Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1, 2 курса

Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Олимпиада по математике в рамках проведения «Недели науки» в Инзенском Государственном техникуме отраслевых технологий , экономики и права.


МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И ТРЕБОВАНИЯ


Группы, для которых проводится внутритехникумовский этап Олимпиады - ПрИ-9-11, ЗИО-9-11, ДОУ-9-23, Ю-9-23

1. . Цель проведения Олимпиады - воспитание в будущих специалистах таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление и умение изучить проблему с разных сторон. Некоторые задачи можно решить несколькими разными методами или комбинацией методов. Характерная особенность олимпиадных задач в том, что решение с виду несложной проблемы может потребовать применения методов, использующихся в серьёзных математических исследованиях.

2. Продолжительность Олимпиады - 3 астрономических часа.

3. Требования к проверке работ:

1) Олимпиада не является контрольной работой и недопустимо снижение оценок по задачам за неаккуратно записанные решения, исправления в работе. В то же время обязательным является снижение оценок за математические, особенно логические ошибки;

2) для объективности проведения Олимпиады обязательной является шифровка работ, проводимая членами оргкомитета олимпиады;

3) решение каждой задачи оценивается Жюри в соответствии с критериями и методикой оценки, разработанной предметно-методической комиссией:

Баллы

Правильность (ошибочность) решения.

7

Полное верное решение.

6-7

Верное решение, но имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.

5-6

Решение в целом верное. Однако решение содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений.

3-4

Верно рассмотрен один из существенных случаев.

2

Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.

0-1

Рассмотрены отдельные случаи при отсутствии правильного решения.

0

Решение неверное, продвижения отсутствуют.

0

Решение отсутствует.

Дополнение: максимальная оценка за каждую задачу - 7 баллов, независимо от количества пунктов в ней (таким образом, общая максимальная оценка участника за 5 задач может быть 35 баллов). Если в задаче два пункта, то максимальная оценка за решение лишь одного пункта - 4 балла.

4) Жюри рассматривает записи решений, приведенные в чистовике. Черновик рассматривается только в случае ошибочного переноса записей из черновика в чистовик;

5) каждая работа должна быть оценена двумя членами Жюри. В случае расхождения их оценок вопрос об окончательном определении баллов, выставляемых за решение указанной задачи, определяется председателем Жюри;

6) результаты проверки всех работ участников Олимпиады члены Жюри заносят в итоговую таблицу.

4. Требования к порядку проведения Олимпиады:

1) задания каждой возрастной параллели составляются в одном варианте, поэтому участники должны сидеть по одному;

2) участники выполняют задания в тетрадях в клетку, каждый лист имеет угловой штамп техникума;

3) во время туров участникам запрещается пользоваться справочной литературой, электронными вычислительными средствами или средствами связи;

4) задания Олимпиады тиражируются в количестве, соответствующем количеству участников Олимпиады;

5) перед началом тура участник заполняет титульный лист угловой штамп, указывая на нём свои данные. Категорически запрещается делать какие-либо записи, указывающие на авторство работы, во внутренней части работы.

6) участники выполняют работы ручками с синими или фиолетовыми чернилами. Запрещается использование для записи решений ручек с красными или зелеными чернилами.

Задачи отборочного тура олимпиады по математике

СПО 1 КУРС: ПрИ-9-11, ЗИО-9-11, ДОУ-9-23, Ю-9-23 .


1.Число a является корнем уравнения Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса . Найдите значение Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса .

2.Дан треугольник ABC , точка M лежит на стороне BC. Известно, что AB =BM и AM = MC, угол B равен 100. Найдите остальные углы треугольника ABC.

3.Имеется 6 палочек длины 11, 12, 13, 14, 15, 16. Можно ли из них сложить равнобедренный тупоугольный треугольник? (Палочки нельзя ломать, их можно прикладывать концами друг к другу; требуется использовать все палочки.)

4.Какое наибольшее число ладей можно разместить на шахматной доске так, чтобы для каждой ладьи либо её горизонталь, либо её вертикаль (либо и та, и другая) были свободны от других ладей?

5.Квадрат простого числа р увеличили на 160 и получили квадрат натурального числа. Найдите р.

Решение:

1.Ответ. 10100.

Указание. Возводя в квадрат выражение Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса , получим Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса . Отсюда получаем ответ задачи.

2.Ответ. угол А=60, угол В= 20.

Указание. Треугольники ABM и AMC - равнобедренные, поэтому углы при их основаниях равны. Обозначим эти углы x и y соответственно. Тогда по свойству внешнего угла AMB для треугольника AMC, имеем x=2y. Отсюда сумма углов A и C равна 4y=180-100, значит у=20.

3.Ответ. Нельзя.

Указание. Если бы такой треугольник можно было сложить, то в его основании должно было быть две палочки (в основании не могут быть три или четыре палочки: дело в том, что тогда оставшиеся три или две палочки нельзя разложить на две группы с одинаковой суммой, т.к. 16<11+12). Но даже если в основании будут две самые длинные палочки, (т.е.15+16), равнобедренный треугольник со сторонами 31, 25, 25 будет остроугольным, т.к. (31)Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса 2 (25)Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса.

