Доклад-статья Множество задач на одном рисунке

Решение стереометрической задачи требует большого количества времени из-за необходимости выполнять непростой чертеж. Поэтому удобно решать несколько задач на одном рисунке. Задачи разного уровня сложности, выполняемые на основе данного рисунка, позволят повторить объемный материал, что актуально при подготовке к сдаче ЕГЭ. Кроме этого при решении таких задач на самостоятельной или контрольной работе легко оценить и диагностировать уровень знаний учащихся.       Серию задач на одном рисунке, как ...
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Множество задач на одном рисунке

Решение стереометрической задачи требует большого количества времени из-за необходимости выполнять непростой чертеж. Поэтому удобно решать несколько задач на одном рисунке. Задачи разного уровня сложности, выполняемые на основе данного рисунка, позволят повторить объемный материал, что актуально при подготовке к сдаче ЕГЭ. Кроме этого при решении таких задач на самостоятельной или контрольной работе легко оценить и диагностировать уровень знаний учащихся.

Приведем пример.

Задача. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, плоский угол при вершине равен . В пирамиду вписан шар.

  1. Построить сечение пирамиды, проходящее через центр основания пирамиды и перпендикулярное боковому ребру.

  2. Найти площадь этого сечения.

  3. Найти расстояние от точки сечения, лежащей на боковом ребре до плоскости основания пирамиды.

  4. Найти угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды.

  5. Найти угол между высотой пирамиды и сечением.

  6. Найти объем пирамиды, отсекаемой сечением.

  7. Найти радиус вписанного шара.

  8. Найти радиус круга сечения шара плоскостью, проходящей через центр основания пирамиды и перпендикулярной боковому ребру (построенное сечение пирамиды).

  9. Найти площадь сечения шара.

10)Найти расстояние от вершины до плоскости сечения.

Решение.

  1. Сделаем чертеж (рис. 1).

Построим сечение пирамиды плоскостью MNH. АВCD - правильная пирамида: основание пирамиды - △ABC - равносторонний, О - центр △ABC (точка пересечения медиан, высот, биссектрис).

Доклад-статья Множество задач на одном рисункеРис. 1

DО - высота пирамиды, DO ⊥ (ABC). Выберем боковое ребро ВD. ВО - проекция ВD на плоскость АВС. В △АВС опустим высоту ВК на сторону АС, тогда О ϵ ВК, так как О -центр △АВС, ВО ϵ ВК, ВК ⊥ АС, следовательно ВО ⊥ АС, ОН ⊥ ВD.

По теореме о трех перпендикулярах, ВD будет перпендикулярна прямой, параллельной АС и проходящей через точку В, следовательно, ВD ⊥ АС и ВD перпендикулярна любой прямой, параллельной АС.

В плоскости АВС проведем прямую l параллельную АС через точку О, тогда l перпендикулярна ВD. Пусть l ⋂ АВ = М, l ⋂ ВС = N. Чтобы провести l ∥ АС, нужно отметить точку М на АВ: АМ = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке АВ, и точку N на ВС: СN = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке ВС. Тогда MNH - искомое сечение.

  1. Найдем площадь этого сечения. SMNH = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке MN·OH.

Найдем MN. Рассмотрим ∆АВС - равносторонний и точка О - точка пересечения медиан, следовательно, ОВ : ОК = 2 : 1, ОВ = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке ВК = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке АВsinДоклад-статья Множество задач на одном рисункеА; ОВ = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке a sin60Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке a Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке.

∆АВС Доклад-статья Множество задач на одном рисунке ∆ MBN (по двум углам), так как MN ∥ АС, Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке, следовательно, MN = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке АС = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке а.

Найдем ОН. Рассмотрим ∆ОВD. Так как DО ⊥ ВО, то ∆ОВD - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора ОD2 + OB2 = BD2;

OD2 = BD2 - OB2. OD2 = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке - Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке.

Найдем BD. Рассмотрим ∆BCD. Проведем высоту DH1. Так как пирамида правильная, то ∆BCD - равнобедренный. Следовательно, DH1 - медиана и биссектриса.

Доклад-статья Множество задач на одном рисункеРис. 2

СН1 = ВН1 = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке; Доклад-статья Множество задач на одном рисункеCDH1 = Доклад-статья Множество задач на одном рисункеBDH1 = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке; Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = sinДоклад-статья Множество задач на одном рисункеBDH1; BD = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке;

BD = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке. Тогда ОD = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке.

