Рабочая программа внеурочной деятельности в 5 классе Решение логических задач2

17

Программа внеурочной деятельности

«Решение логических задач»

По направлению: общеинтеллектуальное.

Уровень образования (класс): 5 класс

Количество часов: 34.

Учитель: Гилязова Татьяна Борисовна.

2015-2016 учебный год

Пояснительная записка

1. Статус документа

Программа курса внеурочной деятельности ориентирована на учащихся 5 класса и реализуется на основе следующих документов:

1. - Законом Российской Федерации от 29.12.2012 №273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» (Федеральный закон № 273-ФЗ);

2. -Законом Республики Татарстан от 22.07.2013 № 68-ЗРТ «Об образовании»;

3. - Федеральным государственным образовательным стандартом начального общего образования, утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 06.10.2009г. № 373 (далее - ФГОС начального общего образования);

4. - Федеральным государственным образовательным стандартом основного общего образования, утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации 17.12.2010 № 1897 (далее - ФГОС);

5. - Примерной программы по учебным предметам. Математика. 5-9 классы. -3-е изд.перераб. - М.: Просвещение, 2011.64с.-(Стандарты второго поколения).

6. - Учебного плана образовательного учреждения на 2015-2016 учебный год.

7. - Положения о рабочей программе педагога, реализующего ФГОС НОО и ФГОС ООО МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №33 с углубленным изучением английского языка».

8. Программа курса внеурочной деятельности «Решение логических задач» адресована учащимся 5 класса и является одной из важных составляющих работы с актуально одаренными детьми и с мотивированными детьми, которые подают надежды на проявление способностей в области математики в будущем.

В современных условиях особую актуальность приобретает формирование и развитие у школьников логического мышления, предполагающего, в частности, следующие умения: анализировать, сравнивать (выделять общее и особенное), проводить аналогии, классифицировать, выделять главное и обобщать, устанавливать причинно-следственные и иные связи и т.п. Это помогает ребенку осмысленно видеть окружающий мир, более успешно в нем ориентироваться, формирует основы научного мировоззрения.

Формирование логического мышления - важная составная часть педагогического процесса. Помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал - одна из основных задач современной школы. Успешная реализация этой задачи во многом зависит от сформированности у учащихся познавательных интересов.

Формирование логических приемов мышления у школьников способствует развитию у них познавательной деятельности и продуктивных мыслительных процессов. Логические приемы мышления результативно формируют и развивают способности школьников.

Цели изучения курса:

Познавательные:

- приобретение знаний о культуре правильного мышления, его формах и законах;

- приобретение знаний о строе рассуждений и доказательств;

- удовлетворение личных познавательных интересов в области смежных дисциплин таких, как информатика, математика и т.д.

- формирование интереса к творческому процессу учебно-познавательной деятельности.

Развивающие:

- совершенствование речевых способностей (правильное использование терминов, умение верно построить умозаключение, логично провести доказательство);

- развитие психических функций, связанных с речевой деятельностью (память, внимание, анализ, синтез, обобщение и т.д.);

- мотивация дальнейшего овладения логической культурой (приобретение опыта положительного отношения и осознание необходимости знаний методов и приёмов рационального рассуждения и аргументации);

- интеллектуальное развитие обучающихся в ходе решения логических задач и упражнений.

Воспитательные:

- становление самосознания;

- формирование чувства ответственности за принимаемые решения;

- воспитание культуры умственного труда.

Задачи изучения курса

Дать представление об основных формально-логических операциях, показать логические принципы в действии при решении содержательно интересных проблем.

Повысить общий уровень культуры мыслительной деятельности обучающихся: способствовать развитию умения анализировать, сравнивать, обобщать, устанавливать причинно-следственные связи, аргументировано проводить рассуждения и доказательства и т.д.

Сформировать умение замечать математические ошибки в устной и письменной речи, показать правильные пути опровержения этих ошибок.

Осуществить переход от индуктивного умения оперировать суждениями и понятиями, терминами и высказываниями к сознательному применению правил и законов.

Выработать практические навыки последовательного и доказательного мышления.

Общая характеристика курса

При реализации программы используются методы учебно-познавательной деятельности школьников: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, метод проблемного изложения (частично-поисковый), по источникам знаний (словесные, наглядные, практичные), по логике раскрытия учебного материала (индуктивные и дедуктивные) и по степени самостоятельности учащихся

Содержание курса внеурочной деятельности

Обучать детей нахождению способа решения логической задачи.

