Стереометрияның таңдамалы есептері

Стереометрияның таңдамалы есептері

Альсейтов Амангелді Гумарович

БҚО Теректі аудандық «Үміт» лингвистикалық гимназиясының математика пәнінің мұғалімі

Бұл еңбекте көп жылдар бойы Батыс Қазақстан облысының бірнеше жалпы орта білім беретін мектептерінде, лицейлер мен гимназияларда оқушылармен өткізген сабақтар мен әріптестеріммен әртүрлі деңгейлердегі семинарлар мен конференцияларда талқыланған және «Математика» пәнінен 2000-2013 жылдар аралығындағы Ұлттық Бірыңғай Тестілеу (ҰБТ) емтихандары мен сынақ тестілерінде кездескен бірқатар «стандартты емес» және күрделірек есептердің шешу жолдарын көрсетеміз.

1-есеп (2007 ж). Кубтың диагоналі 12 см-ге тең. Кубтың көлемін табыңыз.

Шешуі. Тік бұрышты параллелепипедтің диагоналі оның үш өлшемі , және арқылы былайша өрнектеледі: . Куб барлық қырлары тең тікбұрышты параллелепипед болғандықтан , сондықтан . Бұдан екендігі шығады. Кубтың көлемі немесе . Есептің шарты бойынша см. Олай болса (см³).

Жауабы. 192 см³.

2-есеп (2000 ж). Тік бұрышты параллелепипедтің үш өлшемі 2 см, 3 см, 6 см. Оның диагоналінің ұзындығын табыңыз.

Шешуі. Тік бұрышты параллелепипедтің диагоналі оның үш өлшемі , және арқылы былайша өрнектеледі: . Осы формулаға есептің берілгендерін қойсақ:

(см).

Жауабы. 7 см.

3-есеп (2000 ж). Кубтың қыры а-ға тең. Диагоналі табан жазықтығына

қандай бұрышпен көлбеген.

a

a

a

d

D

A

B

C

Шешуі. ABC тікбұрышты үшбұрышын қарастырамыз. Пифагор теоремасын және оның жалпылауын қолданамыз:

см. см.

Тікбұрышты үшбұрыштың элементтері арасындағы байланыстардан: ,

, .

Жауабы. немесе немесе .

Ескерту. Авторға күні бүгінге дейінгі кездескен нұсқалардың 85 %-ында бұл есептің дұрыс жауабы «» деп, 10 %-ында дұрыс жауап « немесе » деп, 5 %-ында дұрыс жауап « немесе немесе » деп берілгенін ескерте кеткенді жөн көрдік.

4-есеп (2000 ж). Үш шардың радиустары 3 см, 4 см, 5 см. Көлемі осы шарлардың көлемдерінің арифметикалық ортасына тең болатын шардың радиусы неге тең?

Шешуі. см, см, см. Шардың көлемінің формуласы: . Есеп шартын ескерсек .

Жауабы. .

5-есеп (2008 ж). Екі шардың беттерінің аудандарының қатынасы 4:1. Көлемдерінің қатынасын табыңыз.

Шешуі. 1-тәсіл. . Көлемдерінің

қатынасы .

2-тәсіл. Ұқсас денелердің көлемдері мен беттерінің аудандарының қатынасы арасындағы байланыс формуласын қолданамыз:

. Сонымен,

көлемдерінің қатынасы .

Жауабы. .

6-есеп (2000 ж). Радиусы 41 см шар центрінен 9 см қашықтықта жазықтықпен қиылған. Қиманың ауданын табыңыз.

d

R

R

O

A

B

C

Шешуі. см. Шарды жазықтықпен қиғанда қимада дөңгелек шығады. Біздің жағдайымызда ол - диаметрі АВ, центрі С болатын дөңгелек. Есеп шартынан см. - тікбұрышты

. Қима ауданы см².

Жауабы. см².

