Урок по теме Квадратные уравнения

ТЕМА УРОКА: квадратные уравнения.

ЦЕЛЬ УРОКА: систематизировать, обобщить и расширить знания и умения учащихся по теме; формировать вычислительные навыки, способствовать формированию у учащихся желания и потребности обобщения изучаемых фактов; развивать самостоятельность и творчество; прививать любовь к предмету.

ТИП УРОКА: обобщение и систематизация знаний

ФОРМА ПРОВЕДЕНИЯ: урок- соревнование

ОБОРУДОВАНИЕ: тест «Квадратные уравнения», карточки для самостоятельной работы; таблицы, опорный конспект

ЭПИГРАФ

Посредством уравнений, теорем Я уйму всяких разрешил проблем

ГОСЕР

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Слово учителя

В классе выбираем 2 команды «Дискриминант» и «Корень» и 2 группы болельщиков.

В каждой команде выбираем капитана. В каждой группе выбираем ведущего.

Слово ведущего.

Чтобы найти все множество корней,

Дискриминант ты вычислить сумей.

Нужно только очень постараться:

В квадрат минус 4ас Быстро мы тепер находим:

Минус в плюс-минус Д под корнем,

Делим на 2а - и будь таков!

Уравнения ответ готов!

2. Разминка команд. Тест «Квадратные уравнения»

Каждый участник получает лист с вопросами теста.

ЗАДАНИЯ ТЕСТА
В-1

1. Квадратным уравнением называется уравнение вида , где а, b, с- числа, а

, х - ....

2. Уравнение х = а, где a >0 , имеет корни: x = , x =....

3. Уравнения ах = 0, где а0, называется квадратным уравнением.

4. Уравнение ах+bх =0, где а =0, b =0 называется квадратным уравнением.

5. Если ах+bх+с=0 квадратное уравнение (а0) , то b называют …… коэффициентом.

6. Корни квадратного уравнения ах+bх+с=0 вычисляют по формуле x=

7. Приведенное квадратное уравнение х+рх +g =0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а =...., b=…, с =....

8. Если x и x- корни уравнения х+рх +g =0, то справедливы формулы x+ x =…

x* x=…..

В-II

1. Если ах+bх+с=0 квадратное уравнение, то a называют …… коэффициентом, c - …. членом.

2. Уравнение х=а, где а <0 не имеет ……

3. Уравнение вида ах+с =0, где аО, с0 называют ……… квадратным уравнением.

4. Корни квадратного уравнения ах +bх +с =0 вычисляют по формулам

5. Квадратное уравнение ах+bх+с=0 имеет два различных действительных корня, если

b-4ac….

6. Квадратное уравнение вида x+px+g=0 называется …..

7. Сумма корней приведеного квадратного уравнения равна коэффициенту,

взятому с знаком, произведения корней равно члену.

8. Если таковы р, g, x , x, что x+ x= -р, x* x= ….. , то x и x- корни уравнения.

После заполнения пропусков тексты собираются на проверку.

III. Блицтурнир.

1. Определить вид уравнения. Какие из уравнений этой группы являются лишними?

Ответы:

А) 3 - лишнее, так как это полное квадратное уравнение 1,2,4- неполные квадратные уравнения

Б) 2 - лишнее, так как это уравнение общего вида 1, 3, 4 - приведенные квадратные уравнения

2. Не решая уравнения, найти корни

2. Какие из уравнений не имеют корней?

4. Кто первый?

Задание командам.

1. Найти дискриминант и определить число корней:

а). 4х+4х+1=0

б). 5х-22х-15=0

в). 2а=-3а+1

г). 6х=-3х-1

2. Решите уравнения

а). х-6х+8=0

б). 5х-8х-4=0

в). (х+3) =2х+6

г).

д). 3х(5х+3)=2х(6х+5)+2

4. Конкурс болельщиков.

1 . Как можно решить приведенное квадратное уравнение?

2. Сформулировать теорему Виета. Использование таблицы.

x+px+g=0

x+ x= -р

x* x= g

2. Как используется теорема Виета при решении квадратного уравнения общего вида ах+bх+с=0, а0 Использование таблицы

ах+bх+с=0, а0

х+х+=0

ГИМН ТЕОРЕМЫ ВИЕТА

По праву достойна в стихах батъ воспета
О свойствах корней теорема Виета
Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни - и дробь уж готова?

