Урок. Неравенство треугольника

Тема урока: Неравенство треугольника.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Цели:

Образовательные: Изучить теорему о неравенстве треугольника и формировать умения по её применению к решению задач.

Развивающие: Формирование таких мыслительных операций как анализ, сравнение, обобщение; развитие грамотной математической речи.

Воспитательные: Воспитание самостоятельности, аккуратности, внимательности; формирование умения слушать друг друга и адекватно оценивать ответы, формирование интереса к предмету.

Тема предыдущего урока: Теорема о соотношениях между углами и сторонами треугольника.

Тема следующего урока: Подготовка к контрольной работе.

Структура урока:

1. АЗ

1. Организационный момент (1 мин).

2. Устная работа с целью проверки домашнего задания(2 мин).

3. Фронтальный опрос с целью АЗ по теме (3 мин).

4. Решение задачи с целью мотивации изучения нового материала (3 мин).

5. Постановка целей и задач на следующий этап урока (1 мин).

2. ФНЗ и СД

1. Практическая работа с целью открытия содержания теоремы (3 мин).

2. Обобщающая беседа по результатам практической работы с целью формулировки теоремы (2 мин).

3. Эвристическая беседа с целью поиска доказательства теоремы (4мин).

4. Оформление теоремы(3 мин).

5. Индивидуальный опрос с целью закрепления формулировки теоремы (3 мин).

6. Постановка целей и задач на следующий этап урока(1 мин).

3. ФУН

1. Коллективное решение задач на применение изученной теоремы(11 мин).

2. Постановка домашнего задания(2 мин).

3. Подведение итогов урока (1 мин).

Ход урока.

I.АЗ

1.Организационный момент.

Проходим на свои места. Здравствуйте, садитесь! Отсутствующие есть? (отметить отсутствующих, если есть).

2. Устная работа с целью проверки домашнего задания.

Начнём урок с проверки домашнего задания. На дом вам были заданы задачи №№236(б),237(б).

№236(б). Сравните углы треугольника АВС и выясните, может ли быть угол А тупым, если: б) АВ=АС<BC

Решение:

C= B< A, А может быть тупым.

Какой это треугольник?

Равнобедренный

Может угол А быть тупым?

Да.

Могут ли углы С и В быть тупыми?

Нет, в треугольнике, может быть только один угол тупой.

№237(б). Сравните стороны треугольника АВС, если: б) A> B= C

Решение:

BC>AC=АВ.

Какой получился этот треугольник?

Равнобедренный.

Сформулируйте теорему о соотношениях между углами и сторонами треугольника.

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Какие следствия из этой теоремы вы знаете?

3.Фронтальный опрос с целью АЗ по теме.

Существует ли треугольник, у которого катеты 3 см и 4 см, а гипотенуза 2 см?

Нет, потому что гипотенуза должна быть больше катета.

Откуда вы взяли это условие?

Это следствие из теоремы о соотношениях между углами и сторонами треугольника.

Сформулируйте его.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Установите вид треугольника если А= В=70^о

Треугольник будет равнобедренным.

Как вы это определили? Чем пользовались?

По следствию из теоремы о соотношениях между углами и сторонами треугольника.

Сформулируйте его.

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Посмотрите на доску.

C N Дано:

MNK

MC - биссектриса угла PMN

СМKN

P M K

Что вы можете сказать об углах PMC и CMN?

Они равны, так как CM биссектриса угла PMN.

Что можно сказать об углах CMN и MNK?

Равны, являются накрест лежащими углами при пересечении двух параллельных прямых CM и NK секущей MN.

Об углах PMC и MKN?

Равны, являются соответственными углами при пересечении двух параллельных прямых CM и NK секущей MK.

Сравните угол PMC и PMN , какой из них больше?

Угол PMC меньше угла PMN, так как угол PMC часть угла PMN.

Хорошо.

Открываем тетради, подписываем число, классная работа.

4.Решение задачи с целью мотивации изучения нового материала

Задача №1.