7-есеп (2000 ж). Конусқа іштей шар сызылған. Егер ұзындығы L конус

A

L

S

O

α

O₁

C

жасаушысы табанымен бұрыш жасайтын болса, онда шар көлемі неге тең?

Шешуі. Шардың радиусын R арқылы белгілейік.

Тікбұрышты AOS үшбұрышынан

AO=AS·cosα =L·cosα.

Тікбұрышты AOO₁ үшбұрышынан

R=OO₁ =AO·tg(α/2) =L·cosα·tg(α/2),

себебі конустың өстік қимасындағы шар қимасы болатын шеңбер үшбұрышқа іштей сызылған, ал үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер центрі биссектрисалардың қиылысу нүктесінде жатады. Соңында

.

Жауабы. .

8-есеп (2008 ж). Биіктігі конус радиусы шарға іштей сызылған. Конус көлемін табыңыз.

A

Т

O₁

O

Шешуі. - шар центрі, - конус табаны центрі. Есеп шартынан , . - тікбұрышты

.

.

Жауабы. .

9-есеп (2008 ж). Бір шардың бетінің ауданы 18 см². Көлемі берілген шар көлемінен 8 есе үлкен болатын екінші шардың бетінің ауданын табыңыз.

Шешуі. Есеп шарттарынан см², . Ұқсас денелердің беттерінің аудандарының қатынасының кубы олардың көлемдерінің қатынасының квадратына тең болады. Сондықтан

см².

Жауабы. см².

10-есеп (2008 ж). Екі шардың көлемдерінің қатынасы қатынасындай. Олардың аудандарының қатынасын табыңыз.

Шешуі. Бірінші шардың көлемін , бетінің ауданын арқылы, ал екінші шардың көлемін , бетінің ауданын арқылы белгілейік. Сонда есеп шарты бойынша . Кез келген екі шар ұқсас болады. Ұқсас денелердің беттерінің аудандарының қатынасының кубы олардың көлемдерінің қатынасының квадратына тең болады:

.

Жауабы. .

11-есеп (2007 ж). Дұрыс тетраэдрдың жақтарының центрлері жаңа тетраэдрдың төбелері болып табылады. Соңғы және бастапқы тетраэдрлардың қырларының қатынасын табыңыз.

A

Т

O₁

O

C

B

K

N

Шешуі. Дұрыс тетраэдрдың жақтары дұрыс үшбұрыштар, ал жақтарының центрлері медиана-ларының қиылысу нүктелері болады. үшбұрышының центрі нүктесі, үшбұрышының центрі нүктесі болсын. соңғы тетраэдрдың қыры болады. Сондықтан қатынасын табу керек. Медиананың қасиеті бойынша , . Сонда болғандықтан: .

Жауабы. .

12-есеп (2007 ж). Дұрыс тетраэдрдың жақтарының центрлері жаңа тетраэдрдың төбелері болып табылады. Соңғы және бастапқы тетраэдрлардың жақтарының аудандарының қатынасын табыңыз.

Шешуі. Дұрыс тетраэдрдың жақтары дұрыс үшбұрыштар, ал жақтарының центрлері медианаларының қиылысу нүктелері болады. үшбұрышының центрі нүктесі, үшбұрышының центрі нүктесі болсын. соңғы тетраэдрдың қыры болады. Сондықтан қатынасын табу жеткілікті. Медиананың қасиеті бойынша , . Сонда болғандықтан: . Ұқсас фигуралардың аудандарының қатынасы олардың сәйкес сызықтық элементтерінің қатынасының квадратына тең болатындықтан: .

A

Т

O₁

O

C

B

K

N

O₂

Жауабы. .

13-есеп (2007 ж). Дұрыс тетраэдрдың жақтарының центрлері жаңа тетраэдрдың төбелері болып табылады. Соңғы және бастапқы тетраэдрлардың көлемдерінің қатынасын табыңыз.

