Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РТ

ГАОУ ВО «Альметьевский государственный институт муниципальной службы»



Методическая разработка

По дисциплине: «Математика»

Для студентов ССУЗов по разделу

«ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ»


Составила: Хадеева Залфира Махмудовна

преподаватель математики

торгово-экономического факультета

среднего профессионального образования


АЛЬМЕТЬЕВСК 2013

Аннотация

на методическую разработку преподавателя

Хадеевой З.М.

Тема: «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка выполнена на 27листах. Включает в себя:

а) введение, где автор ставит цели изучения темы

б) содержание раздела «первообразная и интеграл» в лекционной форме

с соответствующими чертежами и таблицами

в) таблица первообразных и три правила нахождения первообразных

г) Криволинейная трапеция и ее площадь. Формула Ньютона - Лейбница

д) Задачи с решениями на нахождении общего вида первообразной, площади фигур, ограниченных графиками функций, на нахождении закона движения тела.

е) вычисление площадей фигур ограниченных разными графиками функций

(квадратичные, иррациональные, кубическая парабола, тригонометрическая функция), геометрическая интерпретация формулы Ньютона - Лейбница,

Вычисление площади фигур, ограниченных графиками функций, содержащих модуль.

ж) для самостоятельной работы предлагается карточки инструкции, где

поэтапно указывается решения конкретной задачи

з) задачи с решениями на применение интеграла для вычисления объемов тел

и вычисления работы переменной силы.

и) предлагается для самостоятельной работы примеры

к) сведения из истории повышает интерес студентов к изучению математики и углубляют понимание ими изучаемого раздела программы.

Содержание

Введение………………………………………………………...………… 6

Первообразная и интеграл. Основные свойства первообразной ………7

Таблица первообразных. Три правила нахождения первообразных………..9

Криволинейная трапеция и ее площадь. Формула Ньютона - Лейбница..10

Вычисление площадей с помощью интеграла…………………………….11

Задачи с решениями……………………………………………….….. …….14

Вычисление площадей фигур с помощью интеграла……………………....17

Карточки инструкции………………………………………………………....28

Применение интеграла……………………………………………………......31

Примеры для самостоятельных работ……………………………………….33

Исторические сведения…………………………………………………….....35

Литература…………………………………………………………………….37





Введение

В целях совершенствования преподавания математики целесообразно использовать обучение студентов решению задач, с помощью специально подобранных упражнений, учить их наблюдать, пользоваться аналогией, сравнениями и делать соответствующие выводы.

Преподавание математики не может стоять на должном уровне, а знания обучающихся не будут достаточно полными и прочными, если в работе преподавателя отсутствует система повторительно - обобщающих уроков.

В этой работе рассмотрены темы: 1. Первообразная

2. Интеграл.

По каждой теме приведены теоретические материалы, исторические сведения, набор различных заданий с решениями. Например, задачи на нахождения площади фигур, ограниченными различными тригонометрическими, иррациональными, показательными функциями и вычисления интегралов с параметрами, интегралов содержащие модули. А также приведены задания для самостоятельных работ.

Работа имеет следующие цели:

  • обобщить и систематизировать теоретический материал по указанным темам;

  • отработать навыки вычисления первообразной функций;

  • отработать навыки вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона- Лейбница;

  • овладеть умением применения первообразной функции при вычислении площадей криволинейных трапеций и других плоских фигур;

  • достичь аккуратности при выполнении записей, решений и чертежей.

Данная работа может помочь учащимся овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практике, развить умственные способности, самостоятельно выполнять различные творческие работы.

Тема: Первообразная и интеграл

Теоретическая часть. Объяснение темы в виде лекции.

