Практическое занятие Вычисление производных

Практическое занятие

Тема: Нахождение производных. Применение производной к исследованию функции и построению графиков.

Цель: Освоить вычисление производных, научиться исследовать функцию с помощью производной

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, презентации по теме, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы:

1. Рассмотрите теоретический материал по темам: «Правила вычисления производных», «Экстремум функции», «Выпуклость, вогнутость. Точка перегиба».

2. Рассмотрите образцы выполнения заданий.

3. Выполните тестовое задание №.1.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение максимума (минимума) функции в точке. Что можно сказать о знаке приращения функции в достаточно малой окрестности точки максимума (минимума)?

2. Каковы необходимые условия существования экстремума функции? Каков их геометрический смысл?

3. Каково правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке?

4. Дайте определение выпуклости (вогнутости) кривой на промежутке.

5. Каково правило отыскания интервалов выпуклости и вогнутости кривой?

6. Точка перегиба кривой. Как ее найти?

7. Каков алгоритм построения графика функции?

Правила вычисления производных

Производная сложной функции.

Если у=ƒ(и), и=φ(х), то у¢(х)=ƒ¢(и)·φ¢ (х).

Производная суммы.

Если у(х)=и(х)+v (х), то у¢ (х)=и¢ (х)+v¢ (х)

Производная произведения.

Если у(х)=и(х)·v(х), то у¢=и¢·v+u·v¢.

В частности, (с·и)¢=с·и¢, т. е. постоянный множитель выносится из-под знака производной. Легко убедиться, что

(u²)¢=2u·u¢, (u³)¢=3u²·u¢, … , (uⁿ)¢=n·u^n-1·u¢.

Производная частного.

Если , то .

Таблица производных

Рассмотрите примеры

Пример 1.

у=(3-2 sin5x)⁴|Применяем формулы производных для и^α, sin u|

y¢=4·(3-2·sin5x)³·(3-2sin5x)¢=4·(3-2·sin5x)³·(0-2·cos5x·5) = -40·(3-2·sin5x)³.

Пример 2.

.

Пример 3.

.

Пример 4.

Пример 5.

.

Экстремум функции

Исследование функции на экстремум - одно из важнейших приложений производных. Рассмотрим определение минимумов и максимумов, и способы их отыскания.

Пусть функция ƒ(х) определена и дифференцируема на некотором множестве и точка х₀ - точка внутри него.

Определение. Функция ƒ(х) в точке х₀ имеет максимум (минимум), если существует такая окрестность точки х₀, что для всех х из этой окрестности ƒ(х) < ƒ(х₀) (ƒ(х) > ƒ(х₀)).

Точка х₀ называется тогда точкой максимума (минимума).

Рис. 1.

Показан график функции, которая имеет две точки максимума (х₁ и х₃) и две точки минимума (х₂ и х₄), причем максимальное значение может оказаться меньше минимального (ƒ(х₁) < ƒ(х₄)). Это подчеркивает тот факт, что мы характеризуем особенность функции только вблизи некоторой точки.

Значения функции в точках максимума и минимума называют экстремальными значениями или экстремумами. На приведенном графике видно, что точки экстремума (х₁, х₂, х₃, х₄) определяют интервалы монотонности функции, в каждом из которых производная сохраняет определенный знак. В точках экстремума, понятно, производная обращается в нуль. Сформулируем теорему о необходимом условии существования экстремума.

Теорема. Если функция ƒ(х) в точке х₀ имеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю, т. е. ƒ¢(х₀)=0.

Заметим сразу, что условие это не является достаточным, т. е. обратное утверждение не всегда верно. Из равенства ƒ¢(х₀)=0 не обязательно следует, что в точке х₀ существует экстремум.

Подтверждением тому пример с функцией ƒ(х)=х³.

