Внеклассное мероприятие Виртуальная экскурсия в мир замечательных кривых

Корзунова Раиса Ивановна

Виртуальная экскурсия в мир замечательных кривых

Учитель

Как прекрасен мир вокруг нас! Мы каждый час, каждый миг можем восхищаться красотой лилового восхода солнца, пеним птиц, радужным оттенком росы на лугу, радугой над родным домом. Это все моя Родина! А еще прекраснее осознавать неразрывную связь окружающего мира с математикой. Природа без математики не существует. А как удивителен мир чисел, линий, фигур! Мы сегодня совершим виртуальную экскурсию в мир загадочных линий, замечательных кривых. Наши экскурсоводы познакомят вас с красотой, изяществом и применением линий, открытых великими учеными. Каждая из этих линий рождена в природе, поражает своей неповторимостью и практичностью.

Экскурсовод 1 (слайды 2-5)

Циклоида

Давайте вспомним раннее детство, свой любимый велосипед и яркие оранжевые пластмассовые катафоты - светоотражатели своего велосипеда, прикрепляющиеся к спицам велосипедного колеса Давайте сегодня прикрепим катафот к самому ободу колеса и проследим за его траекторией. Полученные кривые принадлежат семейству циклоид. Колесо при этом называется производящим кругом (или окружностью) циклоиды. XVII век - это век циклоиды. Лучшие учёные изучали её удивительные свойства. Какая траектория приведёт тело, движущееся под действием силы тяжести, из одной точки в другую за кратчайшее время? Это была одна из первых задач той науки, которая сейчас носит название вариационное исчисление. Через две данные точки можно провести единственную циклоиду с условием, что в верхней точке находится точка возврата циклоиды. И даже когда циклоиде приходится подниматься, чтобы пройти через вторую точку, она всё равно будет кривой наискорейшего спуска. В то время учёные не имели роскоши заниматься науками из любви к искусству. Задачи, которые изучались, исходили из жизни и запросов техники того времени. Христиан Гюйгенс сделал циклоидальный маятник, и часы с ним проходили испытания в морских путешествиях, но не прижились. Впрочем, так же, как и часы с обычным маятником для этих целей.

Экскурсовод 2 (слайды 6-9)

Спираль Архимеда

Безобидная воронка, образованная вытекающей из ванны водой; свирепый смерч, опустошающий всё на своём пути; величественный круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик - все они имеют форму спиралей.
Одну из первых спиралей, описанную Архимедом, нам продемонстрирует светлячок. Отправим его в путешествие вдоль секундной стрелки часов, полагая, что он будет перемещаться с постоянной скоростью, не обращая внимания на равномерное движение стрелки часов по кругу. Через минуту жучок будет на расстоянии 60v см от центра, через две - 120v см и т.д. Вообще, через t секунд после начала пробега расстояние жучка от центра будет равно vt см. За это время стрелка повернется на угол, содержащий 6 t° ( за одну секунду она успевает повернуться на угол 360°:60 = 6°). Приладим к нашему бегуну маленькую, но неистощимую баночку с черной краской и допустим, что краска, вытекая через крошечное отверстие, оставляет на бумаге след от уносимого вместе со стрелкой жучка. Тогда на бумаге будет постепенно вырисовываться кривая, впервые изученная Архимедом (287 - 212 до н.э.). В его честь она называется спиралью Архимеда. Нужно только сказать, что у Архимеда не было речи ни о секундной стрелке (тогда и часов с пружиной не было: их изобрели только в XVII в.), ни о жучке. Мы рассуждаем так для наглядности. Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре циферблата, и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов.

Вы, наверное, слышали, что с помощью циркуля и линейки невозможно разделить на три равные части наудачу взятый угол (в частных случаях, когда угол содержит, например, 180°, 135° или 90°, эта задача легко решается). А вот если пользоваться аккуратно начерченной архимедовой спиралью, то любой угол можно разделить на какое угодно число равных частей. То есть, для решения задачи трисекции угла можно использовать архимедову спираль.