1. Под дифференцированием функцииМетодическая разработка «Первообразная и интеграл»мы понимаем нахождение производной Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

2. Нахождение функции Методическая разработка «Первообразная и интеграл»по заданной ее производной Методическая разработка «Первообразная и интеграл» называют операцией интегрирования.Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

3. Таким образом, операция интегрирования обратно операции дифференцирования. Следовательно, операция интегрирования состоит в том, что по заданной производной Методическая разработка «Первообразная и интеграл» находят (восстанавливают ) функцию Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

4. Функцию Методическая разработка «Первообразная и интеграл»называют первообразной для функции Методическая разработка «Первообразная и интеграл» на заданном промежутке , если для всех х из этого промежутка F'(x)=f'(x).

5. Множество всех первообразных для функции f(x) можно представить в виде Методическая разработка «Первообразная и интеграл»где C Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Основные свойства первообразной функции.

6.Теорема . Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на промежутке X то при любой постоянной функция F(x)+C также является первообразной для функции f(x) на промежутке X . любую первообразную функции f(х) на промежутке Х можно записать в виде F(x)+C.

7. Геометрически основное свойство первообразных можно интерпретировать так: графики всех первообразных данной функции f (x) получаются с помощью параллельного переноса любого из этих графиков вдоль оси ОУ.

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»





Таблица первообразных



Функция

Общий вид первообразных

k (постоянная)

kx+c

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»


Три правила нахождения первообразных.

Правило1. Если F есть первообразная для f , а G- первообразная для g , то F+G есть первообразная для f+g.

Правило2. Если F есть первообразная для f , а k - постоянная, то функция kF-первообразная для kf.Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Правило3. Если F(x) есть первообразная для f(x) , а k и b -постоянные, причем kМетодическая разработка «Первообразная и интеграл» 0, тоМетодическая разработка «Первообразная и интеграл» F(kx+b) есть первообразная для f(kx+b) .

Криволинейная трапеция и ее площадь

Определение. Криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке Методическая разработка «Первообразная и интеграл»функции f, ОХ и прямыми х=а и х =b.

Теорема . Пусть f -непрерывная и неотрицательная на отрезке Методическая разработка «Первообразная и интеграл» функция, а S - площадь соответствующей криволинейной трапеции . Tогда если F есть первообразная для f на интервале , содержащем отрезок ,то S=F(b)-F(a).

Формула Ньютона -Лейбница

1. Интегралом от а до b функции f называют приращение первообразной F этой функции , т.е. F(b)-F(a).

2. Интеграл от а до b функции f обозначается так:Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , числа a и b

называют пределами интегрирования , a- нижним, b- верхним пределом. ЗнакМетодическая разработка «Первообразная и интеграл» называют знаком интеграла, функцию f- подынтегральной функцией, х- переменной интегрирования.

3. Методическая разработка «Первообразная и интеграл» -это равенство называют формулой Ньютона - Лейбница.

4. Формулу для вычисления площади криволинейной трапеции с помощью интеграла можно записать таким образом:

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» Формула верна для любой функции f , непрерывной на отрезке Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

Вычисление площадей с помощью интеграла


  1. Пусть функция f непрерывна и неотрицательна на отрезке Методическая разработка «Первообразная и интеграл». Тогда площадь соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

2. В том случае, когда непрерывная функция f(x) неположительна на отрезке Методическая разработка «Первообразная и интеграл», для вычисления площади криволинейной трапеции следует использовать формулу S= Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

3. Пусть функция f(x ) непрерывна на отрезке Методическая разработка «Первообразная и интеграл»и принимает на этом отрезке как положительные ,так и отрицательные значения. Тогда нужно разбит отрезок Методическая разработка «Первообразная и интеграл»на такие части, в каждой на которых функция не изменяет свой знак, затем вычислить по приведенным выше формулам соответствующие этим частям площади и эти площади сложить.

Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке, находится по формуле

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

4. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций Методическая разработка «Первообразная и интеграл» и Методическая разработка «Первообразная и интеграл» и двумя прямыми х=а и х=b, где Методическая разработка «Первообразная и интеграл» на отрезке Методическая разработка «Первообразная и интеграл», находится по формуле Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»






Практическая часть.

