Исследовательская работа по математике Пчелиная ячейка как природный математический шедевр из воска

Глазковский филиал имени Героя Советского Союза Н. Н. Шерстова МБОУ Кочетовская СОШ Мичуринского района

Открытая научно - практическая конференция

«Путь в науку»

Секция экономико - математических наук

Исследовательская работа по математике

«Пчелиные соты - это математический

шедевр из воска»

Выполнила ученица 11 Б класса

Зайцева Любовь

Научный руководитель:

учитель математики первой категории

Скрылева Нина Васильевна

Глазок - 2012

Содержание

Стр. Введение 3

Основная часть

Глава 1.Назначение пчелиных сот. 6

Глава 2.Общая конструкция пчелиных сот. 9

Глава 3.Математический анализ строения пчелиных сот. 11

3.1. Заполнение плоскости правильными многоугольниками

без просветов. 11

3.2. Сравнение периметров правильных многоугольников. 13

3.3. Сравнение площадей поверхности и

объемов правильной шестиугольной призмы и пчелиной ячейки. 14

Глава 4. Экономическая выгода пчел при построении сот. 17

Глава 5. Применение принципа пчелиных сот в жизни человека. 18

Заключение 20

Литература 22

Приложение 23

«Только глупец может рассматривать

удивительное строение сот,

столь совершенно приноровленного к известным

целям, не приходя в крайнее изумление».

(Ч. Дарвин)

Введение

Пчелы - удивительные творения природы. Жизнь и деятельность пчел всегда привлекала внимание человека, исследователя своей изумительной красотой, изяществом, трудолюбием и распределением обязанностей между собой. Ведь только пчелы на практике решили задачу строительства ячейки для размещения возможно большего количества меда и экономии воска. Совершенство природы до сих пор не устает удивлять человека, а математика - это уникальное средство познания красоты и природы.

Миллионы лет пчелы строят соты правильной шестиугольной формы. Были найдены окаменелые останки пчелиных ульев возрастом в 100 миллионов лет. (Слово «правильный» подразумевает фигуру, у которой все углы и все стороны равны между собой). Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья. Причем пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, чтобы не было просвета. Как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот». Фото 1.

Много раз, разрезая пчелиные соты ножом, перпендикулярно их ребрам, видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников, уложенных в виде паркета (рис.1). Если провести плоскость параллельно ее боковым граням, то сечение будет таким, как показано на рис.2 (фото 2) У нас возник вопрос: "Почему пчелы строят соты именно так, почему они предпочли сеть правильных шестиугольников, а не правильных треугольников или квадратов, ведь их, казалось бы, гораздо проще сконструировать? Зачем пчелы строят донышки своих ячеек в форме части трехгранного угла, в качестве граней которого служат ромбы. Нельзя ли было поступить проще, сделать дно сот плоским, т. е. обычным правильным шестиугольником? Какая же здесь выгода для пчел?» На все эти вопросы мы постараемся дать ответ в своей исследовательской работе.

Цель - изучить формы пчелиных сот и ячеек, их геометрический принцип построения и доказать с помощью математического анализа, что пчелы отличные «математики, инженеры, архитекторы, экономисты».

Актуальность исследования заключается в объяснении теоретического вывода о том, что в пчелиных ячейках, имеющих форму шестигранника, в основании которой лежит трехгранный угол, наибольшее количество меда при максимальной экономии воска и применения данных выводов в жизни, которые будут достигнуты в результате выполнения работы.

Новизна исследования заключается в использовании математических подходов и методов исследования при выполнении данной работы, получения новых знаний, являющихся результатом исследовательской работы.

Задачи исследования:

1)Изучить литературу по данному вопросу.

2)Познакомиться с геометрическим принципом построения пчелиных сот.

3)Выявить закономерности построения пчелиной ячейки.

4)Провести математический анализ строения пчелиной ячейки.

5)Проанализировать экономическую выгоду построения соты.

6)Рассмотреть использование геометрических закономерностей построения пчелиных сот в различных областях и в жизни человека.

7)Сделать выводы о геометрических способностях пчел.

Объект исследования: пчелиные соты, структурный элемент пчелиных сот - пчелиная ячейка.

Предмет исследования: геометрические принципы построения пчелиных сот.

Гипотеза исследования: Если идеальной геометрической фигурой построения пчелиных сот является шестиугольная призма, в основании которой лежит трехгранный угол, то пчелы хорошие «математики, архитекторы, инженеры и экономисты»

Методы исследования: математический анализ, моделирование, сравнительный анализ.