ОН - высота прямоугольного треугольника ОВD. ОН = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке,

ОН = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке.

SMNH = Доклад-статья Множество задач на одном рисункеMN·OH = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке·Доклад-статья Множество задач на одном рисункеДоклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке.

  1. Найдем расстояние от точки сечения, лежащей на боковом ребре до

плоскости основания пирамиды. Рассмотрим плоскость ОНВ (см. рис. 3).

Доклад-статья Множество задач на одном рисунке= cosДоклад-статья Множество задач на одном рисункеO; Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = sinДоклад-статья Множество задач на одном рисункеО; Доклад-статья Множество задач на одном рисунке + Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = cos2Доклад-статья Множество задач на одном рисункеO + sin2Доклад-статья Множество задач на одном рисункеO = 1;

PH2 = OH2 (1 - Доклад-статья Множество задач на одном рисунке). PH = OHДоклад-статья Множество задач на одном рисунке.

Доклад-статья Множество задач на одном рисункеРис. 3

PH = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке ·Доклад-статья Множество задач на одном рисунке; РН = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке; РН = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке·sinДоклад-статья Множество задач на одном рисунке.

  1. Найдем угол между плоскостью сечения и плоскостью основания

пирамиды. (см. рис.1)

Доклад-статья Множество задач на одном рисунке(MHN, ABC) = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке(HO, OB) = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке - линейный угол двугранного угла с ребром MN - искомый.

cosДоклад-статья Множество задач на одном рисункеHOB = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке ·Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке; Доклад-статья Множество задач на одном рисункеHOB = arcos(Доклад-статья Множество задач на одном рисунке

  1. Найдем угол между высотой пирамиды и сечением. (см. рис.1).

Доклад-статья Множество задач на одном рисунке(OD, MHN) = Доклад-статья Множество задач на одном рисункеDOH = Доклад-статья Множество задач на одном рисункеDOB - Доклад-статья Множество задач на одном рисункеHOB;Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке - arcos(Доклад-статья Множество задач на одном рисунке);

Доклад-статья Множество задач на одном рисункеarcsin(Доклад-статья Множество задач на одном рисунке).

  1. Найдем объем пирамиды отсекаемой сечением.

VMHNB = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке SMHN Доклад-статья Множество задач на одном рисункеBH, так как BH Доклад-статья Множество задач на одном рисунке (MHN).

Найдем ВН из прямоугольного треугольника ВОD. (см. рис. 4).

Доклад-статья Множество задач на одном рисункерис. 4

В Доклад-статья Множество задач на одном рисунке: ОН Доклад-статья Множество задач на одном рисунке DB, cosДоклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке. В Доклад-статья Множество задач на одном рисункеDOB: OD Доклад-статья Множество задач на одном рисунке OB. Следовательно,

Доклад-статья Множество задач на одном рисунке= Доклад-статья Множество задач на одном рисунке, тогда ВН = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисункеДоклад-статья Множество задач на одном рисунке; ВН = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке.

VMHNB = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке ⋅ a2Доклад-статья Множество задач на одном рисункеДоклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке.

  1. Найдем радиус вписанного шара. (см. рис. 5).

Доклад-статья Множество задач на одном рисункерис. 5

В Доклад-статья Множество задач на одном рисункеО1DQ: sinДоклад-статья Множество задач на одном рисункеD = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке; в Доклад-статья Множество задач на одном рисункеODH1: sinДоклад-статья Множество задач на одном рисункеD = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке, следовательно

Доклад-статья Множество задач на одном рисунке= Доклад-статья Множество задач на одном рисунке, Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке, где OH1 = r (радиус вписанной окружности в треугольнике АВС).

Доклад-статья Множество задач на одном рисункерис. 6

Доклад-статья Множество задач на одном рисунке - 1 = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке; Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке + 1; Доклад-статья Множество задач на одном рисунке; R = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке;

r = OH1 = OK = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке BO = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке; DH1 = H1B ctgДоклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисункеctgДоклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке Доклад-статья Множество задач на одном рисунке.

R = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = 2a Доклад-статья Множество задач на одном рисунке.

  1. Найдем радиус круга сечения шара плоскостью, проходящей через

центр основания пирамиды и перпендикулярной боковому ребру.

Опустим перпендикуляр О1Н2 из О1 на плоскость сечения MHN.

