Проектирование многоуровневой

системы задач по теме:

«Решение квадратных уравнений, неравенств и систем с параметром»

в соответствии с требованиями ФГОС

Выполнила:

Смирнова Раиса Михайловна,

учитель математики

ГБОУ СОШ п.г.т. Осинки

2015 г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ФИО (полностью)

Смирнова Раиса Михайловна

Место работы

ГБОУ СОШ п.г.т. Осинки, Безенчукского района, Самарской области

Должность

Учитель математики

Предмет

Алгебра

Класс

10-11

6. Цель: обучение умению решать квадратные уравнения, неравенства и системы с параметрами различными способами.

7. Задачи:

- обучающие: анализировать и осмысливать текст задачи, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, переформулировать условие, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, осознанное и произвольное построение речевого высказывания, выбор наиболее эффективного способа решения задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование, смысловое чтение;

1. -развивающие: целеполагание, планировать свою деятельность в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, саморегуляция, через решение задач, развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, интеллектуальные качества: способность к "видению" проблемы, оценочным действиям, самостоятельности, гибкости мышления;

-воспитательные: смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность.

8. Задачи с параметрами - это нестандартные задачи, т.е. необычные как по постановке и содержанию, так и по методам решения. Роль таких задач, их важность и польза для развития логического мышления, интуиции, творческих способностей учащихся, формирования у них высокой математической культуры очень велики. Известно, что педагоги сталкиваются с серьезными методическими проблемами при обучении решению таких задач, несмотря на наличие, довольно большого количества учебных пособий и журнальных статей. Причина этого достаточно очевидна: основная стратегия математического образования в школе - это развитие умений и навыков решения определенного набора стандартных задач, в большинстве своем связанных с техникой алгебраических преобразований. Уравнения (неравенства) с параметрами относятся к иному типу задач - задач, для решения которых необходимо прежде всего умение проводить - порой довольно разветвленные - логические построения и исследования.

Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, наличие навыка анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умении объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат. Этим обусловлены трудности, возникающие у учащихся при решении таких задач.

В настоящее время достаточно широкое распространение получила идея совмещения обучения решению задач с обучением их конструированию. Под конструированием задачи - мы будем понимать процесс создания новой задачи. В основе конструирования задачи - лежит умение составлять квадратный трехчлен. При этом используются различные приемы: аналогия, варьирование коэффициентов квадратного трехчлена, варьирование новой переменной, варьирование требования задач. В качестве коэффициентов и новой переменной могут выступать более сложные функции. Тем самым можно использовать такой квадратный трехчлен, который поможет в организации повторения более сложных функций: показательной, логарифмической, тригонометрической. С одной стороны нужно знать свойства квадратного трехчлена, а с другой стороны повторяются свойства функции, тем самым достигается комбинированность задачи.

Выбор задачи с параметрами для обучения их решению и конструированию, можно объяснить следующими обстоятельствами:

• при решении задач с параметрами происходит повторение, и как следствие, более глубокое, прочное усвоение программных вопросов;

• решение задач с параметрами расширяет математический кругозор, дает новые подходы к решению задач;

• происходит развитие математического, логического мышления, умение анализировать, сравнивать, обобщать;

• приобретаются навыки к исследовательским работам;

• помощь при подготовке к экзаменам;

• происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли, точность.

ФОРМИРУЕМЫЕ УУД В РАМКАХ ФГОС ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ

№

Этапы решения задач

Формируемые УУД

Анализ условия (введение буквенных обозначений)

• целеполагание;

• выделение существенной информации;

• формулирование задачи и прогнозирование способов решения;

• абстрагирование;

• аналогия;

• классификация (типологизация);

• знакосимволические действия.

Схематическая запись условия задачи в виде таблицы, схемы, графа с введенными буквенными обозначениями

• планирование;

• систематизация;

• знакосимволические действия;

• моделирование.

Составление модели (поиск аналога, привлечение из математики или физики известного закона)

• создание способа решения залачи;

• корректировка условия;

• моделирование в графическом виде.

Решение уравнения, системы и т.д. (поиск неизвестного)

• анализ и выявление существенной информации;

• выведение следствий;

• построение цепи рассуждений;

• выдвижение и проверка гипотез;

• преобразование модели.

Интерпретация модели (проверка и оценка решений, корней)

• анализ;

• выведение следствий;

• конкретизация;

• знакосимволическое действие (интерпретация).