Теоретическая значимость работы определяется тем, что мы рассматриваем новый вид многогранника - шестиугольную призму, нижним основанием которого является трехгранный угол, гранями которого являются ромбы. Данный вид многогранника не изучается в школьном курсе математики.

Практическая значимость работы показывает, что можно использовать новый вид многогранника в качестве сосуда с наименьшей площадью поверхности и наибольшим объемом, а также использование геометрических закономерностей построения пчелиных сот в различных областях науки и жизни человека.

Глава 1.Назначение пчелиных сот.

Самое удивительное в жизни пчел - строительство восковых сот. Соты -пчелиные постройки из воска для хранения корма и выращивания расплода; являются также гнездом пчелиной семьи. В строительстве сот пчёлы проявляют удивительное мастерство, свидетельствующее о том, что они - прекрасные «математики, архитекторы и строители». Соты состоят из шестигранных ячеек, причём каждая стенка одной служит стенкой для другой.

Ячейки располагаются по обе стороны от общей середины, которая может быть как искусственная, так и изготовленная в заводских условиях (фото 3). Это так называемые вощины - тонкие восковые листы с отпрессованными на них шестиугольниками (донышками ячеек); вощины закрепляют в рамках и вставляют в улей, что облегчает и ускоряет пчёлам постройку сот с ячейками правильной формы, способствует повышению продуктивности пчелиной семьи. Строительный материал - воск - вырабатывают сами же пчёлы. Лучшего материала для сооружения сот, пожалуй, и не придумаешь. В размягчённом состоянии его легко лепить, застывая, он надёжно держит форму и достаточно прочен, долговечен, гигиеничен, не поражается микроорганизмами и не поддаётся разрушительному действию кислорода. Строительные работы пчёлы начинают весной, когда распускаются первые цветы: деятельность восковыделительных желёз активизируется при питании свежим нектаром и пыльцой (фото 4). Первым делом начинается «побелка», или обновление, сот. Сначала надстраиваются ячейки в верхней части сот, куда складывается мёд, который запечатывается восковыми крышечками. Потом идёт ремонт сот, достраиваются ранее недоделанные. Опытный пчеловод в это время спешит: весенние соты - самые ценные, и надо постараться пополнить своё сотовое хозяйство. Пчёл вывозят поближе к цветущей растительности, гнёзда расширяют вощиной. Пчёлы любят просторное гнездо, и от объёма гнезда зависит очень многое в жизни семьи, если учесть, что соты по своему назначению универсальны. Не случайно их по праву считают золотым фондом пасеки, её капиталом.
В естественном гнезде обычно 6-8, реже 10 сот. Они размещаются параллельно, на строго определённом (12,5 мм) расстоянии друг от друга. Пространство между сотами пчеловоды называют улочками: по ним, словно по улицам, свободно перемещаются пчёлы. В пчелином гнезде всё устроено весьма рационально. Вверху - продовольственный склад, где хранится мёд. Под ним, куда через леток свободно поступает свежий воздух, выращивается потомство. В нижней, неосвещённой, части гнезда (под расплодом) всегда остаются свободные, ничем не занятые соты. Это своего рода элеватор, куда пчёлы складывают принесённый нектар. Его здесь подсушивают, обогащают кислотами, ферментами, превращают в мёд. К вечеру «элеватор» заполняется напрыском - свежим жидким мёдом. Но к утру, пчёлы переносят мёд в «склад», и «элеватор» снова освобождается.

Очень удивителен и метод, используемый в строительстве сот: пчелы начинают строить соты одновременно с 2-3 разных точек, и возводят их в 2-3 ряда. Таким образом, большой рой пчел, начиная с разных точек, делает шестиугольники одинаковых размеров, соединяет их и в завершении работы встречается в середине... Шестиугольники соединены настолько профессионально, что внешне невозможно увидеть следов воссоединения сот.

