Обучающий модуль по алгебре на тему Арифметическая и геометрическая прогрессия

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Теоретический материал

1. Понятие прогрессии

Арифметической прогрессией называется такая последовательность, в которой каждый следующий ее член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Число, которое прибавляется к предыдущему члену прогрессии для получения следующего, называется разностью арифметической прогрессии. Обозначается d.

Пример: (а_n):2;4;6;8;… а_n+1= а_n + 2 , d=2

(х_n):17; 15,5; 14; 12,5;… х_n+1 = х_n - 1,5, d= -1,5

а_n+1= а_n +d

Рекуррентная формула арифметической прогрессии

Геометрической прогрессией называется такая последовательность, в которой каждый следующий ее член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Число, на которое умножается предыдущий член прогрессии для получения следующего, называется знаменателем геометрической прогрессии. Обозначается q.

Пример: (b_n):2;4;8;16;… b_n+1= 2b_n , q=2

(y_n):5; -5; 5; -5;… y_n+1 = -y_n , q= -1

b_n+1= b_nq

Рекуррентная формула геометрической прогрессии

2. Формула n-го члена арифметической и геометрической прогрессии.

Выведем формулу n-го члена арифметической и геометрической прогрессии.

Пусть (а_n)-некоторая арифметическая прогрессия. Пусть(b_n)-некоторая геометрическая прогрессия

Значит а_n+1= а_n +d , т.е. Значит b_n+1= b_nq , т.е

b₂= b₁ q

b₃= b₂ q= b₁ q²

b₄= b₃ q= b₁ q³

b_n= b_n-1 q= b₁ q^n-1

а₂= а₁ +d

а₃= а₂ +d= а₁ +2d

а₄= а₃ +d= а₁ +3d

а_n= а_n-1 +d= а₁ +(n-1)d

а_n= а₁ +(n-1)d

b_n= b₁ q^n-1

Примеры.

Составим формулу n-го члена последовательности (а_n):5;3;1;-1;…

Заметим, что данная последовательность является арифметической прогрессией, т.к. а_n+1= а_n -2, в которой а₁ =5, d=-2. Значит формула n -го члена этой последовательности имеет вид а_n= 5 +(n-1)(-2). Преобразовав данное выражение, получим: а_n= -2n+7.

Составим формулу n-го члена последовательности (х_n):1;0,5;0,25;0,125;…

Данная последовательность является геометрической прогрессией, т.к. х_n+1= 0,5х_n , в которой х₁ =1, q=-0,5. Значит формула n -го члена этой последовательности имеет вид х_n= 1 0,5^n-1. Преобразовав данное выражение, получим: х_n= .

3. Характеристическое свойство членов прогрессии

□ Легко доказать что:

• любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому равноотстоящих от него членов этой прогрессии, т.е. .

• любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому равноотстоящих от него членов этой прогрессии, т.е..

Также можно доказать, что , а . ( Проверьте эти равенства самостоятельно!)

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Задания для разработки темы

Необходимо знать: определение арифметической и геометрической прогрессии

рекуррентное задание арифметической и геометрической прогрессии

формулу n-го члена арифметической и геометрической прогрессии

характеристическое свойство членов арифметической и геометрической прогрессии

Источник информации: учебник Алгебры, 9 кл., под ред. С.А.Теляковского, п.16,18.

1. Из приведенных ниже последовательностей выпишите те, которые являются а)арифметической прогрессией; б)геометрической прогрессией. Запишите рекуррентную формулу каждой из них Укажите ее первый член и разность или знаменатель:

1 (х_n): 10;20;30;… 3 (х_n): 5 (х_n): 0,3; 0,03; 0,003;…

2 (х_n): 1;2;4;7;11;… 4 (х_n): 6 (х_n):

2. Запишите первые пять членов арифметической прогрессии, в которой а)а₁=2, d=-3; б) а₁=-3, d=2. Составьте формулу n-го члена и найдите а₁₀, а₂₀ , а₁₀₀..

3. Запишите первые пять членов геометрической прогрессии, в которой а)с₁=2, q=-3; б) c₁=-3, q=2. Составьте формулу n-го члена и найдите с₆.

4. Найдите члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами:

-6; -4; х₃; х₄; х₅;…

х₁; 3; 7; х₄, х₅;…

х₁; х₂; 3; х₄; 7;…

3; х₂; х₃; х₄; -13;…

5. Найдите члены геометрической прогрессии, обозначенные буквами:

3; 1; у₃; у₄; у₅;…

у₁; 2; 8; у₄, у₅;…

у₁; 4; у₃; у₄; 0,032;…

5; у₂; у₃; у₄; 0,3125;…

6. (с_n) - арифметическая прогрессия. Найдите:

с₁, если d=5 с₇=2

d, если с₁=4 с₁₅=48

с₁, если с₅=2 с₁₁=3

7. (у_n) - геометрическая прогрессия. Найдите:

у₁, если q=-2 y₆=50

q, если y₃=4 y₅=8.

