ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная

школа №2 г.АлагирЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи








ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС.


Тема "Текстовые задачи на "cмеси и сплавы"".




Разработала: учитель математики

Дзбоева Т.Б.





РСО-Алания г.Алагир


ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС.


Тема "Текстовые задачи на "cмеси и сплавы"".

Пояснительная записка.

Текстовые задачи на «смеси и сплавы» при всей кажущейся простоте часто вызывают проблемы у абитуриентов. В школьном курсе математики очень мало задач на «смеси и сплавы». Эти задачи предлагаются на экономические специальности на факультетах, связанных с легкой промышленностью и народным хозяйством. Задачи на «смеси и сплавы» встречаются на олимпиадах, на ЕГЭ. Эти задачи можно использовать на факультативах, в общеобразовательных школах начиная с 6 класса, для индивидуальной работы с сильными учащимися.

Элективный курс «Решение задач на «смеси и сплавы» адресован учащимся естественно - научных и технических профилей, которые достаточно глубоко изучают курс математики и имеют общеобразовательный надпредметный характер и ставит своей целью:

  1. Формирование у школьников умение работать с информацией; находить ее в разных источниках, перерабатывать, сохранять и передавать;

  2. Оказание максимальной помощи малоопытным учителям;

  3. Объедение задач в группы с учетом функциональной зависимости между данными и искомыми величинами и общих алгоритмов решения;

  4. Сочетание алгебраических и геометрических моделей;

  5. Нацеленность решение предлагаемых задач параллельно прохождению таких тем, как уравнение системы и др.

Программа.

Тема 1. Проценты. Три основных действия с процентами.

Возникновение процентов. Нахождение процентов числа, числа по его процентам, процентного отношения чисел.

Тема 2. Задачи с аналитической моделью

ах + ву = с(х+у)

Ознакомить с задачами, решения которых опирается на формулу

. ах + ву = с(х + у)

Тема 3. Задачи на «сложные проценты»

Вывод формулы «сложных процентов» Аn0ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Задачи с использованием формулы.

Тема 4. Задачи на обратную пропорциональную зависимость.

Задачи на прямую пропорциональную зависимость.

Решения задач с использованием формул ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи - переменные величины

Решение задач на «движение» и на «работу».

Тема 5. Решение задач на « смеси и сплавы».

Ознакомить с основными приемами и методами рассуждений. Показать связь математики с реальной действительностью.

ЛИТЕРАТУРА.

  1. Приложение «Математика» № 3 - 2000г.; № 17 - 2001г.; № № 17, 20, 22, 23, 25, 26, 36 - 2004г.;

№ № 20. 22. 23. - 2005г.; № 2006г.

  1. Решение наиболее трудных задач из Сканави. Задания на проценты из ЕГЭ.

Учебно - тематический план.

№ п/п

Наименование разделов, тем.

Количество часов.

1

Проценты, Три основных действия с процентами.

2

1.1.

Задачи с аналитической моделью ах+ву = с(х+у)

3

1.2.

Задачи на сложные проценты.

4

2.

Задачи на обратную и прямую пропорциональную зависимость

3

2.1.

Решения задач на «смеси и сплавы». Различные способы решения.

6

Итого:

17

ТЕМА № 1

Проценты. Три действия над процентами.

Проценты были введены для оценки содержания одного вещества в другом, роста (убыли) производства, производительности труда; дохода, прибыли, банковских ставок и др.

Различные обозначения (на примерах):

18%, 0,18, ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи;

135% 1,35, ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи;

р%, 0,01р, ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи;

Три основных действия с процентами

Нахождение процентов числа, числа его процентам, процентного отношения чисел.

Примеры

1. Найдите 48% от 250 [ 0.48 ∙ 250 = 120]

2. Найдите число, 8% которого равны 12. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

3. Сколько процентов составляет 180 от 450?

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

I. 1. Увеличим число 60 на 20%.

[60 + 60 ∙ 0,2 = 72].

Уменьшим 72 на 20%. [72 - 72 ∙ 02 = 57,6]


  1. Уменьшим 60 на 20%.[60 - 60 ∙ 0.2 = 48]

Увеличим 48 на 20%. [48 + 48 ∙ 0.2 = 57,6]

Задача в общем виде. Увеличим число а на р%, а затем полученное число уменьшим на р%.