4.Ответ. 14..

Указание. Ладью на шахматной доске назовём вертикальной, если на её вертикали нет других ладей. Аналогично, определим горизонтальные ладьи (в принципе, ладья может оказаться одновременно горизонтальной и вертикальной). Если имеется 8 вертикальных ладей, то больше на доске ладей нет (иначе новая ладья попала бы на чью-нибудь вертикаль из данных восьми ладей). Аналогично, если есть 8 горизонтальных ладей, то больше ладей нет. Покажем, что можно поставить 7 горизонтальных и 7 вертикальных ладей, что даст максимальное количество - 14 ладей. Действительно, их можно расположить на первой горизонтали и первой вертикали, кроме угловой клетки a1 (т.е. ладьи занимают клетки a2, a3,…,a8, b1, c1,…, h1).

5.Ответ. p=3.

Указание. Случай p=2 сразу после проверки исключаем. Имеем уравнение Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса . Значит, произведение множителей (n+p) и (n-p) равно 160=2Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса5. Разность этих множителей равна 2p и поэтому делится на 2, но не на 4. Тогда получаем два возможных варианта разложения 160 на два множителя с общим делителем, кратным 2, но не 4: это разложения 802 и 1610. Первое разложение даёт p=39, но это не простое число, а второе разложение даёт p=3.

Задачи финального тура олимпиады по математике

СПО 1 КУРС: ПрИ-9-11, ЗИО-9-11, ДОУ-9-23, Ю-9-23 .



1.Число a является корнем уравнения Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса . Найдите значение Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса .

2.Дан треугольник АВС. На сторонах АВ, ВС и АС взяты точки СОтборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса, АОтборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса и ВОтборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса соответственно, так что Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса Обязательно ли все три точки АОтборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса, В1, С1 являются серединами сторон, если известно, что серединами сторон являются по меньшей мере: а) две из них? б) одна из них?

3.Можно ли из 25 натуральных чисел 1, 2, …, 25 выбрать 9 различных чисел и расположить их по кругу так, чтобы сумма квадратов любых трех подряд идущих чисел делилась на 10 ?

4.Квадрат простого числа р увеличили на 160 и получили квадрат натурального числа. Найдите р.

5.У квадратного трехчлена Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса известна сумма коэффициентов Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса Чему равна сумма коэффициентов а) многочлена 4-й степени (P(х))2 (после возведения в квадрат и приведения подобных членов)? б) многочлена 20-й степени (P(х))10?

Решение:

1.Ответ. 10100.

Указание. Возводя в квадрат выражение Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса , получим Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса . Отсюда получаем ответ задачи.

2. Ответ. а) да б) нет.

Указание. а) Возьмём неравнобедренный треугольник АВС и рассмотрим геометрическое место точек, из которых отрезок А1С1 виден под углом, равным углу B. Известно (по свойству вписанных углов), что это - две дуги окружностей с общей хордой А1С1 Та дуга, которая лежит «ниже» А1С1 (т.е. по ту же сторону от А1С1,что и AC) пересекает AC не только в середине, но и ещё в одной точке (симметричной этой середине относительно серединного перпендикуляра к А1С1 ). Можно привести и более конкретный пример: пусть ABC - прямоугольный неравнобедренный треугольник с прямым углом B; в качестве точки ВОтборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса возьмём основание перпендикуляра из точки B. Нетрудно доказать, что этот пример удовлетворяет условию задачи. В приведенном указании в случае неравнобедренного треугольника для второй точки пересечения окружности с отрезком АС получится симметричный «малый» треугольник, для которого углы при вершинах в серединах АВ и ВС равны углу А и углу С, соответственно, т.е. углы поменялись местами. В равнобедренном треугольнике указанная окружность касается АС, т.е. пересекает АС в единственной точке - середине АС.

б) Конечно, отрицательный ответ следует из пункта а), но можно получить независимое решение, рассмотрев такой пример: ABC - прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом B. Из точки В1 (середины гипотенузы) проведём две взаимно перпендикулярные прямые (чтобы они не составляли с гипотенузой угол 45). Тогда точки А1 и С1 (точки пересечения с катетами) не будут их серединами, а треугольникОтборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса прямоугольный и равнобедренный.

3.Ответ. можно.

Указание. Пример расположения чисел: 1, 2, 5, 11, 12, 15, 21, 22, 25 . См. также указание к задаче 11.5, которое поясняет подобный пример.

4.Ответ. p=3.

Указание. Случай p=2 сразу после проверки исключаем. Имеем уравнение Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса . Значит, произведение множителей (n+p) и (n-p) равно 160=2

5.Ответ. а) 4, б) 1024

Указание. Пункт а) нетрудно решить непосредственно, преобразовав искомое выражение к виду (a+b+c)Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса = 4. Однако оба пункта задачи проще решить, если заметить, что сумма коэффициентов любого многочлена равна значению этого многочлена при x=1. Поэтому сумма коэффициентов многочлена (P(х))n равна (P(1))n = sn, где s - сумма коэффициентов многочлена P(х). Подставляя в последнюю формулу значения из условия задачи, получаем ответ.



© 2010-2022