8. Вставьте между числами 2 и 3 три таких числа, чтобы вместе с данными они составляли арифметическую прогрессию.

Ключ для проверки

1. Арифметической прогрессией является первая и последняя последовательность, причем для первой справедливо: х_n+1=x_n+10, x₁=10, d=10,а для последней - х_n+1=x_{n -} , x₁=3,d =.

Геометрической прогрессией является четвертая и пятая последовательность. для четвертой последовательности выполняется_: х_n+1=x_n,x₁=,q=.

для пятой последовательности справедливо_: х_n+1= 0,1 x_n ,x₁=0,3_,q=0,1.

2. a) 2; 1; -4; -7; -10;… а_n=-3n+5 a₁₀=-25, a₂₀=-55, a₁₀₀=-295

б)-3; -1; 1; 3; 5;… а_n=2n-5 a₁₀=15, a₂₀=35, a₁₀₀=195

3. а) 2; -6; 18; -54; 162;… c_n=2(-3)^n-1c₆=-486

б)-3; - 6; -12; -24; -48;… c_n=-32^n-1c₆=-96

4. -6; -4; -2; 0; 2;… -1; 3; 7; 11; 15;… -1; 1; 3; 5; 7;… 3; -1; -5; -9; -13;…

5. 20; 4; 0,8; 0,16;0,032;… 5; ±2,5; 1,25; ±0,625; 0,3125;…

6. с₁=с₇-6d=-28 d= d=c₁=c₅-4d=

7. 

8. 2; 2,25; 2,5; 2,75; 3

Выполните задания для самостоятельной учебной деятельности

По учебнику ∆

□



Ответьте на вопросы.

1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Приведите примеры.

2. Что такое разность арифметической прогрессии? Объясните, как найти ее, зная а₁ и а₂; а₈ и а₉; а₁ и а₈; а₃ и а₁₂?

3. Объясните, как в арифметической прогрессии найти первый ее член, зная пятый и разность прогрессии; пятый и двенадцатый ее член?

4. Объясните на примере последовательности (х_n): 3; 7; 11;…, как составить формулу ее n-го члена.

5. Поясните, при каких условия арифметическая прогрессия является возрастающей, а при каких - убывающей. Приведите примеры.

6. Объясните на примере характеристическое свойство членов арифметической прогрессии.

7. Какая последовательность называется геометрической прогрессией? Приведите примеры.

8. Что такое знаменатель геометрической прогрессии? Объясните, как найти его, зная а₁ и а₂; а₈ и а₉; а₁ и а₄; а₁₀ и а₁₂?

9. Объясните, как в геометрической прогрессии найти первый ее член, зная пятый член и знаменатель прогрессии; пятый и седьмой ее член?

10. Объясните на примере последовательности (хn): 3; 6; 12;…, как составить формулу ее n-го члена.

11. Поясните, при каких условиях геометрическая прогрессия является возрастающей, а при каких - убывающей. Приведите примеры.

12. Объясните на примере характеристическое свойство членов геометрической прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Проверочная работа

А1

1. Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии (а_n) и найдите а₁₁, если а₁=2,4; d=-0.8

2. Составьте формулу n-го члена геометрической прогрессии (х_n):3; -6;…

3. Найдите разность арифметической прогрессии (с_n), если с₁=-1,2; с₅=-0,4

4. В геометрической прогрессии (у_n) у₃=, у₅=. Найдите у₂ и у₆.

5. Найдите первый член арифметической прогрессии (а_n), если а₆=23; а₁₁=48..

А2

1. Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии (а_n):-2,4;-1,6;… и найдите а_11.

2. Составьте формулу n-го члена геометрической прогрессии (х_n), если х₁=81;q=:.

3. Найдите разность арифметической прогрессии (с_n), если с₁=-2,7; с₄=-1,8

4. В геометрической прогрессии (у_n) у₃=, у₅=. Найдите у₄ и у₇.

5. Найдите первый член арифметической прогрессии (а_n), если а₄=4; а₁₂=36..

Б1

1. Дана арифметическая прогрессия (а_n): -22,5;-21;… Составьте рекуррентную формулу и формулу n-го члена этой прогрессии.

2. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b_n), если b₃=,q=.

3. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (а_n), если а₄=1,8; а₇=0,6.

4. Найдите номер члена арифметической прогрессии, равного 22, если а₃=-2; d=3.

5. Между числами и 9 вставьте три таких числа, чтобы вместе с данными они составляли геометрическую прогрессию.

Б2

1. Дана геометрическая прогрессия (а_n): 30,-3;… Составьте рекуррентную формулу и формулу n-го члена этой прогрессии.

2. Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии (b_n), если b₃= -25,d=0,7.

3. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (а_n), если а₃= -2,3; а₈= -0,8.

4. Найдите номер члена арифметической прогрессии, равного 47, если а₄= -3; d=5.

5. Между числами 16 и вставьте три таких числа, чтобы вместе с данными они составляли геометрическую прогрессию.

В1

1. Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии (а_n), если а₅=-9,1; а₁₂=-7.

2. Найдите шестой и n-й члены геометрической прогрессии (с_n), если с₁=8 с₄; с₅=.

3. Докажите, что последовательность, заданная формулой x_n=11n-78, является арифметической прогрессией. Опишите свойства этой прогрессии. Найдите ее первый положительный член.

4. Найдите значения х, при которых числа х+1, 4х и 16х-12 составляют геометрическую прогрессию.

В2

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (а_n), если а₄= -4; а₆= -8.

2. Найдите n-й член арифметической прогрессии (с_n), если с₃ с₄=80;..

3. Докажите, что последовательность, заданная формулой x_n=n²+2n, не является арифметической прогрессией. Опишите свойства этой последовательности. Найдите ее наименьший и наибольший член.

4. Найдите значения х, при которых числа х+1, 2х+1 и х²-3 составляют арифметическую прогрессию.

Ключ для проверки

А1

1. а_n= -0.8n+32, a₁₁= -5.6

2. b_n=3(-2)ⁿ

3. d=0.2

4. y₂=±2/3, y₆=±1/24

5. a₁=2

Б1

1. a_n+1=a_n+1.5, a₁= -22.5,

a_n=1.5n-24

2. b₇=1

3. d= -0.4, a₁=3

4. n=11

5. ±1/3; 1; ±3

B1

1. a₁₇= -4.3

2. c₆=3/32, c_n=3/2^n-1

3. c a₈>0, a₈=10

4. x=3; 4;12;36

A2

1. а_n= -3.2+0.8n, a₁₁= 5.6

2. b_n=81/3^n-1

3. d=0.3

4. y₂=±2/3, y₆=16/3

5. a₁= -8

Б2

1. a_n+1=a_n(-0.1)^n-1, a₁= 30,

a_n=30(-0.1)^n-1

2. b₁₇= -15.2

3. d= 0.3, a₁= -2.9

4. n=14

5. ±4; 1; ±1/4

B2

1. a₇=

2. c_n= -2n-16, c_n= -2n+16

3. наименьшее x₁=3, наиб. нет

4. x=4 и -1; 5;9;13 или 0; -1; -2

Сумма n первых членов арифметической и геометрической прогрессии

1. Понятие суммы n первых членов последовательности.

Пусть в последовательности (а_n) известны первые n ее членов: а₁, а₂, а₃,… а_n. Выражение а₁+ а₂+ а₃+…+ а_n. Называется суммой n первых ее членов. Обозначается S_n.

S_n= а₁+ а₂+ а₃+…+ а_n.

Пример. Сумма пяти первых членов некоторой последовательности - это сумма всех ее членов с первого по пятый, т.е. S₅= а₁+ а₂+ а₃+ а₄+ а₅.

Сумма двадцати первых членов последовательности - это сумма всех ее членов в первого по двадцатый, т.е. S₂₀= а₁+ а₂+ а₃+…+ а₁₉+ а₂₀.

2. Формулы суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессии

Для того, чтобы в некоторой последовательности найти сумму ее первых n членов необязательно знать все эти члены. Можно воспользоваться формулами.

Для арифметической прогрессии или

Для геометрической прогрессии или

В этих формулах: а₁ и b₁ - первые слагаемые в сумме

a_n и b_n- последние слагаемые в сумме

n- количество слагаемых (совпадает с номером последнего слагаемого)

d и q- соответственно разность и знаменатель прогрессии

(□ Объясните, как из одной формулы получить вторую)

( Разберите вывод формул по учебнику)

Примеры.

• Найдем сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, в которой с₁=3; q=2. Для этого удобнее воспользоваться второй формулой нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии. Т.к. нужно найти сумму пяти первых ее членов, т.е. сумму с первого члена по пятый, то n=5. Значит . Проверим! Для этого найдем все члены этой прогрессии с первого по пятый: 3; 6; 12; 24;48. Найдем их сумму 3+ 6+12+24+48=93. Т.е. .

• Найдем сумму всех двухзначных чисел, не превосходящих 50. Выпишем числа - члены некоторой последовательности - сумму которых необходимо найти: 10; 11; 12; 13;…50. Заметим, что эти числа составляют арифметическую прогрессию, в которой а₁=10; d=1, значит для нахождения суммы этих чисел можно применить одну из приведенных выше формул. Применим первую формулу . Первое слагаемое в искомой сумме а₁=10, последнее слагаемое а_n=50. необходимо знать количество слагаемых, т.е. n, которое совпадает с номером последнего слагаемого. Т.к. для членов арифметической прогрессии справедливо равенство а_n= а₁+d(n-1), то применив его, найдем номер члена а_n равного 50. 10+1(n-1)=50, откуда n=41. Т.е. в искомой сумме 41 слагаемое, а значит 50 - это а₄₁. Найдем сумму . Можно применить и вторую формулу .

