Урок. «Решение уравнений с модулем и параметром»

Пирогова Татьяна Николаевна - учитель высшей категории

МАОУ СОШ № 10 г. Таганрога.

«Решение уравнений с модулем и параметром»

10 класс, занятие элективного курса «Свойства функции».

Цели занятия.

1. повторить различные способы решения уравнений с модулями;

2. провести исследование зависимости числа корней от данных уравнения;

3. развивать внимание, память, умение анализировать при проведении исследовательской работы и обобщении ее результатов.

План занятия.

1. Мотивация.

2. Актуализация знаний.

3. Решение линейного уравнения с модулем разными способами.

4. Решение уравнений содержащих модуль под модулем.

5. Исследовательская работа по определению зависимости количества корней уравнения

| |х| - а |= в от значений а и в.

6. Решение уравнений с двумя модулями и параметром.

7. Рефлексия.

Ход занятия.

Мотивация. Как говорили древние философы «Мудрость - это любовь к знаниям, а любовь - это мера всех вещей». «Мера» на латинском языке - «modulus», от него и произошло слово «модуль». И сегодня мы с вами поработаем с уравнениями, содержащими модуль. Надеюсь, у нас все получится, и в конце занятия мы с вами станем мудрее.

Актуализация знаний. Итак, вспомним, что мы уже знаем о модуле.

• Определение модуля. Модулем действительного числа - называется само число, если оно неотрицательно и противоположное ему число, если оно отрицательно.

• Геометрический смысл модуля. Модуль действительного числа а равен расстоянию от начала отсчета до точки с координатой а на числовой прямой.

-a 0 a

|-a| = |a| |a| x

• Геометрический смысл модуля разности величин. Модуль разности величин | а - в | - это расстояние между точками с координатами а и в на числовой прямой,

т.е. длина отрезка [а в]

1) Если a < b 2) Если a > b

a b b a

S = b - a S = a - b

3) Если a = b, то S = a - b = b - a = 0

• Основные свойства модуля

1. Модуль числа есть число неотрицательное, т.е. |x| ≥ 0 для любого x

2. Модули противоположных чисел равны, т.е. |x| = |-x| для любого x

3. Квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения, т.е.|x|² =x² для любого x

4. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей сомножителей, т.е.|a b| = |a| · |b|

5. Если знаменатель дроби отличен от нуля, то модуль дроби равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, т.е. при b ≠ 0

6. Для равенства любых чисел a и b справедливы неравенства:

| |a| - |b| | ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|

| |a| - |b| | ≤ |a - b| ≤ |a| + |b|

• График модуля у = | х | - прямой угол с вершиной в начале координат, стороны которого являются биссектрисами 1 и 2 квадрантов.

• Как построить графики функций? у = |х - а|, у = |х| + в, у = |х - а| + в, у = ||х| - а|

Пример. Решить уравнение 3

2





x

.

Способ 1. Метод раскрытия модулей по промежуткам.













































































5

5

,

1

3

2

,

2

1

1

,

2

3

2

,

2

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2

х

Способ 2. Непосредственное раскрытие модуля.

Если модуль числа равен 3, то это число 3 или -3.





































.

1

,

5

3

2

,

3

2

3

2

2

1

x

x

x

x

x

Способ 3. Использование геометрического смысла модуля.

Необходимо найти на числовой оси такие значения х, которые удалены от 2 на расстояние, равное 3.















.

5

,

1

₂

₁

x

x

5

-1

2

3

3

Способ 4. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Здесь используется свойство модуля и то, что обе части уравнения неотрицательные.











































.

5

,

1

0

5

4

9

2

9

2

3

2

2

1

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

Способ 5. Графическое решение уравнения 3

2





x

.

Обозначим 



2

1





x

x

f





3

2



x

f

. Построим графики функций и :

-2 -1 0 1 2 3

1

2

-2 -1 0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1 2 3

1

2

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Абсциссы точек пересечения графиков дадут корни и 5

2



x

.

Самостоятельная работа

решите уравнения:

| х - 1| = 3

| х - 5| = 3

| х -3| = 3

| х + 3| = 3

| х + 5| = 3

(-2; 4)

(2; 8)

(0; 6)

(-6; 0)

(-8;-2)

А теперь добавьте в условия еще один модуль и решите уравнения:

| |х| - 1| = 3

| |х| -5| = 3

| |х| - 3| = 3

| |х| + 3| = 3

| |х| + 5| = 3

()

()

(0)

(нет корней)

Итак, сколько корней может иметь уравнение вида | | х | - а |= в? От чего это зависит?

