Рабочая программа по геометрии 10-11 класс (Атанасян)

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
Пролетарская средняя общеобразовательная школа

Утверждена

педагогическим советом МАОУ Пролетарской СОШ

протокол № ___ от _________

Рабочая программа

по геометрии

для 10 - 11 классов

Составители:

Вяликова М. В.,

Демина Л.Е

учителя математики

П. Пролетарий

Пояснительная записка

Статус документа

Рабочая программа по геометрии составлена:

- на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования,

- примерной программы по математике основного общего образования,

- авторской программы «Геометрия, 10 - 11», авт. Л.С. Атанасян и др.,

-федерального перечня учебников, рекомендованных Министерством образования Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2015-2016 учебный год, учебника «Геометрия 10-11», Л.С.Атанасян и др., Москва, Просвещение, 2010

с учетом требований к оснащению образовательного процесса в соответствии с содержанием наполнения учебных предметов компонента государственного стандарта общего образования.

Материал, который в Обязательном минимуме содержания основных образовательных стандартов выделен курсивом, т. е. подлежит изучению, но не включается в требования к уровню подготовки выпускников, введен в основное содержание примерной программы без выделения курсивом.

Примерная программа выполняет две основные функции.

Информационно-методическая функция позволяет всем участникам образовательного процесса получить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспитания и развития учащихся средствами данного учебного предмета.

Организационно-планирующая функция предусматривает выделение этапов обучения, структурирование учебного материала, определение его количественных и качественных характеристик на каждом из этапов, в том числе для содержательного наполнения промежуточной аттестации учащихся.

Общая характеристика учебного предмета

В курсе математики содержание образования, представленное в основной школе, развивается в следующих направлениях:

систематизация сведений о числах; формирование представлений о расширении числовых множеств от натуральных до комплексных как способе построения нового математического аппарата для решения задач окружающего мира и внутренних задач математики; совершенствование техники вычислений;

развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований, решения уравнений, неравенств, систем;

систематизация и расширение сведений о функциях, совершенствование графических умений; знакомство с основными идеями и методами математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи;

расширение системы сведений о свойствах плоских фигур, систематическое изучение свойств пространственных тел, развитие представлений о геометрических измерениях;

развитие представлении о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире;

совершенствование математического развития до уровня, позволяющего свободно применять изученные факты и методы при решении задач из различных разделов курса, а также использовать их в нестандартных ситуациях;

формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление знаний об особенностях применения математических методов к исследованию процессов и явлений в природе и обществе.

Цели

Изучение математики в старшей школе направлено на достижение следующих целей:

• формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;

• овладение устным и письменным математическим языком, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественно-научных дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;

• развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

• воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей; понимания значимости математики для общественного прогресса.

Место предмета в базисном учебном плане

Согласно Федеральному базисному учебному плану для образовательных учреждений Российской Федерации для обязательного изучения геометрии на этапе основного общего образования (10-11 классы) отводится не менее 100 часов из расчета 1,5 часа в неделю.

Рабочая программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта и даёт распределение учебных часов по разделам курса.

В данной рабочей программе на изучение геометрии в 11 классе отводится 64 ч (2 часа в неделю).

Общеучебные умения, навыки и способы деятельности

В ходе изучения математики учащиеся продолжают овладение разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов;

использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых задач;

планирования и осуществления алгоритмической деятельности: выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; использования и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и результатов эксперимента; выполнения расчетов практического характера;

построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;

самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт.

Результаты обучения

Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все выпускники, изучавшие курс математики по профильному уровню, и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс средней (полной) школы. Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь», «использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». При этом последние два компонента представлены отдельно по каждому из разделов содержания.

Очерченные стандартом рамки содержания и требований ориентированы на развитие учащихся и не должны препятствовать достижению более высоких уровней.

Основное содержание

геометрия

Свойство биссектрисы угла треугольника. Решение треугольников. Вычисление биссектрис, медиан, высот, радиусов вписанной и описанной окружностей. Формулы площади треугольника: формула Герона, выражение площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружностей.

Вычисление углов с вершиной внутри и вне круга, угла между хордой и касательной.

Теорема о произведении отрезков хорд. Теорема о касательной и секущей. Теорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма.

Вписанные и описанные многоугольники. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников.

Геометрические места точек.

Решение задач с помощью геометрических преобразований и геометрических мест.

Теорема Чевы и теорема Менелая.

Эллипс, гипербола, парабола как геометрические места точек.

Неразрешимость классических задач на построение.

Прямые и плоскости в пространстве. Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Понятие об аксиоматическом способе построения геометрии.

Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства. Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

Параллельность плоскостей, перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства.

Двугранный угол, линейный угол двугранного угла.

Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от прямой до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Параллельное проектирование. Ортогональное проектирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Изображение пространственных фигур. Центральное проектирование.

Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.

Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная призмы. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Треугольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида.

Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.

Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная).

Сечения многогранников. Построение сечений.

Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

Тела и поверхности вращения. Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.

Шар и сфера, их сечения. Эллипс, гипербола, парабола как сечения конуса.

Касательная плоскость к сфере. Сфера, вписанная в многогранник; сфера, описанная около многогранника.

Цилиндрические и конические поверхности.

Объемы тел и площади их поверхностей. Понятие об объеме тела. Отношение объемов подобных тел.

Формулы объема куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.

Координаты и векторы. Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости.

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам,

Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам.

Требования к уровню подготовки выпускников

В результате изучения математики на профильном уровне в старшей школе ученик должен

знать/понимать: (Помимо указанных в данном разделе знаний, в требования к уровню подготовки включаются также знания, необходимые для освоения перечисленных ниже умений)

• значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

• значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки;

• идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач и внутренних задач математики;

• значение идей, методов и результатов алгебры и математического анализа для построения моделей реальных процессов и ситуаций;

• возможности геометрического языка как средства описания свойств реальных предметов и их взаимного расположения;

• универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности;

• различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике;

• роль аксиоматики в математике; возможность построения математических теорий на аксиоматической основе; значение аксиоматики для других областей знания и для практики;

• вероятностный характер различных процессов и закономерностей окружающего мира.

Уметь:

• соотносить плоские геометрические фигуры и трехмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями; различать и анализировать взаимное расположение фигур;

• изображать геометрические фигуры и тела, выполнять чертеж по условию задачи;

• решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат;

• проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса;

• вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигурациях, объемы и площади поверхностей пространственных тел и их простейших комбинаций;

• применять координатно-векторный метод для вычисления отношений, расстояний и углов;

• строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

• вычисления длин, площадей и объемов реальных объектов при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

10 КЛАСС

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ

1. Введение

Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом.

