- Преподавателю
- Математика
- Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам
Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Ожго Н.В. |
Дата | 08.09.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. |
|
утверждено на заседании ЦМК ОПД протокол №1о от 16.05.2014 г.
|
|
|
|
|
Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. МСО 1 курс Балаковский медицинский колледж / Ожго Н.В. - Балаково: БМК, 2014. - 20с.
Данные методические рекомендации являются неотъемлемой частью учебного процесса по геометрии, в частности по стереометрии. Они помогут наиболее рационально использовать предлагаемые наглядные пособия, организовать работу с ними на уроках.
Пособие предназначено для студентов 1 курса МСО Балаковского медицинского колледжа.
© Балаково
БМК
2014
Методические рекомендации к решению задач стереометрии
Методика решения задач по стереометрии
I. Можно выделить следующие основные задачи, решаемые при изучении стереометрии:
1)развитие и закрепление содержательных линий, начатых в неполной средней школе; обобщение основных математических методов на случай пространства;
2)изучение основных свойств пространственных фигур;
3)овладение навыками изображения пространственных фигур на плоскости на основе свойств параллельного проектирования;
4)развитие логического мышления, пространственных представлений учащихся при решении задач и доказательстве теорем курса стереометрии.
В изучении стереометрии можно выделить два основных этапа:
) Систематический курс стереометрии (10-11 классы).
Систематический курс стереометрии, на изучение которого отводится приблизительно по 70 часов в десятом и одиннадцатом классах, предусматривает рассмотрение следующих тем:
1.Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.
2.Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.
.Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.
.Координаты, векторы, геометрические преобразования в пространстве.
.Многогранники.
.Тема вращения.
.Площадь поверхностей и объем геометрических тел.
.Изображение пространственных фигур на плоскости.
Параллельность прямых, прямой и плоскости
Взаимное расположение прямых в пространстве
Параллельность плоскостей
Тетраэдр и параллелепипед
Перпендикулярность прямой и плоскости
Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью
Двугранный угол.
Перпендикулярность плоскостей
Понятие многогранника
Пирамида
Правильные многогранники
Вектор в пространстве.
Сложение и вычитание векторов.
Умножение вектора на число.
Компланарные вектора
Площадь поверхности пирамиды и круглых тел
Задача №1
Точка A лежит в плоскости α , ортогональная проекция отрезка AB на эту плоскость равна 1, AB = 2 . Найдите расстояние от точки B до плоскости α .
Решение
Пусть B1 - ортогональная проекция точки B на плоскость α . Тогда BB1 - перпендикуляр к плоскости α , AB1 - ортогональная проекция отрезка AB на плоскость α , а расстояние от точки B до плоскости α равно длине отрезка BB1 . Прямая BB1 перпендикулярна плоскости α , поэтому треугольник ABB1 - прямоугольный. По теореме Пифагора
BB1 = = = .
Ответ
.
Задача №2
Найдите сумму углов, которые произвольная прямая образует с плоскостью и прямой, перпендикулярной этой плоскости.
Решение
Докажем, что указанная сумма равна 90o . Если обе прямые перпендикулярны данной плоскости либо одна из прямых перпендикулярна плоскости, а вторая параллельна этой плоскости, то утверждение очевидно. Пусть одна из прямых перпендикулярна данной плоскости, а вторая не перпендикулярна и не параллельна этой плоскости. Через точку A данной плоскости αпроведём прямую l1 , параллельную данной прямой l , и прямую p1 , параллельную данной прямой p , перпендикулярной плоскости α . Через пересекающиеся прямые l1 и p1 проведём плоскость β . Плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой m , проходящей через точку A . Пусть n - произвольная прямая плоскости α , перпендикулярная прямой m . Тогда прямая nперпендикулярна двум пересекающимся прямым p1 и m плоскости β . Значит, m β . Из произвольной точки B , отличной от A и лежащей на прямой l1 , опустим перпендикуляр BM на прямую m . Тогда прямая BM перпендикулярна двум пересекающимся прямым m и n плоскости α . Поэтому BM α . Значит, AM - ортогональная проекция прямой l на плоскость α , а BAM - угол прямой l1 с этой плоскостью. Так как прямые BM и p перпендикулярны одной и той же плоскости α , то BM || p . Поэтому угол между прямыми p и l равен углу между прямыми l1 и BM , т.е. углу ABM . Из прямоугольного треугольника ABM находим, что
BAM + ABM = 90o.