Решать задачи расширяющие кругозор учащихся, развитие памяти, внимания;

Познавательное развитие детей - узнавание ими простых связей и зависимостей окружающего мира;

Развитие логики мышления, пространственных представлений, воображения детей;

Развитие умения сравнивать и классифицировать;

Формирование творческих, исследовательских качеств учащихся;

Формирование операционного стиля мышления;

Подготовка к восприятию компьютерного варианта задач.

Личностные и метапредметные результаты освоения курса

Программа позволяет добиваться следующих результатов освоения образовательной программы основного общего образования:

Личностные:

у обучающихся будут сформированы:

1) ответственное отношение к учению;

2) готовность и способность обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию;

3) умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;

4) начальные навыки адаптации в динамично изменяющемся мире;

5) экологическая культура: ценностное отношение к природному миру, готовность следовать нормам природоохранного, здоровьесберегающего поведения;

6) формирование способности к эмоциональному восприятию языковых объектов, лингвистических задач, их решений, рассуждений;

7) умение контролировать процесс и результат учебной деятельности;

у обучающихся могут быть сформированы:

1) первоначальные представления о филологической науке, как сфере человеческой деятельности, об этапах её развития, о её значимости для развития цивилизации;

2) коммуникативная компетентность в общении и сотрудничестве со сверстниками в образовательной, учебно-исследовательской, творческой и других видах деятельности;

3) критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта;

4) креативность мышления, инициативы, находчивости, активности при решении филологических задач;

метапредметные:

регулятивные

учащиеся научатся:

1) формулировать и удерживать учебную задачу;

2) выбирать действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её реализации;

3) планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;

4)предвидеть уровень усвоения знаний, его временных характеристик;
5) составлять план и последовательность действий;

6) осуществлять контроль по образцу и вносить необходимые коррективы;

7) адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, её объективную трудность и собственные возможности её решения;

8) сличать способ действия и его результат с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

учащиеся получат возможность научиться:

1) определять последовательность промежуточных целей и соответствующих им действий с учётом конечного результата;

2) предвидеть возможности получения конкретного результата при решении задач;

3) осуществлять констатирующий и прогнозирующий контроль по результату и по способу действия;

4) выделять и формулировать то, что усвоено и, что нужно усвоить, определять качество и уровень усвоения;

5) концентрировать волю для преодоления интеллектуальных затруднений и физических препятствий;

познавательные

учащиеся научатся:

1) самостоятельно выделять и формулировать познавательную цель;

2) использовать общие приёмы решения задач;

3) применять правила и пользоваться инструкциями и освоенными закономерностями;

4) осуществлять смысловое чтение;

5) создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения задач;

6) самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических задач;

7) понимать сущность алгоритмических предписаний и уметь действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;

8) понимать и использовать математические средства наглядности (рисунки, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

9) находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять её в понятной форме; принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации;

учащиеся получат возможность научиться:

1) устанавливать причинно-следственные связи; строить логические рассуждения, умозаключения (индуктивные, дедуктивные и по аналогии) и выводы;

2) формировать учебную и общепользовательскую компетентности в области использования информационно-коммуникационных технологий (ИКТ-компетентности);

3) видеть математическую задачу в других дисциплинах, в окружающей жизни;

4) выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;

5) планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера;

6) выбирать наиболее рациональные и эффективные способы решения задач;

7) интерпретировать информации (структурировать, переводить сплошной текст в таблицу, презентовать полученную информацию, в том числе с помощью ИКТ);

8) оценивать информацию(критическая оценка, оценка достоверности);

9) устанавливать причинно-следственные связи, выстраивать рассуждения, обобщения;

коммуникативные

учащиеся научатся:

1) организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками: определять цели, распределять функции и роли участников;

2) взаимодействовать и находить общие способы работы; работать в группе: находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учёта интересов; слушать партнёра; формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение;

3) прогнозировать возникновение конфликтов при наличии разных точек зрения;

4) разрешать конфликты на основе учёта интересов и позиций всех участников;

5) координировать и принимать различные позиции во взаимодействии;

6) аргументировать свою позицию и координировать её с позициями партнёров в сотрудничестве при выработке общего решения в совместной деятельности.

предметные:

по окончании курса «Логика в математике» учащиеся должны:

знать:

нестандартные методы решения различных математических задач;

логические приемы, применяемые при решении задач;

историю развития математической науки

виды логических ошибок, встречающихся в ходе доказательства и опровержения.