Исследование (обобщение задачи или способа её решения для видоизмененных условий, другие подходы к решению)

• анализ;

• синтез;

• поиск аналогов;

• построение цепи рассуждений;

• умение сжато передать содержание;

• умение схемы, символы, модели;

• создание способов решения проблем поискового, творческого характера.

Рефлексия

• смыслообразование;

• планирование;

• контроль;

• коррекция;

• оценка;

• волевая саморегуляция;

• готовность к саморазвитию, к самообразованию;

• умение самостоятельно определять цели своего обучения;

• ставить и формулировать для себя новые задачи;

• развивать мотивы и интересы своей образовательной деятельности.

Многоуровневая система задач

В основе методики обучения на базе многоуровневой системы задач лежит поэтапное освоение блоков ее матрицы. Основная особенность этой методики заключается в том, что на каждом уровне, т.е. при освоении соответствующего столбца матрицы, учащийся всякий раз сталкивается со всеми тремя видами учебных ситуаций, возникающих при решении задач.

Многоуровневая система задач для каждой темы курса формируется с помощью ее матричного представления, путем выделения ранжированного перечня базовых элементов содержания образования и соответствующих им базовых задач, - с одной стороны, и уровней обученности, отражающих умения решать знакомые, модифицированные и незнакомые задачи, - с другой.

Такая матрица системы задач темы содержит 3 строки, соответствующие трем типам учебных ситуаций, возникающих при решении задач, и N столбцов, отражающих количество базовых задач темы. Подобное табличное (матричное) представление системы задач темы помогает осуществить полноценное наполнение на каждом уровне ее математического и деятельностного (формирование УУД) компонентов и тем самым реализовать критерии предметной и деятельностной полноты (имея в виду познавательные УУД) формируемой системы учебных задач. При этом если базовые задачи выполняют в системе роль своеобразных интеграторов предметно-содержательной компоненты, то при проектировании и реализации процесса обучения аналогичную роль должны играть универсальные учебные действия (общие методы и приемы деятельности) в выделенных ситуациях.

Учебная деятельность при решении задач, входящих в первую строку матрицы, носит репродуктивный характер (используются такие общеучебные действия, как классификация, подведение под понятие, выведение следствий, действия, построение логической цепи рассуждений, доказательство и т.д.). Используемые при этом задачи отличаются явными связями между данными и искомыми (известными и неизвестными) элементами. Ученик идентифицирует (распознает знакомые задачи в ряду подобных), воспроизводит изученные способы или алгоритмы действий, применяет усвоенные знания в практическом плане для некоторого известного класса задач и получает новую информацию на основе применения усвоенного образца деятельности

При решении задач второй строки репродуктивная учебная деятельность сочетается с реконструктивной, в которой образцы деятельности не просто воспроизводятся по памяти, а реконструируются в несколько видоизмененных условиях (здесь проявляются такие общеучебные действия, как выделение и формулирование познавательной цели, поиск и выделение необходимой информации, знаково-символические действия, включая математическое моделирование, структурирование знания).

Наконец, при решении задач третьей строки учебная деятельность носит исследовательский творческий характер. Ученик должен уметь ориентироваться в новых ситуациях и вырабатывать принципиально новые программы действий (выдвигать гипотезу, проверять: обосновывать или опровергать, выдвигать новую и т.д., осуществлять исследовательскую деятельность). Решение задач соответствующего блока требует от учащегося обладания обширным фондом отработанных и быстро развертываемых алгоритмов; умения оперативно перекодировать информацию из знаково-символической формы в графическую и, наоборот, из графической в знаково-символическую; системного видения курса. Вместе с тем, оно не просто предполагает использование старых алгоритмов в новых условиях и возрастание технической сложности, а отличается неочевидностью применения и комбинирования изученных алгоритмов. Задачи этого уровня имеют усложненную логическую структуру и характеризуются наличием латентных связей между данными и искомыми элементами. Такие задачи обычно предлагаются в качестве самых трудных на вступительных экзаменах в вузы с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов и в заданиях С3, С4, С5, С6 КИМов ЕГЭ.

Матричная модель системы задач

Квадратные

уравнения

Квадратные неравенств

Системы уравнений

Знакомая задача

При значениях параметра а квадратное уравнение не имеет действительных корней

РЕШЕНИЕ:

При каких значениях p неравенство верно для любого значения х?

РЕШЕНИЕ:

так как ветви параболы

расположены вверх, то условие задачи будет

равносильно условию D/4 < 0 .

Решая последнее неравенство, получаем:

p²-2p-3<0,

-1<p<3

При каких значениях b система имеет единственное решение ?

