- Преподавателю
- Математика
- Доклад-статья Множество задач на одном рисунке
Доклад-статья Множество задач на одном рисунке
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Барышникова Т.Н. |
Дата | 26.04.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Множество задач на одном рисунке
Решение стереометрической задачи требует большого количества времени из-за необходимости выполнять непростой чертеж. Поэтому удобно решать несколько задач на одном рисунке. Задачи разного уровня сложности, выполняемые на основе данного рисунка, позволят повторить объемный материал, что актуально при подготовке к сдаче ЕГЭ. Кроме этого при решении таких задач на самостоятельной или контрольной работе легко оценить и диагностировать уровень знаний учащихся.
Приведем пример.
Задача. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, плоский угол при вершине равен . В пирамиду вписан шар.
-
Построить сечение пирамиды, проходящее через центр основания пирамиды и перпендикулярное боковому ребру.
-
Найти площадь этого сечения.
-
Найти расстояние от точки сечения, лежащей на боковом ребре до плоскости основания пирамиды.
-
Найти угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды.
-
Найти угол между высотой пирамиды и сечением.
-
Найти объем пирамиды, отсекаемой сечением.
-
Найти радиус вписанного шара.
-
Найти радиус круга сечения шара плоскостью, проходящей через центр основания пирамиды и перпендикулярной боковому ребру (построенное сечение пирамиды).
-
Найти площадь сечения шара.
10)Найти расстояние от вершины до плоскости сечения.
Решение.
-
Сделаем чертеж (рис. 1).
Построим сечение пирамиды плоскостью MNH. АВCD - правильная пирамида: основание пирамиды - △ABC - равносторонний, О - центр △ABC (точка пересечения медиан, высот, биссектрис).
Рис. 1
DО - высота пирамиды, DO ⊥ (ABC). Выберем боковое ребро ВD. ВО - проекция ВD на плоскость АВС. В △АВС опустим высоту ВК на сторону АС, тогда О ϵ ВК, так как О -центр △АВС, ВО ϵ ВК, ВК ⊥ АС, следовательно ВО ⊥ АС, ОН ⊥ ВD.
По теореме о трех перпендикулярах, ВD будет перпендикулярна прямой, параллельной АС и проходящей через точку В, следовательно, ВD ⊥ АС и ВD перпендикулярна любой прямой, параллельной АС.
В плоскости АВС проведем прямую l параллельную АС через точку О, тогда l перпендикулярна ВD. Пусть l ⋂ АВ = М, l ⋂ ВС = N. Чтобы провести l ∥ АС, нужно отметить точку М на АВ: АМ = АВ, и точку N на ВС: СN = ВС. Тогда MNH - искомое сечение.
-
Найдем площадь этого сечения. SMNH = MN·OH.
Найдем MN. Рассмотрим ∆АВС - равносторонний и точка О - точка пересечения медиан, следовательно, ОВ : ОК = 2 : 1, ОВ = ВК = АВsinА; ОВ = a sin60 = a = .
∆АВС ∆ MBN (по двум углам), так как MN ∥ АС, = = , следовательно, MN = АС = а.
Найдем ОН. Рассмотрим ∆ОВD. Так как DО ⊥ ВО, то ∆ОВD - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора ОD2 + OB2 = BD2;
OD2 = BD2 - OB2. OD2 = - = = .
Найдем BD. Рассмотрим ∆BCD. Проведем высоту DH1. Так как пирамида правильная, то ∆BCD - равнобедренный. Следовательно, DH1 - медиана и биссектриса.
Рис. 2
СН1 = ВН1 = = ; CDH1 = BDH1 = ; = sinBDH1; BD = ;
BD = = . Тогда ОD = .
ОН - высота прямоугольного треугольника ОВD. ОН = ,
ОН = = .
SMNH = MN·OH = ·a· = .
-
Найдем расстояние от точки сечения, лежащей на боковом ребре до
плоскости основания пирамиды. Рассмотрим плоскость ОНВ (см. рис. 3).
= cosO; = sinО; + = cos2O + sin2O = 1;
PH2 = OH2 (1 - ). PH = OH.
Рис. 3
PH = ·; РН = ; РН = = = ·sin.
-
Найдем угол между плоскостью сечения и плоскостью основания
пирамиды. (см. рис.1)
(MHN, ABC) = (HO, OB) = - линейный угол двугранного угла с ребром MN - искомый.
cosHOB = = · = ; HOB = arcos(
-
Найдем угол между высотой пирамиды и сечением. (см. рис.1).
(OD, MHN) = DOH = DOB - HOB; = - arcos();
arcsin().
-
Найдем объем пирамиды отсекаемой сечением.
VMHNB = SMHN BH, так как BH (MHN).