Задачи с решениями

Задача 1.Найти все первообразные функции

а)Методическая разработка «Первообразная и интеграл» г)Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

б) Методическая разработка «Первообразная и интеграл» дМетодическая разработка «Первообразная и интеграл»

в)Методическая разработка «Первообразная и интеграл» е)Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

ж)Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Пользуясь таблицей первообразных элементарных функций и свойствами первообразных решим :

а) Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

б)Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

в) Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

г) Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

д) Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

е) Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

ж)Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача 2. Найти первообразную для функции Методическая разработка «Первообразная и интеграл»)=Методическая разработка «Первообразная и интеграл» график которой проходит через точку P(9; 1)

Решение: Представим Методическая разработка «Первообразная и интеграл» в виде степени с рациональным показателем и воспользуемся формулой для первообразной степенной функции

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» Так как Методическая разработка «Первообразная и интеграл» то решим уравнение относительно С

Методическая разработка «Первообразная и интеграл», Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Ответ: Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Решение:

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Вычислим абсциссы точек пересечения графиков этих функции

Методическая разработка «Первообразная и интеграл», Методическая разработка «Первообразная и интеграл», Методическая разработка «Первообразная и интеграл»,Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , Методическая разработка «Первообразная и интеграл» ,

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»..

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» (кв.ед).

Ответ:Методическая разработка «Первообразная и интеграл»(кв.ед).

Задача 4.( Физическая задача). Тело движется прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону Методическая разработка «Первообразная и интеграл». Найти закон движения тела, если известно, что за первые две секунды оно прошло15м.

Решение. Множество всех первообразных функций Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , будет

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , так какМетодическая разработка «Первообразная и интеграл», Согласно условию Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

4+C=15, откуда С=11. Таким образом , искомый закон движения тела будет Методическая разработка «Первообразная и интеграл»





Вычисление площадей фигур с помощью интеграла.

Задача 1.Найти площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и параболой Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Решение. Находим пределы интегрирования : Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , Методическая разработка «Первообразная и интеграл» тогда

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» (кв.ед)

Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми Методическая разработка «Первообразная и интеграл» Методическая разработка «Первообразная и интеграл» осьюМетодическая разработка «Первообразная и интеграл» и графиком функции Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

a=1 , b=8 , Методическая разработка «Первообразная и интеграл»=Методическая разработка «Первообразная и интеграл» .

Решение: f(x)=Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , a=1 , b=8

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой Методическая разработка «Первообразная и интеграл» и прямой, проходящей через точки (4;0) , (0;4) .

Решение: Запишем уравнение прямой, проходящей через точки (4;0) и (0;4).

Подставив в уравнение прямой Методическая разработка «Первообразная и интеграл»координаты заданных точек, получим систему уравнений

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , найдем Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Следовательно, уравнение прямой имеет вид Методическая разработка «Первообразная и интеграл» .

Абсциссы общих точек прямой и параболы определим :

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , Методическая разработка «Первообразная и интеграл»,

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Искомую площадь вычислим как разность площадей криволинейной трапеции

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»и треугольника Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Итак, площадь искомой фигуры Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача 4.Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» и касательными к этому графику, проходящими через начало координат.

Решение. Уравнение касательной к графику Методическая разработка «Первообразная и интеграл» проходящей через его точку Методическая разработка «Первообразная и интеграл» Так как Методическая разработка «Первообразная и интеграл»то уравнение касательной имеет вид Методическая разработка «Первообразная и интеграл» илиМетодическая разработка «Первообразная и интеграл»

По условию, начало координат принадлежит касательной, поэтому Методическая разработка «Первообразная и интеграл»откуда Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

Значение Методическая разработка «Первообразная и интеграл» соответствует касательной Методическая разработка «Первообразная и интеграл» точка касания Методическая разработка «Первообразная и интеграл» . Значение Методическая разработка «Первообразная и интеграл» соответствует касательной Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

точка касания Методическая разработка «Первообразная и интеграл». Площадь искомой фигуры равна сумме площадей криволинейных треугольников Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Искомая площадь равна Методическая разработка «Первообразная и интеграл» Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» .

