Тема урока РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

Тема: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ,

СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Модуль (абсолютная величина) числа, уравнение, неравенство, числовой промежуток

Вам известно, что модуль или абсолютная величина числа, а обозначается символом:

Также вы знаете, что

Аналогично определяется модуль функции, а именно:

Например:

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, используем следующий алгоритм:

1. выражение, содержащееся под знаком модуля, приравниваем к нулю и решаем уравнение

2. используя найденные корни, разбиваем числовую ось на промежутки

3. исходное уравнение решаем для каждого промежутка по отдельности, причём знак абсолютной величины опускаем на основе определения модуля

4. проверяем принадлежность решения рассматриваемому промежутку

5. найденные решения уравнений будут корнями исходного уравнения

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Решим уравнение:

Решение. Сначала решим уравнения , затем отметим на числовой оси полученные корни: и

Тогда имеем четыре числовых промежутка: и

Решим данное уравнение (1) на каждом из этих промежутков.

1. На промежутке по определению абсолютной величины: Следовательно, на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению: , имеющему единственный корень:. Этот корень не принадлежит промежутку . Следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке не имеет корней.

2. На промежутке по определению абсолютной величины: Следовательно, на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению , имеющему единственный корень: . Этот корень не принадлежит промежутку, следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке корней не имеет.

3. На промежутке по определению абсолютной величиныСледовательно, на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению , имеющему единственный корень: . Этот корень принадлежит промежутку , следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке имеет единственный корень, равный единице.

4. На промежутке по определению абсолютной величины: Следовательно, на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению: , имеющему единственный корень: . Этот корень не принадлежит промежутку , следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке не имеет корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень .

Пример 2. Решим уравнение:

Решение. Сначала приравниваем нулю выражение, которое под знаком модуля: . Это уравнение приимеет корень. Этот корень будет точкой разбиения числовой оси. Ещё одной точкой разбиения является точка , в которой теряется смысл выражения под знаком модуля.

Этими двумя точками, и , числовая ось разбивается на следующие три промежутка:

Решим исходное уравнение на каждом из этих промежутков:

1. На промежутке по определению абсолютной величины: Следовательно, данное уравнение равносильно уравнению , которое не имеет корней. Следовательно, исходное уравнение на это промежутке не имеет корней.

2. На промежутке по определению абсолютной величины: Получим уравнение, которое имеет единственный корень: х = 0.

3. На промежутке по определению абсолютной величины: Следовательно, исходное уравнение, как и в первом случае, не имеет корней на этом промежутке.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Пример 3. Решим неравенство:

Решение. Решаем уравнение и . Получим и . Этими двумя точками числовая ось разбивается на три промежутка

- 2 3 х

Рассмотрим данное неравенство на каждом из полученных промежутков:

1. принеравенство принимает вид:

или , т.е. решениями данного неравенства являются значения х, удовлетворяющие системе неравенств:

Отсюда,

- 2 х

2) приисходное неравенство принимает вид: или

Следовательно, решениями исходного неравенства являются значения х, удовлетворяющие системе неравенств: , а именно

2. приисходно неравенство принимает вид: или , другими словами, решениями являются значения х, удовлетворяющие системе неравенств: т.е.

Таким образом, в итоге решением данного неравенства будут значения х, удовлетворяющие неравенствам: и , т.е. промежутки

Ответ:

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1. Решите уравнение Ответ:

2. Решите уравнение Ответ:

3. Решите уравнение Ответ:

4. Решите уравнение Ответ:

5. Решите уравнение Ответ:

6. Решите уравнение Ответ: 1

7. Решите уравнение Ответ:

8. Решите неравенство Ответ:

9. Решите неравенство Ответ:

10. Решите неравенство Ответ: