Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам

Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:


Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.


утверждено на заседании ЦМК ОПД

протокол №1о от 16.05.2014 г.






Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. МСО 1 курс Балаковский медицинский колледж / Ожго Н.В. - Балаково: БМК, 2014. - 20с.



Данные методические рекомендации являются неотъемлемой частью учебного процесса по геометрии, в частности по стереометрии. Они помогут наиболее рационально использовать предлагаемые наглядные пособия, организовать работу с ними на уроках.

Пособие предназначено для студентов 1 курса МСО Балаковского медицинского колледжа.








© Балаково

БМК

2014













Методические рекомендации к решению задач стереометрии

Методика решения задач по стереометрии

I. Можно выделить следующие основные задачи, решаемые при изучении стереометрии:

1)развитие и закрепление содержательных линий, начатых в неполной средней школе; обобщение основных математических методов на случай пространства;

2)изучение основных свойств пространственных фигур;

3)овладение навыками изображения пространственных фигур на плоскости на основе свойств параллельного проектирования;

4)развитие логического мышления, пространственных представлений учащихся при решении задач и доказательстве теорем курса стереометрии.

В изучении стереометрии можно выделить два основных этапа:

) Систематический курс стереометрии (10-11 классы).

Систематический курс стереометрии, на изучение которого отводится приблизительно по 70 часов в десятом и одиннадцатом классах, предусматривает рассмотрение следующих тем:

1.Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.

2.Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

.Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

.Координаты, векторы, геометрические преобразования в пространстве.

.Многогранники.

.Тема вращения.

.Площадь поверхностей и объем геометрических тел.

.Изображение пространственных фигур на плоскости.


Параллельность прямых, прямой и плоскости

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.


Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.


Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.





























Взаимное расположение прямых в пространстве




Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.



Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.



























Параллельность плоскостей




Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.














Тетраэдр и параллелепипед



Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.

Перпендикулярность прямой и плоскости


Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.


Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.



























Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью


Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.


Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.







Двугранный угол.

Перпендикулярность плоскостей



Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.


Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.


Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.


































Понятие многогранника

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.


Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.



























Пирамида

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.










Правильные многогранники



Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.

Вектор в пространстве.

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.










Сложение и вычитание векторов.

Умножение вектора на число.


Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.







Компланарные вектора


Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.




Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.



Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.

























Площадь поверхности пирамиды и круглых тел

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.


Задача №1

Точка A лежит в плоскости α , ортогональная проекция отрезка AB на эту плоскость равна 1, AB = 2 . Найдите расстояние от точки B до плоскости α .
Решение

Пусть B1 - ортогональная проекция точки B на плоскость α . Тогда BB1 - перпендикуляр к плоскости α , AB1 - ортогональная проекция отрезка AB на плоскость α , а расстояние от точки B до плоскости α равно длине отрезка BB1 . Прямая BB1 перпендикулярна плоскости α , поэтому треугольник ABB1 - прямоугольный. По теореме Пифагора

BB1 = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам..


Ответ

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. .


Задача №2

Найдите сумму углов, которые произвольная прямая образует с плоскостью и прямой, перпендикулярной этой плоскости.
Решение

Докажем, что указанная сумма равна 90o . Если обе прямые перпендикулярны данной плоскости либо одна из прямых перпендикулярна плоскости, а вторая параллельна этой плоскости, то утверждение очевидно. Пусть одна из прямых перпендикулярна данной плоскости, а вторая не перпендикулярна и не параллельна этой плоскости. Через точку A данной плоскости αпроведём прямую l1 , параллельную данной прямой l , и прямую p1 , параллельную данной прямой p , перпендикулярной плоскости α . Через пересекающиеся прямые l1 и p1 проведём плоскость β . Плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой m , проходящей через точку A . Пусть n - произвольная прямая плоскости α , перпендикулярная прямой m . Тогда прямая nперпендикулярна двум пересекающимся прямым p1 и m плоскости β . Значит, m Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. β . Из произвольной точки B , отличной от A и лежащей на прямой l1 , опустим перпендикуляр BM на прямую m . Тогда прямая BM перпендикулярна двум пересекающимся прямым m и n плоскости α . Поэтому BM Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. α . Значит, AM - ортогональная проекция прямой l на плоскость α , а BAM - угол прямой l1 с этой плоскостью. Так как прямые BM и p перпендикулярны одной и той же плоскости α , то BM || p . Поэтому угол между прямыми p и l равен углу между прямыми l1 и BM , т.е. углу ABM . Из прямоугольного треугольника ABM находим, что

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. BAM + Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. ABM = 90o.