Основная цель - познакомить учащихся с содержанием курса стереометрии, с основными понятиями и аксиомами, принятыми в данном курсе, вывести первые следствия из аксиом, дать представление о геометрических телах и их поверхностях, об изображении пространственных фигур на чертеже, о прикладном значении геометрии.

Изучение стереометрии должно базироваться на сочетании наглядности и логической строгости. Опора на наглядность - непременное условие успешного усвоения материала, и в связи с этим нужно уделить большое внимание правильному изображению на чертеже пространственных фигур. Однако наглядность должна быть пронизана строгой логикой. Курс стереометрии предъявляет в этом отношении более высокие требования к учащимся. В отличие от курса планиметрии здесь уже с самого начала формулируются аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве, и далее изучение свойств взаимного расположения прямых и плоскостей проходит на основе этих аксиом. Тем самым задается высокий уровень строгости в логических рассуждениях, который должен выдерживаться на протяжении всего курса.

2. Параллельность прямых и плоскостей

Параллельность прямых, прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Параллельность плоскостей. Тетраэдр и параллелепипед.

Основная цель - сформировать представления учащихся о возможных случаях взаимного расположения двух прямых в пространстве (прямые пересекаются, прямые параллельны, прямые скрещиваются), прямой и плоскости (прямая лежит в плоскости, прямая и плоскость пересекаются, прямая и плоскость параллельны), изучить свойства и признаки параллельности прямых и плоскостей.

Особенность данного курса состоит в том, что уже в первой главе вводятся в рассмотрение тетраэдр и параллелепипед и устанавливаются некоторые их свойства. Это дает возможность отрабатывать понятия параллельности прямых и плоскостей (а в следующей главе также и понятия перпендикулярности прямых и плоскостей) на этих двух видах многогранников, что, в свою очередь, создает определенный задел к главе «Многогранники». Отдельный пункт посвящен построению на чертеже сечений тетраэдра и параллелепипеда, что представляется важным как для решения геометрических задач, так и, вообще, для развития пространственных представлений учащихся.

В рамках этой темы учащиеся знакомятся также с параллельным проектированием и его свойствами, используемыми при изображении пространственных фигур на чертеже.

3. Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей. Трехгранный угол. Многогранный угол.

Основная цель - ввести понятия перпендикулярности прямых и плоскостей, изучить признаки перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей, ввести основные метрические понятия; расстояние от точки до плоскости, расстояние между параллельными плоскостями, между параллельными прямой и плоскостью, расстояние между скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями, изучить свойства прямоугольного параллелепипеда.

Понятие перпендикулярности и основанные на нем метрические понятия (расстояния, углы) существенно расширяют класс стереометрических задач, появляется много задач на вычисление, широко использующих известные факты из планиметрии.

4. Многогранники

Понятие многогранника. Призма. Пирамида. Правильные многогранники.

Основная цель - познакомить учащихся с основными видами многогранников (призма, пирамида, усеченная пирамида), с формулой Эйлера для выпуклых многогранников, с правильными многогранниками и элементами их симметрии.

С двумя видами многогранников - тетраэдром и параллелепипедом - учащиеся уже знакомы. Теперь эти представления расширяются. Многогранник определяется как поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело (его тоже называют многогранником). В связи с этим уточняется само понятие геометрического тела, для чего вводится еще ряд новых понятий (граничная точка фигуры, внутренняя точка и т. д.). Усвоение их не является обязательным для всех учащихся, можно ограничиться наглядным представлением о многогранниках.

Наряду с формулой Эйлера в этом разделе содержится также один из вариантов пространственной теоремы Пифагора, связанный с тетраэдром, у которого все плоские углы при одной вершине - прямые. Доказательство основано на формуле площади прямоугольной проекциимногоугольника, которая предварительно выводится.

5. Повторение. Решение задач

11 КЛАСС

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ

1. Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Компланарные векторы.

Основная цель - закрепить известные учащимся из курса планиметрии сведения о векторах и действиях над ними, ввести понятие компланарных векторов в пространстве и рассмотреть вопрос о разложении любого вектора по трем данным некомпланарным векторам.

Основные определения, относящиеся к действиям над векторами в пространстве, вводятся так же, как и для векторов на плоскости. Поэтому изложение этой части материала является достаточно сжатым. Более подробно рассматриваются вопросы, характерные для векторов в пространстве: компланарность векторов, правило параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов, разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

2. Метод координат в пространстве. Движения

Координаты точки и координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Уравнение плоскости. Движения. Преобразование подобия.

Основная цель - сформировать умение учащихся применять векторно-координатный метод к решению задач на вычисление углов между прямыми и плоскостями и расстояний между двумя точками, от точки до плоскости.

Данный раздел является непосредственным продолжением предыдущего. Вводится понятие прямоугольной системы координат в пространстве, даются определения координат точки и координат вектора, рассматриваются простейшие задачи в координатах. Затем вводится скалярное произведение векторов, кратко перечисляются его свойства (без доказательства, поскольку соответствующие доказательства были в курсе планиметрии) и выводятся формулы для вычисления углов между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Дан также вывод уравнения плоскости и формулы расстояния от точки до плоскости.

В конце раздела изучаются движения в пространстве: центральная симметрия, осевая симметрия, зеркальная симметрия. Кроме того, рассмотрено преобразование подобия.

3. Цилиндр, конус, шар

Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра. Понятие конуса. Площадь поверхности конуса. Усеченный конус. Сфера и шар. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости. Касательная плоскость к сфере. Площадь сферы.

Основная цель - дать учащимся систематические сведения об основных телах и поверхностях вращения - цилиндре, конусе, сфере, шаре.

Изучение круглых тел (цилиндра, конуса, шара) и их поверхностей завершает знакомство учащихся с основными пространственными фигурами. Вводятся понятия цилиндрической и конической поверхностей, цилиндра, конуса, усеченного конуса. С помощью разверток определяются площади их боковых поверхностей, выводятся соответствующие формулы. Затем даются определения сферы и шара, выводится уравнение сферы и с его помощью исследуется вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости. Площадь сферы определяется как предел последовательности площадей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани. В задачах рассматриваются различные комбинации круглых тел и многогранников, в частности описанные и вписанные призмы и пирамиды,

В данном разделе изложены также вопросы о взаимном расположении сферы и прямой, о сечениях цилиндрической и конической поверхностей различными плоскостями.