Экскурсовод 3 (слайды 10-12)

Логарифмическая спираль

Рассмотрим ещё одну удивительную спираль, которую на сей раз нарисуют три светлячка. Пусть находящиеся друг от друга на равном удалении, т.е. в вершинах правильного треугольника, жучки А, В и С решили познакомиться друг с другом. А направился прямиком к В, В - к С, С - к А. Путешествуя с постоянной скоростью, в любой момент времени светлячки будут располагаться в вершинах правильного треугольника, подобного исходному. Каждый светлячок при этом очертит дугу логарифмической спирали.

Архимедову спираль описывает точка, движущаяся вдоль луча («бесконечной стрелки») так, что расстояние от начала луча возрастает пропорционально углу его поворота: r = ka. Логарифмическая спираль получится, если потребовать, чтобы не само расстояние, а его логарифм возрастал прямо пропорционально углу поворота.

Почему ракушка наутилус имеет этот странный и элегантный вид? Начало исследования этой спирали должно быть связано с навигацией. На протяжении XVI и XVII веков тысячи судов бороздили океаны. Мореплаватели знали, что на поверхности Земли кратчайшее расстояние между двумя точками дает дуга окружности. Но чтобы двигаться по такой дуге следует непрерывно менять направление движения. Поэтому этот оптимальный курс заменяли другим, таким, чтобы угол, под которым корабль пересекал все меридианы, был постоянным. Этот курс оставался постоянным. Траектории такого вида образуют на земной поверхности кривые, которые называются локсодромами. Однако моряки не работали на сфере, их карты были плоскими, они представляли собой проекции сферы. Ну а проекция сферы на плоскость преобразует локсодрому на ней в логарифмическую (или равноугольную) спираль. Другое название этой кривой - геометрическая спираль. Первым, кто описал ее как механическую кривую, в отличие от кривых алгебраических, был Декарт (1638 г). Однако отцом этой спирали, по всей справедливости, является Якоб Бернулли, который ее полностью изучил и которого она настолько заворожила, что он просил изобразить ее на его могиле на кладбище в Базеле с надписью «Eadem mutata resurgo» (Измененная, я воскресаю). Каменотес не был хорошим математиком и он вырезал на камне практически идеальную архимедову спираль.

Логарифмическая спираль, несомненно, является спиралью, которая наиболее часто встречается в природе. Царство животных предоставляет нам примеры спиралей раковин улиток и моллюсков. Все эти формы указывают на природное явление: процесс накручивания связан с процессом роста. В самом деле, раковина улитки - это не больше, не меньше, чем конус, накрученный на себя. Рога жвачных животных тоже, но они к тому же витые. И хотя физические законы роста у разных видов различны, математические законы, которые управляют ими, одинаковы: все они имеют в основе геометрическую (логарифмическую) спираль. Галактики, штормы и ураганы дают впечатляющие примеры логарифмических спиралей. И наконец, в любом месте, где есть природное явление, в котором сочетаются расширение или сжатие с вращением, поневоле появляется логарифмическая спираль. В растительном мире примеры еще более бросаются в глаза, потому что у растения может быть бесконечное число спиралей, а не только одна спираль у каждого. Расположение семечек в любом подсолнечнике, чешуек в любом ананасе, да и другие разнообразные виды растений, простые ромашки дают нам настоящий парад переплетающихся спиралей. Если мы посмотрим сверху на любую сосновую шишку, увидим, что ее семена располагаются в виде большого числа спиралей. И это неслучайно. Это не совпадение. Семена расположены оптимально, т. е. максимально используют пространство, и эта оптимизация пространства достигается за счет расположения по спирали. Галактики, магнитное поле Солнца, созвездия, туманности, ракушка улитки, отпечатки пальцев, хобот слона, паутинки некоторых пауков, рога некоторых видов коз, сердцевина подсолнуха, некоторые окаменелости - все это создано и создается в форме спирали. Из многих свойств логарифмической спирали, отметим одно: любой луч, выходящий из начала, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом.