Ответ

90o .

Задача №3

Дана пирамида АВСD (см. рис.). Известно, что
Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.ADB = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.DBC;
Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.ABD = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.BDC;
Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.BAD = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.ABC.
Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника АВС равна 10 см2.

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.


Решение

Используя признаки равенства треугольников, докажем, что все грани пирамиды - равные треугольники.

  1. Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.ADB = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.CBD (II признак равенства треугольников), следовательно, AD = BC и AB = CD.

  2. Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.ADB = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.ACB (I признак равенства треугольников).

  3. Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.ABС = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.CDA (III признак равенства треугольников). Следовательно, все четыре треугольника имеют одинаковые площади.

Ответ: 40 см2.

Задача№4

Найдите объём правильного тетраэдра с ребром, равным a .
Решение

Пусть ABCD - правильный тетраэдр с ребром a , M - центр грани ABC . Поскольку DM - высота тетраэдра, треугольник AMD прямоугольный. По теореме Пифагора находим, что

DM = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. = aТаблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. = aТаблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам..


Следовательно,

VABCD = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.SΔ ABC· DM = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.· Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.· aТаблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам..


ОтветТаблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. .

Задача №5

Основание пирамиды - параллелограмм со сторонами 10 и 18, и площадью 90. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 6. Найдите боковую поверхность пирамиды.
Решение

Пусть O - центр параллелограмма ABCD , лежащего в основании пирамиды PABCD , PO - высота пирамиды, AB = 18 , BC = 10 . Если прямая, проходящая через точку O перпендикулярно противоположным сторонам AD и BC параллелограмма ABCD , пересекает эти прямые соответственно в точках M и K , то по теореме о трёх перпендикулярах PM Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. AD и PK Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. BC . Значит,PM и PK - высоты треугольников ADP и BCP . Поскольку MK - высота параллелограмма ABCD , а O - середина MK , то

90 = SABCD = BC· MK = 10MK,


поэтому

MK = 9, OM = OK = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.,

PM = PK = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.,

SΔ ADP = SΔ BCP = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.BC· PK = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.· 10· Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам..


Если прямая, проходящая через точку O перпендикулярно противоположным сторонам AB и CD параллелограмма ABCD , пересекает эти прямые соответственно в точках E и F , то аналогично предыдущему

EF = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. = 5, OF = OE = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.,

PF = PE = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.,

SΔ CDP = SΔ ABP = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.AB· PE = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.· 18· Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам..


Следовательно, боковая поверхность пирамиды PABCD равна

2SΔ ADP + 2SΔ ABP = 2(SΔ ADP + SΔ ABP) = 2(Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. + Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.) = 192.

Ответ: 192.00

Задача №4

Докажите, что диагональ AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проходит через точки пересечения медиан треугольников A1BD и CB1D1 и делится ими на три равные части.

Решение

Первый способ.

Пусть O и O1 - точки пересечения диагоналей оснований ABCD и A1B1C1D1, P - точка пересечения отрезков AC1 и A1O (лежащих в плоскости AA1C1C), Q - отрезков AC1 и CO1. Тогда A1O - медиана треугольника A1BD, CO1 - медиана треугольника CB1D1.

Из подобия треугольников AOP и C1A1P следует, что

OP/A1P = AO/C1A1 = AO/AC = 1/2.

Следовательно, P - точка пересечения медиан треугольника A1BD. Кроме того, AP/PC1 = AO/C1A1 = 1/2, т.е. AP = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.AC1.

Аналогично докажем, что Q - точка пересечения медиан треугольника CB1D1 и C1Q = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.AC1. Следовательно,

AP = C1Q = PQ = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.AC1,

что и требовалось доказать.

Второй способ.

Приведем решение с помощью векторов. Воспользуемся следующим известным фактом. Если M - точка пересечения медиан треугольника XYZ, а T - произвольная точка пространства, то

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.(Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. + Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. + Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.).

Пусть M - точка пересечения медиан треугольника BDA1. Тогда

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.(Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. + Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. + Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.) = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам..

Поэтому векторы Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. и Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. коллинеарны. Следовательно, точка M лежит на прямой AC1 и AP = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.AC1. Аналогично для треугольника CB1D1.


Условие

Объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен V . Найдите объём пирамиды ABCC1 .
Решение

Пусть S - площадь основания ABCD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , h - высота параллелепипеда. Тогда

VABCC1 = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.SΔ ABC· h = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.· Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. S· h = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.Sh = Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.V.



Ответ Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.V .

61


© 2010-2022