4. Объемы тел

Объем прямоугольного параллелепипеда. Объемы прямой призмы и цилиндра. Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса. Объем шара и площадь сферы. Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора.

Основная цель - ввести понятие объема тела и вывести формулы для вычисления объемов основных многогранников и круглых тел, изученных в курсе стереометрии.

Понятие объема тела вводится аналогично понятию площади плоской фигуры. Формулируются основные свойстваобъемов и на их основе выводится формула объема прямоугольного параллелепипеда, а затем прямой призмы и цилиндра. Формулы объемов других тел выводятся с помощью интегральной формулы. Формула объема шара используется для вывода формулы площади сферы.

5. Некоторые сведения из планиметрии

Углы и отрезки, связанные с окружностью. Решение треугольников. Теоремы Менелая и Чевы. Эллипс, гипербола и парабола.

Основная цель - расширить известные учащимся сведения о геометрических фигурах на плоскости; рассмотреть ряд теорем об углах и отрезках, связанных с окружностью, о вписанных и описанных четырехугольниках; вывести формулы для медианы и биссектрисы треугольника, а также формулы площади треугольника, использующие радиусы вписанной и описанной окружностей; познакомить учащихся с такими интересными объектами, как окружность и прямая Эйлера, с теоремами Менелая и Чевы, и, наконец, дать геометрические определения эллипса, гиперболы, параболы и вывести их канонические уравнения.

Изучение этих теорем и формул целесообразно совместить с рассмотрением тех или иных вопросов стереометрии:

• теоремы об углах и отрезках, связанных с окружностью, рассмотреть при изучении темы «Сфера и шар»;

• различные формулы, связанные с треугольником, - при изучении темы «Многогранники», в частности, теоремы Менелая и Чевы - в связи с задачами на построение сечений многогранников;

• сведения об эллипсе, гиперболе и параболе использовать при рассмотрении сечений цилиндрической и конической поверхностей.

6. Обобщающее повторение

Примечания.

1) При решении задач, связанных с сечением тетраэдра некоторой плоскостью, часто оказывается полезной теорема Менелая. Поэтому изучение п. 14 учебника «Задачи на построение сечений» целесообразно совместить с изучением теорем Менелая и Чевы (пп. 95 и 96).

2) В п. 58 введено понятие центрального подобия в пространстве. Рассмотрение этого понятия можно совместить с изучением п. 94, где с помощью центрального подобия (на плоскости) решена задача о прямой и окружности Эйлера для треугольника. Целесообразно начать с изучения п. 94, затем перейти к п. 58, а при рассмотрении вопросов, связанных со сферой (пп. 64-69), решить красивые задачи 814 и 815 о прямой и сфере Эйлера для тетраэдра. Вторая задача решается на основе первой, и при этом эффективно используется центральное подобие.

3) В пп. 72 и 73 учебника рассматриваются сечения цилиндрической и конической поверхностей. При этом используются свойства эллипса, гиперболы и параболы, которые описаны в пп. 97-99. Поэтому перед изучением пп. 72 и 73 следует ознакомиться с содержанием пп. 97-99.

4) Другие теоремы и формулы, включенные в главу «Некоторые сведения из планиметрии», могут быть изучены по мере надобности при рассмотрении тех или иных вопросов стереометрии. Так, пп. 85-89, в которых рассматриваются углы и отрезки, связанные с окружностью, а также вписанный и описанный четырехугольники, целесообразно рассмотреть в связи с темой «Сфера и шар», а пп. 90-94, относящиеся к треугольнику, - в связи с темой «Многогранники».

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

I вариант: примерная программа по геометрии

II вариант: программа МАОУ ПСОШ

Содержание материала

Количество часов

Примечания

I

II

Некоторые сведения из планиметрии (В учебнике они изложены в последней главе «Некоторые сведения из планиметрии» (пп. 85-99). Их можно рассмотреть вместе с соответствующими темами стереометрии.10-11 классов)

12

12

Часы разбиты в соответствии с изучаемым материалом, будут указаны в скобках

Введение

3

4

Параллельность прямых и плоскостей

16

16 (+2)

Перпендикулярность прямых и плоскостей

17

16

Один час перенесен на введение

Многогранники

14

14 (+4)

Заключительное повторение курса геометрии 10 класса

6

6

Содержание материала

Количество часов

Примечания

I

II

Векторы в пространстве

6

6

Тема перенесена на 10 класс, в связи с высвобождением 6 часов темы «Некоторые сведения из планиметрии»

Метод координат в пространстве

15

15

Цилиндр, конус, шар

16

16 (+4)

Объемы тел

17

17 (+2)

Заключительное повторение при подготовке к итоговой аттестации по геометрии

14

14

Календарно - тематическое планирование.

10 класс

№

Тема , номер урока внутри темы

Изучаемый параграф

Учащиеся должны:

Работа с учащимися по адаптированной программе

Дата

знать

уметь

Введение. 4 часа.

1.

2.

3.

4.

1. Предмет стереометрии.

2. Аксиомы стереометрии.

3. Некоторые следствия из аксиом.

4. Зачет по теме «Аксиомы стереометрии».

n.1

n.2

n.3

Аксиомы стереометрии, следствия (с доказательством).

Применять аксиомы для решения задач на доказательство.

Такие учащиеся в этом классе отсутствуют.

Параллельность прямых и плоскостей. 16 часов. + 2 часа из темы «Некоторые сведения из планиметрии»

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18. 19.

20.

21.

22.

1. Параллельные прямые в пространстве.

2. Параллельность трех прямых.

3. Параллельность прямой и плоскости.

4. Решение задач по теме «Параллельность прямых, прямой и плоскости».

5. Взаимное расположение прямых в пространстве.

6. Скрещивающиеся прямые.

7. Углы с сонаправленными сторонами.

8. Угол между прямыми. Контрольная работа по теме «Прямые в пространстве» (20 мин)

9. Параллельные плоскости.

10.Свойства параллельных плоскостей.

11. Тетраэдр.

12. Параллелепипед.

13. Задачи на построение сечений.

14. Теорема Менелая.

15. Теорема Чевы.

16. Зачет по теме «Параллельность прямых и плоскостей».

17. Обобщение темы «Параллельность прямых и плоскостей».

18. Контрольная работа по теме «Параллельность прямых и плоскостей».

n.4

n.5

n.6

n.7

n.8

n.9

n.10

n.11

n.12

n.13

n.14

п.95

п.96

Определение параллельных прямых, плоскостей, скрещивающихся прямых, понятие тетраэдра и параллелепипеда.

