Программа элективного курса по математике для 9 классов на тему «Уравнения второй степени с параметром»

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Оленинская средняя общеобразовательная школа

ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССОВ

«УРАВНЕНИЕ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ПАРАМЕТРОМ»

Автор:

Орлова Людмила Александровна, учитель математики

Оленино

2009-2010

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Элективный курс для учащихся 9 класса посвящен одной из самых важных тем: «Квадратные уравнения». При решении многих заданий, например, тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств, приходится обращаться к нахождению корней квадратного трехчлена, области значений квадратичной функции, определению знака квадратного трехчлена. Задачи, содержащие параметры являются своего рода критерием усвоения учебного материала. Они присутствуют в вариантах выпускных экзаменов за курс общеобразовательной школы и во вступительных тестовых заданиях по математике. Задачи такого типа вызывают затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках мало. В школьном курсе алгебры и начал анализа такие задачи рассматриваются, но в виде отдельной темы они не выделены, поэтому у учителей чаще всего нет возможности уделить им должного внимания.

Данный элективный курс поможет систематизировать знания по решению уравнений, развить нестандартные способы мышления, а также научиться решать широкий курс задач с параметрами.

Цель данного курса - создание условий для формирования знаний и умений, необходимых для решения таких задач, формирования целостного представления о методах их решения, рассмотрение различных типов заданий, подготовка учащихся к выпускным экзаменам. Для этого необходимо решить следующие задачи:

• систематизировать и обобщить ранее изученный материал и рассмотреть его на более высоком уровне сложности,

• изучить методы и способы решения различных типов задач,

• создать целостное представление о теме,

• расширить спектр задач доступных учащимся,

• развивать логическое мышление школьников,

• развивать творческие способности школьников при конструировании способов решения задач высокого уровня сложности,

• воспитывать рациональность и креативность мышления учащихся.

Данный курс рассчитан на 8 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории, решения типовых задач, самостоятельную работу. Основные формы организации учебных занятий: групповая, коллективная, индивидуальная, парная. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на решение новых и интересных задач.

УЧЕБНО - ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№

темы

Тема

Количество часов

1

Квадратные уравнения

1

2

Неполные квадратные уравнения

1

3

Теорема Виета

1

4

Знаки корней квадратного уравнения

1

5

Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра

2

6

Наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции

1

7

Зачет

1

Итого

8

СОДЕРЖАНИЕ

Тема 1. Квадратные уравнения.

Определения уравнения с параметром, области определения уравнения с параметром. Определения квадратного трехчлена и квадратного уравнения. Решение уравнений выделением квадрата двучлена. Решение квадратных уравнений по формуле.

Тема 2. Неполные квадратные уравнения.

Определение неполного квадратного уравнения. Методы решений неполных квадратных уравнений.

Тема 3. Теорема Виета.

Формулировка теоремы Виета. Примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета.

Тема 4. Знаки корней квадратного уравнения.

Определение знаков корней квадратного уравнения в зависимости от значения параметра.

Тема 5. Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра.

Теорема о расположении корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного числового промежутка.

Тема 6. Наименьшее и наибольшее значения квадратичной функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции.

Итоговое занятие.

Зачет.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ.

В каждой теме все задачи разбиты на четыре группы. Первая группа («Решение задач») предназначена для совместной работы учителя и ученика. В этом разделе предложены решения задач. В процессе работы над каждой задачей ученикам предлагаются вопросы, которые помогут составить представление о способах и методах работы с такими задачами. После того как работа над заданием завершена, не следует сразу переходить к следующему. Необходимо еще раз просмотреть решение с целью: проанализировать способ и метод решения, обратить внимание на то, что было трудно, сформулировать вопросы и ответы на них с помощью изложенного решения. Только после этого можно переходить к решению следующего задания.

Вторая группа («Задания для самостоятельной работы») предназначена для самостоятельной работы.

В третьей группе («Дополнительные задания») содержится ряд аналогичных заданий тем, что предлагались в первых двух группах, поэтому есть возможность закрепить полученные навыки при выполнении подобных заданий.

Для организации текущего контроля разработаны задачи обучающего характера. Это позволяет вовремя вносить коррективы в знания учащихся. Этому может способствовать и систематическое консультирование по желанию учащихся.

Форма итоговой аттестации - защита исследовательского проекта (презентация решения).

ПРИМЕНЯЕМЫЕ МЕТОДЫ:

• Объяснительно-иллюстративный;

• Проблемное изложение;

• Частично-поисковый;

• Исследовательский метод.