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Р (%)Результат не измениться, если увеличение последует за уменьшением.

Задача 1. Цену товара снизили на 30 %, затем новую цену повысили на 30 %. Как изменилась цена товара?

Решение. а). Пусть первоначальная цена равна а.

После снижения она стала а - 03а - 0,7а,

после повышения 0,7а + 0,7 а ∙0,3 = 0,91 а,

изменилась: а-0,91а =0,9 а

б) Использование формулы (1)

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

в) ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ. Цена снизилась на 9 %.

Задача 2. Цену товара повысили на 20%, затем новую цену снизили на 20%. Как изменилась цена товара?

Решение. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи,

а-0,96 а = 0,04 а,

0,04а х 100 = 4%.

Ответ: Цена снизилась на 4%.

II. 1).Увеличим число 120 на 25 %.

[ 120 - 120 ∙ 0,25 = 90]

2).На сколько процентов надо уменьшить 150, чтобы получить 120?

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

на 20%.

3).Уменьшим число 120 на 25%. [120 - 120 ∙ 0.25 = 90]

4).На сколько процентов надо увеличить 90, чтобы получить 120?

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

на ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Задача в общем виде. Увеличим число а на р%.

На сколько процентов надо уменьшить ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи чтобы получить а?

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

(у - процент уменьшения) .

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи(2)

Если увеличение последует за уменьшением, то

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи (3)

Функции (2) и (3)

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

являются взаимно обратными.

Задача 1. Цена товара была повышена на 12 %. На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную?

I способ. Решение. пусть а - первоначальная цена р - процент снижения цены.

После повышения цена стала а + 0,12 а = 1,12 а, после снижения 1,12 а - ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи.

По условию ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

II способ. Решение по формуле (2) ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ. На ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Задача 2. Производительность труда на заводе снизилась на 20%. На сколько процентов надо ее теперь повысить, чтобы достигнуть первоначальной ?

Решение. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ. На 25%.

ТЕМА № 2

Рисунки проектируются через мультимедийный проектор.

Задачи с аналитической моделью ах + by = с(х + у)

Задача 1. Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-м раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?

Решение. Обозначим х массу первого раствора, 600 - х массу второго.

По условию

30х + 10(600 - х) = 600 • 15, х = 150.ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Другой способ решения с использованием

графика

I вариант

30х + 10(600 - х) = 600-15.

II вариант (приравнивание площадей равновеликих прямоугольников)

15х - 5(600 - х), х = 150

Ответ. 150 г, 450 г.

Задача 2. Имеется, лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т спали с содержанием 30% никеля?

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Решение.

10х = 25(140 - х), х = 100

Ответ: 100 т, 40 т

Задача 3. Для приготовления уксуса определенной крепости в сосуд, содержащий 12 л уксусной эссенции, долили 20 л воды. В другом сосуде содержа лось 13 л более крепкого уксуса: на 9 л уксусной эссенции приходилось только 4 л воды. Сколько литров уксуса надо перелить из первого сосуда во второй, чтобы уравнять во втором сосуде содержание уксусной эссенции и воды?

Решение. Концентрация уксуса в первом сосуде ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

концентрация уксуса в другом сосуде ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Во втором сосуде после перелива х (л) уксуса из первого сосуда концентрация уксуса должна стать равной ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи (одинаковое содержание уксусной эссенции и воды).

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи




ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

II способ. (S1 = S2)

13·ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ = 20 л.

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Задача 4. Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объем одного раствора 4 л, другого -6 л. Если их слить вместе, то получится 35%-й раствор кислоты. Если же слить равные объемы этих растворов, то получится 36%-й раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из первоначальных растворов?

Решение. Обозначим пх и п2 концентрацию кислот в первоначальных растворах, V - сливаемый объем раствора.

Составим систему уравнений учитывая, чтоVA = n V.

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ. 1,64 л, 1,86 л.

Задача 1. На первом поле 65 % площади засеяно овсом. На втором поле овсом занято 45 % площади. Известно, что на первом и втором полях вместе под овсом занято 53 % общей площади. Какую часть всей засеянной площади составляет первое поле?

Решение. Пусть х - площадь первого поля,

у - площадь второго поля.