Различать виды прямых, доказывать параллельность прямых и плоскостей, решать задачи на построение сечений (с применением теорем Менелая и Чевы).

Перпендикулярность прямых и плоскостей. 16 часов.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

1. Перпендикулярные прямые в пространстве.

2. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.

3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

4. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.

5. Решение задач по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости».

6. Расстояние от точки до плоскости.

7. Теорема о трех перпендикулярах.

8. Угол между прямой и плоскостью.

9. Решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонные».

10. Двугранный угол. Трехгранный угол. Многогранный угол.

11. Признак перпендикулярности двух плоскостей.

12. Прямоугольный параллелепипед.

13. Решение задач по теме «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей».

14. Обобщение темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

15. Контрольная работа по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

16. Зачет по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

n.15

n.16

n.17

n.18

n.19

n.20

n.21

n.22

n.23

n.24

Определение перпендикулярных прямых и плоскостей, понятие перпендикуляра и наклонной, понятие двугранного угла.

Доказывать перпендикулярность прямых и плоскостей, находить расстояние от точки дот прямой, находить линейные углы двугранных углов.

Многогранники. 14 часов. + 4 часа из темы «Некоторые сведения из планиметрии»

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48. 49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

1. Теорема синусов.

2. Теорема косинусов.

3. Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами.

4. Решение треугольников.

5. Понятие многогранника.

6. Геометрическое тело.

7. Призма.

8. Пирамида.

9. Правильная пирамида.

10. Усеченная пирамида.

11. Решение задач по теме «Призма и пирамида».

12. Симметрия в пространстве.

13. Понятие правильного многогранника.

14. Элементы симметрии правильных многогранников.

15. Практическая работа «Моделирование правильных многоугольников».

16. Обобщение темы «Многогранники».

17. Контрольная работа по теме «Многогранники».

18. Зачет по теме «Многогранники».

п.90

п.91

п.92

п.94

n.25

n.26

n.27

n.28

n.29

n.30

n.31

n.32

n.33

Понятие многогранника, виды многогранников и их свойства.

Различать виды многогранников, находить площади их граней, их элементы, площади боковых поверхностей.

Векторы в пространстве. 6 часов.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

1. Понятие вектора. Равенство векторов.

2. Сложение и вычитание векторов. Сумма нескольких векторов.

3. Умножение вектора на число.

4. Компланарные векторы. Правило параллелепипеда.

5. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

6. Зачет по теме «Векторы в пространстве».

n.34, n.35

n.36, n.37

n.38

n.39, n.40

n.41

Понятие вектора, правил сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число, разложения векторов по трем некомпланарным векторам.

Откладывать вектора от заданной точки, складывать и вычитать вектора, умножать вектор на число, раскладывать по трем некомпланарным векторам.

Повторение. Решение задач. 6 часов.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

1. Повторение темы «Параллельность прямых и плоскостей».

2. Повторение темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

3. Повторение темы «Многогранники».

4. Повторение темы «Векторы в пространстве».

5. Защита рефератов.

6. Подведение итогов года.

11 класс

№

Тема

Изучаемый параграф

Учащиеся должны:

Работа с учащимися по адаптированной программе

Дата

знать

уметь

Метод координат в пространстве. 15 часов.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

1. Вводный урок. Повторение.

2. Прямоугольная система координат в пространстве.

3. Координаты вектора.

4. Связь между координатами вектора и координатами точек.

5. Простейшие задачи в координатах.

6. Решение задач по теме «Координаты точки, координаты вектора».

7. Угол между векторами.

8. Скалярное произведение векторов.

9. Вычисление углов между прямыми и плоскостями. Уравнение плоскости.

10. Центральная симметрия. Осевая симметрия.

11. Зеркальная симметрия. Параллельный перенос. Подобие.

12. Творческая работа по теме «Движения»

13. Обобщение темы «Метод координат в пространстве».

14.Контрольная работа по теме «Метод координат в пространстве».

15. Зачет по теме «Метод координат в пространстве».

n.42

n.43

n.44

n.45

n.46

n.47

n.48

n.49, n.50

n.51, n.52

Правила построения прямоугольной системы координат в пространстве, формулы для вычисления середины отрезка, длины отрезка, скалярного произведения векторов.

Отмечать точки в прямоугольной системе координат в пространстве, решать простейшие задачи в координатах, строить образы фигур при осевой, центральной и зеркальной симметрии, параллельном переносе.

Такие учащиеся в этом классе отсутствуют.

Цилиндр, конус и шар. 16 часов. + 4 часа из темы «Некоторые сведения из планиметрии».

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30. 31.

32.

33.

34.

35.

1. Понятие цилиндра.

2. Площадь поверхности цилиндра.

3. Решение задач по теме «Цилиндр».

4. Понятие конуса.

5. Площадь поверхности конуса.

6. Усеченный конус.

7. Решение задач по теме «Конус».

8. Углы и отрезки, связанные с окружностью.

9. Вписанный четырехугольник. Описанный четырехугольник.

10. Решение задач по теме «Углы и отрезки, связанные с окружностью».

11. Сфера и шар.

12. Уравнение сферы.

13. Взаимное расположение сферы и плоскости.

14. Касательная плоскость к сфере.

15. Площадь сферы.

16. Решение задач по теме «Сфера и шар».

17. Обобщение темы «Тела вращения».

18. Контрольная работа по теме «Тела вращения».

19. Зачет по теме «Тела вращения»

20. Резерв времени первого полугодия (при наличии разбить 9 урок в теме на два урока)

n.53

n.54

n.55

n.56

n.57

п.85, п.86

п.87, п.88

п.89

n.58

n.59

n.60

n.61

n.62

Определения тел вращения, формулы для вычисления площадей боковой поверхности и площадей полной поверхности.

Строить тела вращения, вычислять площади полной и боковой поверхности, а также площади сечений.

Объемы тел. 17 часов. + 2 часа из темы «Некоторые сведения из планиметрии».

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

1. Понятие объема.

2. Объем прямоугольного параллелепипеда.

3. Решение задач по теме «Объем прямоугольного параллелепипеда»

4. Объем прямой призмы.

5. Объем цилиндра.

6. Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла.

7. Объем наклонной призмы.

8. Объем пирамиды.

9. Объем конуса.

10. Решение задач по теме «Объем пирамиды и конуса».

11. Эллипс.

12. Гипербола и парабола.

13. Объем шара.

14. Объем шарового сегмента.

15. Объем шарового слоя и шарового сектора.

16. Площадь сферы.

