- Преподавателю
- Математика
- Примеры применения неравенства Коши в решении школьных задач
Примеры применения неравенства Коши в решении школьных задач
Раздел | Математика |
Класс | 11 класс |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Туголуков В.А. |
Дата | 27.08.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Туголуков.В.А. учитель математики
Применение неравенства Коши в решении некоторых задач
Задача Докажите, что при имеют место следующие неравенства:
-
-
-
-
;
-
Докажем эти неравенства
-
Запишем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел
Так как левая и правая части этих неравенств при при положительны, то эти неравенства одинакового смысла можно почленно перемножить, в результате чего получим
Окончательно имеем
-
Запишем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для пар чисел
;
Обе части неравенств положительны, неравенства одинакового смысла, значит, мы их можем почленно перемножить. Имеем
Преобразовав правую часть неравенства, окончательно получим
-
Запишем на основании неравенства Коши следующие неравенства для пар чисел
Сложив полученные неравенства почленно, получим
Запишем теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел
Тогда неравенство (*) может быть записано в следующем виде:
-
Запишем неравенство Коши для пар чисел
=2.
С учетом последнего неравенства неравенство (**)может быть записано следующим образом:
-
Запишем в развернутом виде квадрат суммы трех чисел:
Применим к каждой скобке неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом не отрицательных чисел. Будем иметь
Это же неравенство применим и к каждому из слагаемых:
Тогда мы можем записать:
Задача Известно, что a>0, b>0, c>0, d>0 и abcd=1.
Доказать, что
Доказательство
Так как x>0, y>0, то, согласно неравенству Коши , имеем
или
Так как по условию abcd=1, то
(Последнее неравенство следует из неравенства Коши, примененного к каждой паре слагаемых.) Складывая последние четыре неравенства, получим требуемо
Задача Решите уравнение
Уравнение задано на отрезке [-1; 1]. На этом отрезке его левую часть оценим сверху, используя неравенство Коши :
В приведенных оценках равенства будет иметь место только тогда, когда выполняются условия т.е. при x= 0. Но достижение равенства в оценках соответствует удовлетворению исходного уравнения. Значит, x = 0 - его единственный корень.
Ответ:х = 0
Задача Решите уравнение
Данное уравнение задано для и легко видеть, что в области допустимых значений левая часть уравнения всегда положительна. Преобразуем левую часть уравнения следующим образом:
По неравенству Коши будем иметь
в котором равенство достигается лишь тогда, когда Решая это уравнение, находим корниТак как оба найденных значения положительны, то это и есть искомые корни заданного уравнения.
Ответ:
Задача Решите уравнение
Все кому предлагалось решить это уравнение, поступали по шаблону: искали значение аргумента функции синус, при которых значения самой функции равны нулю, и затем решали уравнение Однако традиционный способ решения этого уравнения заводит в тупик.
Покажем оригинальное решение этого уравнения, для чего вначале преобразуем его левую часть:
Так как - соответственно среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел и x. По известному неравенству Коши имеем, что тогда
Задача Решите неравенство
Решение
Найдя корни уравнения разложим квадратный трехчлен на множители; применив к заданному неравенству другие преобразования, запишем его в виде
(*)
Заметим, что выражение есть сумма двух взаимно обратных положительных ичисе6л, а значит, согласно неравенству (38), имеем
Тогда неравенство(*) равносильно системе
Решая ее стандартным способом, получим ответ
Ответ:
Задача Решите уравнение
Решение:
Будем первое подкоренное выражение рассматривать как произведение ()*1 и тогда по неравенству Коши можем записать:
Или (*)
Рассуждая аналогично, мы можем записать для второго слагаемого следующее неравенство:
(**)
Сложим почленно неравенства (*) и (**):
Откуда
Так как левая часть заданного уравнения не больше ,то и правая часть его должна быть не больше этого же выражения.
Тогда ,
Откуда а значит x= -1.
Ответ: x= -1.
Задача Решите уравнение
Решение:
Так как левая часть заданного уравнения не превосходит выражения 1-x,значит и его правая часть не должна превосходить того же выражения, то есть
.
Ответ: ..
Задача Решите уравнение
x + 240=
Решение
Известно, что
+ *,
Этот частный случай неравенства Коши - Буняковского (9) при n=2
Если векторы () и () коллинеарны, то выполняется равенство.