Тогда Н2 - центр круга сечения шара плоскостью и ОН2 - его радиус.

Рассмотрим Доклад-статья Множество задач на одном рисункеDOH.

Доклад-статья Множество задач на одном рисункерис. 7

Доклад-статья Множество задач на одном рисунке= cosДоклад-статья Множество задач на одном рисункеDOH = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке; Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке; ОН2 = ОО1Доклад-статья Множество задач на одном рисунке ;

OH2 = R Доклад-статья Множество задач на одном рисунке Доклад-статья Множество задач на одном рисункеДоклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисункеДоклад-статья Множество задач на одном рисунке = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке.

  1. Найдем площадь сечения шара.

Sкр = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке ⋅ OДоклад-статья Множество задач на одном рисунке; Sкр = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке.

10) Найдем расстояние от вершины до плоскости сечения.

DH = BD - BH = Доклад-статья Множество задач на одном рисунке - Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = a ⋅ Доклад-статья Множество задач на одном рисунке = a ⋅ Доклад-статья Множество задач на одном рисунке.

Доклад-статья Множество задач на одном рисунке.

Серию задач на одном рисунке, как правило, можно предложить в тех случаях, когда рассматривается сечение многогранника или комбинация стереометрических фигур. Материал рассчитан на работу в течение двух уроков.

Приведем примеры подобных задач.

Задача № 1

В основании пирамиды SABC лежит треугольник с прямым углом при вершине С и АС = ВС. Ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания и SA=AB. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М - середину ребра АС, перпендикулярно прямой SB.

1) Найти объем и площадь боковой поверхности пирамиды SABC

Считая АС = а, найти расстояния до секущей плоскости от следующих точек:

2) В;

3) С;

4) А.

5) Найти площадь этого сечения.

Задача № 2

В конус, вершина которого проецируется в центр окружности, которая является его основанием, вписан шар, в этот шар вписан другой конус, основание которого является диаметральным сечением шара и параллельно основанию первого конуса. Вершина меньшего конуса также проецируется в центр основания. Если образующая большего конуса равна - а, и угол между образующей и основанием равен α, найти :

1) отношение объемов конусов;

2) площади боковых поверхностей;

3) расстояние между вершинами;

4) объем шара, описанного вокруг большего конуса;

5) отношение объемов шаров.

Задача № 3

В прямоугольном параллелепипеде ABCDEFGH на стороне DH взята точка М, так что DM=MH

AB= a, BC =2a, HD =a. Через точки А, М, G проведена плоскость.

Найти:

1) S сечения;

2) V пирамиды GMAE;

3) расстояние от точки H до секущей плоскости;

4) расстояние от E точки до секущей плоскости;

5) расстояние от точки D до секущей плоскости.

Задача № 4

В пирамиде ABCS грани BCS и CAS перпендикулярны основанию, которое является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине С.

BC =SC=2a, CA = a. На ребре BS взята точка D, делящая это ребро пополам.

1) Найти площадь круга вписанного в треугольник CAD.

2) Найти расстояние от точки В до треугольника CAD.

3) Найти расстояние от точки S до треугольника CAD.

4) Найти расстояние от вершины S до центра вписанной окружности в треугольник CAD.

5) Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача № 5

В правильной треугольной призме со стороной основания - а, высота равна стороне основания. Точка О является центром описанной окружности вокруг основания. Из точки О проведены три прямые, пересекающее три верхние вершины призмы в точках D, E, F, так что точка D находится над точкой А точка Е находится над точкой В. Пирамиду EFDO вписан шар.

Найти:

1) радиус вписанного шара;

2) расстояние от центра шара до точки В и Е;

3) площадь боковой поверхности получившейся пирамиды и ее объем;

4) угол EOD;

5) площадь сечения, проходящего через точки А, С и цент вписанного в пирамиду шара.

Таким образом можно создать сколько угодно задач к одному рисунку. Это очень удобно при разработке вариантов различных работ: контрольных, проверочных, диагностических. Поэтому затронутая нами тема весьма перспективна.

Литература

  1. Безверхняя И.С. Множество задач на рисунке. - «Математика в школе», № 2, 2010. - С. 27-32.

  2. Гильманов Р.А., Гагуцкий С.Ф. Как решать конкурсные задачи по геометрии. - Казань: Из-во Казанского университета, 1976. - 222 с.

  3. Гусеев В.А., Мордкович А.Г. Математика. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.



© 2010-2022