Найдем ВН из прямоугольного треугольника ВОD. (см. рис. 4).
рис. 4
В : ОН DB, cos = . В DOB: OD OB. Следовательно,
= , тогда ВН = = ⋅ ; ВН = .
VMHNB = ⋅ a2 ⋅ ⋅ = .
-
Найдем радиус вписанного шара. (см. рис. 5).
рис. 5
В О1DQ: sinD = ; в ODH1: sinD = , следовательно
= , = , где OH1 = r (радиус вписанной окружности в треугольнике АВС).
рис. 6
- 1 = ; = + 1; ; R = ;
r = OH1 = OK = BO = ; DH1 = H1B ctg = ctg = .
R = = = = 2a .
-
Найдем радиус круга сечения шара плоскостью, проходящей через
центр основания пирамиды и перпендикулярной боковому ребру.
Опустим перпендикуляр О1Н2 из О1 на плоскость сечения MHN.
Тогда Н2 - центр круга сечения шара плоскостью и ОН2 - его радиус.
Рассмотрим DOH.
рис. 7
= cosDOH = ; = ; ОН2 = ОО1 ⋅ ;
OH2 = R ⋅ = ⋅ = .
-
Найдем площадь сечения шара.
Sкр = ⋅ O; Sкр = .
10) Найдем расстояние от вершины до плоскости сечения.
DH = BD - BH = - = a ⋅ = a ⋅ .
.
Серию задач на одном рисунке, как правило, можно предложить в тех случаях, когда рассматривается сечение многогранника или комбинация стереометрических фигур. Материал рассчитан на работу в течение двух уроков.
Приведем примеры подобных задач.
Задача № 1
В основании пирамиды SABC лежит треугольник с прямым углом при вершине С и АС = ВС. Ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания и SA=AB. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М - середину ребра АС, перпендикулярно прямой SB.
1) Найти объем и площадь боковой поверхности пирамиды SABC
Считая АС = а, найти расстояния до секущей плоскости от следующих точек:
2) В;
3) С;
4) А.
5) Найти площадь этого сечения.
Задача № 2
В конус, вершина которого проецируется в центр окружности, которая является его основанием, вписан шар, в этот шар вписан другой конус, основание которого является диаметральным сечением шара и параллельно основанию первого конуса. Вершина меньшего конуса также проецируется в центр основания. Если образующая большего конуса равна - а, и угол между образующей и основанием равен α, найти :
1) отношение объемов конусов;
2) площади боковых поверхностей;
3) расстояние между вершинами;
4) объем шара, описанного вокруг большего конуса;
5) отношение объемов шаров.
Задача № 3
В прямоугольном параллелепипеде ABCDEFGH на стороне DH взята точка М, так что DM=MH
AB= a, BC =2a, HD =a. Через точки А, М, G проведена плоскость.
Найти:
1) S сечения;
2) V пирамиды GMAE;
3) расстояние от точки H до секущей плоскости;
4) расстояние от E точки до секущей плоскости;
5) расстояние от точки D до секущей плоскости.
Задача № 4
В пирамиде ABCS грани BCS и CAS перпендикулярны основанию, которое является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине С.
BC =SC=2a, CA = a. На ребре BS взята точка D, делящая это ребро пополам.
1) Найти площадь круга вписанного в треугольник CAD.
2) Найти расстояние от точки В до треугольника CAD.
3) Найти расстояние от точки S до треугольника CAD.
4) Найти расстояние от вершины S до центра вписанной окружности в треугольник CAD.
5) Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Задача № 5
В правильной треугольной призме со стороной основания - а, высота равна стороне основания. Точка О является центром описанной окружности вокруг основания. Из точки О проведены три прямые, пересекающее три верхние вершины призмы в точках D, E, F, так что точка D находится над точкой А точка Е находится над точкой В. Пирамиду EFDO вписан шар.
Найти:
1) радиус вписанного шара;
2) расстояние от центра шара до точки В и Е;
3) площадь боковой поверхности получившейся пирамиды и ее объем;
4) угол EOD;
5) площадь сечения, проходящего через точки А, С и цент вписанного в пирамиду шара.
Таким образом можно создать сколько угодно задач к одному рисунку. Это очень удобно при разработке вариантов различных работ: контрольных, проверочных, диагностических. Поэтому затронутая нами тема весьма перспективна.
Литература
-
Безверхняя И.С. Множество задач на рисунке. - «Математика в школе», № 2, 2010. - С. 27-32.
-
Гильманов Р.А., Гагуцкий С.Ф. Как решать конкурсные задачи по геометрии. - Казань: Из-во Казанского университета, 1976. - 222 с.
-
Гусеев В.А., Мордкович А.Г. Математика. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.