Найдем ƒ¢(х)=3х². В точке х=0 ƒ¢(0)=0. Но как угодно близко к точке х=0 найдем х>0, где ƒ(х)=х³ > 0, найдем х<0, где ¦(х)=х³<0. Т. е. не существует какая-либо малая окрестность точки х=0, где для всех х значение функции в точке х=0 будет самым большим или самым малым. Поэтому точка х=0 не является точкой экстремума.

Можно рассуждать иначе. Так как производная ƒ¢(х)=3х², то функция ƒ(х)=х³ возрастает при любых действительных х и экстремумов не имеет.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума (ƒ¢(х)=0) называются критическими.

Очевидно, что касательная к графику функции в точках, где ƒ¢(х)=0, параллельна оси абсцисс Ох.

Достаточное условие экстремума дается в следующих теоремах.

Теорема 1. Если х₀ - критическая точка функции и при переходе через нее производная меняет знак, то х₀ - точка экстремума, а именно, если производная меняет знак с плюса на минус - точка максимума, если - с минуса на плюс - точка минимума.

Заметим, что экстремума в точке нет, если производная не меняет знака. Правило исследования на экстремум с помощью первой производной известно из школьного курса. Достаточное условие экстремума иногда удобнее формулировать с помощью второй производной.

Пусть функция ƒ(х) дважды дифференцируема в некоторой области (т. е. ƒ(х) имеет ƒ¢(х) и ƒ¢¢(х)).

Теорема 2. Если х₀ - критическая точка функции ƒ(х) и ƒ¢¢(х₀) > 0, то х₀ - точка минимума, если ƒ¢¢(х₀) < 0, то х₀ - точка максимума.

С помощью второй производной определяется выпуклость или вогнутость графика функции.

Выпуклость, вогнутость. Точка перегиба.

Кривая у=ƒ(х) называется выпуклой на интервале, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Тогда на этом интервале

ƒ¢¢(х) < 0.

Кривая у=ƒ(х) называется вогнутой на интервале, если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. Тогда на этом интервале

ƒ¢¢(х) > 0

Определение. Точкой перегиба кривой называется точка, по одну сторону от которой кривая выпукла, по другую вогнута.

В точке перегиба ƒ¢¢(х)=0.

Итак, знак второй производной (как и знак самой функции и ее первой производной) свидетельствует об особенностях графика функции. Еще раз остановимся на них.

Если для всех х на интервале (а, b) ƒ(х) > 0 (ƒ(х) < 0), то график лежит выше (ниже) оси абсцисс.

Если для всех х на интервале (а, b) ƒ¢(х) > 0 (ƒ¢(х) < 0), то функция на (а, b) возрастает (убывает).

Если для всех х на интервале (а, b) ƒ¢¢(х) > 0 (ƒ¢¢(х) < 0), то график на (а, b) вогнут (выпукл).

Уравнение ƒ(х)=0 определяет «нули» функции, т. е. точки пересечения графика с осью Ох.

Уравнение ƒ¢(х)=0 определяет критические точки.

Уравнение ƒ¢¢(х)=0 определяет возможные точки перегиба.

Схема исследования функции

Для исследования функции ƒ(х) и построения графика у=ƒ(х) следует найти:

1) область определения функции и точки пересечения графика с осями координат;

2) интервалы монотонности;

3) точки экстремумов и значения функции в этих точках;

4) интервалы выпуклости и вогнутости графика;

5) точки перегиба графика;

6) построить в декартовой системе координат все полученные точки (иногда, для уточнения графика, получают дополнительные точки) и сам график.

Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

При решении некоторых задач метода оптимизации важно уметь находить наименьшее или наибольшее значения функции на некотором отрезке. Эти значения функция достигает либо в критических точках, либо на концах отрезка.

Схема отыскания наименьшего и наибольшего значений функции ƒ(х) на отрезке [а, b].

1. Найти производную функции ƒ¢(х).

2. Найти критические точки из уравнения ƒ¢(х)=0.

3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат данному отрезку [а, b] и найти значение функции ƒ(х) в каждой такой точке.

4. Вычислить значения функции ƒ(х) на концах отрезка: ƒ(а) и ƒ(b).