Существует ли треугольник со сторонами 4см, 5см, 9см?

Как вы думаете, как мы можем проверить, существует такой треугольник или нет?

Попробовать построить такой треугольник.

Верно, никаким другим способом мы определить это не сможем.

Попробуйте с помощью циркуля и линейки построить у себя в тетрадях такой треугольник со сторонами 4см, 5см, 9см.

У кого-нибудь получился треугольник?

Нет.

Если бы одна из двух сторон была немного подлиннее может быть у нас бы и получился треугольник.

А если нам потребуется определить можно ли построить треугольник со сторонами 1 м, 2м, 3 м. Как мы поступим в этом случае? Сможем мы попробовать нарисовать такой треугольник в тетради?

Нет, нам не хватит тетради.

Сегодня на уроке нам необходимо выяснить, как должны быть связаны длины сторон, что бы они могли быть сторонами треугольника.

5.Постановка целей и задач на следующий этап урока

Оказывается, математики уже давно открыли закономерность между сторонами треугольника, используя которую можно определить, существует такой треугольник или нет. Сегодня на уроке вы узнаете, что это за закономерность.

II.ФНЗ и СД

1.Практическая работа с целью открытия содержания теоремы

Выполним небольшую практическую работу.

Цель: Выяснить, как должны быть связаны длины сторон, что бы они могли быть сторонами треугольника.

Ход практической работы:

1)Нарисуйте в тетради произвольный треугольник. Примерно такой же как у меня на доске.

2)Измерьте линейкой стороны треугольника и запишите чему они равны.

3)Далее сравните длину одной из сторон и сумму длин двух других сторон и запишите полученный результат.

Q XY=…

YQ=…

QX=…

XY ? YQ+ QX

X Y YQ ? XY+ QX

QX ? XY+ QX

Все сделали? Измерили?

Один из учащихся выходит к доске и записывает получившиеся у него результаты.

XY=7 см 7 < 5,5 +3,5

YQ=5,5 см 5,5 < 7 + 3,5

QX=3,5 см 3,5 < 7 + 5,5

4)Сформулируйте вывод о том, как связана любая сторона треугольника с суммой двух других сторон.

Одна из сторон меньше суммы двух других сторон.

Посмотрите на свои результаты, числа у вас наверное другие. Но результат сравнения сторон тот же?

Да.

2. Обобщающая беседа по результатам практической работы с целью формулировки теоремы

Какую гипотезу мы можем сформулировать, что мы только что выяснили?

Одна из сторон треугольника меньше суммы двух других сторон.

Мы с вами рассмотрели лишь один треугольник, а вдруг найдётся такой треугольник, для которого такое условие не выполняется.

Сейчас мы с вами докажем выдвинутую нами гипотезу.

3. Эвристическая беседа с целью поиска доказательства теоремы.

Посмотрите на треугольник, с которым мы с вами работали. Нам надо доказать AB<AC+CB. В левой части неравенства записана длина одной стороны. Что записано в правой части?

Сумма длин двух других сторон.

Ребята, можем ли мы построить сторону длина которой будет равна сумме длин отрезков AC+CB?

Да.

Каким образом мы сможем это сделать?

Продлить сторону СВ на отрезок равный АС или АС на отрезок равный СВ.

Давайте продлим сторону АС и отложим на её продолжении отрезок равный ВС. Получим сторону AD. Стороной, какого треугольника является AD?

Треугольника ABD.

Для доказательства теоремы нам необходимо доказать, что AD>AB.

Как связаны длины сторон треугольника с углами этого треугольника?

Теорема о соотношении между углами и сторонами треугольника, так как AD>AB, то угол ABD больше угла BDA.

Докажем это.

Из каких углов состоит угол ABD?

Из угла ABC и угла CBD.

А что вы можете сказать об углах CBD и BDC?

Они равны, так как треугольник CBD равнобедренный.

ABD больше угла BDA, так как BDA= CBD, а CBD входит в угол ABD.

А следовательно AD>AB, что и требовалось нам доказать.