Шешуі. Дұрыс тетраэдрдың жақтары дұрыс үшбұрыштар, ал жақтарының центрлері медианаларының қиылысу нүктелері болады. үшбұрышының центрі нүктесі, үшбұрышының центрі нүктесі болсын. соңғы тетраэдрдың қыры болады. Сондықтан қатынасын табу жеткілікті. Медиананың қасиеті бойынша A

Т

O₁

O

C

B

K

N

O₂

, . Сонда болғандықтан, . Ұқсас денелердің көлемдерінің қатынасы олардың сәйкес сызықтық элементтерінің қатынасының кубына тең болатындықтан: .

Жауабы. .

14-есеп (2013 ж). Конустың өстік қимасы қабырғасы 1-ге тең дұрыс үшбұрыш. Конустың өсін, табанын және бүйір бетін жанайтын сфераның радиусын табыңыз.

Шешуі. C - шар центрі делік. Конустың өстік қимасын қарастыратын болсақ, ізделінді сфераның өстік қимасы АСТ тікбұрышты үшбұрышына іштей сызылған шеңбер екендігіне көз жеткіземіз. Тікбұрышты үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер радиусы формуласын қолданамыз:

A

Т

C

r

r

r

O

.

Жауабы. .

15-есеп (2009 ж). M нүктесі теңбүйірлі ABCD трапеция жазықтығынан тысқары жатыр және трапеция төбелерінен бірдей 7 см қашықтықта орналасқан. Егер AB=6 см, BC=8 см, AD=12 см болса, M нүктесінен трапеция жазықтығына дейінгі ара қашықтықты табыңыз.

C

M

A

7

D

7

В

7

O

К

Шешуі. ACD үшбұрышында СК биіктігін жүргіземіз. Сонда м. CKD тікбұрышты үшбұрышынан Пифагор теоремасы бойынша

.

Бұдан .

ACD үшбұрышының ауданы .

CKА тікбұрышты үшбұрышынан Пифагор теоремасы бойынша . Бұдан .

ACD үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы .

MOC тікбұрышты үшбұрышынан Пифагор теоремасы бойынша

.

Бұдан .

Жауабы. см.

16-есеп (2010 ж). Конустың көлемі 375 см². Конустың биіктігі 5 см. Конустың төбесінен 2 см қашықтықтан өтетін және де оның табанына параллель жазықтық қияды. Пайда болған қиық конустың көлемін табыңыз.

H₂

H₁

Шешуі. Үлкен конустың көлемі мен биіктігін сәйкесінше V₁, H₁, ал қию нәтижесінде шыққан кіші конустың көлемі мен биіктігін сәйкесінше V₂, H₂ десек, онда ұқсас денелердің көлемдері мен сызықтық элементтерінің арасындағы байланыс бойынша см³. Қиық конустың көлемі осы конустарының көлемдерінің айырмасы болатыны түсінікті: см³.

Жауабы. 351 см³.

17-есеп (2010 ж). Пирамиданың табанына параллель жазықтық қимасы биіктікті 1:1 қатынасындай етіп бөледі. Қима ауданы 2 м² болса, табан ауданын табыңыз.

H₂

H₁

Шешуі. Үлкен пирамиданың табан ауданы мен биіктігін

сәйкесінше S₁, H₁, ал қию нәтижесінде шыққан кіші пирамиданың табан ауданы мен биіктігін сәйкесінше S₂, H₂ десек, онда ұқсас денелердің сәйкес беттерінің аудандары мен сызықтық элементтерінің арасындағы байланыс бойынша (есеп шарттарынан H₁=2H₂) м².

Жауабы. 8 м².

18-есеп (2010 ж). Ромбының сүйір бұрышы α, үлкен диагоналі d. Ромб

өзінің төбесі арқылы өтетін және үлкен диагоналіне перпендикуляр өстен айналады. Айналу денесінің көлемін табыңыз.