уметь:

логически рассуждать при решении текстовых арифметических задач;

применять изученные методы к решению олимпиадных задач;

научиться новым приемам устного счета;

познакомиться с великими математиками;

познакомиться с такими понятиями, как софизм, ребус;

научиться работать с кроссвордами и ребусами;

рассуждать при решении логических задач, задач на смекалку, задач на эрудицию и интуицию;

систематизировать данные в виде таблиц при решении задач, при составлении математических кроссвордов, шарад и ребусов;

применять нестандартные методы при решении задач

применить теоретические знания при решении задач;

получить навыки решения нестандартных задач;

выявлять логические ошибки, встречающиеся в различных видах умозаключений, в доказательстве и опровержении.

решать логические задачи по теоретическому материалу науки логики и занимательные задачи.

Планируемые результаты освоения обучающимися программы курса «Логика»

Требования к личностным, метапредметным и предметным результатам освоения курса «Логика» .

В результате изучения данного курса в первом классе обучающиеся получат возможность формирования личностных результатов:

- определять и высказывать под руководством педагога самые простые общие для всех людей правила поведения при сотрудничестве (этические нормы);

- в предложенных педагогом ситуациях общения и сотрудничества, при поддержке других участников группы и педагога, делать выбор, как поступить, опираясь на этические нормы.

Метапредметные результаты:

Регулятивные УДД:

- определять и формулировать цель деятельности с помощью педагога; - проговаривать последовательность действий;

- учиться высказывать свое предположение (версию); - учиться работать по предложенному педагогом плану;

- учиться отличать верно выполненное задание от неверного;

- учиться совместно с педагогом и другими учениками давать эмоциональную оценку деятельности товарищей.

Познавательные УДД:

- ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью педагога;

- учиться добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя свой жизненный опыт, информацию, полученную от педагога, и используя учебную литературу;

- учиться овладевать измерительными инструментами. Коммуникативные УДД: - учиться выражать свои мысли;

- учиться объяснять свое несогласие и пытаться договориться;

- овладевать навыками сотрудничества в группе в совместном решении учебной задачи.

Предметными результатами являются формирование следующих умений:

- сравнивать предметы по заданному свойству;

- определять целое и часть;

- устанавливать общие признаки;

-находить закономерность в значении признаков, в расположении предметов; - определять последовательность действий;

- находить истинные и ложные высказывания;

- наделять предметы новыми свойствами; переносить свойства с одних предметов на другие.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

№ п/п

Тема

Кол-во часов

Формы проведения

Дата

проведения

1

Нулевой цикл «Знакомство»

2

Беседа

4-11.09

2

Сюжетные задачи, решаемые с конца

2

Обсуждение

практикум

18-25.09

3

«Переправы»

1

Обсуждение

практикум

2.10

4

Числовые ребусы

1

Практикум соревнование

9.10

5

Геометрия: задачи на разрезание

2

Беседа

моделирование

16-23.10

6

Повторение. Математическое соревнование

1

Игра

30.10

8

Пересечение и объединение множеств.

Круги Эйлера

1

Исследовательская работа

13.11

9

Задача Пуассона (задачи на переливания)

2

Обсуждение

практикум

20-27.11

10

Геометрия: лист Мебиуса

1

Беседа

моделирование

4.12

11

Занимательные задачи на проценты

2

Обсуждение

практикум

11-18.12

12

Знакомство с логикой: «все», «некоторые», отрицание

1

Исследовательская работа

25.12

13

Сумма и среднее арифметическое

1

Обсуждение практикум

15.01

14

Повторение. Математическое соревнование

1

Игра

22.01

16

Задачи на четность: чередование

2

Исследовательская работа

29.01-

5.02

17

«Обходы»

2

Обсуждение

практикум

12-19.02

18

«Взвешивания»

2

Обсуждение

практикум

26.02-

4.03

19

Сюжетные задачи на совместную работу

2

Обсуждение

практикум

11-18.03

20

Задачи на четность: разбиение на пары

1

Исследовательская работа

1.04

21

Примеры и конструкции

1

Обсуждение

проектная работа

8.04

22

Логические задачи

2

Игра

практикум

15-22.04

23

Повторение

1

Практикум

обсуждение

29.04

24

Итоговая олимпиада

2

Олимпиада

6-13.05

25

Заключительное занятие

1

Игра

обсуждение

20.05

Итого

34

27.05

Ожидаемые результаты

1 уровень.

На первом (начальном) уровне, называемом пропедевтическим, учащиеся знакомится с основными понятиями. Формируются первые элементы информационной культуры в процессе использования учебных игровых программ, компьютерных тренажеров и т.д.