Ответ
90o .
Задача №3
Дана пирамида АВСD (см. рис.). Известно, что
ADB = DBC;
ABD = BDC;
BAD = ABC.
Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника АВС равна 10 см2.
Решение
Используя признаки равенства треугольников, докажем, что все грани пирамиды - равные треугольники.
-
ADB = CBD (II признак равенства треугольников), следовательно, AD = BC и AB = CD.
-
ADB = ACB (I признак равенства треугольников).
-
ABС = CDA (III признак равенства треугольников). Следовательно, все четыре треугольника имеют одинаковые площади.
Ответ: 40 см2.
Задача№4
Найдите объём правильного тетраэдра с ребром, равным a .
Решение
Пусть ABCD - правильный тетраэдр с ребром a , M - центр грани ABC . Поскольку DM - высота тетраэдра, треугольник AMD прямоугольный. По теореме Пифагора находим, что
DM = = = a = a.
Следовательно,
VABCD = SΔ ABC· DM = · · a = .
Ответ .
Задача №5
Основание пирамиды - параллелограмм со сторонами 10 и 18, и площадью 90. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 6. Найдите боковую поверхность пирамиды.
Решение
Пусть O - центр параллелограмма ABCD , лежащего в основании пирамиды PABCD , PO - высота пирамиды, AB = 18 , BC = 10 . Если прямая, проходящая через точку O перпендикулярно противоположным сторонам AD и BC параллелограмма ABCD , пересекает эти прямые соответственно в точках M и K , то по теореме о трёх перпендикулярах PM AD и PK BC . Значит,PM и PK - высоты треугольников ADP и BCP . Поскольку MK - высота параллелограмма ABCD , а O - середина MK , то
90 = SABCD = BC· MK = 10MK,
поэтому
MK = 9, OM = OK = ,
PM = PK = = = ,
SΔ ADP = SΔ BCP = BC· PK = · 10· = .
Если прямая, проходящая через точку O перпендикулярно противоположным сторонам AB и CD параллелограмма ABCD , пересекает эти прямые соответственно в точках E и F , то аналогично предыдущему
EF = = = 5, OF = OE = ,
PF = PE = = = ,
SΔ CDP = SΔ ABP = AB· PE = · 18· = .
Следовательно, боковая поверхность пирамиды PABCD равна
2SΔ ADP + 2SΔ ABP = 2(SΔ ADP + SΔ ABP) = 2( + ) = 192.
Ответ: 192.00
Задача №4
Докажите, что диагональ AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проходит через точки пересечения медиан треугольников A1BD и CB1D1 и делится ими на три равные части.
Решение
Первый способ.
Пусть O и O1 - точки пересечения диагоналей оснований ABCD и A1B1C1D1, P - точка пересечения отрезков AC1 и A1O (лежащих в плоскости AA1C1C), Q - отрезков AC1 и CO1. Тогда A1O - медиана треугольника A1BD, CO1 - медиана треугольника CB1D1.
Из подобия треугольников AOP и C1A1P следует, что
OP/A1P = AO/C1A1 = AO/AC = 1/2.
Следовательно, P - точка пересечения медиан треугольника A1BD. Кроме того, AP/PC1 = AO/C1A1 = 1/2, т.е. AP = AC1.
Аналогично докажем, что Q - точка пересечения медиан треугольника CB1D1 и C1Q = AC1. Следовательно,
AP = C1Q = PQ = AC1,
что и требовалось доказать.
Второй способ.
Приведем решение с помощью векторов. Воспользуемся следующим известным фактом. Если M - точка пересечения медиан треугольника XYZ, а T - произвольная точка пространства, то
= ( + + ).
Пусть M - точка пересечения медиан треугольника BDA1. Тогда
= ( + + ) = .
Поэтому векторы и коллинеарны. Следовательно, точка M лежит на прямой AC1 и AP = AC1. Аналогично для треугольника CB1D1.
Условие
Объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен V . Найдите объём пирамиды ABCC1 .
Решение
Пусть S - площадь основания ABCD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , h - высота параллелепипеда. Тогда
VABCC1 = SΔ ABC· h = · S· h = Sh = V.
Ответ V .
61