4. Оформление теоремы

В Дано: АВС

Доказать: AB<AC+CB

А С D

Доказательство:

1)Отложим на продолжении стороны АС отрезок CD, CD=CB. (записывают в тетради)

2) CBD = CDB, так как CBD равнобедренный. (записывают в тетради)

3) В АВD , ABD> CBD

ABD> CDB, так как CBD= CDB (записывают в тетради)

4) AD>AB по теореме о соотношениях между углами и сторонами треугольника.

AB

AD= АС + CD= АС + CB

AB< АС + CB ч.т.д. (записывают в тетради)

В учебнике на странице 74 есть следствие из этой теоремы. Прочитайте его. Один учащийся читает вслух, всему классу.

Ребята, как вы думаете, почему для любых трёх точек справедливы эти неравенства? Какую фигуру образуют три точки не лежащие на одной прямой?

Треугольник.

Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.

5.Индивидуальный опрос с целью закрепления формулировки теоремы.

Несколько учащихся повторяют формулировку теоремы(2-3 человека).

а M

c K N

Для данных треугольников записать неравенства треугольника.

a

c

b<a+c KN<KM+MN

6.Постановка целей и задач на следующий этап урока.

А сейчас решим несколько задач с целью закрепления только что изученной нами теоремы.

III.ФУН

1.Коллективное решение задач

№248. Существует ли треугольник со сторонами 1м, 2м, 3м?

Учащийся выходит к доске, записывает условие задачи.

Что нам известно о треугольнике?

Дан треугольник со сторонами 1м, 2м, 3м.

Дано: АВС

АВ=1м; ВС=2м; CA=3м;

Существует АВС?

Решение:

Чем мы будем пользоваться при решении данной задачи?

Теоремой, которую только что доказали.

Сформулируй её.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Необходимо записать три неравенства и проверить выполняются они или нет.

АВ< ВС+ CA (выполняется)

1 < 2 + 3

ВС< АВ+ CA(выполняется)

2 < 1 + 3

CA< ВС+ АВ(не выполняется)

3 < 2 + 1

Значит, такого треугольника не существует.

Записывай ответ.

Ответ: не существует.

Хорошо, садись.

Следующий №249. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая равна 10 см. Какая из них является основанием.

Есть желающие решить задачу? Учащийся выходит к доске.

Сделаем рисунок, записывай что нам дано.

В Дано:АВС- равнобедренный

1 сторона=25 см

2 сторона=10 см

А С Найти: основание

Решение:

О чём говориться в условии задачи?

О равнобедренном треугольнике, две стороны которого нам известны.

Мы не знаем какая из сторон равна 25 см, а какая 10.Для начала давайте обозначим стороны.

Пусть АВ=25 см,АС=10 см.

Чему будет равна сторона ВС?

ВС=25 см, так как треугольник равнобедренный.

Может быть такое? Как нам проверить правильно ли мы обозначили стороны треугольника?

Проверить, используя доказанную нами теорему.

Сформулируй её.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Записываем неравенства треугольника и проверяем их.

АВ< ВС+ CA (выполняется)

25 < 25 + 10

ВС< АВ+ CA(выполняется)

25 < 25+ 10

CA< ВС+ АВ(выполняется)

10 < 25 + 25

Правильно мы предположили, чему будет равно основание треугольника?

Основание треугольника равно 10 см.

Мы рассмотрели только один случай, но есть и второй.

Пусть АВ=10 см,АС=25 см.

Чему будет равна сторона ВС?

ВС=10 см, так как треугольник равнобедренный.

Может быть такое? Как нам проверить правильно ли мы обозначили стороны треугольника?

Проверить, используя доказанную нами теорему.

Сформулируй её.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Записываем неравенства треугольника и проверяем их.

АВ< ВС+ CA (выполняется)

10 < 10 + 25

ВС< АВ+ CA(выполняется)

10 < 10+ 25

CA< ВС+ АВ( не выполняется)

25 < 10 + 10

Может быть треугольник со сторонами 10см, 10см, 25см?