17. Обобщение темы «Объемы тел».

18. Контрольная работа по теме «Объемы тел».

19. Зачет по теме «Объемы тел».

n.63

n.64

n.65

n.66

n.67

n.68

n.69

n.70

п.97

п.98, п.99

n.71

n.72

n.73

Понятие объема геометрического тела, формулы для вычисления объемов многогранников и тел вращения.

Понятия эллипса, гиперболы и параболы.

Находить объемы многогранников и тел вращения, в том числе и с помощью интегралов. Использовать свойства эллипса, гиперболы и параболы для сечения конической и цилиндрической поверхностей.

Итоговое повторение. Решение задач. 14 часов.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

1. Повторение темы «Параллельность прямых и плоскостей».

2. Повторение темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

3. Повторение темы «Многогранники».

4. Повторение темы «Векторы в пространстве».

5. Повторение темы «Метод координат в пространстве».

6. Повторение темы «Тела вращения».

7. Повторение темы «Объемы тел».

8. Итоговая контрольная работа.

9. Решение заданий №3 ЕГЭ.

10. Решение заданий №6 ЕГЭ.

11. Решение заданий №8 ЕГЭ.

12. Решение заданий №14 ЕГЭ.

13. Решение заданий №16 ЕГЭ.

14. Резерв времени второго полугодия (при наличии провести пробное тестирование)

Зачеты

Тема 1: Аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей

Подготовка к зачету

Вопросы

1. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

2. Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и притом только одну.

3. Перечислите случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве.

4. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

5. Какие прямые называются скрещивающимися?

6. Какие прямые в пространстве называются пересекающимися?

7. Докажите, что через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

8. Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

9. Докажите, что через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

10. Докажите свойство транзитивности параллельных прямых: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

11. Перечислите случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

12. Какие прямая и плоскость называются пересекающимися?

13. Какие прямая и плоскость называются параллельными?

14. Докажите признак параллельности прямой и плоскости.

15. Перечислите случая взаимного расположения двух плоскостей.

16. Какие плоскости называются параллельными?

17. Какие плоскости называются пересекающимися?

18. Докажите признак параллельности двух плоскостей.

19. Докажите, что если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

20. Докажите, что отрезки параллельных, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

21. Докажите, что если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости.

23. Докажите, что если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

25. Докажите признак скрещивающихся прямых.

Задания к зачету

КАРТОЧКА 1

1. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

2. Через две прямые и нельзя провести одну плоскость. Могут ли они пересекаться? Ответ обоснуйте.

3. Докажите признак параллельности прямой и плоскости.

КАРТОЧКА 2

1. Перечислите случая взаимного расположения двух прямых в пространстве. Приведите примеры соответствующих прямых на модели куба.

2. Прямые и пересекаются. Могут ли прямые и быть скрещивающимися? Ответ обоснуйте.

Ответ: нет, так как прямые и лежат в одной плоскости.

3. Докажите признак параллельности двух плоскостей.

КАРТОЧКА 3

1. Какие прямые в пространстве называются параллельными? Приведите примеры таких прямых в классной комнате.

2. На каком теоретическом утверждении основан принцип проверки теодолитом вертикальности стеновых панелей к горизонту (рис. 1).

Ответ: на свойстве транзитивности параллельных прямых.

3а. Докажите, что если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости.

КАРТОЧКА 4

1. Какие прямые в пространстве называются пересекающимися? Приведите примеры таких прямых на модели тетраэдра.

2. Даны параллельные прямые и и плоскость , проходящая через прямую . Пересекает ли прямая плоскость ? Ответ обоснуйте.

Ответ: нет, так как согласно признаку параллельности прямой и плоскости .

3. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

КАРТОЧКА 5

1. Перечислите случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Приведите соответствующие примеры из реальной ситуации.

2. При распиливании бруса плотник обычно намечает плоскость распила двумя прямыми ( и на рис. 2) на смежных гранях. Затем пилит так, чтобы полотно пилы было направлено по этим прямым. Обоснуйте правильность выполнения приема.

Ответ: правильность выполнения приема гарантирована, поскольку две пересекающиеся прямые определяют плоскость.

3. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

КАРТОЧКА 6

1. Какие прямые в пространстве называются скрещивающимися? Приведите примеры таких прямых на модели параллелепипеда.

2. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общих точки; в) только одну общую прямую? Ответ обоснуйте.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.

3. Докажите, что если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

КАРТОЧКА 7

1. Какие прямая и плоскость называются пересекающимися? Продемонстрируйте данное отношение, используя спицу и плоскость стола.

2. Точка не лежит в плоскости прямоугольника . Как расположена прямая по отношению к плоскости ? Ответ обоснуйте.

Ответ: параллельна согласно признаку параллельности прямой и плоскости.

3. Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

КАРТОЧКА 8

1. Какие прямая и плоскость называются параллельными? Приведите примеры параллельной прямой и плоскости на модели куба.

2. Верно ли утверждение: две прямые, параллельные некоторой плоскости, параллельны между собой? Ответ обоснуйте.

3. Докажите, что через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

КАРТОЧКА 9

1. Перечислите случаи взаимного расположения двух плоскостей. Приведите примеры соответствующих плоскостей в интерьере классной комнаты.

2. На практике при распиливании бруса так, чтобы плоскости распилов были параллельны, часто используется следующий прием. На двух смежных гранях бруса (рис. 3) прочерчивают и по ним направляют движение пилы. Обоснуйте правильность выполнения приема.

Ответ: правильность приема гарантирована признаком параллельности двух плоскостей.

3. Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.

КАРТОЧКА 10

1. Какие плоскости называются параллельными? Приведите примеры таких плоскостей на моделях геометрических тел.

2. Могут ли скрещивающиеся прямые и быть параллельны прямой ? Ответ обоснуйте.

Ответ: не могут, так как если предположить, что прямые и параллельны прямой , то они должны быть параллельны между собой, что противоречит условию.

3. Докажите, что если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

КАРТОЧКА 11

1. Какие плоскости называются пересекающимися? Приведите примеры таких плоскостей на модели параллелепипеда.

2. Прямая , не лежащая в плоскости параллельна основанию трапеции . Выясните взаимное расположение прямых и .

Ответ: и скрещиваются.

3. Докажите признак скрещивающихся прямых.

Тема 2: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Подготовка к зачету

Вопросы

1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?

2. Какие прямая и плоскость называются перпендикулярными?

3. докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости.

4. Докажите, что через любую точку пространства можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.

5. Докажите, что если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

6. Докажите, что если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

7. Что называется расстоянием от точки до плоскости?

