Как построить график функции

Как построить график функции
с помощью геометрических преобразований графиков?

Сжатие (растяжение) графика к (от) оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси

Первая группа действий связана с умножением АРГУМЕНТА функции на число. Для удобства я разобью правило на несколько пунктов:

Сжатие графика функции к оси ординат

Это случай когда АРГУМЕНТ функции умножен на число, бОльшее единицы.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции сжать к оси в раз.

Пример 1

Построить график функции .

Сначала изобразим график синуса, его период равен :

Мысленно возьмём синусоиду в руки и сожмём её к оси в 2 раза:

То есть, график функции получается путём сжатия графика к оси ординат в два раза. Логично, что период итоговой функции тоже уполовинился:

В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо на черновике выполнить подстановку:

Смотрим на чертёж, и видим, что это действительно так.

Аналогичную блиц-проверку полезно осуществлять в любом другом примере! Более того, она лучше поможет усвоить суть того или иного преобразования.

Пример 2

Построить график функции

График функции сжимается к оси в 3 раза:

Итоговый график проведён красным цветом.
Исходный период косинуса закономерно уменьшается в три раза: (отграничен жёлтыми точками).

Растяжение графика функции от оси ординат

Это противоположное действие, теперь график не сжимается, а растягивается.
Случай имеет место, когда АРГУМЕНТ функции умножается на число .

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции растянуть от оси в раз.

Пример 3

Построить график функции

Берём в руки нашу «бесконечную гармошку»:

И растягиваем её от оси в 2 раза:

То есть, график функции получается путём растяжения графика от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: , он толком даже не вместился на данный чертёж.

Симметричное отображение графика функции относительно оси ординат

АРГУМЕНТ функции меняет знак.

Правило: чтобы построить график функции , нужно график отобразить симметрично относительно оси .

Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс

Если к АРГУМЕНТУ функции добавляется число, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси . Рассмотрим функцию и положительное число :

Правила:
1) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц влево;
2) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц вправо.

Пример

Построить график функции

График синуса (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси на влево:

Внимательно присмотримся к полученному красному графику …. Это в точности график косинуса ! По сути, мы получили геометрическую иллюстрацию формулы приведения , и перед вами, пожалуй, самая «знаменитая» формула, связывающая данные тригонометрические функции. График функции получается путём сдвига синусоиды вдоль оси на единиц влево (о чём уже говорилось на уроке Графики и свойства элементарных функций).

Пример 9

Построить график функции

Представим функцию в виде и выполним следующие преобразования: синусоиду (чёрный цвет):

1) сожмём к оси в два раза: (синий цвет);
2) сдвинем вдоль оси на (!!!) влево: (красный цвет):

Пример вроде бы несложный, а пролететь с параллельным переносом легче лёгкого. График сдвигается на , а вовсе не на .

Растяжение (сжатие) графика ВДОЛЬ оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс

1) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит растяжение её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции растянуть вдоль оси в раз.

2) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит сжатие её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции сжать вдоль оси в раз.

Пример 11

Построить графики функций .

Берём синусоиду за макушку/пятки:

И вытягиваем её вдоль оси в 2 раза:

Период функции не изменился и составляет , а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза, что логично - ведь функция умножается на 2, и область её значений удваивается: .

Теперь сожмём синусоиду вдоль оси в 2 раза:

Аналогично, период не изменился, но область значений функции «сплющилась» в два раза: .

Продолжим изучать умножение функции на число: . Случаи не представляют интереса, поэтому рассмотрим отрицательные коэффициенты. Сначала распространённый частный случай :

Если ФУНКЦИЯ меняет знак на противоположный, то её график отображается симметрично относительно оси абсцисс.

Правило: чтобы построить график функции , нужно график отобразить симметрично относительно оси .

Пример 13

Построить график функции

Отобразим синусоиду симметрично относительно оси :

Сдвиг графика вверх/вниз вдоль оси ординат

Если к ФУНКЦИИ добавляется число, то происходит сдвиг (параллельный перенос) её графика вдоль оси . Рассмотрим функцию и положительное число :

Правила:
1) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц вверх;
2) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц вниз.

Пример 15

Построить графики функций .

Комбинационное построение графика в общем случае осуществляется очевидным образом:

1) График функции растягиваем (сжимаем) вдоль оси . Если множитель отрицателен, дополнительно осуществляем симметричное отображение относительно оси .

2) Полученный на первом шаге график сдвигаем вверх или вниз в соответствии со значением константы .

Пример 16

Построить график функции

График косинуса (чёрный цвет):

1) Растягиваем вдоль оси в 1,5 раза: (синий цвет);
2) Сдвигаем вдоль оси на 2 единицы вниз: :

Графики функций с модулем

Сначала посмотрим, что происходит, когда модуль применяется к АРГУМЕНТУ функции.

Правило: график функции получается из графика функции следующим образом: при график функции сохраняется, а при «сохранённая часть»отображается симметрично относительно оси .

Пример 22

Построить график функции

И снова вечная картина:

Согласно правилу, при график сохраняется:

И сохранившаяся часть отображается симметрично относительно оси в левую полуплоскость:

Действительно, функция - чётная, и её график симметричен относительно оси ординат. Поясню детальнее смысл симметрии. Посмотрим на два противоположных значения аргумента, например, на и . А какая разница? Модуль всё равно уничтожит знак «минус»: , то есть значения функции будут располагаться на одной высоте.

Функцию от модуля можно расписать в так называемом кусочном виде по следующему правилу: . В данном случае:

То есть, правая волна графика задаётся функцией , а левая волна - функцией (см. Пример 13).

Пример 26

Построить график функции .

И снова - то, что находиться в верхней полуплоскости - оставим в покое, а остальное - отобразим симметрично относительно оси :