Нет, не может.

Какой был вопрос задачи?

Определить какая из сторон является основанием.

Определили? Какой будет ответ?

Ответ: 2 сторона.

Следующая задача №250 (а) Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 см.

Учащийся выходит к доске, записывает условие задачи.

Дано:АВС- равнобедренный

1 сторона=7 см

2 сторона=3 см

Найти: 3 сторону

Решение:

Как ты думаешь, как мы будем решать данную задачу?

Используя теорему.

Сформулируй её.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Записываем неравенства треугольника и проверяем их.

Пусть АВ=7 см,АС=3 см.

Чему будет равна сторона ВС?

ВС=7см, так как треугольник равнобедренный.

АВ< ВС+ CA (выполняется)

7 < 7 + 3

ВС< АВ+ CA(выполняется)

7 < 3 + 7

CA< ВС+ АВ(выполняется)

3 < 7 + 7

Чему в этом случае равна 3 сторона?

7 см.

Записывай ответ.

Ответ:7 см.

2.Постановка домашнего задания

Второй случай когда АВ=3 см, АС=7 см, ВС=3см рассмотрите дома.

Открывайте дневники и записывайте домашнее задание.

п.33, теорема и доказательство.

№250 (б,в)

А)Пусть АВ=3 см,АС=7 см.

ВС=3см, так как треугольник равнобедренный.

АВ< ВС+ CA (выполняется)

3 < 3 + 7

ВС< АВ+ CA(выполняется)

3 < 3 + 7

CA< ВС+ АВ(не выполняется)

7 < 3 + 3

Ответ: треугольника с такими сторонами не существует.

Б) Пусть АВ=8 см,АС=2 см.

ВС=8см, так как треугольник равнобедренный.

АВ< ВС+ CA (выполняется)

8 < 8 + 2

ВС< АВ+ CA(выполняется)

8 < 8 + 2

CA< ВС+ АВ(выполняется)

2 < 8 + 8

Ответ :3 сторона = 8

Пусть АВ=2 см,АС=8 см.

ВС=2см, так как треугольник равнобедренный.

АВ< ВС+ CA (выполняется)

2 < 2 + 8

ВС< АВ+ CA(выполняется)

2 < 2 + 8

CA< ВС+ АВ(не выполняется)

8 < 2 + 2

Ответ: треугольника с такими сторонами не существует.

В) Пусть АВ=10 см,АС=5 см.

ВС=10см, так как треугольник равнобедренный.

АВ< ВС+ CA (выполняется)

10 < 10 + 5

ВС< АВ+ CA(выполняется)

10 < 10 + 5

CA< ВС+ АВ(выполняется)

5 < 10 + 10

Ответ:3 сторона = 10

Пусть АВ=5 см,АС=10 см.

ВС=5см, так как треугольник равнобедренный.

АВ< ВС+ CA (выполняется)

5 < 5 + 10

ВС< АВ+ CA(выполняется)

5 < 5 + 10

CA< ВС+ АВ(не выполняется)

10 < 5 + 5

Ответ: треугольника с такими сторонами не существует.

№248 (б)

Пусть АВ=1,2 дм,АС=1 дм, ВС=2,4 дм.

АВ< ВС+ CA (выполняется)

1,2 < 1 + 2,4

ВС< АВ+ CA(выполняется)

1 < 1,2 + 2,4

CA< ВС+ АВ( не выполняется)

2,4 < 1 + 1,2

Ответ: треугольника с такими сторонами не существует.

3.Подведение итогов урока.

Сегодня на уроке мы изучили и доказали одну из теорем геометрии. Сформулируйте её.

Одна из сторон треугольника меньше суммы двух других сторон.

Какое есть следствие из этой теоремы?

Для любых трёх точек А, B,C ,не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ< ВС+ CA, ВС< АВ+ CA, CA< ВС+ АВ

Какие задачи с помощью неё вы научились сегодня решать?

Научились определять, треугольник с какими сторонами может существовать.

Всем спасибо за урок, все свободны.