2 уровень.

Умение решать задачи по следующим направлениям:

Задачи с транзитивными отношениями

Задачи с некорректными условиями

Задачи с отношением равенства

Задачи с не транзитивными отношениями

Задачи с несколькими отношениями

Задачи на сравнение элементов в отношениях

Задачи, решаемые с помощью схем и таблиц

Задачи на переправу

Задачи, решаемые с помощью графов

Задачи на перебор возможных вариантов

Форма и режим занятий.

Программа рассчитана на учащихся 5-6 класса, 34 часа в год, 1 час неделю. Занятие делится на две части: 1 - теоретическая часть (25мин), 2 - часть практическая часть - работа на компьютере (15 мин). Занятия проводятся в игровой форме, в форме беседы, наблюдения.

Формы организации учебной деятельности на занятиях:

• Комбинированное занятие;

• Занятие - лекция;

• Занятие - демонстрация;

• Занятие - практикум;

• Творческая лаборатория;

• Занятие - демонстрация;

• Занятие - игра;

• Занятие - консультация.

На большей части учебных занятий используется самостоятельная интеллектуальная и практическая деятельность учащихся, в сочетании с фронтальной, групповой, индивидуальной формой работы школьников.

Описание учебно-методического и материально-технического обеспечения образовательной деятельности

Формы организация учебной деятельности обучающихся

Организация учебной деятельности предполагается по форме: преимущественно урочная, в том числе фронтальная, групповая и индивидуальная.

Фронтальная работа предполагает совместную деятельность всей группы и обеспечивает общее продвижение вперед: преподаватель для всей группы излагает учебный материал, ставит задачу, а учащиеся решают одну проблему, овладевают общей темой.

При групповой работе учебная группа разделяется на несколько групп, которые выполняют одинаковые или различные задания. Состав и численность этих коллективов непостоянные. Групповая работа создает благоприятные воспитательные возможности, приучает к коллективной деятельности. Например, математический бой предполагает групповую работу.

При индивидуальной работе каждый обучающийся получает свое задание, которое выполняет независимо от других, такая работа имеет особое значение для формирования потребности в самообразовании и выработки умения самостоятельно работать.

Методы организации учебной деятельности

Для изучения нового материала предполагается применять такие методы, как занятие-лекция (часть занятия), занятие-исследование. Уроки закрепления знаний и совершенствования умений и навыков планируется проводить в виде семинара, практикума. При проведении урока обобщения и систематизации учитель указывает источники получения дополнительной информации, а также типичные задачи и практические упражнения, ставит проблемы, предлагает задания и работы творческого характера.

Для развития коммуникативных компетенций планируется использовать и такие типы уроков, как урок-соревнование, взаимообучение - работа в парах, игра - математический бой.

Для лучшего усвоения и погружения в материал можно использовать лекции-визуализации в форме подачи лекционного материала средствами ТСО (например, презентаций). Чтение такой лекции сводится к развернутому или краткому комментированию просматриваемых визуальных материалов и позволяет сократить время за счет готовых выкладок. (Не следует злоупотреблять такой формой из-за опасности поверхностного восприятия материала.)

В части преемственности содержания элементов образования, темы курса изучаются после прохождения соответствующих тем основной программы по математике. Обеспечение проектной деятельности проходит в рамках организации конференции в конце учебного года по представлению и составлению сборника авторских задач с решениями по различным темам курса силами обучающихся.

Организация промежуточной аттестации и итоговой аттестации по итогам освоения курса.

Аттестация обучающихся возможна в рамках системы «зачет - не зачет» по итогам участия в конференции в конце изучения курса или в рамках накопительной системы баллов за участие в практических занятиях и подготовке, организации и (или) проведении математических боев и решении исследовательских задач.

Если учитель желает аттестовать обучающихся по некоторой шкале, он может сам разработать проверочные работы, но при этом нужно помнить, что весь материал курса находится за рамками базового уровня обучения и неусвоение материала курса не может препятствовать продолжению обучения.

Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение образовательного процесса

Учебно-методическое обеспечение

1. Богомолов О.Б., Логические задачи, издательство: «Бином. Лаборотория

2. Гетманова А. Д. Занимательная логика. - М.: Владос, 1998, Ч. 1, С.171.

3. Горячев А.В., Горина К.И., Волкова Т.О. Информатика в играх и задачах. 1кл. - М.: Баласс, 2005. - С.35 - 58.