Преобразуем данное уравнение:
x + 240=,
или +60=,
или x + 60=.
Следовательно, векторы (x;15) и (; 4) коллинеарны, т.е. выполняется условие
=, где -
Тогда
x+ 15**=
=*=.
Тогда
=, или 16(1+)= 225().
Далее заменой =y, где y, полученное уравнение приводится к виду
128+1928y-1125=0,
корни которого
Ответ: .
Задача Решите уравнение
+=(3-2x+3).
на основании неравенства Коши имеем
,
=
Тогда
+(-2x+1).
Следовательно, и правая часть исходного уравнения должна удовлетворять условию
(3-2x+3)(-2x+1), или 2x+2
Ответ:x=1.
Задача. Найти наименьшее значение функции
.
Решение
Учитывая, что каждое слагаемое положительно, используем теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом (a+b, a 0, b 0). Итак, имеем
2 = 4 =4 = 8 .
Окончательно имеем yнаим. =8 .
Ответ:yнаим. =8 .
Задача. Найти наименьшее значение функции
f(x)=
Решение
Представим заданную функцию в следующем виде:
f(x)===.
Применим неравенство Коши к этим пяти положительным слагаемым:
f(x)== =5, то есть при любом f(x).
Отсюда f(x)наим.=5.Ответ:f(x)наим.=5.
Задача . Найти наибольшее значение функции
f(x)=(1-2(1+7x)(x+1) при -.
Решение
Представим заданную функцию в виде:
f(x)=(1-2(1+7x)(x+1) = (1-2x)(1-2x)(1-2x)(1-2x)(1+7x)(x+1).
При - все сомножители положительны, а значит, мы можем применить неравенство Коши (12):
==1.
Ответ:f(x)наиб. =1.
Задача .Найти наименьшее значение функции
y= + .
Решение
Так как оба корня в формуле, задающей функцию, неотрицательны (по свойству арифметического квадратного корня), то, по неравенству Коши, будем иметь
y= + + = = 2.
Итак, y2. Равенство достигается только при x=0.
При x=0 выражение 2 принимает наименьшее значение, равное 1. И тогда yнаим.=2.
Ответ:yнаим.=2.
Задача . Найдите наибольшее значение выражения
и укажите точки, в которых оно достигается.
Решение
Ясно, что переменные xи yудовлетворяют ограничениям причем в соответствии с поставленной задачей имеет смысл рассматривать только неотрицательные значения переменных xи y. Оценивая каждое слагаемое выражения zсверху посредством неравенства Коши , будем иметь
следовательно, zбудет принимать наибольшее значение, равное 1. Это значение будет приниматься лишь тогда, когда
т.е. при условии Следовательно, наибольшее значение, равное 1, величиной zдостигается в точках дуги
Задача. Какое наибольшее значение может иметь многочлен ?
Решение
Пусть (2-x)=y ,то
Согласно неравенству Коши имеем
Отсюда следует, что наибольшее значение много члена равно 1 и оно достигается, если x=2-x, то есть при x=1
Ответ: наибольшее значение многочлена равно 1
Задача. Какое наименьшее значение может иметь выражение для положительных значений x?
Решение
Пусть = y. Согласно неравенству Коши имеем
Итак, наименьшее значений равно 2, оно достигается при
Ответ:x=2
Задача
Задача. Найдите наименьшее значение выражения для положительных значений x, если a и bположительны, а m иn - натуральные числа
Решение
Тогда, согласно неравенству Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическим, имеем
Равенство достигается при , то есть при , или .
Итак, наименьшее значение данного выражения равно
Ответ:
Задача. Найти наименьшее значение функции
Решение
Имеем
Корней не имеет следовательно вся функция положительная
=
То есть откуда следует, что наименьшее значение функции равно 2:
Ответ:
Алгебраическое доказательство неравенства Коши.
(а - в)² ≥ 0;
Применим формулу «квадрат разности»:
а² - 2ав + в² ≥0;
Литература
-
Берколайко С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач.- М.: Квант, 1975.- №4.
-
Айзенштайн Я.И. Доказательство неравенств методом математической индукции. - М., 1976. № 2. - С. 89.
-
Седракян Н.М. Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. - М.: Физматлит, 2002.
-
Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. - М.: Наука, 1967.
-
Далингер В.А. Классические неравества.Омск,2013
-
Далингер В.А. Задачи с параметрами.Омск,2012