Конспект урока Решение задач на смеси (дополнительный материал)

Расчеты при смешивании.

«Старинный»

Способ решения.

Выполнила: Кочкина И.Т.,

учитель математики

МОУ «Лицей № 15»

им. акад. Ю.Б.Харитона,

г. Саров, Нижегородской обл.

Расчеты при смешивании.

В школьном курсе математики предлагается очень мало задач на «смеси и сплавы». Однако эти задачи встречаются как в заданиях ГИА-9, так и в заданиях ЕГЭ-11 по математике. Решение задач по этой теме вызывает у ребят немало трудностей. На факультативных занятиях по математике в 6 классе я рассматриваю с ребятами «старинный » способ решения задач на смеси и сплавы, предварительно обосновав его. Данный способ не вызывает у ребят никаких трудностей, доступен для понимания и ребята в дальнейшем успешно его используют.

Предлагаемые задачи можно использовать на факультативных занятиях в общеобразовательных школах, на уроках в гимназиях и лицеях с углубленном изучением математики, начиная с 6-го класса.

Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, а иногда даже газообразные или твердые вещества, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды, т.е. усыхание.

Одной из наиболее распространенных характеристик смеси является концентрация конкретной составляющей смеси, т.е. отношение количества этой составляющей к общему количеству смеси. На практике концентрации принято выражать в сотых долях единицы, называемых процентами. Содержание какого-либо драгоценного металла в сплаве с примесями обычно называют пробой и обозначают числом тысячных долей единицы. Например, говоря о золоте 573-й пробы, мы подразумеваем, что в каждых 1000 г такого «золота» содержится 573 г чистого золота.

Рассмотрим «старинный» способ расчетов при смешивании.

Задача 1.

В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-ной и раствор 70%-ной кислоты, чтобы получить раствор 65%-ной кислоты?

Решение: Для решения задачи нарисуем схему

50 5

65

70 15

в которой слева запишем требуемую концентрацию кислоты в процентах, т.е. 65, затем друг под другом запишем концентрации имеющихся растворов, т.е. 50 и 70, наконец, подсчитаем и запишем крест-накрест соответствующие разности 65 - 50 = 15 и 70 - 65 = 5. Теперь можно сделать вывод, что для получения 65-процентной кислоты нужно взять растворы 50-процентной и 70-процентной кислот в отношении 5 : 15, или 1 : 3.

Ответ: 1 : 3

Дадим обоснование этому способу.

Пусть требуется смешать растворы а-процентной и b-процентной кислоты, чтобы получить

с-процентный раствор. Пусть а < b, причем : если с < a или c > b, то с-процентный раствор, конечно получить нельзя. Пусть берется х частей первого раствора и у частей второго, то выполняется равенство

,

откуда вытекает соотношение Такой же вывод дает описанная в условии задачи схема

a b - c

c

b c - a

Таким образом, использование схемы вполне обосновано.

Задача 2.

В каких пропорциях нужно сплавить золото 375-й пробы с золотом 750-пробы, чтобы получить золото 500-пробы?

Решение:

Пользуясь старинным способом, получим схему

375 250

500

750 125

Отсюда делаем вывод, что золото 375-й пробы и 750-й пробы нужно сплавлять в отношении 250 : 125 = 2 : 1.

Ответ: 2 : 1

Задача 3.

Имеется 90 г 80-процентной уксусной эссенции. Какое наибольшее количество 9-процентного столового уксуса из нее можно получить?

Решение:

Столовый уксус из эссенции можно получить, разбавив ее водой, т.е. 0-процентным «уксусом». Применяя старинный способ, имеем схему

0 71

9

80. 9

из которой получаем, что 9 частей эссенции нужно разбавить 71 частью воды, т.е. к 90 г эссенции следует добавить г воды. В результате получится г столового уксуса.

Ответ: 800 г

Задача 4.

Сколько пресной воды нужно добавить к 4 кг морской воды, чтобы уменьшить содержание соли в ней в 2,5 раза?

Решение:

Если обозначить через а содержание соли в морской воде и воспользоваться старинным способом, то получится схема

0

а

таким образом, пресную и морскую воду нужно смешать в отношении , а, значит, к 4 кг морской воды нужно добавить 6 кг пресной.

Ответ: 6 кг

Задача 5.

Индийский чай дороже грузинского в раза. В каких пропорциях нужно смешать индийский чай с грузинским, чтобы получить чай дороже грузинского в раза?