8. Что называется наклонной, проведенной из данной точки к плоскости? Что такое основание и проекция наклонной на данную плоскость?

9. Докажите теорему о трех перпендикулярах.

10. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о трех перпендикулярах.

11. Дайте определение угла между прямой и плоскостью.

12. Как найти угол между двумя пересекающимися плоскостями? Какая фигура называется двугранным углом?

12. Какой угол называется линейным углом двугранного угла?

14. Какие плоскости называются перпендикулярными?

15. Докажите признак перпендикулярности двух плоскостей.

16. Какой параллелепипед называется прямоугольным?

17. Докажите, что две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один.

18. Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Дайте определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Чему оно равно?

19. Какая фигура называется кубом? Что представляют собой грани куба?

20. Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

21. Дан куб . Докажите, что плоскости и перпендикулярны.

22. Докажите, что все линейные углы двугранного угла равны.

23. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной.

24. Докажите, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Задания к зачету

КАРТОЧКА 1

1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными? Приведите примеры таких прямых на модели куба.

2. Чему равен угол между диагональю куба и плоскостью его основания? Ответ поясните на рисунке куба.

3. Докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости.

КАРТОЧКА 2

1. Какие прямые и плоскость называются перпендикулярными? Приведите соответствующие примеры в классной комнате.

2. Может ли угол между прямой и плоскостью быть равным: а) 52°; б) 90°; в) 120°? Ответ обоснуйте.

Ответ: а) да; б) да, тогда прямая перпендикулярна плоскости; в) нет, так как по определению это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, он не больше прямого.

3. Докажите, что если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

КАРТОЧКА 3

1. Что называется расстоянием от точки до плоскости? Поясните ответ, используя спицу и плоскость.

2. Сколько пар взаимно перпендикулярных граней имеет куб?

Ответ: 12.

3. Докажите, что если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

КАРТОЧКА 4

1. Как найти угол между двумя пересекающимися плоскостями? Ответ поясните рисунком.

2. Прямые и пересекаются. При каком условии через можно провести плоскость, перпендикулярную ?

Ответ: если .

3. Докажите теорему о трех перпендикулярах.

КАРТОЧКА 5

1. Дайте определение угла между прямой и плоскостью. Поясните ответ рисунком.

2. Чтобы распил деревянного бруса был перпендикулярен ребру, через точку ребра проводят перпендикулярно ребру прямые и (рис. 4). Затем пилят так, чтобы распил был направлен по этим прямым. Верно ли это? Ответ обоснуйте.

Ответ: выполнение операции верно, что подтверждается признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Докажите, что через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной прямой.

КАРТОЧКА 6

1. Какие плоскости называют перпендикулярными? Приведите примеры таких плоскостей в классной комнате.

2. Прямая проходит через вершину треугольника перпендикулярно сторонам и . Как она расположена относительно любой прямой плоскости , проходящей через вершину ? Ответ обоснуйте.

3. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной.

КАРТОЧКА 7

1. Что называется наклонной, проведенной из данной точки к плоскости? Что такое основание и проекция наклонной на данную плоскость? Ответ поясните рисунком

2. Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны третьей прямой, то эти прямые параллельны?

3. Докажите, что все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

КАРТОЧКА 8

1. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей. Поясните ответ рисунком.

2. Почему отвес параллелен вертикальной стене, если при выполнении строительных работ не допущен брак (рис. 5)? Ответ обоснуйте.

Ответ: отвес, как и вертикальная стена, должен быть перпендикулярен плоскости пола и, значит, должен быть параллелен вертикальной стене.

3. Докажите, что если две прямые перпендикулярны, то они параллельны.

КАРТОЧКА 9

1. Какая фигура называется двугранным углом? Приведите примеры двугранных углов на модели пирамиды.

2. Что моделирует в классе признак перпендикулярности прямой и плоскости? Ответ обоснуйте.

3. Докажите, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.

КАРТОЧКА 10

1. Какой угол называется линейным углом двугранного угла? Поясните ответ рисунком.

2. Три луча попарно перпендикулярны. Как расположен каждый из лучей по отношению к плоскости, определяемой двумя другими лучами? Ответ обоснуйте.

Ответ: перпендикулярен этой плоскости на основании признака перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Точка не лежит в плоскости . Сколько наклонных заданной длины можно провести из этой точки к данной плоскости?

Ответ: бесконечное множество.

КАРТОЧКА 11

1. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Ответ поясните рисунком.

2. При ремонте сверлильного станка слесарь с помощью угольника должен выверить перпендикулярность оси сверла к плоскости стола, на котором крепится деталь. Как это сделать (рис. 6)? Ответ обоснуйте.

3. Докажите теорему, обратную теореме о трех перпендикулярах.

КАРТОЧКА 12

1. Дайте определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Чему оно равно? Приведите пример, используя спицу и плоскость стола.

2. Как определить перпендикулярность угла дома к плоскости его основания (рис. 7)?

3. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде прямые и перпендикулярны.

КАРТОЧКА 13

1. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей. Ответ поясните рисунком.

2. Прямая перпендикулярна плоскости квадрата . Какой вид имеет треугольник ? Ответ обоснуйте.

Ответ: треугольник - прямоугольный с гипотенузой (используется теорема о трех перпендикулярах).

3. Дан куб . Докажите, что плоскости и перпендикулярны.

КАРТОЧКА 14

1. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Ответ поясните рисунком.

2. Обоснуйте правильность проверки оштукатуривания усенка* (лузга**) (рис. 8) с помощью угольника с передвижной планкой.

3. Докажите признак перпендикулярности двух плоскостей.

*Усенок - наружный угол в местах сопряжения двух стен.

**Лузг - внутренний угол в местах примыкания двух стен, стены и потолка.

Тема 3: Многогранники и площади их поверхностей

Подготовка к зачету

Вопросы

1. Назовите элементы многогранника и дайте их определения.

2. Что называется основанием боковой гранью, ребром призмы?

3. Какая призма называется прямой (наклонной)?

4. Какая призма называется правильной?

5. Что принимается за боковую (полную) поверхность призмы?

6. Докажите, что площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

7. Какой многогранник называется параллелепипедом?

8. Докажите, что у параллелепипеда противоположные грани равны и параллельны.

9. Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения пополам.

10. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

11. Какой параллелепипед называется прямоугольным?

12. Что такое куб?

13. Назовите элементы пирамиды и дайте их определения.

14. Какая пирамида называется правильной?

15. Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

16. Докажите, что площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

17. Дайте определение тетраэдра. Какое наименьшее число ребер (граней, вершин) имеет многогранник?

18. Какие многогранники называются правильными? Перечислите известные вам виды правильных многогранников.

19. Докажите, что у прямой призмы все боковые грани - прямоугольники.

20. В пирамиде все боковые грани равны между собой. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

21. В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что они составляют с плоскостью основания равные углы.

22. Докажите, что у правильной призмы все боковые грани - равные прямоугольники.

Задания к зачету

КАРТОЧКА 1

1. Нарисуйте многогранник. Что является основанием и боковыми гранями многогранника? Назовите элементы многогранника и дайте их определения. Ответ поясните рисунком.

2. Почему все высоты призмы равны между собой? Ответ обоснуйте.

3. а) Запишите формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды.

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 2

1. Сколько вершин, граней, ребер имеет шестиугольная призма? Ответ поясните на модели призмы.

2. Дан прямоугольный параллелепипед с высотой . Найдите величину двугранного угла , если четырехугольник - квадрат со стороной .

3. а) Каким свойством обладают противоположные грани параллелепипеда?

б) Докажите свойство, сформулированное в п. а).

КАРТОЧКА 3

1. Дайте определение тетраэдра. Какое наименьшее число ребер (граней, вершин) имеет многогранник?

2. В основании пирамиды лежит семиугольник. Сколько граней, вершин, ребер, апофем имеет эта пирамида? Ответ поясните рисунком.

3. а) Запишите формулу площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания , боковое ребро .

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 4

1. Нарисуйте призму, назовите ее элементы. Что является основанием, боковыми гранями призмы?

2. Боковое ребро пирамиды перпендикулярно одной из сторон основания. Можно ли принять это ребро за высоту пирамиды? Ответ поясните рисунком и обоснуйте.

3. а) Каким свойством обладают диагонали параллелепипеда?

б) Докажите свойство, сформулированное в п. а).

КАРТОЧКА 5

1. Что называется основанием, боковой гранью пятиугольной призмы? Ответ поясните рисунком.

2. Основанием треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Одна из ее боковых граней перпендикулярна плоскости основания. Является ли данная пирамида правильной? Ответ поясните рисунком и обоснуйте.

3. а) Запишите формулу площади боковой поверхности прямой призмы.

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 6

1. Какая призма является прямой (наклонной). Ответ поясните рисунком.

2. Дан прямой параллелепипед , в основании которого лежит ромб с углом . Выпишите большие диагонали параллелепипеда. Ответ обоснуйте.

3. а) Запишите формулу площади боковой поверхности наклонной призмы.

б) Выведите, формулу для п. а).

КАРТОЧКА 7

1. Какой параллелепипед называется прямоугольным? Ответ поясните рисунком.

2. Призма имеет 20 граней. Какой многоугольник лежит в ее основание? Сколько вершин и ребер имеет эта призма?

3. а) Что принимается за площадь боковой поверки правильной усеченной пирамиды?

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 8

1. Какая призма называется правильной? Ответ поясните рисунком.

2. Сколько граней, ребер, вершин имеет пятиугольная пирамида? Ответ поясните рисунком.

3. а) Сформулируйте утверждение о высоте пирамиды, в которой все боковые ребра равны между собой.

б) Докажите утверждение п. а).

КАРТОЧКА 9

1. Какая призма называется параллелепипедом? Ответ поясните рисунком.

2. Сколько плоскостей симметрии можно провести через вершину правильного тетраэдра? Ответ поясните рисунком.

3. а) Чему равен квадрат любой диагонали прямоугольного параллелепипеда?

б) Докажите теорему о квадрате диагонали правильного параллелепипеда.

КАРТОЧКА 10

1. Всякий ли параллелограмм может быть основанием правильного параллелепипеда? Ответ обоснуйте.

2. В правильной треугольной пирамиде проведено сечение через ее высоту и апофему. Как расположена плоскость сечения по отношению к стороне основания? Ответ поясните рисунком и обоснуйте.

Ответ: плоскость сечения перпендикулярна плоскости основания согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей.

3. а) Что принимается за площадь полной поверхности правильного тетраэдра?

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 11

1. Нарисуйте пирамиду, назовите ее элементы. Что является основанием и боковой гранью пирамиды?

2. Сравните здания: Московский цирк на проспекте Вернадского, здания мэрии на Калининском проспекте, Колизей в Риме (рис. 9), ваш дом. Какое из этих тел имеет форму призмы? В каких случаях, и какой из признаков, определяющих призму, не выполняется?

3. а) Докажите, что боковые грани прямой призмы - прямоугольники.

б) Можно ли утверждать, что боковые грани правильной призмы равны? Ответ обоснуйте.

КАРТОЧКА 12

1. Какие многогранники называются правильными? Перечислите известные виды правильных многогранников?

2. Можно ли использовать формулу площади боковой поверхности призмы для нахождения расхода:

а) клеевого колера, идущего на окраску потолка и фриза* (рис. 10);

б) плиток, требуемых для облицовки стен операционной комнаты;

в) материала, идущего на покрытие купола Московского цирка на Цветном бульваре?

Ответ обоснуйте.

3. а) Что принимается за площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда?

б) Выведите формулу для п. а).

*Фриз - окрашиваемая поверхность стен между потолком и гобеленом или между потолком и панелью (при отсутствии гобелена) с минимальной высотой 50 мм.

КАРТОЧКА 13

1. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырехугольная пирамида?

2. Дан наклонный параллелепипед . Известно, что угол основания, . Какое из диагональных сечений параллелепипеда больше? Ответ поясните рисунком и обоснуйте.

3. а) Как найти площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы, не применяя формулу?

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 14

1. Сколько центров симметрии имеет параллелепипед? Ответ поясните рисунком.

2. Будет ли сечение, перпендикулярное боковому ребру призмы, перпендикулярно ее боковой грани? Ответ обоснуйте.

3. а) Запишите формулу для площади полной поверхности куба по его ребру .

б) Выведите формулу полной поверхности куба, зная его диагональ .

КАРТОЧКА 15

1. Какая призма называется кубом? Ответ поясните рисунком.

2. Дана правильная треугольная пирамида. Можно ли утверждать, что ее апофемы равны? Ответ обоснуйте.

3. а) Что принимается за площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы?

б) Выведите формулу для п. а).

Тема 4: Тела вращения и площади их поверхностей

Подготовка к зачету

Вопросы

1. Что такое боковая поверхность основания, образующие, ось, радиус и высота цилиндра?