По условию

0,65х + 0,45 у = 0,53 (х + у),

0,65 х - 0,53 х = 0,53 у - 0,45 у,

у =ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи.

Ответ ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи.

Задача 2. Из молока, жирность которого 5%, изготавливают творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получиться от одной тонны молока?

Решение. 15,5 х + 0,5 (100-х) = 5 • 1000, 15х= 4500, х = 300.

Ответ. 300 кг.

Задача 3. Имеются три слитка. Масса первого 5 кг., второго - 3 кг., и каждый из них содержит 30% меди. Если первый слиток, содержащий 56 % меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получиться слиток, содержащий 60% меди. Найдите массу третьего слитка и процентное содержание меди в нем.

Решение. Пусть m3 масса третьего слитка. Составим систему уравненй

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ: 10 кг, 69%.

Задача 5. Имеются два раствора соли в воде, первый 40% -й, второй 60-%-й.

Их смешали, добавив 5 кг воды и получили 20-% раствор. Если бы вместо 5 кг добавили 5 кг 80% раствора, то получился бы 70 %-й раствор. Сколько было 40-% раствора и 60% раствора?

Решение. Пусть масса 40% раствора m1(кг), масса 60% раствора m2(кг).

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ: 1 кг., 2 кг.

Задача 6. Имеются два сплава состоящих из меди, цинка и ололва. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй - 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в полученном новом сплаве?

Решение. Пусть процентное содержание цинка в первом и втором сплавах равно х. Тогда

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Цинка во втором сплаве 0,3·250 = 75кг),

Меди во втором сплаве 250 · 0,36 = 65 (кг),

Олова в первом сплаве 150 · 0,4 = 60 (кг),

Олова во втором сплаве 250 ·(65+75) = 110 (кг),

Олова в третьем сплаве 60 + 110 = 170 (кг).

Ответ : 170 кг.

ТЕМА № 3

Задачи на « сложные проценты»

Пусть денежный вклад, равный А 0, через год возрастает на р%. Тогда к концу года вклад станет равным

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи(рублей), еще через год -

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

(рублей), а через n лет - ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи (1)

- формула «сложных процентов».

Упражнение

  1. Увеличим число на 60 на 20% : 60 + 60 ∙ 0,2 = 72.

  2. Увеличим число на 72 на 20% : 72 + 72 ∙ 0,2 = 86,4.

  3. Увеличим число на 86,4 на 20% : 86,4 +86,4 ∙ 0,2 = 103,68.

  4. Воспользуемся формулой сложных процентов (1) ( А 0 = 60, р = 20,

n = 3).

А3 = 60 ∙ (1 + 0,2)3 = 60 ∙ 1,2 3 = 103,68.

Задача 1. При двух последовательных одинаковых процентных повышениях зарплаты сумма 100 р. Обратилась в 125,44 р. Определите, на сколько процентов повышалась зарплата.

Решение. Из формулы (1) при А n = 125,44, А 0 = 100, n = 2 имеем

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ. 12%

Задача 2. Каков процент изнашивания станка в год, если его стоимость по истечении двух лет уменьшилась с 50000 рублей до 46000 рублей ?

Решение. А0 = 50000, Аn = 46000 n = 2, р - ?

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ. 4%.

Задача 3. После двух последовательных снижений объема производства выпуск продукции сократился в два раза. Определить процент сокращения производства.

Решение. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи(сокращение продукции не может быть больше 100%),

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи 30 % .

Задача 4. Ежегодный прирост числа жителей страны составляет ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи её населения. Через сколько лет число жителей удвоится ?

Решение. Из формулы (1) при ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи имеем

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи 56 лет.

Задача 5. После двух последовательных повышений зарплата достигла ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи относительно начальной. На сколько процентов повысилась зарплата в первый раз, если второе повышение было вдвое больше ( в процентном отношении) первого ?

Решение. Пусть р - процент повышения, А 0, А 1, А 2 - первичная зарплата, зарплата после первого повышения, зарплата после второго повышения соответственно. Тогда ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ. 25%.

Задача 6. Производительность завода А составляет 40,96 % производительности завода В. Годовой процент прироста продукции на заводе А на 30% больше годового прироста продукции на заводе В. Каков годовой процент прироста продукции на заводе А, если на четвертый год работы завод А даст то же количество продукции, что ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи и завод В ?

Решение. Пусть годовой прирост продукции на заводе В - р %. Тогда годовой прирост продукции на заводе А будет (р +30) % . По условию

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Извлекая корень четвертой степени, имеем ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ 50 % .

Задача 7. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число ?

Решение. пусть искомый процент равен р.

После увеличения получим ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи после уменьшения

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиПо условию ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ. 50%.

Задача 8. Вкладчик на свои сбережения получил через год 15 р. начисления процентных денег. Добавив еще 85 р., он оставил деньги еще на год. По истечении года вклад вместе с процентами составил 420р. Какая сумма была положена первоначально и какой процент дает сбербанк ?

Решение. Пусть А 0 - первоначальная сумма вклада, р - годовая процентная ставка. Из данных имеем ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

В конце первого года денег было ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

В конце второго года денег стало

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

По условию ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ. 5 %, 300 р;

Решить самостоятельно задачи.

Задание 1. Сбербанк начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Через сколько лет внесенная сумма удвоится ? [ ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи]

Задание 2. Население города ежегодно увеличивается на ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи числа жителей. Через сколько лет население утроится ? ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Задание 3. Предприятие работало 3 года. Выработка продукции за второй год работы предприятия выросла на р %, а на следующий год она выросла на 10 % больше, чем в предыдущий. Определите, на сколько процентов увеличилась выработка за второй год, если известно, что за два года увеличилась в общей сложности на 48,59 %. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ТЕМА № 4


  1. Задачи на обратную пропорциональную зависимость

Из ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи при тА = const

m n = const

Графически указанную зависимость можно изобразить с помощью равновеликих прямоугольников.

m1 n1 = m2 n2 или (т2 - т1) ∙ n2 = m1(n1 - n2).

Задача 1. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, , чтобы содержание соли в последней составляло 2%?

Решение. Масса соли не изменится после прибавления к 40 кг морской воды х кг. Пресной воды. ( mA = const, mn = const.)

I вариант

( 40 + х) ∙ 2 = 5 ∙ 40 40 + х = 100, х = 60.

II вариант 2 ∙ х = 3 ∙ 40, х = 60.

Ответ. 60 кг.

Задача 2. Кусок сплава меди с оловом массой 12 кг содержит 45 % меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся сплав имел 40% меди ?

Решение. В данной задаче масса меди есть величина постоянная. Пусть масса прибавленного олова равна х кг.

40 ∙ х = 5 ∙ 12, х =1,5.

Ответ. 1,5 кг.

Задача 3. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99 %. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98 %. Какой стала масса грибов после подсушивания ?

Решение. Масса сухого вещества постоянна. Искомую массу примем за х.

I вариант. 2 х = 1 ∙ 100, х = 50.

II вариант

100 - х = х, х = 50

Ответ. 50 кг.

Задача 4. Сколько килограммов воды нужно выпарить на 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85 % воды, чтобы получить массу с содержанием 75 % воды ?

Решение. масса целлюлозы постоянна. До выпаривания было 15 % целлюлозы, после выпаривания 25 %. Пусть масса выпаренной воды равна х кг.

I вариант 25(500 - х) =15 = 15 ∙ 500, х = 200.

II вариант 15х = 10 (500 - х), х = 200.

Ответ. 200 кг.

Задача 5. В колбе имеется раствор поваренной соли. Из колбы в пробирку отливают ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи часть раствора и выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли в пробирке не повысится вдвое. После этого выпаренный раствор выливают обратно в колбу. В результате процентное содержание соли в колбе повышается на 3 %. Определите исходное процентное содержание соли.

Решение. В данной задаче масса соли есть величина постоянная. Пусть первоначальная концентрация равна n %, тогда последующая концентрация будет ( n + 3) %; пусть первоначальная масса раствора равна m, тогда последующая масса раствора будет равна

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачимасса оставшейся части раствора в колбе после отлива ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачимасса отлитой части раствора после выпаривания.

I вариант

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

II вариант ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ 27 %.

Задача 6. В сосуде находиться определенное количество смеси воды с кислотой. Чтобы уменьшить концентрацию кислоты на 34 %, в сосуд надо долить 3 л воды, а чтобы уменьшить её на 17 %, надо долить 1 л воды. Какова концентрация кислоты в сосуде?

Решение. Обозначим n - первоначальная концентрация, V - первоначальный объем смеси. Так как объем кислоты в смеси (Vк ) есть величина постоянная, то произведение концентрации на объем смеси есть также величина постоянная. Из равенств

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

составим систему уравнений

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ. 0,68

Многие задачи на «движение» и на «работу» - это задачи на обратную пропорциональную зависимость. При S = const vt = conct, при А = const Nt = const (A - работа, N - производительность ( мощность), v - скорость, t - время).

Задача 1 . Гонщик - мотоциклист подсчитал, что при увеличении скорости на 10% он пройдет круг по кольцевой дороге за 15 минут. На сколько процентов он должен увеличить скорость, чтобы пройти круг за 12 минут?

Решение. В этой задаче S = const. Пусть первоначальная скорость равна v. Тогда

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ. На 37,5 %.

Задача 2. Рабочий день уменьшился с 8 часов до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы зарплата осталась прежней ?

В этой задаче А = const (будем считать, что заработная плата пропорциональна объему выполненной работы).

8N = 7 ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ . На ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Задача 3. На сколько процентов снизилась производительность труда, если для выполнения плана пришлось увеличить рабочий день с 7 часов до 8 часов ?

Решение. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ. На 12,5 %.

Задача 4. Рабочий день уменьшился с 8 часов до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата выросла на 12 % ?

Решение. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ. На 28 %.

2. Задачи на прямую пропорциональную зависимость

Рассмотрим формулу ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи Если n - const, а тА и т - переменные величины, то тА и т находятся в пропорциональной зависимости.

Задача 1. К 20 кг 12 -% -ного раствора соли добавили 3 кг соли. Сколько надо долить воды, чтобы концентрация соли в растворе не изменилась?

Решение. Масса соли в растворе

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Пусть требуется долить х л воды. Тогда

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Второй вариант ( см. график рис. 11)




20+х

т(кг)

20





т А

2,4

5,4




Рис. 11





ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ . 25 кг.

ТЕМА № 5.

Таблицы проектируются через мультимедииный проектор.

Задача 1.

Масса сплава, в который входят олово и свинец, равна 400г. В сплаве 68% олова. Найдите процентное содержание и массу свинца?

  1. 100% - 68% = 32% - процентное содержание.

  2. 400 . 0,32 = 128 (г) - масса свинца.

Ответ: 32%, 128г.

Задача 2:

Сплав состоит из 2 кг меди, 3 кг свинца и 5 кг железа. Сколько процентов от массы сплава приходится на медь, свинец и железо.

Решение:


  1. 2+3+5=10(кг) - масса сплава.

  2. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи· 100 = 20% меди;

  3. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи· 100 = 30% свинца;

  4. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи· 100 = 50 % - железа

Ответ: 20%, 30%, 50%.

Задача 3. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся сплав имел 40% меди?

Решение:

1 способ: 1) 12. 0,45 = 5,4 (кг) -чистой меди в первом сплаве.

2) 5,4:0,4=13,5(кг)- вес нового сплава.

3) 13,5-12=1,5(кг)- надо добавить.

Ответ: 1,5кг.

2 способ: В данной задаче масса меди есть величина постоянная.

Пусть масса прибавленного олова х кг.


(n%)

45



40




0

12

12+x

m (кг)


Задача на обратную пропорциональную зависимость:

1) 45%-40%=5%-прибавленное олово.

2) ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

40· х = 5· 12; х = ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Ответ: х = 1,5 кг.

Задача 4: В сплаве весом 10 кг отношение меди к цинку равно 4:1, во втором сплаве весом 16кг отношение меди к цинку 1:3. Сколько надо добавить чистой меди к этим сплавам, чтобы получить сплав, в котором отношение меди к цинку равно 3:2

Решение:

Пусть добавили Х кг чистой меди.

Медь

Цинк


Масса

1-ый сплав

4 части

1 часть

10 кг

2-ой сплав

1 часть

3 части

16 кг

3-й сплав

3 части

2 части

(10+16+х) кг


  1. 10:5.4=8(кг) - чистой меди в 1-м сплаве.

