Тема урока: «Линейные уравнения с двумя переменными»

7 класс.

Тема урока: «Линейные уравнения с двумя переменными».

Тип урока: урок изучения нового.

Цели урока:

Образовательные: ввести понятия линейного уравнения с двумя переменными, решения уравнения.

Развивающие: Сформировать умение осознанно проводить обобщение и анализ.

Воспитательные: воспитывать интерес к математике.

Структура урока:

1. Актуализация знаний.

   1. Мобилизующее начало урока, сообщение учителя о планируемой работе на уроке. (1 мин)

   2. Устный опрос с целью проверки домашней работы, и актуализации опорных знаний. (4 мин)

   3. Обсуждение задачи с практическим содержанием с целью построения модели, и создания проблемной ситуации. (5 мин)

   4. Подведение итогов, постановка проблемы и учебной задачи. (1 мин)

2. Формирование новых знаний и способов действий.

   1. Беседа, с целью подготовки и введения определения линейного уравнения с двумя переменными.(6 мин)

   2. Устное решение задач с целью усвоения определения (5 мин)

   3. Эвристическая беседа, с целью подготовки и введения определения решения линейного уравнения с двумя переменными. (4 мин)

   4. Устное решение задач с целью усвоения понятия «решение уравнения с двумя переменными».(2 мин.)

   5. Эвристическая беседа, с целью получения алгоритма решения линейного уравнения с двумя переменными. (6 мин)

   6. Беседе, с целью введения понятия графика линейного уравнения с двумя переменными и отыскания способа построения графика этого уравнения. (5 мин)

3. Применение знаний, формирование умений и навыков.

   1. Решение задач, с целью усвоения материала. (если останется время)

   2. Подведение итогов, постановка домашнего задания (2 мин)

Ход урока

1. Актуализация знаний.

   1. Мобилизующее начало урока, сообщение учителя о планируемой работе на уроке.

Учитель: Здравствуйте ребята! (проверка отсутствующих).

Сегодняшний урок мы построим следующим образом, сначала проверим домашнее задание, затем приступим к изучению новой темы, а если останется время, то порешаем задачи по новой теме.

2. Проверка домашнего задания с целью актуализации опорных знаний,

Учитель: Домой вам было задано 3 задачи. Есть ли какие-то вопросы по домашнему заданию? Все ли справились с домашним заданием?

Проверим №695, как выполняли и какой ответ? (спрашиваю 1 ученика). У кого не так?

Проверим №698, как выполняли и какой ответ? (спрашиваю 1 ученика). У кого не так?

Проверим №799, какая фигура получилась? (спрашиваю 1 ученика) У кого не так?

3. Обсуждение задачи с практическим содержанием и построение модели, с дальнейшим созданием проблемной ситуации.

Учитель: Ребята, в математике существует много видов уравнений. Уравнения помогают нам решать задачи. И с некоторыми вы уже знакомы, например, уравнения 5х-2=0 или 0,3х + 9=0 Умеете ли вы решать такие уравнения?

Ученики: Да, умеем.

Учитель: В математике для того, чтобы дать определение какому-либо виду уравнения его записывают в общем виде.

Чтобы это сделать уравнения нужно сравнить, т.е. выявить их сходство и различия. Посмотрим на эти уравнения у каждого из них первое слагаемое в левой части - число, умноженное на х, второе слагаемое - просто число, а в правой части - 0. Это их общие свойства. А различия в том, что числа эти разные. Если теперь эти числа мы обозначим буквами а и в, то получим уравнение вида ах+в=0. Чем в данном уравнение являются а,в, чем х?

Ученики: а и в - это числа, х- неизвестное (переменная).

Учитель: Верно! Такое уравнение, т.е. уравнение вида ах+b=0 называется линейным уравнением с одной переменной.

Мы с вами знаем, что линейные уравнения могут являться математической моделью реальной ситуации. Сегодня мы убедимся в том, что математической моделью могут быть не только линейные уравнения с одной переменной.

Решим такую задачу: Из городов А и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли 2 поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов?

Составим математическую модель задачи. Пусть х км/ч- скорость 1-го поезда, у км/ч - скорость 2-го поезда. Первый был в пути 5ч и, значит прошел путь 5х км. Второй поезд был в пути 3ч т.е. прошел путь 3у км. Их встреча произошла в пункте С. (можно изобразить рисунок). На алгебраическом языке эту задачу можно записать в виде следующего уравнения: 5х+3у=500

Можем ли мы его решить?

Ученики: Нет.

Учитель: Почему не можем решить, что в нем нового?

Ученики: в этом уравнение уже 2 переменные, а мы умеем решать только уравнения с одной переменной.

Учитель: верно.

4. Подведение итогов, постановка учебной задачи.