4. Горячев А.В., Горина К.И., Волкова Т.О. Информатика в играх и задачах. 4кл. - М.: Баласс, 2005. - С.30.

Основные электронные образовательные ресурсы, применяемые в изучении курса

Свободные образовательные Интернет-ресурсы

Сайт Диофант - проект, где публикуются интересные задачи и проводятся турниры по их решению

diofant.ru/

Единое окно доступа к образовательным ресурсам,

window.edu.ru/resource/092/54092

Физмат - класс: образовательный портал, Автор/создатель: Гущин Д.Д.,

fmclass.ru

Материально-техническое обеспечение

№

Наименование учебного оборудования

Темы, в изучении которых

Применяется данное оборудование

Классы

I.

Учебное оборудование

Оргтехника для доски (мел, фломастеры и т.п.)

постоянно

Экран (телевизор) для проектора

Лекции -визуализации при объяснении нового материала.

Избранные занятия по модулям.

Проведение конференции.

Линейка, циркуль

постоянно

II.

Компьютерная техника и интерактивное оборудование

компьютеры

Практикум по составлению задач.

Подготовка и проведение конференции.

мультимедийный проектор

Лекции-визуализации при объяснении нового материала.

Избранные занятия по модулям.

Проведение конференции.

Принтер или копировальный центр или «школьная типография»

Печать материалов презентаций проектов, печать домашних заданий

Приложение

Материалы к занятиям

Сюжетные задачи, решаемые с конца

Методика решения текстовых задач. Увлечение математикой часто начинается с размышлений над какой-то новой, интересной, нестандартной и понравившейся задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, в журнале или книге, ее можно услышать от друга или от родителей. Задачи на логику развивают в человеке сообразительность, интеллект и упорство в достижении цели. Очень часто одна решенная логическая задача пробуждает у ребенка устойчивый и долговременный интерес к изучению математики, желание искать и решать новые логические, нестандартные задачи и задачи повышенной трудности. А это, во многом, и есть главная цель учителя.

Понятие текстовой задачи, сюжетной задачи, виды задач. Чтение условия задачи, анализ условия задачи. Работа с информацией.

Пример задачи:

• Двое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика в начале?

«Переправы».

Один из типов сюжетных задач.

Пример задачи:

• Волк, коза и капуста. На берегу реки стоит крестьянин с лодкой, а рядом с ним находятся волк, коза и капуста. Крестьянин должен переправиться сам и перевезти волка, козу и капусту на другой берег. Однако в лодку кроме крестьянина помещается либо только волк, либо только коза, либо только капуста. Оставлять же волка с козой или козу с капустой без присмотра нельзя - волк может съесть козу, а коза - капусту. Как должен вести себя крестьянин?

Числовые ребусы.

Понятие числового ребуса. Условие числового ребуса. Виды ребусов. Правила восстановления записи числового ребуса. Обсуждение решения числовых ребусов.

В большинстве предлагаемые ребусы должны иметь несколько правильных расшифровок, это позволит бороться с решениями путем подбора. В этом случае каждая задача может быть предложена для работы на двух уровнях:

• найти какое-нибудь решение, найти как можно больше решений,

• найти все решения и доказать, что других решений нет.

Для правильного доказательства во втором случае, как правило, необходимо разобрать все случаи в разветвленной логической схеме.

Математические ребусы - удобный объект для тренировки учащихся в проведении достаточно сложных (трудоемких) логических рассуждений, в которых необходимо разобрать все возможные случаи.

Подавляющее большинство возникающих в практической деятельности проблем можно решать многими разными способами. Необходимо рассматривать все эти способы, сравнивать их и выбирать наилучший. Однако исследователи и инженеры часто останавливаются на каком-то одном варианте и не изучают альтернативные, в результате принимаются решения, отличающиеся от оптимальных. Математические ребусы можно использовать во время разминки на учебных занятиях, включать их в домашние занятия, размещать в математических газетах.

Геометрия: задачи на разрезание.

Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих задач на разрезание были найдены еще с древними греками и китайцами. Первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абул-Вефа - персидского астролога X века. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них той или иной новой фигуры лишь в XX веке, прежде всего, потому, что универсального метода решения таких задач не существует и каждый, кто берется за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Учитывая, что здесь не требуется глубокое знание геометрии, любители могут иногда даже превзойти профессионалов-математиков.

Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

На первом этапе рекомендуется рассмотреть задачи на клетчатой бумаге. Задачи, в которых разрезание фигур (в основном это квадраты и прямоугольники) идет по сторонам клеток.

