Элективный курс на тему Модуль и его применение

Модуль и его применение

(Элективный курс).

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Элективный курс «Модуль и его применение» составлен для учащихся 9-11 классов. Этот курс имеет предметно - ориентированное направление и включает углубленное изучение данной темы, выходящей за рамки школьной программы.

Существенной характеристикой числа является понятие его абсолютной величины (модуля). Это понятие применяется не только в алгебре, но и в геометрии, физике, в теории приближённых вычислений. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы.

В школьной программе отводится очень мало часов на эту тему, и выработка прочных знаний и умений возможна только на дополнительных занятиях. Поэтому считаем целесообразным включение элективного курса «Модуль и его применение» в систему предпрофильной подготовки учащихся по математике. При изучении данного курса попутно повторяется огромный пласт основных знаний школьного курса по алгебре: решение линейных уравнений и неравенств, решение квадратных уравнений, построение графиков, метод интервалов.

Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто не просты в решении, что позволит повысить учебную мотивацию учащихся и проверить способности к математике.

Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, поможет оценить свои возможности и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.

основная цель:

Углублённо изучить методы решений уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, научить строить графики с модулем.

задачи:

-расширить представление о модуле;

-развитие способностей и интереса, учащихся к математической деятельности;

-показать актуализацию модуля в математике;

-подготовить к выбору старшей школы.

формы обучения:

-лекции (учитель объясняет методы решения задач с модулем);

-практические занятия (на конкретных примерах отрабатываются данные методы);

-зачёт (контрольная работа).

Данный курс предполагает 16 тематических занятий.

Тематический план курса

Тема

Количество часов

1. Понятие модуля, комбинация систем и совокупностей;

2. Линейные уравнения с одним модулем, с несколькими модулями, модуль в модуле;

3. Линейные неравенства с одним модулем, с несколькими модулями;

4. Решение систем, содержащих модуль;

5. Решение квадратных уравнений и неравенств с модулем;

6. Решение уравнений и неравенств с параметрами;

7. Построение графиков;

8.Примеры с модулем в экзаменационных заданиях.

9. Итоговый урок(зачётная работа).

1час

2часа

3часа

1час

3часа

1час

2часа

2часа

1час

Зачётный урок (проводится в конце курса).

вариант 1

№1 Раскройте модули

а) | 5 - | ;

б) |3-2|;

в) | - х² + 2х - 2 | .

№2 Решите уравнение

а) | 3х - 5 | = 2 ;

б) | х + 5 | - | х - 4 | = 1 ;

в) | х - 1| = 3х + 5 .

№3 Решите неравенство

а) | 4х + 1 | ≥ 3 ;

б) | х + 1 | < | х - 3 | ;

в) | х² - 4 | ≤ 3х .

№4 Постройте графики функций

а) Y = | х + 1 | - | х - 2 | ;

б) Y = ² + 1 ;

в) Y = х² + | х | + 4 .

вариант 2

№1 Раскройте модули

а) | 4 - | ;

б) | 3 - 5| ;

в) | х² + 6х + 10 | .

№2 Решите уравнение

а) | 6 - 3х | = 2 ;

б) | 3 - х | = | 6 + х | ;

в) | х + 1 | = 2х + 8 .

№3 Решите неравенство

а) | 4х - 3| < 1 ;

б) | х + 2 | < | х - 4 | ;

в) | х² - 2х | ≥ х .

№4 Постройте графики функций

а) Y = | х - 2 | + | х + 2 | - 5 ; б) Y = + 3 ;

в) Y = х² - 4| х | + 3 .

К данному элективному курсу предлагаем разработку темы «решение линейных неравенств с одним и несколькими модулями», расчитанную на три часа.

ТЕМА: Решение линейных неравенств, с одним и несколькими модулями.

Цели темы:

1. Углубленно изучить методы решений неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

2. Показать актуализацию модуля в математике

3. развитие способностей и интереса учащихся к математической деятельности

План темы:

Подготовительный этап

• Историческая справка об абсолютной величине числа (готовят ученики)

Первый этап. Теоретическая часть

Показать правила решения неравенств с модулем, с конспектированием их учениками в тетрадях

Второй этап. Применение полученных теоретических знаний на практике

• Решение по образцу

Третий этап.

Устная работа

Четвертый этап.

