Разработка тестовых заданий с решением по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме Функция, её производная. Область определения и множество значений функции. и

1. Выполнение тестовых заданий 1 -8

(область определения, область значений функции)

Задание 1(А). Найдите область определения функции

_x

y = log_{5 15 - 3x}

А). (-∞; 0) U (5; +∞); В). (0; 5); С). [0; 5); D). (0; 3).

Решение: выражение под знаком логарифма строго больше нуля => х (15-3х) > 0.

Определяем нули х₁=0 и х₂ = 5. Отмечаем нули на координатной прямой, т.е. решаем

- + -

методом интервалов. 0 5 х

Ответ: вариант В. (0; 5).

Задание 2(А). Укажите область определения функции

₈

y = √3 - log₄ ^x

А). ( 0; +∞); В). (- ∞; 64 ]; С). (0; 1]; D). (0; 64 ].

Решение: 3 - log₄ ^x ≥ 0; - log₄ ^x ≥ -3; log₄ ^x ≤ 3; log₄ ^x ≤ log₄ ⁶⁴; х ≤ 64, но х > 0.

Ответ: вариант В. (- ∞; 64];

Задание 3(В). Найдите наибольшее целое значение функции

_{2 2}

у = 4 · 5 ^{2 sin х. + 5 cоs х - 3}

А). 25; В). 20; С). 100; D). 75.

Решение: т.к. данная показательная функция является возрастающей, то наибольшее значение функция принимает при наибольшем значении аргумента.

2 sin² х. ⁺ 5 cоs² х - 3 = 2(1 - cоs² х) + 5 cоs² х - 3 = 3 cоs² х -1 → наибольшее значение выражения равно 2. Отсюда получаем:

у = 4 · 5² = 4 ∙ 25 = 100. Ответ: вариант С.

Задание 4(А). Какое из следующих чисел входит во множество значений функции 1 ^х

у = − 2?

8

А) - 6; В). -1; С). - 2; D). -3 .

Решение: 1 ^х

> 0 => Е(у) = ( -2; +∞ ). Ответ: вариант В.

8

Задание 5(А). Найдите множество значений функции

y = 2 + sinх.

А). [ -1; 1 ]; В). [ 0; 2 ]; С). [ 1; 3 ]; D). [ 2; 3 ] .

Решение: т.к. -1≤ sinх ≤ 1, то Е(у) = [ 2 + (- 1); 2+1]; [ 1; 3 ]. Ответ: вариант С.

Задание 6(А). Укажите функцию, область значений которой - промежуток

( 0; + ∞).

₁

А). у = ; В). у = √х; С). у = log₃ х; D). у = 2х² .

х²

Решение: Ответ: вариант А.

Задание 7(А). Найдите нули функции

₃

√2х - 16

у = .

х + 2

А) - 8; В). 2; С). - 2; D). 8 .

Решение: 2х - 16 = 0, х = 8.

х ≠ -2. Ответ: вариант D.

Задание 8(В). Сколько целых чисел содержится в области определения функции

√ 16 - х⁴

у = ?

х² + 2х + 1

А) 5; В). 4; С). 2; D). 1.

Решение: 16 - х⁴ ≥ 0; → (4 - х²)(4 + х²) ≥ 0; → (2 - х)(2 + х) ≥ 0; →

х² + 2х + 1 ≠ 0; (х + 1)² ≠ 0; х ≠ -1;

-2 ≤ х ≤ 2;

х ≠ -1; Ответ: целых чисел содержится -2; 0; 1; 2 , вариант В.

ΙΙ. Тестовые задания по теме: Исследование функции с помощью производной. Геометрический смысл производной.

Задание 1(А). Найдите производную функции у = е^х + 3х².

А) у' = хе^х-1 + 6х; В). у' = е^х + х³; С). у' = е^х + 5х²; D). у' = е^х + 6х.

Решение: у' = (е^х + 3х²) ' = е^х + 6х. Ответ: вариант D.

Задание 2(А). Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

в точке с абсциссой х₀ = 6.

у = 3 ln х + 5,2.

А) 0,5; В). 5,7; С). 18; D). 23,2.

Решение: k = у' (х₀). у'(х) = (3 ln х + 5,2) ' = 3/х; у' (х₀) = 3/6 = 0,5; Ответ: вариант А.

Задание 3 (А). Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции

у = ƒ (х) в точке (2; 5), равен 3. Найдите ƒ' (2).

А) 2,5; В). 2; С). 3; D). 5.

Ответ: вариант С.

Задание 4(А). Чему равен угол наклона касательной к графику функции

у = −√3 cos х в точке х₀ = π /2 ?

А) 30º; В). 45º; С). 60º; D). 75º.

Решение: tg φ = у' (х₀); tg φ = (−√3 cos х) ' = −√3 ( - sin х ) = √3 sin х = √3;

tg φ = √3; φ = 60º; Ответ: вариант С.

Задание 5(А). Материальная точка движется по прямой так, что её координата в момент времени t равна

х(t) = t ² + е ^{2 - t}.

Найдите скорость точки в момент времени t = 2.

А) 5; В). 3; С). 2; D). 4.

Решение: v(t) = х' (t) = (t ² + е ^{2 - t}) ' = 2 t - е ^{2 - t}; v(2) = 2 ∙ 2 - е ^{2 - 2}= 4 - е⁰ = 3;

Ответ: вариант В.