2. Что представляет собой сечение цилиндра, если секущая плоскость проходит через ось цилиндра? Как называется такое сечение?

3. Объясните, что такое развертка боковой поверхности цилиндра. Что принимается за площадь боковой поверхности цилиндра?

4. Докажите, что площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

5. Что называется площадью полной поверхности цилиндра? Как ее вычислить, если даны радиус и высота цилиндра?

6. Что такое боковая поверхность, основание, образующие ось и высота конуса?

7. Что представляет собой осевое сечение конуса? Как называется такое сечение?

8. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса?

9. Объясните, что представляет собой развертка боковой поверхности конуса. Что принимается за площадь боковой поверхности конуса?

10. Докажите, что площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

11. Что принимается за площадь полной поверхности конуса? Как ее вычислить, если даны радиус основания и образующая?

12. Что такое боковая поверхность, основания, образующие усеченного конуса?

13. Докажите, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

14. Что называется сферой или шаровой поверхностью?

15. Какое тело называется шаром? Что такое центр, радиус, диаметр шара?

16. Что представляет собой сечение шара плоскостью? Что такое большой круг шара?

17. Докажите, что пересечение шара плоскостью есть круг.

18. Что такое касательная плоскость к сфере? Какая точка называется точкой касания сферы и плоскости?

19. Докажите, что плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.

20. Какая прямая называется касательной к шару?

21. Докажите, что через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечное множество касательных прямых, причем все они лежат в касательной плоскости шара.

22. Выведите уравнение сферы данного радиуса с центром в точке с данными координатами.

23. Исследуйте взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости.

24. Докажите, что радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен касательной плоскости.

25. Докажите, что если радиус сферы перпендикулярен плоскости, проходящей через его конец лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Задания к зачету

КАРТОЧКА 1

1. Сделайте рисунок цилиндра. Что называется образующими, основанием, осью, высотой цилиндра?

2. Объясните, как получить конус вращением прямоугольного треугольника.

3. Докажите, что площадь полной поверхности цилиндра равна площади боковой поверхности другого цилиндра того же радиуса, высота которого равна сумме радиуса и высоты данного цилиндра.

КАРТОЧКА 2

1. Какой фигурой является развертка боковой поверхности цилиндра? Ответ поясните рисунком.

2. Объясните, как получить усеченный конус вращением прямоугольной трапеции.

3. Выведите формулу площади боковой поверхности цилиндра.

КАРТОЧКА 3

1. Что представляет собой сечение цилиндра, если секущая плоскость проходит через ось цилиндра? Как называется такое сечение? Ответ поясните рисунком.

2. Перечислите случаи взаимного расположения сферы и плоскости. Ответ поясните рисунком.

3. Выведите формулу площади боковой поверхности конуса.

КАРТОЧКА 4

1. Имеет ли цилиндр: а) центр симметрии; б) ось симметрии; в) плоскость симметрии? Ответ обоснуйте.

2. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса? Ответ поясните рисунком.

3. а) Исследуйте взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости.

б) Докажите, что всякое сечение шара плоскостью представляет собой круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного центра шара на секущую плоскость.

КАРТОЧКА 5

1. Сделайте рисунок конуса. Что называется образующими, вершиной, высотой, основанием конуса?

2. Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью: а) параллельной основанию; б) параллельной оси? Ответ поясните рисунком.

З. Выведите формулу площади боковой поверхности усеченного конуса.

КАРТОЧКА 6

1. Имеет ли шар: а) оси симметрии; б) плоскость симметрии? Ответ поясните.

Ответ: а) бесконечное множество; б) бесконечное множество.

2. Какой фигурой является: а) осевое сечение конуса; б) сечение конуса плоскостью, параллельной основанию? Ответ поясните рисунком.

Ответ: а) равнобедренным или равносторонним треугольником: б) кругом или точкой.

3. Выведите формулу площади поверхности сферы.

КАРТОЧКА 7

1. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса? Ответ поясните рисунком.

2. Может ли касательная плоскость иметь со сферой несколько общих точек? Ответ обоснуйте.

3. а) Докажите, что радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен касательной плоскости

б) Докажите, что через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечное множество касательных, причем все они лежат в касательной плоскости шара.

КАРТОЧКА 8

1. Какая плоскость называется касательной к сфере? Ответ поясните рисунком.

2. Можно ли использовать формулу площади боковой поверхности призмы для нахождения примерного расхода: а) раствора, идущего на побелку стен и фриза; б) плиток, требуемых для покрытия цоколя жилого здания; в) материала, идущего на покрытие купола планетария (рис. 11)?

3. Выведите уравнение сферы.

КАРТОЧКА 9

1. Какая фигура получается при вращении равнобедренного треугольника вокруг его оси симметрии? Ответ поясните рисунком.

2. Имеет ли конус: а) ось симметрии; б) центр симметрии; в) плоскость симметрии?

3. а) Докажите, что если радиус сферы перпендикулярен плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

б) Докажите, что касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.

КАРТОЧКА 10

1. Объясните, как получить цилиндр вращением прямоугольника.

2. Какой фигурой является: а) осевое сечение сферы; б) сечение сферы плоскостью, находящейся от центра на расстоянии, меньшем радиуса сферы? Ответ поясните рисунком.

Ответ: а) окружность; б) окружность.

3. Дано:; -ось вращения треугольника (рис. 12). Доказать: .

КАРТОЧКА 11

1. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра? Ответ поясните рисунком.

2. Объясните, как получить сферу вращением полуокружности. Приведите примеры покрытий зданий сооружений, имеющих: а) призматическую; б) цилиндрическую; в) сферическую поверхность.

3. Дано: - ромб, (рис.13), , - ось вращения ромба . Доказать:

КАРТОЧКА 12

1. Сделайте рисунок сферы. Что называется центром, радиусом, диаметром сферы?

2. В каком случае осевым сечением цилиндра является квадрат, а осевым сечением конуса - равносторонний треугольник? Ответ поясните рисунком.

3. Докажите, что полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара имеющего диаметром высоту конуса.

Тема 5: Объемы тел

Подготовка к зачету

Вопросы

1. Сформулируйте основные свойства объемов тел.

2. Как найти объем прямоугольного параллелепипеда, зная длины трех ребер, выходящих из одной вершины?

3. Докажите, что объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

4. Докажите, что объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

5. Докажите, что объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

6. Докажите, что объем наклонного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

7. Докажите, что объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

8. Докажите, что объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

9. Докажите, что объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

10. