- Преподавателю
- Математика
- Дифференцирование функции комплексных переменных
Дифференцирование функции комплексных переменных
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Арынгазинова И.М. |
Дата | 13.12.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Тема: Дифференцирование функции комплексных переменных
Цель: повторить навыки нахождения частных производных второго порядка. Определение действительной и мнимой части функции комплексной переменной. Научить находить производное функции комплексных переменных.
Тип урока: комбинированный
План урока:
-
Организационный момент.
-
Изложение материала.
-
Домашнее задание.
-
Подведение итогов урока.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Изложение материала.
Понятие функции комплексной переменной
Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:
Функция одной переменной - это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» - действительные числа.
В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:
Однозначная функция комплексной переменной - это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.
Чем отличается функция комплексной переменной?
Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной, то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительныезначения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:
Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной
Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и - две функции двух действительных переменных.
Функция называется действительной частью функции .
Функция называется мнимой частью функции .
То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:
Пример 1
Найти действительную и мнимую часть функции
Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:
(1) В исходную функцию подставили .
(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом - раскрыли скобки.
(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что
(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).
(5) У второй группы выносим за скобки.
В результате наша функция оказалась представлена в виде
Ответ:
- действительная часть функции .
- мнимая часть функции .
Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные. Без пощады - находить будем. Но чуть позже.
Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы - без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).
Пример 2
Найти действительную и мнимую часть функции
Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:
БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!
Полное решение и ответ в конце урока.
Чтобы дальше легче жилось, обратим внимание на пару полезных формул. В Примере 1 было выяснено, что .
Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.
Рекомендую переписать в тетрадь две рабочие формулы:
Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.
Дифференцирование функций комплексной переменной.
Условия Коши-Римана
У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной .
Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.
Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:
1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .
2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана:
Только в этом случае будет существовать производная!
Пример 3
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.
Решение раскладывается на три последовательных этапа:
1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:
Так как , то:
Таким образом:
- действительная часть функции ;
- мнимая часть функции .
Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую - так: .
3) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.
Начнем с проверки условия . Находим частные производные:
Таким образом, условие выполнено.
Несомненно, приятная новость - частные производные почти всегда очень простые.
Проверяем выполнение второго условия :
Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.
Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.
3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:
Мнимая единица при дифференцировании считается константой.
Ответ: - действительная часть, - мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .