Методическое пособие по решению неравенств методом рационализации

Метод рационализации

Оглавление

I.

Введение

2

II.

Решение неравенств методом рационализации

3

1.

Теоретическое обоснование метода

3

2.

Иррациональные неравенства

4

3.

Неравенства с модулем

7

4.

Показательные неравенства

8

5.

Логарифмические неравенства

9

6.

Комбинированные неравенства

16

III.

Литература

19

I. Введение

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и впоследствии подтвердить это, - что следуя этому методу, мы достигнем цели.

Лейбниц

Одним из методов решения неравенств является метод рационализации. Этот метод известен уже около 50 лет. В разных источниках его называют по разному: метод декомпозиции, метод замены множителей, обобщенный метод интервалов.

Решение нестандартных неравенств сопряжено со многими техническими сложностями, что чревато как логическими, так и вычислительными ошибками. Применение стандартных способов решения неравенств часто бывает затруднительным или невозможным. Метод рационализации позволяет избежать многих нежелательных осложнений и ускорить процесс решения неравенств.

II. Решение неравенств методом рационализации.

1. Теоретическое обоснование метода

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x)(в конечном счете, рациональное), при котором неравенство G(x)0 равносильно неравенству F(x)0 в области определения выражения F(x)(символ заменяет один из знаков >, <, ).

Выделим некоторые типовые выражения F и соответствующие им рационализующие выражения G, где f, g, h, p, q- выражения с переменной х (h> 0;h≠ 1; f> 0, g> 0), a - фиксированное число (a> 0, a≠ 1).

Замена некоторых типовых выражений

№

ВыражениеF

ВыражениеG

1

1а

1б

2

2а

2б

3

4

4а

5

6

Некоторые следствия (с учетом области определения неравенства):

1.

2.

_3.

4.

В указанных равносильных переходах символ заменяет один из знаков >, <, .

Докажем справедливость замен 1- 6, представленных в таблице.

Доказательство.

1. Пусть , то есть , причёмa> 0, a ≠ 1,f> 0, g> 0.

Если 0 <a<1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f<g. Значит, выполняется система неравенств

откуда следует неравенство ,верное на области определения выраженияF = .

Если a> 1, то f>g. Следовательно, имеет место неравенство.

Обратно, если выполняется неравенство на области допустимых значений (a> 0, a ≠ 1, f> 0, g> 0), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств

и

Из каждой системы следует неравенство , то есть .

Аналогично, рассматриваются неравенства вида F< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда имеем:

=

Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения

или.

3. Так как = ,

то, используя замены 2а и 2б из таблицы, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения , или.

4. Из неравенства следует . Пусть число а > 1, тогда ,или .

Отсюда с учётом замены 1б и условия a> 1 получаем

Аналогично доказываются неравенства F< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Доказательство проводится аналогично доказательству 4.

6. Доказательство замены 6следует из равносильности неравенств | p | > | q | и p²>q²

( | p | < | q | и p²<q²).

2. Иррациональные неравенства

1) Решите неравенство.

Решение.

Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

1.

2.

3.

_{Решение исходного неравенства:}

_Ответ:

2) Решите неравенство.

Решение.

Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

_1.

_2.

3.

_{Решение исходного неравенства:}

_Ответ:

3) Решите неравенство.

Решение.

Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

1.

2.

3.

_{Решение исходного неравенства:}

_Ответ:

4) Решите неравенство .

Решение.

Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

1.

2.

_{Решение исходного неравенства:}

Ответ:

3. Неравенства с модулем

5) Решите неравенство .

Решение.

Решим неравенство, используя метод рационализации

_Ответ:

4. Показательные неравенства

6) Решите неравенство.

Решение.

ОДЗ:

Решим неравенство, используя метод рационализации

_Ответ:

7) Решите неравенство.

Решение.

Решим неравенство, используя метод рационализации

_Ответ:

8) Решите неравенство .

Решение.

Решим неравенство, используя метод рационализации

_Ответ:

5. Логарифмические неравенства

9) Решите неравенство.

Решение.

Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

1.

2.

_{Решение исходного неравенства:}

_Ответ:

10) Решите неравенство.

Решение.

Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

1.

_{Решение исходного неравенства:}

_Ответ:

11) Решите неравенство.

Решение.

Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

1.

_2.

3.

4.

_{Решение исходного неравенства:}

_Ответ:

12) Решите неравенство

Решение.

Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

1.

2.

3.

_{Решение исходного неравенства:}

Ответ:

13) Решите неравенство

Решение.

Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

1.

_2.

_{Решение исходного неравенства:}

Ответ:

14) Решите неравенство

Решение.

Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

1.

2.

_{Решение исходного неравенства:}

Ответ:

15) Решите неравенство .

Решение.

Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

1.

_{Решение исходного неравенства:}

Ответ:

16) Решите неравенство .

Решение.

Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

_1.

_{Решение исходного неравенства:}

Ответ:

17) Решите неравенство .

Решение.

Решим неравенство, используя метод рационализации

1.

2.

_{Решение исходного неравенства:}

Ответ:

6. Комбинированные неравенства

18) Решите неравенство .

Решение.

Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

1.

2.

_{Решение исходного неравенства:}

_Ответ:

19) Решите неравенство .

Решение.

Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

1.

2.

_{Решение исходного неравенства:}

Ответ:

Литература

1. Сергеев И. Н., Панфёров В. С. ЕГЭ 2010. Математика. Задача С3. - М.: МЦНМО, 2010. - 72 с.

2. Математика. Подготовка к ЕГЭ - 2014: решаем задание С3 методом рационализации : учебно - методическое пособие / Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Калабухова. - Ростов - на - Дону: Легион, 2013. - 32 с.

3. Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Математика. ЕГЭ 2011(типовые задания С3). Методы решения неравенств с одной переменной.

4. Панфёров В. С., Сергеев И. Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач. ФИПИ. - М.: Интеллект - Центр, 2012. - 96 с.

5. Сайт А. А. Ларина.alexlarin.net

6. Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Материалы курса "Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников": лекции 1 - 4. М. :Педагогический университет "Первое сентября", 2012.

24