Фронтальный опрос по теории с использованием вопросника

Пятый этап. Закрепление полученных знаний

• Работа с тестами

Шестой этап. Контроль усвоения нового материала

• ПО усмотрению учителя

Седьмой этап. Подведение итогов, задание на дом

• Индивидуальные задания на карточках на три уровня

Восьмой этап. Решение заданий с модулем, предлагаемых на единых

государственных экзаменах

Этапы темы не разбиваем на уроки, это сделает сам учитель в зависимости от уровня способности группы.

Этапы уроков помещаем в приложении.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Первый этап. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ПРАВИЛО 1

Решение неравенств, правая часть которого число.

|f(x)|<a не имеет решения, если а£0

|f(x)| f(x)

f(x)>-a

|f(x)|>a <=> f(x)>a

f(x)<-a

|f(x)| £ a не имеет решения, если а<0

|f(x)| £ a <=> f(x)£a

f(x)³-a

|f(x)| ³ a <=> f(x)³a

f(x)£-a

Примеры:

| х+3 |<2 <=> х+3 <2 , х<-1,

х+3>-2; х>-5.

Ответ: х є (-5;-1)

|х-9|≥5 <=> х-9≥5, х≥14,

х-9≤-5; х≤4.

Ответ: х є (-∞;4] Ս [14;+∞)

ПРАВИЛО 2

Решение неравенств, правая часть которого функция.

|f(x)|< g(x) <=> f(x) < g(x)

f(x) > -g(x)

|f(x)| > g(x) <=> f(x) > g(x)

f(x) < -g(x)

|f(x)| £ g(x) <=> f(x) £ g(x)

f(x) ³ -g(x)

|f(x)| ³ g(x) <=> f(x) ³ g(x)

f(x) £ -g(x)

Примеры:

|2х+3| ≤ 4х <=> 2х+3 ≤ 4x -2х ≤ -3 х ≥ 1,5

2х+3 ≥ -4х 6х ≥ -3 х ≥ -0,5.

Ответ: х є [1,5; +∞)

|4-х| > -2х+1 <=> 4-x > -2х+1 х > -3 х > -3 4-х < 2х-1 -3х < -5 х > 5⁄3

Ответ: х є ( -3; +∞ ).

ПРАВИЛО 3

Неравенство |f(x)| < |g(x)| равносильно неравенству

f²(x) < g²(x), < = > (f(x)-q(x))(f(x)+q(x))<0

Неравенство |f(x)| ≤ |g(x)| равносильно неравенству

f²(x) ≤ g²(x), < = > (f(x)-q(x))(f(x)+q(x))≤0

Неравенство |f(x)| > |g(x)| равносильно неравенству

f²(x) > g²(x), < = > (f(x)-q(x))(f(x)+q(x))>0

Неравенство |f(x)| ≥ |g(x)| равносильно неравенству

f²(x) ≥ g²(x), < = >(f(x)-q(x))(f(x)+q(x))≥0

Примеры:

|х+2| > |х-2|

Решение: неравенство |х+2| > |х-2| по правилу 3 равносильно неравенству (х+2)² > (х-2)²

х²+4х+4 > х²-4х+4

8х > 0

х > 0

Ответ : х є ( 0; +∞ )

|3x+2|≤|6-х|

Решение: неравенство |3x+2|≤|6-х| по правилу 3 равносильно неравенству( (3х+2)-(6-х))((3х+2)+(6-х))≤0 < = > (4х-4)(2х+8)≤0

Решая методом интервалов получим ответ.

Ответ : х є [-4;1]

ПРАВИЛО 4

|f1(х)| + |f2(х)| +|f3(х)| + …< |g(х)|

|f1(х)| + |f2(х)| +|f3(х)| + …> |g(х)|

|f1(х)| + |f2(х)| +|f3(х)| + …≤ |g(х)|

|f1(х)| + |f2(х)| +|f3(х)| + …≥ |g(х)|

Неравенства, содержащие алгебраическую сумму двух и более неравенств с модулем, решаются методом интервалов, как и уравнения по схеме:|

1. находят критические точки, т.е. значения х, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

2. разбивают область допустимых значений х на промежутки, на каждом из которых выражения под знаком модуля сохраняют знак;

3. раскрывают все модули на каждом из найденных промежутков и решают полученные неравенства и полученные решения объединить в множество решений исходного неравенства.