5. Из полученных значений функции выбрать самое большое (наибольшее) и самое малое (наименьшее).

Пример 2.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции ƒ(х)=х³-9х²+24х-10 на отрезке [0 3].

1. ƒ¢(х)=3х²-9·2х²+24.

2. ƒ¢(х)=0, 3(х²-6х+8)=0, х₁=2, х₂=4.

3. Точка х₂=4 не принадлежит отрезку [0, 3]. Поэтому вычислим значение функции только в точке х₁=2

ƒ(2)=2³-9·2²+24·2-10=10.

4. Значения функции на концах отрезка: ƒ(0)= -10, ƒ(3)=3³-9·3²+24·3-10, ƒ(3)=8.

5. Получены значения:

ƒ(2)=10, ƒ(0)= -10, ƒ(3)=8.

Наибольшее значение равно 10 и достигается в точке х=2. Наименьшее - равно -10 и достигается в точке х=0.

Пример 3.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой у=х+36х²-2х³-х⁴.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, т. е. хЄ(-∞, +∞).

Найдем вторую производную.

у¢=1+72х-6х²-4х³.

у¢¢=72-12х-12х²= -12(х²+х-6).

Из уравнения у¢¢=0 получим абсциссу точки перегиба:

-12(х²+х-6)=0 х₁= -3; х₂=2.

Определим знак у¢¢ на интервалах

(-∞; -3), (-3; 2), (2, +∞).

х

(-∞, -3)

-3

(-3; 2)

2

(2; +∞)

у¢¢

-

0

+

0

-

форма кривой

выпуклая

перегиб

вогнута

перегиб

выпуклая

Найдем ординаты точек перегиба:

у(-3)=726; М₁(-3; 726) - точка перегиба

у(2)=114; М₂(2; 114) - точка перегиба.

На интервале (-3; 2) кривая вогнута. На интервалах (-∞; -3) и (2; +∞) - выпуклая.

Образцы выполнения заданий

Задача № 1.

Найти точки разрыва функции и построить график

Функция ƒ(х) определена для всех действительных х и непрерывна на каждом из указанных промежутков: (-∞; -1), [-1; 0], (0, +∞). Исследуем функцию ƒ(х) на непрерывность в точках х= -1 и х=0.

Для этого в каждой из этих точек найдем односторонние пределы.

Так как односторонние пределы различны, то х= -1 - точка разрыва первого рода.

Односторонние пределы равны, т. е. в точке х=0 существует предел функции и

Сравним этот предел со значением функции в точке:

Так как то в точке х=0 функция ƒ(х) непрерывна.

Построим график функции ƒ(х), учитывая, что

1) - уравнение прямой,

2) - уравнение верхней полуокружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице, а при условии -1 £ х £ 0 уравнение определяет четверть окружности.

3) для х > 0 график задается уравнением . Точки пересечения этой кривой с осью Ох найдем из уравнения при х > 0. х=πn, где n=1, 2, 3, 4,

Рис. 2.

Задача № 2.

Составить уравнения касательных к линии в точках, где х=0 и х=4. Найти точку пересечения касательных и угол между ними. Сделать чертеж.

Уравнение касательной к линии у=ƒ(х) имеет вид

,

где у₀=ƒ(х₀).

В точке х=0 у(0)=ƒ(0)=5.

у¢=ƒ¢(х)=х-3 ƒ¢(0)= -3.

Уравнение касательной в точке М₁(0, 5) имеет вид у-5= -3(х-0) или

у= -3х+5.

В точке х=4 у(4)=ƒ(4)=1. ƒ¢(4)=4-3=1.

Уравнение касательной в точке М₂(4, 1) имеет вид у-1=х-4 или

у=х-3.

Точку пересечения касательных получим, решив систему

Точка пересечения М₃(2, -1).

Угол φ между касательными найдем из формулы:

,

где k₁= -3; k₂=1 - угловые коэффициенты касательных.