  2. 16 · ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи - чистой меди во 2-ом сплаве.

  3. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи- чистой меди в новом сплаве или (4+8+х) кг.

Составляем и решаем уравнение

12 + х = (26 + х) · ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи;

60 +5х = (26 + х) · 3,

60 + 5х = 78 + 3х,

2х = 18,

х = 9.

Ответ 9 кг

Для решения задач используются уравнения или системы уравнений.

Задача1. Имеется сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2:3, в другом - отношении 3:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5:11.

Решение:

1 способ.


З : С = 2: 3

З : С = 3 : 7

Х кг У кг


З : С = 5 : 11

х+ у = 1

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи - масса золота в 1 сплаве.

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи- масса золота во 2 сплаве.

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи- масса золота в новом сплаве.

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи- масса серебра в 1 сплаве.

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи- масса серебра в новом сплаве.

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи- масса серебра в новом сплаве

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Можно записать одну из систем:

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

+ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиу= 0,875 (кг)

х = 0,125 ( кг)

Ответ: 125г золота,

875г серебра.

2 способ.

Пусть х кг - масса 1 части первого сплава.

у кг - масса 1 части второго сплава.

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи+ ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачиЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

  1. 0,025 · 5 = 0,125 (кг).

  2. 0,0875 · 10 = 0,875 (кг)


  1. Способ:

Пусть х кг- масса I сплава, тогда масса второго сплава (1-х)кг.

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачизолота в новом сплаве

Составляем и решаем уравнение

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

х = 0,125 кг - золота

1). 1-х = 1-0,125 = 0,875 ( кг) - серебра

Ответ: 125 г ; 875 г.

Решить самостоятельно.

Задача № 1: Один раствор содержит 20% (по объему) соляной кислоты, а второй - 70% этой кислоты. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100л 50%-го раствора соляной кислоты.


Задача № 2: Если к сплаву меди и цинка прибавить 20г меди, то содержание меди в сплаве станет равным 70%. Если к первоначальному сплаву добавить 70г сплава, содержащего 40% меди, то содержание меди станет равным 52%. Найдите первоначальный вес сплава.

Решение:

Приготовим 2 схемы.

медь, цинк

медь

медь, цинк


40% меди, цинк




х г

20 г

х г

70 г

70% меди, цинк

52% меди, цинк

(х+20) г



х- первоначальный вес сплава.

Известно процентное содержание меди в новых сплавах (70% и %52%). Пусть у - процентное содержание меди в первоначальном сплаве, тогда,

  1. (х+20) · 0,7-меди в сплаве или 20 + 0,01 ху г.

(х + 20) · 0,7 = 20 + 0,01 ху

2) (х+70) · 0,52г меди в сплаве или 70·0,4+0,01ху г,

(х+70) 0,52 = 28 + 0,01ху.

Составляем и решаем систему уравнений.

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Разделим первое равенство на второе

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

х = 80(г) - первоначальный вес сплава

Ответ: 80г.

Задача 3. В 500кг руды содержится некоторое количества железа. После удаления из руды 200кг примесей, содержащих среднем 12,5% железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%. Определите какое количество железа осталось еще в руде?

Решение.


Масса руды в кг.

Масса железа в кг

Концентрация

(доля железа в руде)

Руда

500

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Руда после удаления примесей

500-200=300

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

Таблица создана в программе Word.


  1. 500 - 200 = 300 (кг) - масса руды после удаления примесей.

  2. 12,5% = 12,5:100=0,125 2· 00=25(кг)-масса железа в 200 кг примесей.

Пусть х кг -масса железа в руде, ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи доля железа в руде после удаления примесей.

По условию содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%=0,2

Составляем уравнение:

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

5·(х-25) -300-3х = 0.

2х = 425,

х = 212,5

212,5кг - масса железа в руде.

3)212,5 - 25 = 187,5(кг) - железа оставалось в руде после удаления примесей.

Ответ: 187,5кг

Реши самостоятельно:

Задача: Кусок сплава массой 36 кг содержит 45% меди.

Какую массу меди нужно добавить к этому куску. Чтобы полученный сплав содержал 60% меди?



© 2010-2022