Методическая разработка Подготовка к ЕГЭ Решение задач на сплавы и смеси

МОУ Ундоровский общеобразовательный лицей

Подготовка к ЕГЭ

Решение задач на сплавы и смеси

Учитель Борисова М.П.

Введение

Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ с момента его существования говорят о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет год от года чуть больше или меньше 30 %. Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеет техникой решения текстовых задач и не умеет за их часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы.

В связи с изменением содержания ЕГЭ по математике в сторону практического применения математических знаний в повседневной жизни, встала необходимость изменить систему подготовки к выпускному экзамену. Учебники по математике за 10-11 классы, по которым сегодня обучаются учащиеся, подобных заданий не содержат. А на изучение текстовых задач типа В13 отводится мало часов в 6 и 9 классах. Известно, что такие задачи всегда вызывали затруднения у большой части учащихся. В школьном курсе математики рассматриваются простейшие задачи по данной теме, задачам же на смеси и сплавы не уделяется должного внимания. В предлагаемых заданиях на экзаменах в 9-х и 11-х классах присутствует целый блок задач данной тематики. Особенностью данного курса является его межпредметная связь с химией, так как тот тип задач, который рассматривается в данном курсе, напрямую связан с химическими процессами. Наибольшие трудности возникают у учащихся при решении задач на «смеси и сплавы», «концентрацию и процентное содержание». Задачи на смеси и сплавы уже при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Некоторые старшеклассники, увидев задачу на смеси, сплавы и растворы, сразу отказываются их решать. Их можно понять: темы 10-11 класса далеки от этих задач. В учебниках их мало, а в вариантах экзаменов есть во всех. Самостоятельно справиться с ними могут немногие. Однако эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся. Выбор данных типов задач обоснованы и тем, что в школьном курсе таких задач предлагается очень мало, а поэтому результаты решения задач подобного типа невысокие.

Часто учащиеся не умеют за их нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках математики (в рамках школьной программы). Кроме этого трудности при решении задач на «смеси и сплавы», «концентрацию и процентное содержание» могут возникать на различных этапах.

Я, как учитель математики, решила уделить внимание этой проблеме, и познакомь с различными способами решения задач: и математическим, и с помощью таблицы, схемы и рисунка. При решении задач данного типа очевидны межпредметные связи математики с химией, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся.

В данном пособии я рассмотрела различные методики решения задач на растворы, смеси, сплавы, учитывая системный подход к разным способам. В пособии также приведены тренировочные задания с ответами, образцами решений, варианты самостоятельных работ с разноуровневыми задачами, дидактические материалы для тренировки, при составлении которых использовались открытые варианты контрольных измерительных материалов (КИМ) ЕГЭ 2012-2013г.г.и задания из открытого банка задач.

Пособие предназначено для учителей математики и учащихся 10-11 классов. Надеюсь, что данное пособие поможет коллегам и учащимся при подготовке к ЕГЭ.

Методы решения задач на смеси и сплавы.

1. Метод решения задач математическим путем.

Задача 1.

Сплав весит 2,29 кг и состоит из серебра и меди, причем масса серебра составляет 14,5% массы меди. Сколько серебра в сплаве?

Решение: Пусть в сплаве содержится х кг меди. Тогда в нем содержится 14,5· х /100 кг серебра. В результате получаем уравнение:

х + 14,5· х /100 =2,29 ; х· (100+14,5)/ 100=2,29; 114,5х = 229;

х = 2. Итак, в сплаве содержится 2 кг меди и 2,29- 2= 0,29 (кг) серебра.

Ответ: 0,29кг.

2. «Правило креста»

«Правилом креста» называют диагональную схему правила смешения для случаев с двумя растворами.

I раствор С₁ С- С₂ массовые части I раствора

С

II раствор С₂ С₁ -Смассовые части II раствора

Слева на концах отрезков записывают исходные массовые доли растворов (обычно слева вверху-большая), на пересечении отрезков - заданная, а справа на их концах записываются разности между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые массовые части показывают в каком отношении надо слить исходные растворы.

Задача2

Сколько граммов 35%раствора марганцовки надо добавить к 325г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составило 10%?.

Решение: Решим задачу по правилу « креста»

35 10

10

0 25

Значит, 325 г воды составляют 25 частей, а 35% раствор- 10 частей, или 325: 25 *10 = 130

Ответ 130 г.

3.Алгебраический метод

Задачи на смешивание растворов решают с помощью составления уравнения или системы уравнений.

Из ряда задач на проценты можно отдельно выделить задачи «о продуктах». То есть такие, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог - знайте, что на самом деле это задача на растворы. Сухие грибы получаются, когда из свежих испаряется вода. Свежие грибы мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество».

Задача 3.

Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие 12 % воды. Сколько кг свежих грибов нужно взять, чтобы получилось 5сухих грибов ?

Решение:

Масса, в кг

Содержание в %

Воды

Сухого вещества

Свежие грибы

х

90

100-90=10

Сухие грибы

5

12

100-12=88

Составим уравнение: 0,1х= 0,88 5 и найдем х = 44.

Ответ: 44

4. Арифметический метод

Этот метод решения задачи позволяет решить ее практически устно.

Задача 4.

В каких пропорциях нужно смешать раствор 50 % и 70 % кислоты, чтобы получить раствор 65 % кислоты?

Решение: Запишем концентрацию каждого раствора кислоты и концентрацию смеси так:

Вычислим, на сколько концентрация первого раствора кислоты меньше, чем концентрация смеси и на сколько концентрация второго раствора кислоты больше, чем концентрация смеси и запишем результат по линиям:

Таким образом, 5 частей нужно взять 50% раствора кислоты и 15 частей 70% раствора кислоты, то есть отношение взятых частей . Окончательно получаем: 50% раствора кислоты-1 часть, 70% раствора кислоты-3 части.

5. Решение задач с помощью картинки. Правило сосудов.

В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично - так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим х.

Задача 5. В сосуд, содержащий 5 литров 12% водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Первый сосуд содержал 0,12 5 = 0,6 литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:

_{Ответ: 5%}

6. Метод решения с помощью таблицы

Таблица для решения задач имеет вид.

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов

% содержание вещества (доля содержания вещества)

Масса раствора (смеси, сплава)

Масса вещества

Задача 6. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Решение:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов

% содержание меди (доля содержания вещества)

Масса раствора (смеси, сплава)

Масса вещества

Первый сплав

15%=0,15

хг

0,15*х

Второй раствор

65%=0,65

(200 - х)г

0,65*(200-х)=130-0,65х

Получившийся раствор

30%=0,3

200 г

200*0,3=60

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть в первых двух строчках) равна массе меди в полученном сплаве (третья строка таблицы):

Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение
200 - х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г.

Ответ:140г. 60г.

7. Решение задач с помощью прямоугольников.

Изобразим каждый из растворов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Для того, чтобы показать, что происходит смешивание веществ поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками, а знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками показывает, что третий раствор получен в результате смешивания первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:

Задача 1. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Решение:

Заполняем получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи:

1. Над каждым прямоугольником («маленьким») указываем соответствующие компоненты сплава. При этом обычно бывает достаточно использовать первые буквы их названия (если они различны). Удобно сохранять порядок соответствующих букв.

2. Внутри прямоугольников вписываем процентное содержание (или часть) соответствующего компонента. Понятно, что если сплав состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае процентное содержание второго компонента равно разности 100% и процентного содержания первого.

3. Под прямоугольником записываем массу (или объем) соответствующего сплава (или компонента).

Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели- схемы:

Пусть х г и у г - масса соответственно первого и второго сплавов, то есть пусть исходная схема имеет вид:

свинец

свинец

медь

медь

15%

65%

х г

y г

свинец

медь

30%

200 г

+

=

Легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

Решение системы приводит к результату: Значит, первого сплава надо взять 140 г, а второго-60 г.

Ответ: 140г,60г.

Дидактические материалы для тренировки с решениями

Задача 1. В 2 л водного раствора, содержащего 60% кислоты, добавили 4 л чистой воды. Определите процентное содержание кислоты в новом растворе.

Решение. В данной задаче объем раствора увеличился в 3 раза, содержание кислоты не изменилось, поэтому процентная концентрация кислоты уменьшилась в 3 раза: 60:3=20(%)

Ответ. 20%

Задача2. Сколько надо взять 5 %-го и 25 %-го раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10 %-го раствора кислоты?

Решение. Пусть надо взять х л первого раствора и (4-х) л второго, тогда кислоты будет взято или 0,1*4=0,4, или 0,05х+0,25*(4-х) л. Составим уравнение: 0,05х+0,25(4-х)=0,4. Это уравнение имеет единственный корень х=3. Следовательно, надо взять 3 л первого раствора и 4-3=1 л второго.

Ответ. 3 л первого и 1 л второго.

Задача 3. Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы этих металлов находятся в отношении 2 : 3, в другом - в отношении 3 : 7. Сколько кг нужно взять от каждого сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5 : 11 ?

Решение. Пусть нужно взять х кг первого и у кг второго сплава. В х кг первого сплава серебра будет (3/5)∙х кг, а в у кг второго сплава серебра будет (7/10)∙у кг. Масса нового сплава (х+у) кг, и в нем серебра будет (11/16)∙(х+у) кг.

Составим уравнение: 3х /5 + 7у /10 = (11/16) ∙(х+у) --> 6х + 7у = 55(х+у) / 8 --> 48х + 56у = 55х + 55у --> y = 7x. Т.е. первого сплава надо взять одну часть, а второго 7 частей.

Ответ. Первого сплава надо взять 1 кг, а второго 7 кг.

Задача 4. Имеется 2 раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200г второго раствора, то получится 50%-ный раствор. Если же слить вместе 300г первого раствора и 200 г второго, то получится 42%-ный раствор. Найти концентрацию второго раствора.

Решение. Пусть процентное содержание соли в первом и втором растворах p% и q% соответственно, тогда по условиям задачи можно составить два уравнения:

100· p/100 + 200· q/100=50*(100+200)/100

300 p/100 + 200 q/100=42*(300+200)/100.

Упростив эти уравнения и решив систему, получим p=30 и q=60. Следовательно, концентрация второго раствора равна 60%. Ответ. 60%

Задача 5. К 40% раствору соляной кислоты добавили 50 гр. чистой кислоты, после чего концентрация раствора стала равной 60%. Найдите первоначальный вес раствора.

Решение: Пусть раствора было "х" грамм. Значит в "х" граммах было 40% кислоты, а в 50 граммах, которые добавили 100% (чистая кислота). Составим пропорцию: 0,4х+1*50=0,6(х+50). 0,6х-0,4х=50-30. Решив это уравнение, находим, что х=100 гр.

Задача 6.Какое количество воды нужно добавить в 1 литр 9%-ного раствора уксуса, чтобы получить 3%-ный раствор?

Решение: Пусть "х" - количество воды, которую нужно добавить. Составим пропорцию 1*0,09=0,03(1+х). Поскольку вода - это 0% уксуса, то мы не пишем в левой части 0*х. Решаем уравнение. 0,09=0,03+0,03х

0,03х=0,06; х=2 литра.

Задача 7.Имеются 2 слитка. Масса первого слитка в 2 раза больше массы второго. В первом слитке содержится 30% серебра, а во втором 42% серебра. Сколько процентов серебра содержится в сплаве, полученном из этих слитков?

Решение: Пусть масса второго слитка "х" гр. Тогда масса первого = 2х гр. Искомое количество процентов обозначим через "у". Составим пропорцию 0,3*2х+0,42*х=у(2х+х); 0,6х+0,42х=3ху; 1,02х=3ху. На "х" можно сократить, т.к. это масса сплава, т.е. не нулевое значение. 3у=1,02 Отсюда у=0,34. Ответ 34%.

Дидактические материалы для тренировки с ответами

1. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди.
Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся сплав содержал 40% меди?

2. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора.
Сколько граммов 10%-ного раствора было взято?

3. Два литра 6%-ного уксуса разбавили тремя литрами 1%-ного уксуса.
Каково процентное содержание уксуса в полученном растворе?

4. Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг цинка, сплавили с 15 кг цинка.
В результате содержание меди в сплаве понизилось по сравнению с первоначальным на 30%.
Какова была первоначальная масса сплава, если известно, что она была меньше 20 кг?

5. В свежих яблоках 80% воды, а в сушёных - 20%.
На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке?

Ответы: 1)1,5кг ; 2) 450г; 3) 3%; 4) 10кг; 5) 75%

Тестовые задания по теме «Смеси и сплавы»

Тесты предназначены для того, чтобы оценить уровень знаний учащихся по данной теме и являются объективным показателем их обученности. Тестирование позволяет охватить контролем всех учащихся. В тесте представлены два варианта и ответы к ним.

Вариант1

1.

2.

3.

4.

5.

.

Вариант 2

1.

2.

3.

4.

5.

Ответы к тесту

№ п/п

В-1

В-2

1

105кг

75кг

2

31%

18%

3

81кг

1кг

4

10кг

30кг

5

9кг

34кг

Дидактические материалы для самостоятельного решения

1.В сосуд, содержащий 7 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

2.В сосуд, содержащий 4 литра 22-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Смешали некоторое количество 18-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 14-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

3.Смешали 4 литра 20-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 35-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

4.Смешали 6 литров 40-процентного водного раствора некоторого вещества с 9 литрами 20-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

5.Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй - 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

6.Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй - 25% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 20% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

7.Первый сплав содержит 5% меди, второй - 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

8.Смешав 50-процентный и 70-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 48-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 58-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 50-процентного раствора использовали для получения смеси?

9.Смешав 65-процентный и 83-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 37-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 62-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 65-процентного раствора использовали для получения смеси?

10.Имеется два сосуда. Первый содержит 50 кг, а второй - 5 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 58% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

11.Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй - 50 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 54% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 59% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

12.В сосуд, содержащий 10 литров 26-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 3 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

13.В сосуд, содержащий 7 литров 30-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 8 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

14.Смешали некоторое количество 21-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 13-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

15.Смешали 9 литров 20-процентного водного раствора некоторого вещества с 11 литрами 40-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

16.Смешали 3 литра 35-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 10-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Используемая литература:

1.Копылова Н.П. Решебник «Задачи на смеси и сплавы» 2005г. г.Шелехов

2.Водинчар М.И., Лайкова Г.А., Рябова Ю.К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений // Математика в школе, - 2001 № - 4.

3.Учебно-методическая газета «Математика», приложение к «1 сентября»,2004г. №17,№23,№36, 2005 г. №2,№15,2001г. №17,1998г. №28.

4.Задачи на смеси и сплавы./ Н.И. Прокопенко. - М.: Чистые пруды, 2010.- 32 с.: ил. - (Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 31)

5.Литвинова И.Н., Ткаченко Е.Н., Гаврилова М.А. Задачи на смеси, сплавы и проценты (практико-методический аспект) Пенза, Изд-во Пензенского государственного педагогического университета, 2004.

6. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. и др. ЕГЭ 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся /ФИПИ - М.: Интеллект-Центр, 2010. - 96с.

7. Шестаков С. А. ЕГЭ 2014. Матема- тика. Задача В13. Задачи на составление уравнений. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. - 5-е изд., стереотип. - М.: МЦНМО, 2014. - 56 с.

интернет-ресурсы

1.alexlarin.net

2.mathege.ru - Математика ЕГЭ 2013 (открытый банк заданий).

3.Открытый банк заданий ЕГЭ 2012 nado5.ru/materials/novoe-v-yege-po-matematike

4.wiki.vladimir.i-edu.ru/