.

Угол φ=arctg 2.

Построим данную линию - параболу с вершиной в точке, где х=3, т. к. у¢=0 при х=3. Найдем . Точка М₄(3; ) - вершина параболы.

Р

ис. 3.

Задача № 3.

Исследовать функцию и построить ее график.

1. Данная функция является многочленом (можно раскрыть скобки, получим многочлен третьей степени), поэтому она определена, непрерывна и дифференцируема при любых х.

2. Найдем производную.

.

Из уравнения у¢=0 найдем критические точки: 3х·(х-2)=0, х₁=0, х₂=2.

Исследуем их.

х

(-∞, 0)

0

(0; 2)

2

(2; +∞)

у¢

+

0

-

0

+

у

4

0

3. Итак, функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞), убывает на интервале (0; 2), имеет максимум при х=0 и минимум при х=2:

у_max=у(0)=4; у_min=у(2)=0.

4. Найдем вторую производную.

у¢¢=6·(х-1).

Кривая выпукла там, где у¢¢ < 0, т. е. 6·(х-1) < 0, х < 1.

Кривая вогнута там, где у¢¢ > 0, т. е. х > 1.

Итак, на интервале (-∞, 1) кривая выпукла; а на интервале (1, +∞) - вогнута.

5. Точку перегиба найдем из уравнения у¢¢=0. Таким образом, х=1 - абсцисса точки перегиба, т.к. эта точка разделяет интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Ордината точки перегиба: у(1)=2.

График функции у=(х+1)·(х-2)² пересекает ось Ох при у=0, т. е. при х= -1 и х=2;

пересекает ось Оупри х=0, т. е. при у=4. Мы получили три точки: (-1; 0), (2; 0), (0; 4). Все полученные точки внесем в таблицу, добавив соседние с ними.

Задание № 1

Вашему вниманию предлагаются задания, в которых могут быть один, два, три и большее число правильных ответов. Обвести кружочком номера всех правильных ответов

1. Если то функция

1) возрастающая

2) убывающая

3) постоянная

2. Если

1) Возрастающая

2) Убывающая

3. Если , то функция

1) Возрастающая

2) Убывающая

4. Если , то функция

1) Возрастающая 3) Убывающая

2) Постоянная 4) Монотонная

5. Функция Является

1) Чётной

2) Не чётной

3) ни чётной, ни нечётной

4) Периодической

5) Не периодической

6) Тригонометрической

7) Элементарной

6. Функция Является

1) чётной

2) нечётной

3) ни чётной, ни нечётной

4) периодический

5) не периодической

6) тригонометрической

7) элементарной

7) Автор теоремы «если то функция является постоянной»

1) Роль 3) Коши 5) Декарт

2) Вейерштрасс 4) Дирихле 6) Лейбниц

8) Решение Уравнения

1) 0 3) 0 и 3 5) 2 7) 3

2) 2 и 3 4) 2 6) -5 и 1 8) 5 и 1

9) решение неравенства

1) (; 1) 3) (; 1) 5) (-;1)

2) (1; 5 ) 4) ( 2; ) 6)

10) Методом Находится сумма

1) векторов

2) прямых

3) отрезка

11) Если , то функция

1) Вогнутая 3) Выпуклая 5) Убывающая

2) Монотонная 4) Возрастающая 6) Постоянная

12) область определения функции равна

1) (;0)

2) (0; )

3) (-;)

4) (0;1)

5)

6)

7) (-1;1)

8)

9)

13) функция является

1) показательной

2) тригонометрической

3) степенной

4) логарифмической

14) если функции у=x то она является

1) чётной

2) нечётной

3) ни чётной, ни нечётной

15) функция при является

1) показательной 8) нечётной

2) Возрастающей 9) тригонометрической

3) степенной 10) постоянной

5) логарифмической 11) ни чётной, ни нечётной

6) убывающей 12) вогнутой

7) периодической 13) выпуклой

8) чётной 14) монотонной

16) область значения функции

1) (0;) 4) 7)

2) (-;+) 5) 8) (1;+ )

3) (-;0) 6) 9)

17) область определения функции

1) (0;) 4) 7)

2) (-;+) 5) 8) (1;+ )

3) (-;0) 6) 9)

18) область значения функции

1)

2)

3) (-) 5)

4) (0;) 6)

19) теорему о постоянстве функции на промежутке сформировал и доказал:

1) Роль 3) Декарт

2) Лагранж 4) Вейерштрасс

20) значение выражения при является

1. 3. - 5. 7.