Только пчелы снабжены особыми восковыми железами, которые расположены на четырех последних брюшных полукольцах; через многочисленные отверстия выделяются восковые пластинки. Сто таких пластинок весят всего 25 мг, а в килограмме воска их насчитывается 4 млн. Из этих крошечных восковых пластинок в темноте пчелы строят изумительной красоты восковые закрома для меда и цветочной пыльцы, прочные и уютные кельи для развития потомства. На одну пчелиную ячейку пчелы расходуют 13 мг воска, или 50 пластинок, а на трутневую (мужские особи) - 30 мг воска, или 120 пластинок. Каждый сот состоит из двух рядов шестигранных восковых ячеек, имеющих особую перегородку (средостение), служащую донышком для этих ячеек. Такой сот весит всего лишь 150 г. (Фото 5)

Строительство сот и сбор нектара протекают одновременно и, когда прекращается одно, останавливается и другое. Как только взяток (наличие нектара на цветах) ослабевает настолько, что потребление нектара или меда превышает его поступление, пчелы прекращают строить новые соты, даже если большая часть жилища не застроена.

Вывод: соты предназначены для хранения меда, выращивания расплода и являются гнездом пчелиной семьи.

Глава 2. Общая конструкция пчелиных сот.

Конструкция сот уникальна и совершенна во всех отношениях. Она обеспечивает максимальное использование пространства, общую экономичность и высокую прочность всего сооружения. Пчелы начинают строительство сот со дна ячейки шестиугольной формы, к которой затем с обеих сторон постепенно надстраиваются грани. Добавляя дно ячеек, друг к другу вниз и в стороны и надстраивая по мере увеличения площади основания ячейки, пчелы создают восковое сооружение с общим вертикальным основанием, имеющим шестигранные ячейки с двух сторон.

На этом математические секреты пчел не заканчиваются. Нам стало интересно дальше исследовать строение пчелиных сот. Соты в улье свешиваются сверху вниз наподобие занавесок: пчелы прикрепляют их к потолку смесью воска и пчелиного клея (прополиса). Ячейки уложены в пласты и соприкасаются общими донышками. Но самое неожиданное, мы увидели, что донышки ячеек не плоские, а представляют собой части трехгранных углов, гранями которых являются равные ромбы. На рис. 3 мною изображена пчелиная ячейка в общем виде, а на рис. 4 - ее проекции: вид сверху, спереди и сбоку.

Нам захотелось построить развертку многогранника SABCDEFFMBLDK (одна ячейка сот). Но прежде чем начать построение развертки, нам необходимо рассмотреть чисто геометрически, как получается ячейка.

Сначала мы построим изображение правильной шестиугольной призмы ABCDEFABCДEF . Проведём диагонали FB, BД, FД верхнего основания призмы и на оси призмы ОО возьмём некоторую точку S (рис. 5). Через прямые F B, B Д, FД и точку S проведём три плоскости, которые отсекают от призмы три равные треугольные пирамиды MBFA, BLDC, DKFE. Получившийся многогранник SABCDEFFMBLDK и является пчелиной ячейкой. Поскольку боковая поверхность многогранника представляет собой шесть равных между собой трапеций, то для получения развертки мы построим эти трапеции. Размеры возьмём такие же, как на рис. 4, причем отрезок MS на рис. 4, а - это диагональ ромба в верхней части ячейки. Построим отрезок АА' = АВ + ВС + CD + DE + EF + FA (рис.6). На продолжении ребра CL от точки L отложу отрезок LS и из точки L проведём окружность радиусом, равным, например, отрезку ВL. После этого построим середину отрезка LS, проведём через нее перпендикулярную к нему прямую, которая пересекает дугу окружности в двух вершинах ромба. Два других ромба строим следующим образом: из вершины ромба D′ проводим окружность радиусом, равным стороне построенного ромба, а из вершины S - окружность, радиус которой равен диагонали ромба. Эти окружности в пересечении дают еще одну вершину ромба. Развертка пчелиной ячейки показана на рис. 6. А на рис. 7 можно увидеть, как соприкасаются ячейки в улье; их общая часть является ромбом.

В качестве строительных ориентиров по пространственному размещению сот пчелы используют магнитное поле земли, направление и силу магнитных полей которого они могут воспринимать и запоминать. Поэтому роевые пчелы, строящие соты без вощины, дают им направление такое, какое имели соты в их бывшей семье.

Следовательно, пчелиные соты представляют собой новый вид многогранника - шестиугольную призму, нижним основанием которого является трехгранный угол, гранями которого являются ромбы.

Глава 3. Математический анализ строения пчелиных сот.

3.1. Доказательство заполнения плоскости правильными многоугольниками без просветов.