Задание 6(А). Материальная точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна

v(t) = t² + sin2t.

Найдите ускорение точки в момент времени t = π / 6.

А) π / 3 + 1; В). π / 3 + 0,5; С). π / 3 +√3; D). π / 3 + √3 / 2

Решение: а(t) = v′(t) = (t² + sin2t) ' = 2t + 2 cos2t;

а(π/6) = 2∙ π/6 + 2 cos2∙π/6 = π/3 + 2 cos π/3 = π/3 + 2 ∙ ½ = π/3 + 1;

Ответ: вариант А.

Задание 7(С). Найдите абсциссу точки на графике функции

у = х² - 7х + 2,

касательная в которой параллельна прямой у = 5х + 3.

А) 3; В). 6; С). 1; D). 4.

Решение: т.к. касательная параллельна прямой у = 5х + 3 => k = 5, т.е. у' = 5;

у' = (х² - 7х + 2)' = 2х - 7; 2х - 7 = 5; х = 6; Ответ: вариант В.

Задание 8(В). Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции

у = ctg x

2 в точке с абсциссой х ₀= π / 4?

3 π

А) π/4; В). -arctg 2; С). arctg 2; D).

4 ;

ctg x ′ 1 - 1

Решение: tg φ = у' (х₀); у′(х) = 2 = - ; у′(х₀) =

2 sin²х 2 sin²π/4

у′ = - 1 = -1; tg φ = -1; φ = π - π/4 = 3π/4; Ответ: вариант D.

2 (√2/2)²

Задание 9(В). Написать уравнение касательной к графику функции

х³ - 1

ƒ(х) = в точке его пересечения с осью Ох.

3

А) у = х - 1; В). у= х + 3; С). у = х - 2; D). у = х + 2.

Решение: у = ƒ(х₀) + ƒ′ (х₀)(х - х₀); у = 0, если х³ - 1 = 0 => х = х₀ = 1;

ƒ′(х) = ⅓ ∙ 3х² = х²; ƒ′(х₀) = 1; ƒ(х₀) = 0 = > у = х - 1; Ответ: вариант А.

Теоретические вопросы для 11 класса:

1. Дать определение функции.

Правило, при котором каждому значению х из множества Х соответствует одно единственное значение у из множества У, называется функцией.

Множество значений независимой переменной, при которых функция ƒ(х) имеет смысл, называется областью определения функции.

Множество значений переменной у называется множеством значений функции.

Функция является возрастающей на множестве Х, если для любых

х₁ < х₂ выполняется неравенство ƒ(х₁) < ƒ(х₂).

Функция является убывающей на множестве Х, если для любых х₁ < х₂ выполняется неравенство ƒ(х₁) > ƒ(х₂).

Значения независимой переменной х, при которых значение функции равно нулю, называется нулями функции.

1. Что такое производная функции в точке х₀?

Ответ: это есть число, к которому стремится разностное отношение

∆ƒ к ∆x при ∆x→0.

2. Какая функция называется дифференцируемой в точке?

Ответ: Если в точке х₀ функция имеет производную, то функция

ƒ(х )называется дифференцируемой в этой точке.

3. Назвать формулу производной функции

y = хⁿ; y = √х, log_ax, a^x, lnx, sin х, cоs х.

Ответ: y΄= nх^n-1, y΄ = ; (log_ax)΄= ; (lnx)΄= ; (sin х)΄= cоs х;

(cоs х)΄= - sin х;

4. Что такое угловой коэффициент прямой?

Ответ: k = ƒ'(х₀), т.е. производная функции ƒ в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке х=х₀.

5. В чём состоит геометрический смысл производной?

Ответ: Равенствами ƒ'(х₀)= k или ƒ'(х₀) = tg α определяется геометрический смысл производной.

6. Назвать уравнение касательной к графику функции ƒ(х) в точке с абсциссой х₀.

Ответ: у = ƒ(х₀ ) + ƒ'(х₀)(х - х₀)

7. Указать условие, при котором касательная образует с осью Ох острый угол. Ответ: касательная образует с осью Ох острый угол, если ƒ'(х₀)>0.

8. Указать условие, при котором касательная образует с осью Ох тупой угол. Ответ: касательная образует с осью Ох тупой угол, если ƒ'(х₀)<0.

9. Указать условие, при котором касательная параллельна оси Ох.

Ответ: касательная параллельна оси Ох, если ƒ'(х₀)=0.

И конечно, нужно упомянуть о связи между характером монотонности функции (убывает она или возрастает) и знаком её производной на некотором промежутке.

10. Назвать достаточное условие возрастания (убывания) функции:

Ответ: Если в каждой точке х интервала (а;b) выполнено условие ƒ'(х)>0,

то функция является возрастающей в этом интервале.

Если в каждой точке х интервала (а;b) выполнено условие ƒ'(х)<0,

то функция является убывающей в этом интервале.

11. Какие правила необходимо соблюдать при определении экстремума функции:

Ответ:

• Найти критические точки, т.е. те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует.

• Исследовать знаки производной в окрестности критических точек;

• Если знак производной в точке х₀ меняется с «+» на «-», точка х₀ - точка максимума;

• Если знак производной в точке х₀ меняется с «-» на «+», точка х₀ - точка минимума;

7