В числителе с, в знаменателе а,

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь, что за беда!

В числителе в, а в знаменателе а.

Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите сумму коэффициентов.

Таблица 1.

1) х-5х+1=0

2) 9х-6х+10=0

3) х+ 2х - 2=0

4) х-3х - 1=0

5) х+ х - 2=0

6) х+ 2х -3=0

7) х-3х+2=0

8) 5х-8х+3=0

1) 1 - 5 + 1=-3

2) 9-6+10=13

3) 1+ 2 - 2=1

4) 1-3 - 1=-3

5) 1+ 1 - 2=0

6) 1+ 2 -3=0

7) 1-3+2=0

8) 5-8+3=0

Закономерность (уравнение № 5 - 8)

1. первый корень 1;

2. второй корень с или

3. сумма коэффициентов равна 0

Итак, корни в уравнениях № 5-8 равны:

5. х= 1, х = -2

6. х= 1, х = -3

7. х = 1, х = 2

8. х = 1, х =

9. Вывод. Если в уравнении аx+bx+с=0, а+b+с=0 то один из корней равен 1, а второй ; если а-b+с =0, то х= -1, х = -

Вывешивается таблица:

аx+bx+с=0

а+b+с=0

х= 1, х =

если a=1 то

х= 1, х = с

аx+bx+с=0

а - b+с=0

х= -1, х = -

если a=1 то

х= 1, х = -с

Каждая команда и болельщики выполняют задания под девизом «Оперативно и быстро».

Задание. Найти корни.

Команда 1

х+23х - 24=0

2х+х - 3=0

-5х+4,4х + 0,6=0

х+5х + 4 =0

2х+5х + 3 =0

Ответы

х= 1, х = -24

х= 1, х =-

х= 1, х =-0,12

х= -1, х = -4

х= -1, х =-

Закономерность таблицы 2 (уравнения 1-4)

5х-х-6=0

х+3х+2=0

2х-3х - 5=0

х-4х - 5=0

a-b+c

5+1-6=0

1-3+2=0

2+3-5=0

1+4-5=0

1. первый корень - 1

2. второй корень - c, или -

3. a-b+c=0

Итак, корни в равнения №1-№4

1. х= -1, х =

2. х= -1, х = -2

3. х= -1, х =

4. х= -1, х = 5

4. Не решая уравнения х- 6х+5=0, найти:

1. сумму корней

2. произведение корней

3. квадрат суммы корней

4. удвоенное произведение

5.

6. подобрать корни

5. Найти сумму и произведение корней следующих уравнений (х+ х, х* х)

х+х-6=0

х- 9х+14=0

2х-5х+18=0

3х+15х+1=0

6. Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни: х= -3, х = 1

х= -3, х =1, х+ х =-3+1=-2, p=-( х+ х)=2

х* х = g, х* х = -3, g=-3

x+px+g=0

x+2x-3=0

Подведение итогов.

4. Конкурс капитанов.

1. При каких значениях а можно представить в виде квадрата двучлена выражение?

А) х+ах+9

⁷

Б) двучлен 2а-1,6а равен трехчлену 1,8а+0,4а+5

СЛОВО УЧИТЕЛЯ.

Мы с вами решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена (на первых уроках); по формуле корней; с помощью теоремы Виета - и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Сегодня мы вспомним еще один способ решения квадратных уравнений, который позволяет устно и быстро находить корни квадратного уравнения.

4. Конкурс «Экскурсия в историю»

История возникновения квадратных уравнений.

2. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени, еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. в Вавилоне.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятия отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

2. Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика Хвист. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая,

Всласть поевши, развлекалась
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась
А 12 по лианам
Стали прыгать, повисая.

Сколько было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знаком с двузначностью корней квадратных уравнений

2. Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII в.в.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной 1202г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х+bх=с было сформулировано в Европе лишь в 1544г. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни.

Итальянские математики XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в.благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

4. Награждение победителей.

5. Домашнее задание

Выучить §20,22

Решить № 1022, 1032