2. 4. - 6. 8.

21) исследование функции

• Найти нули функции

• Найти пересечения с осью ОХ

• Найти ОДЗ

• Найти точки пересечения с осью ОУ

• Найти область значения функции

• Найти экстремумы функции

• Периодичность

• Промежутки возрастания

• Чётность, нечётность

• Найти промежутки убывания

• Построить график

• Найти асимптоты

• Промежутки вогнутости

• Промежутки выпуклости

22) наименьшее значение функции принадлежит промежутку

1. 

2. (0;2)

3. (-2;0)

4. 

5. 

6. 

23) значение функции в точке равно

1. -

2. 

3. -1

4. 1

5. 3

6. 0

7. 27

8. -27

24) уравнение касательной к функции в точке имеет вид

1. y-3x-2=0

2. y-3x+2=0

3. y-12x+16=0

4. y-5x+1=0

5. y-3+1=0

6. y-9x+1=0

7. y-2x+4=0

8. y+9=0

9. y+1=0

10. y+4=0

11. y-9x+27=0

12. y-1=0

13. y+3x-1=0

14. y-27x+54=0

15. y-x-1=0

16. y-21x+45=0

17. y-7x+9=0

18. y-8x+12=0

Домашнее задание:

Исследовать функцию и построить ее график.

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 -11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни М.: Просвещение, 2012г. -255 с.

2. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа - М.: Просвещение, 2014г.-383с.

3. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10 кл. в 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) - М.: Мнемозина, 2012 г. - 424 с.

4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. 10-11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений М.: Мнемозина, 2013 г., 232 с.

5. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред.проф. образования М.: Издательский центр «Академия», 2013 г-253с.

Дополнительная:

1.Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват.учрежд., М.: Просвещение, 2012г. -343с.

2. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М.: ООО «Издательство Оникс, 2011г.- 483с

3.Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Математика. Ч. 1: учебное пособие для учреждений начального профессионального образования. - М., 2013г.-363с.

4.Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 11 кл. - М., 2013г.-453с.

Сайты в сети Интернет:

1. Онлайн библиотека [Электронный ресурс] - Режим доступа: vbbooks.ru.

2. Интернет университет информационных технологий [Электронный ресурс] Режим доступа: http: //intuit.ru.

3. Компьютерные электронные книги [Электронный ресурс] - Режим доступа: compebook.ru.

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) владеет полным объемом теоретического материала по теме занятия;

2) знает и понимает алгоритм нахождения точек экстремума, асимптот;

3) выполняет нахождение точек перегиба;

4) самостоятельно выполняет задание по исследованию функции и построению графика функции, используя алгоритм;

5) безошибочно находит производные функции.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) владеет теоретическим материалом по теме занятия;

2) знает и понимает алгоритм нахождения точек экстремума, асимптот;

3) выполняет нахождение точек перегиба;

4) выполняет задание по исследованию функции и построению графика функции, используя алгоритм;

5) находит производные.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) частично владеет теоретическим материалом по теме занятия;

2) понимает алгоритм нахождения точек экстремума, асимптот;

3) выполняет задание по исследованию функции и построению графика функции, с помощью преподавателя;

4) имеет затруднения при нахождении производных.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если:

1) частично владеет теоретическим материалом по теме занятия;

2) путается в нахождения точек экстремума, асимптот;

3) не выполняет задание по исследованию функции и построению графика функции.