У нас возник вопрос: «Какими правильными многоугольниками можно заполнить плоскость так, чтобы не было пропусков, т. е. уложить их в виде паркета».(Задача 1)

Выполняя несложные расчеты, мы убедилась, что такими многоугольниками могут быть только правильные треугольники, квадраты или правильные шестиугольники. Действительно, сумма внутренних углов выпуклого n - угольника равна (n - 2)180, где n - число сторон многоугольника. Сумма углов правильных n-угольников, сходящихся в одной вершине паркета, равна 360.

Тогда , т.е.

или, где k - число углов, сходящихся в одной вершине.

Отсюда .

Если n = 3, то к = 6, т. е. в одной вершине паркета могут сходиться 6 правильных треугольников (рис. 8);

если n = 4, то к= 4, т. е. в одной вершине паркета могут сходиться 4 квадрата (рис. 9);

если n = 5, то к = 3,3, т. е. не существует паркета из правильных пятиугольников;

если n = 6, то к = 3, т. е. в одной вершине паркета могут сходиться 3 правильных шестиугольника (рис. 10);

если n = 7, то к = 2,8, т. е. не существует паркета из правильных семиугольников. И так далее.

Теперь мы рассуждаем таким образом: , так как

внутренний угол правильного многоугольника меньше 180,значит,

, или .

По смыслу задачи значения n , k и могут быть только целыми, поэтому 4 делится нацело на n - 2. Следовательно, n = 3, 4, 6.

Итак, мы выяснили, что заполнить плоскость без пропусков можно, используя или правильные треугольники, или квадраты, или правильные шестиугольники.

3.2. Сравнение периметров правильных многоугольников.

Для того чтобы выяснить, почему пчела строит соты, перпендикулярное сечение которых есть правильный шестиугольник, а не правильный треугольник или квадрат, мы рассмотрели задачу на нахождение наименьшего периметра.

Задача 2. Даны три равновеликие друг другу фигуры - правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Какая из данных фигур имеет наименьший периметр?

Решение.

Пусть S - площадь каждой из названных фигур, а - сторона правильного треугольника, а - сторона квадрата, а - сторона правильного шестиугольника.

Тогда S =а - площадь правильного треугольника,

S = а- площадь квадрата, S=а - площадь правильного шестиугольника.

Теперь нетрудно вычислить периметр P каждой фигуры, зная ее площадь:

а=, P =; а = , P =;

а = , P = .

Для сравнения периметров фигур найду их отношение:

P : P : P = .

Отсюда видно, что из трех правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет правильный шестиугольник. Стало быть, мудрые пчелы, экономят воск и время для построения сот.

3.3. Сравнение площадей поверхности и объемов правильной шестиугольной призмы и пчелиной ячейки.

В задаче 2 из равновеликих многоугольников мы выбирали тот, который имеет наименьший периметр. Попробую теперь решить задачу 3. «Из данных равновеликих многогранников (правильная шестиугольная призма и "пчелиная ячейка") найти тот, у которого наименьшая площадь поверхности.»

Решение.

Каждому положению точки S на оси 00 соответствует свой многогранник SABCDEFFMBLDK. Пусть АВ= а, ВВ=b и SO=x, причем 0<x<+∞. Найдём, то значение переменной x, при котором площадь поверхности многогранника-ячейки наименьшая.

Введу функцию Q(x) площади поверхности многогранника - ячейки. Площадь поверхности ячейки состоит из трех равных ромбов и шести одинаковых прямоугольных трапеций. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Найдем эти диагонали.

Из равнобедренного треугольника FBD по теореме косинусов найдем FB. FB= а. Найдем диагональ МS.

Сначала из прямоугольного треугольника SOB, где SO= x, ОB= а, найдем SB= . Из прямоугольного треугольника STB найдем ST:

SB=, TB=0,5 FB= 0,5 а, ST= 0,5, МS= .

S ромба = 0,5 FBМS = 0,5а. Sосн. ячейки = 1,5а.

Найдём площадь одной из трапеций, входящих в боковую поверхность многогранника. Треугольники SOT и MAT равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда, SO = MA. Следовательно, AM = AA- MA = b-x.

Sтрап. = 0,5а(2b- x), Sбок.пов.ячейки = 60,5а(2b- x) = За (2b- x).

Площадь полной поверхности состоит из шести равных трапеций и трех равных ромбов, т. е.

Q(x) = 1,5а + За (2b- x).

Для ответа на вопрос задачи о наименьшей площади поверхности надо найти минимум функции Q(x), заданной на множестве положительных чисел. Найдём критические точки функции Q(x):

Q'(x)=, .