Далее могут рассматриваться задачи, связанные с фигурами-пентамино. Пентамино́, изначально, (от др.-греч. πέντα пять, и домино) - пятиклеточные полимино, то есть плоские фигуры, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами («ходом ладьи»). Сегодня пентамино понимается более широко - плоская фигура, составленная из плиток.

Задачи разбиения плоскости, в которых нужно находить сплошные разбиения прямоугольников на плитки прямоугольной формы, задачи на составление паркетов, задачи о наиболее плотной укладке фигур в прямоугольнике или квадрате, задачи, в которых одна фигура разрезается на части, из которых составляется другая фигура.

В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание.

Примеры задач:

• Разделите фигуру, изображенную на рисунке, на четыре равные части так, чтобы линия разрезов шла по сторонам квадратов. Придумайте два способа решения.

• На клетчатой бумаге нарисован квадрат размером 5*5 клеток. Придумайте, как разрезать его по линиям сетки на 7 различных прямоугольников.

Пересечение и объединение множеств. Круги Эйлера.

Понятие множества, пересечение множеств или их объединение. Круги Эйлера как геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, с целью наглядного представления.

Эта тема тесно связана с алгеброй множеств. Использование кругов Эйлера придает задачам алгебры множеств наглядность и простоту. Круги Эйлера применяются с успехом в логических задачах для изображения множеств истинности высказываний и во многих других случаях. Изображение условия задачи с помощью кругов Эйлера, как правило, упрощает и облегчает путь к ее решению.

Эта тема может послужить хорошим поводом для того, чтобы рассказать учащимся о жизни и деятельности Леонарда Эйлера и его трудах.

Примеры задач:

• Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек - фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

• На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Задача Пуассона (задачи на переливания).

Одной из самых известных задач на переливание является задача Симеона Дени Пуассона, знаменитого французского математика и физика. В данной теме рассматривается решение задач на переливание различными методами. Суть этих задач сводится к следующему: имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний. В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи.

На простых и занимательных примерах решения задач на «переливания» удается рассмотреть такие важные понятия как «команда», «блок-схема», «программа». Решая задачи, учащиеся обучаются моделированию простейших алгоритмов. Решение задач этого цикла требует смекалки, развивают комбинаторное мышление.

В начале занятия следует лишь сформулировать задачу Пуассона, рассказать ее историю, но не пытаться ее решать. Решение задачи необходимо начать с наиболее простых понятных задач, постепенно подводя к общему методу.

Примеры задач:

• В бочке 18 литров бензина. Имеются 2 ведра по 7 литров и черпак объемом 4 литра. Как налить в ведра по 6 литров бензина?

• Имеется стакан кофе и стакан молока. Ложку молока перелили в кофе, полученную смесь тщательно перемешали. Ложку смеси перелили обратно в молоко. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?

Геометрия: лист Мебиуса.

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: «лента Мёбиуса») придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус, ученик «короля математиков» Гаусса. Исторический очерк о Мебиусе. Несколько слов о топологии. Лист Мебиуса как геометрический объект. Свойства листа Мебиуса. Односторонность. Непрерывность. Связность. Ориентированность. Загадки листа Мебиуса. Применение листа Мебиуса в жизни. Проведение эксперимента с листом Мебиуса.

У каждого есть интуитивное представление о том, что такое «поверхность». Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мебиуса показывает, что может.

Лист Мебиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, делать с ним различные эксперименты. Изучение листа Мебиуса - хорошее введение в элементы топологии.

К занятию полезно подготовить достаточное количество бумажных лент, с которыми будут работать (проводить эксперименты) учащиеся. Хороши ленты, у которых длина примерно в 5 раз больше ширины.

Примеры экспериментов:

• Что получится, если начать закрашивать лист Мёбиуса с одной стороны, не переходя через край, какая часть ленты окажется закрашенной?

• Что произойдёт с обычным кольцом, если его разрезать посередине?

• А если лист Мёбиуса разрезать посередине (то есть на 2 полоски)? Каков результат разрезания листа Мёбиуса на 3 полоски?

Занимательные задачи на проценты.

Понятие процента. Нахождение процента от числа и числа по его проценту.

Примеры задач:

• Возраст брата составляет 40% от возраста сестры. Сколько процентов составляет возраст сестры от возраста брата?

• Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате длительного хранения влажность снизилась до 98%. Как изменилась влажность арбуза?