Решение: Находим точки пересечения данных линий.

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

1). Уравнение Методическая разработка «Первообразная и интеграл»равносильно системе Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , Методическая разработка «Первообразная и интеграл» Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

2) . Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , Корень Методическая разработка «Первообразная и интеграл» находим подбором (или по чертежу).Методическая разработка «Первообразная и интеграл» - общая точка графиков функции

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» и Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

3).Уравнение Методическая разработка «Первообразная и интеграл» имеет единственный корень Методическая разработка «Первообразная и интеграл» который находим подбором. Других корней быть не может.

Итак , Методическая разработка «Первообразная и интеграл» общая точка графиков функций Методическая разработка «Первообразная и интеграл» и

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Искомую площадь найдем как сумму треугольника площадей трех фигур:

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» криволинейной трапецииМетодическая разработка «Первообразная и интеграл» и фигуры Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Площадь фигуры Методическая разработка «Первообразная и интеграл» равна разности площадей криволинейной трапецииМетодическая разработка «Первообразная и интеграл» и прямоугольного треугольника Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Искомая площадь: Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача 6. (Тригонометрические функции). Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , осью Методическая разработка «Первообразная и интеграл» и прямыми Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Решение. Данная функция состоит из двух криволинейных трапеций, расположенных в разных полуплоскостях относительно оси Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

Таким образом Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача7. Найти площадь фигуры ,ограниченной линиями

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Решение. Пределы интегрирования Методическая разработка «Первообразная и интеграл»; На отрезкеМетодическая разработка «Первообразная и интеграл»; Значения функцииМетодическая разработка «Первообразная и интеграл» не меньше соответствующих значений функции

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Воспользуемся формулами Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Ответ: Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача 8. Найти площадь фигуры ограниченной линиями

Методическая разработка «Первообразная и интеграл», Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» Решение. Используем формулу: Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Пределы интегрирования Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Ответ: Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача 9.(Геометрическая интерпретация формулы Ньютона -Лейбница)

В случае, когда для подынтегральной функции не удается найти первообразную. Можно использовать геометрический смысл интеграла и вычислить площадь фигуры, ограниченной функцией Методическая разработка «Первообразная и интеграл»наМетодическая разработка «Первообразная и интеграл».

Вычислить интеграл Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Решение: Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Ответ: Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача 10. Вычислить интеграл: Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Решение: Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Ответ: Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача 11. (С модулю ) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций Методическая разработка «Первообразная и интеграл» и Методическая разработка «Первообразная и интеграл» .

Решение. Функцию Методическая разработка «Первообразная и интеграл» можно переписать так

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Построим графики заданных функций на одной координатной плоскости

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Найдем пределы интегрирования, решим уравнение: Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Возведем обе части уравнения в квадрат Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , отсюда Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»)Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Ответ: Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача 12.(с модулю) Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Решение: Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Найдем пределы интегрирования:

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

На отрезке Методическая разработка «Первообразная и интеграл» значения функции Методическая разработка «Первообразная и интеграл» не меньше соответствующих значений функции Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Воспользуемся формулами Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Ответ:Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача 13.(С параметрами) Найти все числа a (aМетодическая разработка «Первообразная и интеграл» для каждого из которых выполняется неравенствo

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Решение: Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Поэтому, Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Учитывая Методическая разработка «Первообразная и интеграл» получим, что Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

Ответ:Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача 14. Найти все такие a, что Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Решение: Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача 15 .При каких a интеграл

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

1)Если Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

ПолучимМетодическая разработка «Первообразная и интеграл» Методическая разработка «Первообразная и интеграл» Методическая разработка «Первообразная и интеграл» aМетодическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» Методическая разработка «Первообразная и интеграл» Методическая разработка «Первообразная и интеграл» Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

2) Если Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Ответ: aМетодическая разработка «Первообразная и интеграл».





Карточки-инструкции.

Карточка 1 ( Нахождение общего вида первообразных).