Исследовательская работа по теме

«Определение зависимости количества корней уравнения | | х | - а |= в от а и в»

Проведем работу по группам, с использованием аналитического, графического и геометрического способов решения.

Определим, при каких условиях данное уравнение имеет 1 корень, 2 корня, 3 корня, 4 корня и не имеет корней.

1 группа (по определению)

2 группа (используя геометрический смысл модуля) -в +в

а-в а а+в

3 группа (используя графики функций)

_{, а > 0}

_{, а < 0}

1 группа

2 группа

3 группа

Нет корней

в < 0 или в ≥ 0

в + а < 0

в < 0 или в ≥ 0

а + в < 0

в < 0 или в ≥ 0

в < - а

ровно один корень

в > 0 и в + а = 0

в > 0 и в + а = 0

в > 0 и в = - а

ровно два корня

в > 0 и в + а > 0

- в + а < 0

в > 0 и в + а > 0

-в + а < 0

в > 0 и в > | а |

ровно три корня

в > 0 и - в + а = 0

в > 0 и - в + а = 0

в > 0 и в = а

ровно четыре корня

в > 0 и - в + а >0

в > 0 и - в + а >0

в > 0 и в < а

Сравните результаты, сделайте общий вывод и составьте общую схему.

Конечно, необязательно эту схему запоминать. Главное в проведенном нами исследовании было - увидеть эту зависимость, используя разные методы, и теперь повторить свои рассуждения при решении таких уравнений нам будет уже несложно.

Ведь решение задания с параметром всегда подразумевает некоторое исследование.

Решение уравнений с двумя модулями и параметром.

1. Найти значения р, при каждом из которых уравнение | |х| - р- 3| = 7 имеет ровно один корень.

Решение: | |х| - ( р + 3)| = 7

р+3= -7, р = -10. Или геометрически

р + 3-7 р + 3 р + 3+7 р + 3+7=0, р = -10

- 7 7 по схеме уравнение такого вида имеет ровно один корень, если в = - а, где в=7, а=р+3

2. Найти значения р, при каждом из которых уравнение | |х| - р- 6| = 11 имеет ровно два корня.

Решение: | |х| - ( р + 6)| = 11 геометрически

р + 6-11 р + 6 р + 6+11 р + 6-11<0, р < 5, р + 6+11>0, р > -17

- 11 11

по схеме уравнение такого вида имеет ровно два корня, если в + а > 0 и - в + а < 0, где в=11, а=р+6. -17< р < 5.

3. Найти значения р, при каждом из которых уравнение | |х| - 4р| = 5р-9 имеет ровно четыре корня.

Решение: по схеме уравнение такого вида

имеет ровно четыре корня, если

0< 5р-9 < 4р, р > и р < 9,

т.е. 1 < р< 9.

Ответ: 1 < р< 9.

4. . Найти значения р, при каждом из которых уравнение | |х| - 2р| = 5р+2 не имеет корней. Решение: 5р+2 <0, или 5р+2 =0 и -2р>0, или 5р+2 >0 и 5р+2 <-2р.

р < -0,4, или р = -0,4, или р> - 0,4 и р < - . Ответ: р < -

5. При каких значениях параметра р уравнение | |х-4| - 3| + 2р= 0 имеет три корня. Найти эти корни.

Преобразуем уравнение к виду:

| |х-4| - 3|= - 2р.

По схеме уравнение такого вида имеет три корня,

если -2р=3>0,

т.е. р = -1,5.

||х-4|-3| = 3,

|х-4|=0, х = 4,

||х-4|=6, х = -2, х =10.

Ответ: при р= -1,5 уравнение имеет три корня: х₁ = -2, х₂ = 4, х₃ =10.

Подведение итогов занятия. Рефлексия.

Скажите, какие бы вы выделили главные слова занятия? ( Модуль, параметр)

Что мы сегодня повторили? (Определение модуля, геометрический смысл модуля числа и разности чисел, свойства модуля, разные способы решения уравнений )

Что мы сегодня делали?

Что делали?

- повторяли

- решали

- исследовали

-обобщали

-доказывали

- строили

Модуль

параметр

Что повторили?

-определение

- геометрический смысл

- свойства

- графики

-уравнения

- разные методы

Домашнее задание.