• Двое путников одновременно вышли из пункта А по направлению к пункту В. Шаг второго был на 20% короче, чем шаг первого, но зато второй успевал за то же время сделать на 20% шагов больше, чем первый. Сколько времени потребовалось второму путнику для достижения цели, если первый прибыл в пункт В спустя 5 часов после выхода из пункта А?

Знакомство с логикой: «все», «некоторые», отрицание

Что изучает логика. Исторический очерк. Понятие, суждение, умозаключение. Высказывания. Утверждения. Отрицание как логическая операция. Квантор.

Умение логически грамотно рассуждать является важным для каждого человека, а не только для избранных. Несмотря на то, что весь школьный курс математики пронизан логическими идеями, но наиболее важные или специальные приемы логических рассуждений заслуживают особого внимания.

Тема посвящена образованию отрицательных утверждений, в которых используются слова «все», и «некоторые». На языке математики «все» соответствует квантору общности, «некоторые» - квантору существования.

Примеры заданий:

• Скажите то же самое по-другому:

а) Неверно, что все млекопитающие живут на суше.

б) Неверно, что 5 делится на 2.

в) Неверно, что некоторые рыбы летают.

• Построить отрицание предложений с помощью слова неверно и в более простой форме.

а) Сегодня будет солнечно.

б) Все собаки любят кошек.

в) Курица - домашняя птица.

г) Весной снег всегда тает.

д) 150 меньше 200.

е) Математика - точная наука.

• Придумать свои предложения и построить их отрицание.

• Доказать, что высказывание является ложным и построить его отрицание:

а) Число 0 является натуральным.

б) Между числами 4 и 5 нет натуральных чисел.

в) Неправильная дробь меньше единицы.

Сумма и среднее арифметическое.

Понятия «среднее арифметическое», вывод соответствующих формул, изучение понятий «средняя скорость» и «средняя масса» и методы их нахождения; умение применять знания в практических задачах; закрепление арифметических действий с десятичными дробями.

Примеры задач:

• Человек шел 2 ч со скоростью 4,6км/ч и 3 ч со скоростью 5,1 км/ч. С какой постоянной скоростью он должен был идти, чтобы пройти то же расстояние за то же время?

• У Иванова Ивана по математике в журнале стоят оценки 4 5 3 4 5 4 3 3 4. Как вы думаете, какую оценку в четверти получит Иван? И почему?

• Миша, Петя и Коля были в походе. Подойдя к лесу, они решили сделать привал. У Миши было 2 пирожка, у Пети 4 и у Коли 6. Все пирожки мальчики разделили поровну и съели. Сколько пирожков съел каждый?

Задачи на четность (чередование, разбиение на пары).

Понятие четности. Применение идеи четности: известные утверждения. Четность суммы и разности нескольких чисел. Идея «разбиения на пары».

Задачи, в которых используется понятие четности встречаются очень часто. Поэтому желательно познакомить школьников с подходами к решению этих задач. Задачи естественным образом разбиваются на три цикла:

1. Разбиение на пары.

Если предметы разбиты на пары, то их четное число. Следовательно, если из нечетного числа предметов образовано несколько пар, то, по крайней мере, один предмет остался без пары. Для решения таких задач нужно в каждом случае увидеть, что именно и на какие пары разбивается.

2. Чередование.

Если из предметов двух сортов образована цепочка, в которой соседние предметы разных сортов, то на всех четных местах стоят предметы одного сорта, а на всех нечетных - другого. Отсюда вывод: предметов одного сорта на один больше, чем предметов другого сорта в случае, когда длина цепочки нечетна и предметов обоих сортов поровну, тогда длина цепочки четна.

3. Чет - нечет.

Решение задач основано на простом наблюдении: сумма четного числа нечетных чисел - четна. Обобщение этого факта: четность суммы нескольких чисел зависит лишь от четности числа нечетных слагаемых: если количество нечетных слагаемых (не)четно, то и сумма - (не)четна.

Примеры задач:

• За круглым столом сидят мальчики и девочки. Докажите, что количество пар соседей разного пола чётно.

• Шахматный конь вышел с поля a1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.

• Может ли прямая не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все ее звенья?

• На хоккейном поле лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист бьет по одной из них так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 1999 раз. Могут ли после этого все шайбы остаться на исходных местах?

• На клетчатой бумаге нарисован замкнутый путь, идущий по линиям сетки. Может ли он иметь длину 1999? А длину 2000?

• Все костяшки домино выложили в цепь по правилам. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков оказалось на другом?

• Из набора домино выбросили все кости с «пустышками». Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд по правилам?