РЕШЕНИЕ: выразив y через x из второго уравнения и подставив его в первое уравнение, получим: Эта система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда дискриминант первого уравнения равен нулю, то есть когда , Замечание: ещё лучше решать эту задачу графически, рассматривая условие касания окружности и прямой.

Модифицированная задача

При значениях параметра а квадратное уравнение не имеет действительных корней

РЕШЕНИЕ:

При каких значениях p неравенство верно для любого значения х?

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем данное неравенство:

Неравенство выполняется для любого х,

если дискриминант неравенства отрицателен.

Т.е

Отсюда получаем

Ответ: 1;2;3;4;5;6;7

Найдите все значения параметра а, при которых парабола и прямая не имеют общих точек.

РЕШЕНИЕ:

Парабола и прямая не имеют общих точек, таким образом

Уравнение не имеет корней, когда D<0

Ответ: .

Незнакомая задача

Найти все значения параметра , при которых уравнение

имеет два различных корня, равноудаленных от точки

Решение:

Сделаем замену:

Тогда исходное уравнение примет вид:

уравнение всегда имеет два корня

Т.к. тогда т.е.

Ответ: а=9,5

Найти наибольшее целое значение параметра t, для которого выполняется неравенство: (1 - t)x² + 3x - t - 1 > 0.

РЕШЕНИЕ:

В левой части неравенства квадратный трехчлен, который будет всегда положительным при ветвях параболы, направленных вверх (т.е. 1 - t > 0 или t < 1) и отрицательном дискриминанте:Изобразим решения системы на числовой прямой:Все решения неравенства: . Наибольшее целое число -2, т.к. .

Ответ: - 2

Найти все значения параметра а, при каждом из которых либо число корней уравнения равно числу корней уравнения , либо оба эти уравнения не имеют решений.

РЕШЕНИЕ:

Так как уравнение является линейным, то у него может быть либо: один корень, бесчисленное множество корней или вообще не имеет решений, в зависимости от параметра а, а квадратное уравнение может иметь: один корень, два корня или не имеет решений, также в зависимости от параметра а.

Исходя из этого нам нужно найти такие значения параметра а, при которых оба эти уравнения имеют один корень, либо не имеют решений.

Рассмотрим уравнение

1. Если , то , то есть один корень; посмотрим сколько корней имеет уравнение, при , мы видим, что оно также имеет один корень . Следовательно удовлетворяет условию задачи.

2. Если . Нам нужно найти такие значения параметра а, при которых уравнение не имеет решений, следовательно D<0.

Преобразуем теперь уравнение , имеем

. При и , уравнение не имеет решений.

Объединяя оба этих решения, получаем, что при , оба уравнения не будут иметь решения.

3.Найдем теперь такие значения параметра а, при которых уравнения и имеют одно решение.

Чтобы уравнение имело один корень, нужно чтобы D=0, то есть . Проверим, будет ли при этих значениях параметра а, уравнение иметь один корень.

, тогда подставим и видим, что , но такого не может быть, так как знаменатель исходного линейного уравнения обратится в нуль.

, тогда подставим и видим, что , то есть - удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

Примечание:

Подбор серии уравнений.

Задача. Для каждого значения параметра а найти все решения уравнения.

































....

0

1

3

sin

2

2

sin

.

6

0

1

3

2

2

2

4

.

5

0

1

3

2

2

x

.

4

0

1

3

2

2

.

3

0

1

3

2

2

.

2

0

1

3

2

2

2

4

.

1

2

x

2

2

4





































































a

x

a

x

a

a

a

x

a

a

x

a

x

a

x

a

x

a

a

x

x

x

Все уравнения соответствующей заменой переменной сводятся к квадратному уравнению Далее находим множество значений новой переменной и в зависимости от этого исследуем расположение корней квадратного уравнения относительно числа 0 (уравнения 1-4). Относительно числа 1 (уравнение 5). Относительно чисел -1 и 1 (уравнение 6).

Литература:

• Комплекты учебников/ Под ред. Н.Я. Виленкина, А.Г. Мордковича, А.В. Теляковского

• Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ, Высоцкий В.С., 2011.

• nsportal.ru/shkola/algebra/library/metodika-ispolzovaniya-mnogourovnevoy-sistemy-zadach-po-teme-procenty

• Козко А. И., Панферов В. С, Сергеев И. Н., Чирский В. Г. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Задачи с параметром / Под ред. А. Л. Семенова и И. В.Ященко. - М.: МЦНМО, 2011.-144 с.