Использовать нужно ту формулу, которая наиболее удобна в зависимости от условия,

3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия, в которой , т.е.-1<q<1, является убывающей.

Например. Последовательность (а_n):2; 1; 0,5; 0,25; 0,125;… является бесконечной убывающей геометрической прогрессией знаменатель которой равен 0,5 (0,5<1). Геометрическая прогрессия (с_n):3; -0,3; 0,03; -0,003;… также является убывающей, q=-0.1 (-1<0.1<1).

Ясно, что с увеличением номера члены последовательности уменьшаются, становясь все меньше и меньше отличными от нуля. Говорят, что с возрастанием n члены прогрессии b_n стремятся к нулю. Значит, члены прогрессии с большими номерами практически не влияют на сумму n первых ее членов. Поэтому, при больших n сумма .

Для бесконечной убывающей геометрической прогрессии сумма бесконечного числа слагаемых находится по формуле

Пример.

Найдем сумму 0,3+0,03+0,003+0,0003+… Заметим, что слагаемые данной суммы являются членами геометрической прогрессии, в которой а₁=0.3, q=0.1. q<1, прогрессия убывающая, а значит сумма бесконечного числа слагаемых находится по формуле

О

!братите внимание, что 0,3+0,03+0,003+0,0003+…=0,3333…=. Это можно использовать для перевода бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную.

Источник информации: учебник Алгебры, 9 кл., под ред. С.А.Теляковского, п.17,19,20.

Разберите примеры, приводимые в учебнике.

Выполните задания для самостоятельной учебной деятельности

По учебнику △

□



Сумма членов арифметическая и геометрическая прогрессии

Задания для разработки темы

Необходимо знать: понятие суммы n первых членов последовательности

формулы, для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии

формулы, для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии

понятие суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Источник информации: учебник Алгебры, 9 кл., под ред. С.А.Теляковского, п.17,19,20.

Обязательный уровень

1. Запишите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии (а_n): 2; 7;12;…. Найдите эту сумму непосредственно сложением и по формуле.

2. Запишите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (х_n): 2; 10;50;…. Найдите эту сумму непосредственно сложением и по формуле.

3. Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии,( а_n) в которой а₁=5; d=3.

4. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии,( х_n) в которой х₁=5; q=1/2.

5. Найдите сумму 2+4+6+…+20

3+6+9+…+99

-50+(-45)+(-40)+…+40+45+50.

(Подсказка: найдите номер последнего слагаемого в сумме)

6. Найдите сумму: всех двухзначных чисел

двухзначных чисел, кратных 5

7. Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена х_n=12n-3; сумму шести первых членов геометрической прогрессии заданной формулой у_n=4ⁿ.

8. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии, проверив сначала, что ее знаменатель q удовлетворяет условию: 10; 2; 0,4;…

□

9. Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q=3, S₄=560.

10. Представьте бесконечную периодическую дробь 0,(8) в виде обыкновенной.

11. В арифметической прогрессии а₁=1, а сумма первых восьми ее членов равна 120. Найдите разность этой прогрессии.

12. В арифметической прогрессии сумма первых четырех ее членов равна 42, а сумма восьми первых членов в 3 раза больше. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии.

13. Арифметическая прогрессия задана формулой х_n=10-7n. Найдите сумму ее членов с десятого по двадцатый.

14. Сколько надо сложить последовательных натуральных чисел, кратных 7, чтобы их сумма была равна 546?



15. В геометрической прогрессии разность между шестым и четвертым членами равна 192, а разность между третьим и первым равна 24. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.

16. Решите уравнение, в котором слагаемые составляют арифметическую прогрессию: 4+7+10+…+ъ=116; 26+24+22+…+х=136.

17. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (х_n), если известно, что и S₃=42.

18. Является ли арифметической прогрессией последовательность, сумма первых n ее членов которой вычисляется по формуле а) S_n=3n² ; б) S_n=n²-4n.

Сумма n первых членов арифметической и геометрической прогрессии

Задание для разработки темы

Ключ для самопроверки

Обязательный уровень

1. 

2. 

3. 

4. 

5. а) б) в) 0

6. а) б)

7. а) б)

8. 

□

9. 

10. 8/9

11. d=4

12. a₁=6, d=3

13. 

14. 

15. 

16. а) х=25 б)х=16; х=-14

17. 

18. а) да, d=6 б)нет