• На доске 25 × 25 расставлено 25 шашек, причём их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.

«Обходы».

Примеры задач.

• а) Расположите на плоскости 6 точек и соедините их непересекающимися линиями так, чтобы из каждой точки выходили 4 линии.

б) проведите 6 прямых и отметьте на них 7 точек так, чтобы на каждой прямой было ровно три из отмеченных точек.

• а) Художник-авангардист нарисовал картину "Контур квадрата и его диагональ". Мог ли он нарисовать свою картину, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды?

б) А если его картина называлась "Контур квадрата и его диагонали"?

• а) Зачеркните 9 точек, изображенных на левом рисунке, четырьмя отрезками, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды.

б) 13 точек, изображенных на правом рисунке, пятью отрезками, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды.

• Пешеход обошёл шесть улиц одного города, пройдя каждую ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь раз. Могло ли это быть?

• а) 20 команд сыграли турнир по олимпийской системе (встречаются две команды, победитель играет дальше, проигравший выбывает). Сколько всего было сыграно матчей?

б) а если турнир проходил по круговой системе в один круг? (каждая команда играет с каждой один раз).

• Дима, приехав из Врунляндии, рассказал, что там есть несколько озер, соединенных между собой реками. Из каждого озера вытекают три реки, и в каждое озеро впадают четыре реки. Докажите, что он ошибается.

Задачи на взвешивания.

Задачи на взвешивание - достаточно распространённый вид математических задач. В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.

Примеры задач:

• У Буратино есть 27 золотых монет. Но известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету?

• Мачеха послала Золушку на рынок. Дала ей девять монет: из них 8 настоящих, а одна фальшивая - она легче чем настоящая. Как найти ее Золушке за два взвешивания?

• Имеется 8 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Определите за 3 взвешивания какая из монет фальшивая.

Текстовые задачи на совместную работу.

Понятие производительности, работы, времени работы. Формулы, связывающие производительность, время и работу для случая, когда работа обозначена 1. Задачи на нахождение совместной и личной производительности и времени. Задачи, когда работа выражается натуральным или дробным числом. Нестандартный подход к нахождению общей производительности.

Примеры задач:

• Через одну трубу бассейн наполняется за 7 часов, а через другую опустошается за 8 часов. За какое время бассейн будет наполнен, если открыть обе трубы?

Примеры и конструкции.

Примеры задач:

• Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?

• Закрасьте некоторые клетки квадрата 4х4 так, чтобы любая закрашенная клетка имела общую сторону ровно с тремя незакрашенными.

• Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 магический квадрат, то есть разместите их в таблице 3х3 так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы.

• Как расположить 16 шашек в 10 рядов по 4 шашки в каждом ряду? Как расположить 9 шашек в 10 рядов так, чтобы в каждом ряду было по 3 шашки? (ряд - это несколько шашек, лежащих на одной линии)

• При делении числа 2•3=6 на 4 получаем в остатке 2. При делении числа 3•4=12 на 5 получаем в остатке 2. Верно ли, что остаток от деления произведения двух последовательных чисел на число, следующее за ними, всегда равен 2?

Логические задачи.

Среди задач на сообразительность особый интерес представляют логические задачи. Если для решения задачи требуется лишь логически мыслить и совсем не нужно производить арифметические выкладки, то такую задачу обычно называют логической. При решении подобных задач решающую роль играет правильное построение цепочки точных, иногда очень точных рассуждений.

На первом этапе целесообразно рассмотреть три широко распространенных типа логических задач:

1. Задачи, в которых на основании серии посылок, сообщающих те или иные сведения о действующих лицах, требуется сделать определенные выводы.

2. Задачи о «мудрецах».

3. Задачи о лжецах и тех, кто всегда говорит правду.

Повторение. Математическое соревнование.

По окончании цикла занятий проводится обобщающее занятие, в рамках которого проходит повторение изученного материала, а также проводится один из видов математического соревнования, который наиболее подходит для организации работы со школьниками, занятыми во внеурочной деятельности. Это может быть математический КВН, математический аукцион, математическая регата, игра по станциям, математический хоккей, математическое лото, мозговая атака и другие формы работы.

Итоговая олимпиада проводится как форма итогового занятия по освоению программы, определяющего объективный уровень знаний и умений учащихся, полученных в результате участия во внеурочной деятельности по математике. Мероприятие проводится по правилам проведения классической олимпиады по математике. Вариант работы составляется учителем. В работу включаются задания, которые были предметом обсуждения на занятиях внеурочной деятельности.