ОТВЕТЫ
Тема: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ,
СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Тест №1
B
B
C
D
E
A
A
E
A
B
Тест №2
A
B
C
D
D
D
A
E
A
E