Конспект урока по алгебре на тему Интегралы

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

Тема:

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока:

Образовательные: формирование понятия интеграла; формирование навыков вычисления определенного интеграла; формирование умений практического применения интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.

Развивающие: способствовать развитию познавательных интересов учащихся; содействовать развитию мышления, самостоятельности, наблюдательности;

Воспитательные: прививание интереса к получению знаний; способствовать воспитанию творческой активности учащихся; формирование аккуратности при вычислении интегралов и построения чертежей.

Ученик должен знать: понятие первообразной, таблицу первообразных функций.

Ученик должен уметь: находить первообразную функции.

Оборудование: учебник А. Г. Мордкович «Алгебра и начала мат. анализа», 10-11 классы, 2014г., страницы 287 - 291, задачник А. Г. Мордкович «Алгебра и начала мат. анализа», 10-11 классы, 2014г., страница 165.

Методы обучения: словесно - наглядный.

Структура урока:

№

Основные этапы урока

Время (мин)

1

Организационный момент

1-2

2

Повторение пройденного материала

9-10

3

Объяснение нового материала

12-13

4

Закрепление темы

13-15

5

Домашнее задание

1-2

6

Итоги урока

2-3

ХОД УРОКА

№

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Записи на доске

1

Здравствуйте, ребята, садитесь. Сегодня мы продолжим изучение нашей темы и изучим новое для вас определение. Запишите тему урока «Определенный интеграл»

Подготовка к работе, записывают тему урока.

Классная работа.

Определенный интеграл.

2

Для начала повторим тему прошлых занятий. Вспомним, определение первообразной функции.

Как связаны между собой F(x) и f(x)?

Ответьте на вопрос, если функция задается в виде многочлена третьей степени, то какую степень имеет производная этой функции? А первообразная?

Какие правила нахождения первообразных вы знаете?

Отвечают на вопросы.

Функцию y=F(x) называют первообразной для функции y=f(x) на промежутке Х, если для х из Х выполняется равенство F'(x)=f(x).

Производная функции F(x) равна f(x).

Производная имеет 3 степень; первообразная - 4.

1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. 2. Если F(x) - первообразная для f(x), то kF(x) - первообразная для kf(x). 3. Если y=F(x) - первообразная для y=f(x), то первообразной для y=f(kx+m) служит функция y=1/k*F(kx+m).

3

Начнем изучение новой темы. На этом уроке мы рассмотрим задачу, которая приведет к понятию определенного интеграла. Задача о площади криволинейной трапеции: Найти площадь фигуры, ограниченную линиями: y=f(x)на отрезке [a,b], x=a, x=b, y=0. Найти S=S_ABCD. Особенность заключается в том, что верхняя линия в криволинейной трапеции задается функцией. Идея решения - разбить отрезок [a,b] на определенные маленькие отрезки и считать площади каждого прямоугольника (рис). Итак, разобьем отрезок на n равных частей х_1, х_{2, …¸} х_n-1. Величина ∆x=х_k+1-х_k. Проведем через эти точки прямые, параллельные оси y. Тогда криволинейная трапеция разобьется на n узеньких столбика и площадь всей трапеции будет рана сумме площадей этих столбиков.

Слушают.

Записывают задачу.

Чертят рисунок.

Площадь i-го столбика будет равна произведению f(xi) на ∆x. Причем, чем больше будет n, тем точнее будет площадь трапеции. Сумму площадей прямоугольников принято искать в виде предела последовательности (Sn): S=limSn.

Итак, мы проделали два шага: разбили отрезок [a,b] на n равных частей и составили сумму Sn прямоугольников. Далее мы можем его вычислить. В курсе мат. анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a,b] и обозначают так . Числа a и b называют пределами интегрирования.

Тогда, определение площади из задачи теперь можно записать следующим образом: . S -площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Здесь у вас может возникнуть вопрос: в чем же связь данной темы с темой первообразной?

Ответом на вопрос будет следующая теорема: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то справедлива формула , где F(x) - первообразная для f(x). Приведенную формулу называют формулой Ньютона-Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона и немецкого философа Готфрида Лейбница, получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно. Обычно, вместо разности первообразных записывают так .

И тогда формула Ньютона-Лейбница будет принимать вид:.

Записывают обозначение интеграла и новые определения.

Записывают формулу.

S=limSn

1) разбили отрезок [a,b] на n равных частей,

2) составили сумму Sn прямоугольников.

, где a, b пределы интегрирования.

.

.

Например, для вычисления определенного интеграла нужно найти первообразную для . Она равна . Тогда .

Записывают пример в тетради.

.

4

Закрепим изученную тему. Для этого решим несколько примеров. Откройте задачники на стр.165. Решим номер 49.1. Для решения применим тот же алгоритм, который мы только что применили.

По желанию, кто хочет решить у доски, выходите.

Дальше делаем номер 49.2 а) и б), 49.3 а) и б).

Открывают задачники. Начинают решать вместе с учителем.

По одному на один пункт выходят решать примеры.

49.1

А) .

б) .

В) .

Г) .

5

Запишите в дневниках домашнее задание: 49.2 в), г), 49.4 в), г). Решайте по тому же алгоритму, по которому мы сегодня решали примеры. Находите первообразную подынтегральной функции, затем подставляйте пределы интегрирования вместо x и на вычисляйте разность.

Записывают д/з

Д/з: 49.2 в), г), 49.3 в), г).

6

Итак, что нового вы узнали сегодня?

Чему вы научились на этом уроке?

Есть вопросы по данной теме?

Изучили определение определенного интеграла. Научились вычислять определенный интеграл.

Приложение к плану-конспекту урока.

Домашнее задание.

49.2

В) ,

Г) .

49.3

В)

Г)