Золотая спираль, которая является разновидностью логарифмической (или изогональной) спирали, не имеет границ и является постоянной по форме. Из любой точки спирали можно двигаться бесконечно или в направлении внутрь, или наружу. Центральная часть логарифмической спирали, рассмотренная через микроскоп, имела бы тот же облик, что и самая широкая видимая ее часть на удалении многих световых лет. Хвост кометы раскручивается от солнца в форме логарифмической спирали. Паук прядет свою паутину в виде логарифмической спирали. Бактерии размножаются в логарифмической прогрессии, которую можно начертить в виде логарифмической спирали. Метеориты, врезаясь в поверхность Земли, формируют впадины, которые соотносятся с логарифмической спиралью. Даже человеческий палец, который составлен из трех фаланг, находящихся по отношению друг к другу в Золотой пропорции, принимает спиральную форму умирающего листа, когда сжимается.

Экскурсовод 4 (слайды 13)

Улитка Паскаля

Следующим представителем семейства замечательных кривых является улитка Паскаля. Эта чудесная кривая была открыта французским математиком Этьеном Паскалем (отцом знаменитого ученого Блеза Паскаля). Улитку Паскаля можно построить, если взять точку не самой катящейся окружности, а внутри неё, сместив в сторону от центра.

Улитка Паскаля применяется для вычерчивания профиля эксцентрика, если требуется, чтобы скользящий по профилю стержень совершал гармонические колебания. Такие механизмы отличаются плавностью возвратно-поступательного движения стержня (в механике автомобилей)

Экскурсовод 5 (слайды 14-17)

Кардиоида

Кардиоида (от греч. «кардиа» - «сердце») является одной из улиток Паскаля, названного в честь французского математика Э.Паскаля, который впервые рассмотрел и изучил этот класс кривых. Давайте выполним следующее практическое задание. Вырежьте два одинаковых картонных круга. Один из них закрепите неподвижно. Второй приложите к первому, отметьте на его краю точку, наиболее удаленную от центра первого круга. Понаблюдаем за какой-нибудь точкой окружности, которая катится (без скольжения) по внешней стороне неподвижной окружности равного радиуса. Траекторией этой зафиксированной точки будет кардиоида. Она немного напоминает форму сердца. В технике эта кривая используется для формы кулачковых механизмов.

Экскурсовод 6 (слайды 18-19)

Кривая Коха

В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательных. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с колоссально большой скоростью. Поиски данных кривых были вызваны не просто праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М.Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом объясняла движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую. Кривая Коха примечательна тем, что она непрерывна. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.

Процесс построения кривой Коха выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т.д.. Предельная кривая и есть кривая Коха, которая не имеет самопересечений. Снежинку Коха можно построить на сторонах равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике каждая сторона делится на три равные части и на средних отрезках сторон строятся наружу равносторонние треугольники. Эту операцию повторяют бесконечное число раз для каждого из отрезков ломаной, получившегося на предыдущем шаге.

Итог экскурсии

Учитель

Применение замечательных кривых широко распространено. Эти удивительные кривые применяют в производстве, строительстве, военном деле. Они поистине замечательны своими свойствами и творческими делами. Трудно себе представить мир без этих кривых, хотя они так незаметны для нашего повседневного взора.

Жизнь не остаётся на месте, появляются новые проблемы, необходимость их решения. Математика не остаётся к этому безучастной. Нередко при этом оказывается, что разработанных ранее методов недостаточно и требуются новые приёмы исследования, новые методы.

Для прогресса математики в наше время имеются достаточно серьёзные основания, поскольку человечество перешло в новую фазу развития естественных наук и серьёзного обновления инженерной мысли. К науке предъявили свои требования новые области исследований и практической деятельности - электронная оптика, овладение космическим пространством, использование и изучение атомных процессов, прогресс и эксплуатация электронной вычислительной и информационной техники, нанотехнологии. Возможно, кто-то из вас сделает свое открытие, пополнит мир замечательных кривых. Творческих поисков вам и удач!