А

В

С

D

α/2

H

d

К

L

Т

Шешуі. ABCD ромбысын өзінің төбесі арқылы өтетін және үлкен диаго-наліне перпендикуляр өстен айналдырғанда шыққан дене көлемі ADKLC қиық конусы мен CDK конусының көлемдерінің айырмасын екі еселегенге тең, яғни . Суреттен . Сонда

.

Жауабы. .

19-есеп (2008 ж). Сфера центрінің бір жағында орналасқан, сфераны қиятын параллель жазықтықтардың қималарының ұзындығы 10 және 24. Жазықтықтар арасы 7 болса, сфераның бетінің ауданын табыңыз.

Шешуі. Сфераны жазықтықпен қиғанда қимада шеңбер шығады. Есеп шарттарына сай O₁O₂=7 см, қимада шыққан үлкен және кіші шеңберлердің ұзындықтары сәйкесінше 2πr₁=24π және 2πr₂=10π; бұлардан r₁=AO₁=12 және r₂=BO₂=5 екендігі шығады. OO₁=х, ал сфера радиусы OA=OB=R делік. Сонда AO₁O және BO₂O тікбұрышты үшбұрыштарынан Пифагор теоремасы бойынша _{теңдеулер жүйесін аламыз. Оны шешеміз: , , .}

OО

АО

O_1О

O_2О

ВО

_{Жүйенің бірінші теңдеуінен x}²_=R²_{-144, оны екінші теңдеуге қойсақ R}²_{-144+14x+74=R}² _{теңдеуі шығады, және бұл теңдеуден x=5 екендігі шығады. Сонда R}²_=x²₊₁₄₄₌₅²_{+144=25+144=169. Сонымен, ізделінді сфера бетінің ауданы S=4πR}²_{=4π∙169=676.}

Жауабы. 676.

CО

OО

хО

B

AО

хО

20-есеп (2007 ж). Шар бетіндегі бір нүктеден оны қиятын екі жазықтық жүргізілген. Екеуі де центрден 2 см қашықтықта, ал арасындағы бұрыш 60° болса, қималардың ауданын табыңыз.

Шешуі. Шар радиусын R делік және шар бетіндегі берілген нүкте (А) мен қималар болатын екі дөңгелектің центрлері (В және С нүктелері) арқылы өтетін қиманы қарастырамыз. Есеп шарттарына сәйкес x=OB=OC=2 см және . болғандықтан, (O нүктесі AB және AC түзулерінен бірдей қашықтықта, сондықтан ол ВАС бұрышының биссектрисасында жатады). ABO тікбұрышты үшбұрышынан қиманың радиусы болатын см. Сонда қима ауданы см².

Жауабы. 36 см².

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. Математика пәнінен тест тапсырмалары // Жоғары оқу орындарына түсушілерге арналған оқу-әдістемелік құрал. - Алматы: Білім беру мен тестілеудің мемлекеттік стандарттарының ұлттық орталығы, 2000. - 465 б.

2. Математика - 2007 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. - Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2007. - 256 б.

3. Математика - 2008 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. - Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2008. - 224 б.

4. Математика - 2009 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. - Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2009. - 272 б.

5. Математика - 2010 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. - Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2010. - 240 б.

6. Математика - 2013 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. - Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2013. - 145 б.

7. Альсейтов А.Г. Математика талапкерге: Ұлттық Бірыңғай Тестілеуге дайындалуға арналған тест нұсқалары. - Орал, 2012. - 220 б.

8. Альсейтов А.Г. Математика: Формулалар жинағы (анықтамалық материалдар). - Орал, 2012. - 156 б.

9. Альсейтов А.Г. Мендибаева Н.М. Тест жинақтарындағы кейбір «стандартты емес» есептер. «Ғылым және білім», №1 (2), 2006. Б. 75-79.

10. Альсейтов А.Г., Хамидуллин Д.Т. Таңдамалы есептер. «Математика және логика». №2, 2012. 11-14 бет.

11. Альсейтов А.Г. Математикадан қиындығы жоғары есептер. «Математика және логика». №6, 2012. 12-14 бет.

13