Учитель: Так вот задача нашего урока - изучить этот новый вид уравнений, дать ему определение и научиться его решать.

2. Формирование новых знаний и способов действий.

   1. Беседа, с целью подготовки и введения определения линейного уравнения с двумя переменными.

Учитель: вернемся к полученному уравнению, 5х+3у-500=0.

Назовите неизвестные этого уравнения.

Ученики: неизвестные х,у.

Учитель: Какие известные числа имеются в этом уравнении?

Назовите их.

Ученики: Три. 5, 3, 500.

Как связаны эти числа с неизвестными?

- 5 и 3 это коэффициенты при неизвестных.

Учитель: Посмотрите на такое уравнение 3х+7у+18=0

И сравните его с предыдущим. Что у них общего? Чем они отличаются?

Ученики: В этом уравнении тоже 2 неизвестных х и у, и тоже 3 числа, два из которых коэффициенты (т.е. множители) при неизвестных, только числа другие.

Учитель: Можем ли мы обобщить вид таких уравнений, т.е. записать их в общем виде? Что для этого нужно сделать?

Ученики: Обозначить числа в этом уравнении буквами.

Учитель: Если мы обозначим множитель перед х - через а, множитель перед у - в, и оставшееся число через с. Какое уравнение получим?

Ученики: Получим уравнение ах+ву+с=0

Учитель: Мы получили новый вид уравнения, такой вид уравнения называется линейным уравнением с двумя переменными. Давайте попробуем дать определение такому уравнению. Какое уравнение будем называть линейным уравнением с двумя переменными?

Ученики: Уравнение вида ах+ву+с=0 где а,в,с,- числа и а,в не равны 0 называется линейным уравнением с двумя переменными.(1 ученик повторяет)

2. Устное решение задач.

Учитель: Теперь нам нужно научиться узнавать такие уравнения.

Задачи: на распознавание. №803-804

Задачи: а= 5, в= 7, с=6, (а=-2, в= 1, с= -9) составить лин.ур. с двумя переменными.

3. Эвристическая беседа, с целью подготовки и введения определения решения линейного уравнения с двумя переменными.

Учитель: вспомним, что значит решить линейное уравнение с одной переменной?

Ученики: Это значит, что нам нужно найти такое х, при подстановке которого в наше уравнение получится верное равенство.

Учитель: Как мы решали например уравнение 3х-15=0

Ученики: …..

Учитель: Хорошо. Можно ли таким же способом найти решение линейного уравнение с двумя переменными?

Ученики: нет, у нас ведь ещё есть одно неизвестное.

Учитель: верно ребята, тут нам нужно найти уже 2 значения и х, и у. Если мы подберем такие х,у что наше равенство будет верно, можно ли сказать что мы нашли решение линейного уравнения с двумя неизвестными?

Ученики: Да.

Учитель: Давайте проверим и подберем решения уравнения

3х+4у=24 Какой х и у нужно взять чтобы получилось верное равенство?

Ученики: х=4 и у=3

Учитель: А ещё можно подобрать?

Ученики: да, (0,6) или( 8,0)

Учитель: Из этого мы видим что решение данного уравнения будет не единственное. Давайте же сделаем вывод и дадим определение решению линейного уравнения с 2 переменными.

Ученики: Решением уравнения вида ах+ву+с=0 называется пара чисел, при подстановке которых в уравнение мы получаем верное равенство, и эта пара будет не единственная.

Учитель: Проверим, является ли пара (1;4) решением уравнения 7х+5у=23?

Ученики: …..

Учитель: Как найти решение уравнения 2х+3у=24? Можно заметить, что угадывать решения линейного уравнения с двумя неизвестными совсем не просто. Поэтому нам нужно научиться находить их решения.

4. Эвристическая беседа, с целью поиска решения линейного уравнения с двумя переменными.

Учитель: Вспомните, что нужно сделать, чтобы решить уравнение с одной переменной. Ну, например, уравнение 10х+4=14

Какие шаги надо выполнить, чтобы получить х?

Ученики: Надо 1)4 перенести в левую часть с противоположным знаком.

2)затем из 14 вычесть 4

3)обе части уравнения поделить на 10

Получается х=1

Учитель: Верно! Можно ли таким алгоритмом пользоваться и при решении уравнения вида ах+ву+с=0?

Ученики: нет т.к. у нас 2 неизвестных.

Учитель: верно. Для того чтобы решить уравнение вида ах+ву+с=0 нам необходимо знать значение одной переменной, это значение мы можем брать произвольно (т.е. как хотим), а затем, подставив выбранное значение этой переменной в уравнение мы сможем найти вторую переменную.