Решение:

Если использовать старинный способ, то получится схема

1

Следовательно, грузинский чай с индийским надо смешивать в отношении Для того чтобы обосновать полученный результат, достаточно убедиться в том, что использование старинного способа здесь правомерно. В самом деле, никакой принципиальной разницы нет в том, подсчитывать ли содержание какого-либо вещества в единице смеси или стоимость единицы смеси, т.е. количество денег, уплаченное в среднем за единицу смеси.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным раствором той же кислоты и получили 600 г 15%-ного раствора кислоты. Сколько граммов каждого раствора взято?

2. Сплав меди и цинка содержал 82% меди. После добавления в сплав 18 кг цинка процентное содержание меди в сплаве понизилось до 70%. Сколько меди и сколько цинка было в сплаве первоначально?

3. В 30%-ный раствор серной кислоты добавили 200г воды, после чего чистой серной кислоты в новом растворе стало 25%. Сколько воды и сколько чистой серной кислоты было в растворе первоначально?

4. Сплав олова и меди, масса которого 16 кг, содержит 55% олова. Сколько килограммов олова нужно добавить в сплав, чтобы повысить содержание олова в сплаве до 60%?

5. Смешали 25%-ный раствор серной кислоты с 20%-ным раствором серной кислоты и получили 800 г 23%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора взято?

6. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся сплав содержал 40% меди?

7. Кусок сплава меди с цинком массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?

8. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

9. Один раствор содержит 20% (по объему) соляной кислоты, а второй - 70% этой кислоты. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 л 50%-го раствора соляной кислоты?

Решение задач.

1. 30 5 1) 5 : 15 = 1 : 3-отношение 30%-ого р-ра к 10%-ому

15 2) 600 : 4 = 150(г) масса 30%-ого р-ра

10 15 3) 600 - 150 = 450(г) масса 10%-ого р-ра

Ответ: 150г, 450г

2. 0 12 1) 6 : 35- отношение цинка к массе 82%-ого сплава

70 2) 18 : х = 6 : 35

82 70 х = 105г- масса 82%-ого сплава

3) 105 ∙ 0,82 = 86,1(кг) масса меди

4) 105 - 86,1 = 18,9(кг) масса цинка

Ответ: 86,1кг; 18,9кг

3. 30 25 1) 5 : 1- отношение 30%-ого р-ра к воде

25 2) 200 : х = 1 : 5

0 5 х = 1000(г) масса 30%-ого р-ра

3) 1000 ∙ 0,3 = 300(г) масса серной к-ты

4) 1000 - 300 = 700 (г) масса воды

Ответ: 300г, 700г

4. 55 40 1) 8 : 1-отношение массы 55%-ого сплава к массе олова

60 2) 16 : х = 8 : 1

100 5 х = 2(кг) масса олова

Ответ: 2

5. 25 3 1) 3 : 2- отношение 25%-ого р-ра к 20%-ому

23 2) 800 : 5 = 160(г) масса одной части

20 2 3) 160 ∙ 3 = 480(г) масса 25%-ого р-ра

4) 160 ∙ 2 = 320(г) масса 20%-ого р-ра

Ответ: 480г, 320г

6. 45 40 1) 8 : 1- отношение массы 45%-ого сплава к массе олова

40 2) 12 : 8 = 1,5(кг)

0 5

Ответ: 1,5кг

7. 45 40 1) 40 : 15 = 8 : 3- отношение массы 45%-ого сплава к массе меди

60 2) 8 : 3 = 36 : х

100 15 х = 13,5(кг) масса меди

Ответ: 13,5кг

8. 5 10 1) 10 : 25 = 2 : 5- отношение массы 5%-ого лома к массе 40%-ого

30 2) 140 : 7 = 20(т) масса одной части

40 25 3) 20 ∙ 2 = 40(т) масса 5%-ого лома

4) 20 ∙ 5 = 100(т) масса 40%-ого лома

Ответ: 40т, 100т

9. 20 20 1) 2 : 3- отношение 20%-ого р-ра к 70%-ому

50 2) 100 : 5 = 20(л) объем одной части

70 30 3) 20 ∙ 2 = 40(л) объем 20%-ого р-ра кислоты

4) 20 ∙ 3 = 60(л) объем 70%-ого р-ра кислоты

Ответ: 40л, 60л