Поскольку 3а + 12х > 0 и по условию x > 0, имею:

= 6х, отсюда . Легко проверить, что при 0 < производная Q'(x) меньше 0, а при производная Q'(x) больше 0. Функция Q(x) непрерывна на всей области определения, других минимумов на интервале (0; + ∞) не имеет, поэтому в точке она

принимает свое наименьшее значение и Q =.

Таким образом, площадь полной поверхности пчелиной ячейки равна . Найдем площадь поверхности правильной шестиугольной призмы с теми же размерами: Sосн. = 3a , Sбок. = 6ab, Qполн. = .

Вывод: площадь поверхности пчелиной ячейки меньше площади поверхности шестигранной призмы. Это тоже говорит об экономических способностях пчел.

Чтобы сравнить объемы шестиугольной призмы и пчелиной ячейки мы вернулись к ячейке-многограннику на рис. 5. Объем многогранника SABCDEFFMBLDK равен объему правильной шестиугольной призмы ABCDEFABСДEF. Объем пирамиды BDFS равен утроенному объему одной из равных пирамид FBOS, BDOS, SDFO. Пирамиды MAFB и SOBF равны (они симметричны относительно точки T). Итак, объемы пчелиной ячейки и правильной шестиугольной призмы ABCDEFABСДEF равны.

Вывод: объемы шестиугольной призмы и пчелиной ячейки равны.

Значит, пчелы расчетливые «геометры», т.к. строят соты с наименьшей площадью поверхности, имея при этом одинаковый объем с шестиугольной призмой.

Глава 4. Экономическая выгода построения пчелиных сот.

Я продолжаю искать ответы, на вопросы, поставленные нами в начале работы: «Почему пчелы строят донышки своих ячеек в форме части трехгранного угла, в качестве граней которого служат ромбы. Нельзя ли было поступить проще, сделать дно сот плоским, т. е. обычным правильным шестиугольником? Какая же здесь выгода для пчел?»

На протяжении всей истории внимание многих людей привлекала необычная архитектура пчелиных сот. Они состоят из довольно тонких, близко расположенных друг к другу шестиугольников, стенки которых составляют примерно 0,1 мм. Отклонение от этой усредненной величины может быть не более 0,002 мм. Для того чтобы разглядеть в строительстве сот экономическую выгоду, найду разность площадей поверхности правильной шестиугольной призмы и пчелиной ячейки. В Главе 3.3. мы рассматривали площадь поверхности Q(x) правильной шестиугольной призмы ABCDEFABСДEF, которая равна и площадь поверхности Q (x) соответствующей пчелиной ячейки - . Разность площадей Q(x) - Q(x) = . И так, пчелиная ячейка имеет такой же объем, как и правильная шестиугольная призма, а так как площадь ее поверхности меньше площади поверхности призмы, то остается удивляться экономности пчел. Благодаря такой "математической" работе расчетливые "геометры" экономят около 2 % воска. Количество воска, сэкономленного при постройке 54 ячеек, может быть использовано для одной такой же.

Глава 5. Применение принципа пчелиных сот в жизни человека.

Принцип «пчелиных сот» широко используется в архитектурных ансамблях всего мира, в строительстве гигантских сооружений, в создании новых дизайн - проектов.

Конструкция пчелиных сот легла в основу изготовления панелей для строительства жилых зданий, однако в дальнейшем, с целью экономии материала, конструкторы стали собирать панели из одного элемента - треугольника с продленными сторонами. При сборке получается сотовая конструкция, но без двойных стенок. Весьма успешно используют принцип пчелиных построек и гидростроители - при возведении плотин, шлюзов и других гидросооружений они применяют сотовые каркасы.

В Лондоне построили дом в форме пчелиных сот (фото 6). Лондонские пчелки, безусловно, обрадовались бы возможности жить в зеленом сооружении, но на самом деле оно предназначено для людей. Покрытая зеленью, эта сотовидная башня является отчасти вертикальной фермой, а отчасти жилым зданием. А вместе они образуют экологическую мини-систему. Комплекс под названием London Tower Farm, спроектированный мексиканской компанией Xome Arquitectos, собирает дождевую воду, вырабатывает электроэнергию и выращивает пищу для своих жителей. Полностью самодостаточное здание!