Задание 1. Найдите общий вид первообразных функции

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Инструкция по выполнению задания:

1.Выявите структуру правой части формулы, задающей функцию.

2.Примените известные правила нахождения первообразных в зависимости от выявленной структуры, используйте таблицу первообразных.

3. Запишите общий вид первообразных

Вариант объяснения решения:

1.Правая часть формулы, задающей функцию, представляет собой сумму двух функций: Методическая разработка «Первообразная и интеграл» и Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

2. Для поиска первообразной нужно применять правило нахождения первообразной суммы двух функций, первообразную каждой из которых можно найти по известной таблице первообразных. Первообразная первой функции Методическая разработка «Первообразная и интеграл» первообразная второй функцииМетодическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл», а первообразная суммы Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

3. Общий вид первообразных: Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задание 2.(самостоятельная работа).

Найти общий вид первообразных функций:

а) Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

б) Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

в) Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Карточка 2 (Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными функциями).

Задание1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Инструкции по выполнению задания:

Схематично изобразите заданные линии на координатной плоскости.

2. Выделите фигуру, ограниченную этими линиями.

3.Определите, является ли полученная фигура криволинейной трапеции или нет.

4. Если фигура является криволинейной трапецией, то подумайте, сумму или разности площадей каких криволинейных трапеций или других фигур нужно рассмотреть для получения ответа.

Вариант объяснения решения:

На координатной плоскости схематично изобразим указанные линии: Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Заштрихуем фигуру, ограниченную снизу графиком функции Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

сверху- прямой Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Заштрихованная фигура не является криволинейной трапецией. Но ее площадь легко вычисляется как разности площадей: из площади прямоугольника Методическая разработка «Первообразная и интеграл» нужно вычесть площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функцииМетодическая разработка «Первообразная и интеграл».

Для вычисления указанных площадей найдем абсциссы точекМетодическая разработка «Первообразная и интеграл». Решим уравнение

Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

Таким образом, Методическая разработка «Первообразная и интеграл»(кв.ед),

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

=Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задание2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Методическая разработка «Первообразная и интеграл», Методическая разработка «Первообразная и интеграл». (Выполните задание самостоятельно).














Применение интеграла.

Вычисление объемов тел с помощью интеграла.

Задача1. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

Решение: Изобразим тело вращения. Вычислим объем тела вращения с помощью определенного интеграла:

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Пределы интегрирования Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача 2. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси ординат плоской фигуры, ограниченной линиями Методическая разработка «Первообразная и интеграл».

Решение. Искомый объемМетодическая разработка «Первообразная и интеграл» равен разности двух объемов: Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , Методическая разработка «Первообразная и интеграл» и объема Методическая разработка «Первообразная и интеграл» , для которого вращаемая фигура ограничена линиями Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Задача 3.( Применение интеграла для вычисления работы переменной силы). Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 10см, если сила 50Н растягивает пружину на 5см?

Решение. Согласно закону Гука, упругая сила Методическая разработка «Первообразная и интеграл»,действующая на пружину, возрастает пропорционально растяжению Методическая разработка «Первообразная и интеграл» пружины, т. е.

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» Здесь перемещение Методическая разработка «Первообразная и интеграл» выражено в метрах, а сила Методическая разработка «Первообразная и интеграл» в ньютонах.

Для определения коэффициента пропорциональности Методическая разработка «Первообразная и интеграл» согласно условию задачи полагаем Методическая разработка «Первообразная и интеграл»приМетодическая разработка «Первообразная и интеграл»=0,05м. Отсюда 50=kМетодическая разработка «Первообразная и интеграл» т.е. k=1000 , следовательно, F=1000x. Искомая работа на основании формул:

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» равна Методическая разработка «Первообразная и интеграл»


Примеры для самостоятельных работ.