Учитель: Рассмотрим такой пример: Решите уравнение 8х+6у-11=0

Значение какой либо переменной нам не дано, поэтому сами произвольно его выбираем. Пусть х=2.

Тогда мы в наше уравнение вместо х подставляем 2 , что получили?

Ученики: 16+6у-11=0

6у+5=0 т.е. мы получили линейное уравнение с одной переменной.

Учитель: такой вид уравнения вы уже умеете решать, что получилось? Чему равен у?

Ученики: у=-5/6

Учитель: Правильно. А если бы мы взяли значение у. Что тогда надо было бы сделать?

Ученики: Надо было вместо у поставить это значение, посчитать и найти х.

Учитель: хорошо. Проделайте это самостоятельно возьмите у=3 Что получилось?

5. Построение графика линейного уравнения с двумя переменными.

Учитель: Мы с вами выяснили. Что решением линейного уравнения с двумя переменными является множество пар чисел (х;у).

Давайте вспомним, что можно задать с помощью пары чисел?

Ученики: Можно задать точку в координатной плоскости.

Учитель: Следовательно, любое решение уравнения с двумя переменными можно изобразить в виде соответствующей точки в координатной плоскости. Т.е. решения уравнения задают координаты точек координатной плоскости. Это обстоятельство позволяет получить график такого уравнения.

Учитель:. Вернемся к заданию где вы находили решения уравнения 2х+3у=24 вы получили пары (3,6), (6,4), (0,8), (-3,10). Построим координатную плоскость и отметим на ней эти точки.

Посмотрите внимательно, как расположены эти точки друг относительно друга?

Соединим отмеченные точки. Что получилось?

Ученики: Прямая.

Учитель: Нам нужно выяснить, будут ли координаты всех точек полученной прямой удовлетворять данному уравнению. Возьмём какую-то другую точку на полученной прямой, будет эта точка являться решением нашего уравнения. Проверьте. Например точку (4,5; 5)

Ученики: Да и эта точка является решением нашего уравнения.

Учитель: Тогда можно предположить, что какую бы точку мы не взяли на этой прямой ее координаты будут решением уравнения 2х+3у=24. Это действительно так.

Итак, множество всех решений линейного уравнения с двумя переменными можно изобразить в координатной плоскости в виде прямой линии.

Полученную таким образом прямую называют графиком линейного уравнения с двумя переменными.

Подумаем, что нужно сделать, чтобы построить график линейного уравнения с двумя переменными?

Но надо ли нам строить много точек для того чтобы построить прямую на плоскости? Сколько достаточно иметь точек, чтобы можно было построить прямую?

Ученики: Для того чтобы построить прямую на плоскости нам достаточно 2 точек.

Учитель: Верно.

Выполним такое задание: Изобразить график линейного уравнения х+у-3=0 на координатной плоскости.

1. Надо найти решения этого уравнения. Мы сегодня выяснили, что решением такого вида уравнения является пара чисел, и при том, она не единственная. Но мы уже знаем что графиком линейного уравнения с двумя неизвестными является прямая и поэтому нам надо найти только 2 решения. Найдём их. Как мы будем это делать?

Ученики: Дадим конкретное значение х, например х=3, затем выразим у. Получим пару чисел (3,0)

Дадим второе конкретное значение х, например х=6, выразим у. Получим (6,3)

Учитель: верно, так мы с вами получили координаты двух точек.

2. Теперь нам эти точки нужно изобразить на координатной плоскости.

3. Провести прямую, через полученные точки.

Итак, мы получили прямую, которая является графиком линейного уравнения с двумя неизвестными х+у-3=0

Сделаем вывод. Чтобы построить график линейного уравнения с двумя переменными нужно:

Ученики:

1. Дать конкретное значение х и выразить у через х. Так мы получили координаты первой точки.

2. Аналогично найти координаты второй точки.

3. Провести через эти точки прямую.

Итак подведем итог нашего сегодняшнего урока, вспомним что нового мы сегодня изучили, а для этого вам предстоит ответит на следующие вопросы:

1.Какое уравнение называется линейное уравнение с 1 переменной?

2. Какое уравнение называется линейное уравнение с 2 переменными?

3. Что является решением линейного уравнения с 2 переменными?

4.Что является графиком линейного уравнения с 2 переменными?

5. Повторим алгоритм построения графика линейного уравнения с 2 переменными.

3. Применение знаний, формирование умений и навыков.

3.1. Решение задач, с целью усвоения материала. (если останется время) №816, №820(б,в)

3.2. Подведение итогов, постановка домашнего задания.

Учитель: Какой новый вид уравнения вы сегодня узнали?

Что является решением такого уравнения?

Что является графиком такого уравнения?

Молодцы ребята, спасибо за работу!

Запишите домашнее задание: №805,№810,813( а,б), №820(а,г)