Стул Zpine Lounge Chair был сконструирован британским дизайнером Eric Tong и уже успел завоевать две награды в области мирового дизайна: Shell LiveWIRE Grand Ideas Award 2010 и One Good Chair International Design Competition 2010. Его производство основано на инновационной технологии и новом способе использования материалов - в виде пчелиных сот. Разработчики считают, что такая «клеточная структура» была недооценена современной промышленностью. «Мебельные» соты являются высокопрочным, дешевым в производстве и легко разлагаемым биохимическим материалом. Разработчики используют дерево, металл, картон и даже бумагу для создания «клеточной структуры» (фото 7).

На недавно прошедшей в Сан-Франциско выставке Intersolar компания SolarOr из Израиля представила уникальные прозрачные солнечные панели, предназначенные для интеграции в фасады домов. Посетителям выставки приглянулся необычный дизайн этих панелей, прообразом для своих батарей израильские ученые выбрали сложную форму пчелиных сот (фото 8).

В современной сотовой телефонной связи сельские и городские области разделены на участки согласно определенным принципам обеспечения. Параметры развертывания, такие как количество раскола соты и размер соты, определены инженерами, испытаны в архитектуре сотовой системы связи. Обеспечение для каждого региона запланировано согласно техническому плану, который включает соты, группы сот и частоты. Кластер - группа сот. Каналы совместно используются в пределах группы. Рисунок 11 иллюстрирует кластер с семью сотами.

Таким образом, люди широко используют форму пчелиных сот в своей жизни, нано и экотехнологиях.

Заключение

В течение длительного времени мы исследовали строение пчелиных сот. Изучали соты и основной структурный элемент сот - пчелиную ячейку: в улье, в рамке, в гнездах пчел, расположенных в различных местах (на деревьях, на чердаке дома, в старом улье) (фото 9 и 10). Проводили наблюдение целиком, в срезе, под увеличительным стеклом. Выполняли чертежи разверток пчелиной ячейки, делали моделирование соты, сравнивали моделированную ячейку с ячейкой пчелиной соты. Изучили литературу по данной теме, провели математические расчеты. В результате всей проделанной работы мы сделали следующие выводы:

1) Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет, поскольку они заполняют пространство так, что не остается просветов.

2) Шестигранная форма соты - наиболее устойчивая форма в смысле распределения нагрузок, оптимальная природная форма. Таким образом, пчелы идеальные архитекторы.

3) При условии одинаковой площади многоугольников наименьший периметр имеет правильный шестиугольник. Таким образом, только используя данную фигуру в построении сот, пчелы максимально сокращают расход воска.

4) Пчелы строят донышки своих ячеек в форме части трехгранного угла, в качестве граней которого служат ромбы. Общая часть соприкосновения ячеек в улье является ромбом. Это говорит о том, что пчелы отличные математики.

4) Объемы пчелиной ячейки и правильной шестиугольной призмы равны, но у «пчелиной ячейки», - наименьшая площадь поверхности, что выгодно с экономической точки зрения.

5) Принцип «пчелиных сот» широко используется в архитектурных ансамблях всего мира в строительстве гигантских сооружений, в создании новых дизайн - проектов, эко и нанотехнологиях.

Значит, гипотеза, выдвинутая мною в исследовательской работе, полностью подтвердилась.

Так с помощью геометрии и математического анализа мы прикоснулись к тайне математических шедевров из воска, еще раз убедившись во всесторонней эффективности математики.

Литература

1. Васильева Е.Пчелы. М.; Молодая гвардия,1988

2. Гнеденко Б. В.Математика и математическое образование в современном мире. М.: Просвещение, 1985.

3. Еленъский Щ. По следам Пифагора. М.: Детгиз, 1961.

4. Зарецкий Н.Н.Пособие для начинающего пчеловода.М.:Знание,1995.

3. Колмогоров А. Н. Паркеты из правильных многоугольников // Квант. 1976. № 3.

4. Левитин К Геометрическая рапсодия. М.: Знание, 1976.

5. Халифман И.А. Пчела и улей. М.; Колос,1989

6. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. М.: Наука, 1981.

7. Халифман И.А. Пчела и улей. М.; Колос,1989

8. images.yandex.ru

9. vzavtra.net

10. liveplanblog.ru

Приложение.

Фотографии:

Фото 1

Фото 2

Фото 3

Фото 4

Фото 5

Фото 6

Фото 7

Фото 8

Фото 9

Фото 10

Рисунки:

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11