Вычислите:

1.Методическая разработка «Первообразная и интеграл» (отв. 8)

2. Методическая разработка «Первообразная и интеграл» ( отв. Методическая разработка «Первообразная и интеграл» )

3. Методическая разработка «Первообразная и интеграл» ( отв. Методическая разработка «Первообразная и интеграл»)

4. Методическая разработка «Первообразная и интеграл» ( отв.Методическая разработка «Первообразная и интеграл»)

5. Методическая разработка «Первообразная и интеграл» (Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

6. Методическая разработка «Первообразная и интеграл» (отв.Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

7. Методическая разработка «Первообразная и интеграл» (отв. 0)

8. Методическая разработка «Первообразная и интеграл» (Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

9. Методическая разработка «Первообразная и интеграл» ( отМетодическая разработка «Первообразная и интеграл»)

10. Методическая разработка «Первообразная и интеграл» (отв.9Методическая разработка «Первообразная и интеграл»)

Вычислите площади фигур, ограниченной линиями


  1. Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

  2. Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

  1. Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

4. Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

5. Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

6. Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

7. Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

8. Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

9. Методическая разработка «Первообразная и интеграл» .














Исторические сведения.


В первой половине XVII в. Операцию интегрирования записывали словами:

«совокупность всех неделимых», а затем - « все линии» (omnes lineae).

Такой способ выражения широко распространился благодаря сочинению Кавальери «Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota». (геометрия, развития некоторым новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин», 1635).

Точно так же писал Лейбниц в своих сохранившихся заметках (1675).

Ради сокращения записи он вместо omn вводит начальную букву слова

Summa, которая по начертанию того времени писалась как наш знак интеграла. Первоначально Лейбниц писалМетодическая разработка «Первообразная и интеграл» но уже через месяц он стал писатьМетодическая разработка «Первообразная и интеграл» - это уже не сумма неделимых, а сумма площадей бесконечно малых прямоугольников. В печати современное обозначение появилось в 1686г. В это же время И. Бернулли обозначал операцию интегрированию буквой I по первой букве введенного им названия «интегральное исчисление». В английской литературе знак Методическая разработка «Первообразная и интеграл»появился в 1693г., затем в 1701г. и был принят немедленно.

Слово «интеграл» употребил впервые Я. Бернулли в 1690 г. Возможно, термин образован от латинского integer - «целый». По другому предположению, Я. Бернулли произвел термин от integro -«приводить в

прежнее состояние», «восстанавливать» (действительно, восстанавливается первообразная функция). Как бы то ни было, термин был обсужден И.Бернулли и Лейбницем и «принят» в 1696г. Тогда же И. Бернулли предложил название «интегральное исчисление» (calculus integralis) Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило болеераннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797г.) Латинское слово primitives переводится как «начальный»:

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»- начальная (или первоначальная, или первообразная) для

Методическая разработка «Первообразная и интеграл», которая получается из Методическая разработка «Первообразная и интеграл» дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции

Методическая разработка «Первообразная и интеграл», называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную.

Методическая разработка «Первообразная и интеграл» называют определенным интегралом. (обозначение ввел

К. Фурье (1768 - 1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).





Литература

1. А. Н. Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П. Дудницын, Б.М.Ивлев, С. И. Шварцбурд . Алгебра и начала анализа, учебник для 10-11кл.,Москва
«Просвещение» 2001.

2. Л.Д. Лаппо, М.А.Попов . ЕГЭ. Математика. Эффективная методика, издательство «Экзамен» ,Москва, 2009.

3. Л.И.Звавич, В.К.Смирнова, И.И.Иванов. Алгебра ,11 кл. Решение Экзаменационных задач по алгебре. Москва, издательский дом «Дрофа» 1996.

4. Учебно - методическая газета «математика» , 2001-2009 , издательский дом «первое сентября».

5. А.Г.Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала анализа, учебник для 11 кл.

Москва , 2007.

6. В.С. Крамор. Задачи с параметрами и методы их решения. Издательство

«Мир и образование» ,2007.

7. Г.И. Глейзер. История математики в школе .Москва «просвещение» ,1982.



41


© 2010-2022