Методический инструментарий:

Практические:

• Решение задач;

• Конспекты занятий;

Интеллектуальные:

• Анализ - синтез;

• Сравнение - обобщение;

• Абстрагирование

Эмоциональные:

• Мотивация к занятиям;

• Радость успеха при решении более сложных задач;

• Чувство уверенности и успешности

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

В результате изучения курса учащийся должен

- понимать, что такое параметр;

- уметь анализировать условия решаемых задач;

- уметь выбирать наиболее оптимальные способы решения задач;

- уметь применять знания из разных разделов школьного курса математики для конструирования способа решения задачи в нестандартной ситуации;

- уметь решать квадратные уравнения, содержащие параметры;

-овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования.

ЛИТЕРАТУРА.

1. А. Блох, Т. Трухан. Неравенства, 1972.

2. Газета «Математика» №5, 1999.

3. Газета «Математика» №2, 2004.

4. Газета «Математика» №3, 2004.

5. Газета «Математика» №6, 2004.

6. Газета «Математика» №9, 2004.

7. Газета «Математика» №10, 2004.

8. Газета «Математика» №11, 2004.

9. Д. Письменный. Готовимся к экзамену по математике. 2003.

10. О. Черкасов, А. Якушев. Математика: интенсивный курс подготовки к экзаменам. 2001.

11. Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. Минск, 1996.

12. Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А. Уравнения и неравенства второй степени с параметром и к ним сводимые: Пособие для учителей и учащихся. Воронеж, 2000.

13. Горштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами. Москва, 1998.

14. Кушнир И. И. Уравнения, Киев, 1996.

15. Сборник элективных курсов. Математика 8-9 классы. Издательство «Учитель», Волгоград, 2006 г, В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова.

16. Данкова И. Н., Бондаренко Т. Е., Емелина Л. Л., Плетнева О. К. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике. 2006.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Примеры заданий

- для совместной работы:

1. Решите уравнение .

2. Определите при каких значениях один из корней уравнения

равен нулю.

3. Не решая уравнения , найдите, при каком один из корней в два раза больше другого.

4. Найдите все значения , при которых сумма квадратов корней уравнения

равна 10.

5. При каком уравнение имеет два различных отрицательных корня?

6. При каких значениях параметра уравнение имеет два действительных различных корня? Определите знаки корней в зависимости от ?

7. При каком значении параметра оба корня уравнения

заключены между числами - 2 и 4?

8. При каких значениях параметра только один корень уравнения , имеющего различные корни, принадлежит интервалу (1;4)?

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции .

10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

- для самостоятельной работы:

1. Решить неполное квадратное уравнение:

2. При каких значениях уравнение имеет один корень?

3. При каких значениях k каждое из следующих уравнений имеет два различных действительных корня?

4. При каких значениях параметра a разность корней уравнения

равна их произведению?

5. В уравнении определите то значение с , при котором его корни и удовлетворяют условию .

6. Найдите все значения параметра , при которых корни уравнения одного знака.

7. При каких значениях параметра уравнение имеет два различных корня? Определите знаки этих корней в зависимости от .

8.При каких значениях параметра а корни уравнения

ах² - (2а + 1)х + 3а - 1 = 0 больше 1?

9.При каких значениях параметра а один из корней уравнения (а² - 2)х² + (а² + а - 1)х - а³ + a = 0 больше числа а, а другой меньше числа а?

10.При каких значениях параметра а корни и х₂ уравнения (За + 2)х² + (а - 1)х + 4а + 3 = 0 удовлетворяют условиям х, < -1 < х₂ < 1?

11.При каких значениях параметра а корни уравнения х² - 2(а - 1)х + 2а + 1 = 0 имеют разные знаки и оба по абсолютной величине меньше 4?

12.При каких значениях параметра а один из корней уравнения а²х² + ах - 2 = 0 по абсолютной величине больше 1, а другой меньше 1?

13.Найти все значения а, при которых любые значения х, удовлет­воряющие неравенству ах² + (1 - а²)х - а > 0, по модулю не превосхо­дят двух.

14.При каких значениях параметра а корни уравнения ах² - (а³ + 2а² + 1)х + а(а + 2) = 0 принадлежат отрезку [0; 1]?

15. Для каких значений параметра наибольшее значение функции

на отрезке равно 4?

16. При каком значении параметра квадрат разности корней уравнения

будет наименьшим?

17. При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения

будет наименьшей?

- для зачета:

1. Найдите все значения параметра , при которых разность корней уравнения

равна 1?

2. При каких значениях параметра оба корня уравнения меньше 7?

3. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет положительные корни.

4. При каких значениях параметра число 7 находится между корнями уравнения

.

5. Найдите все значения параметра , при которых уравнение

имеет корни разных знаков.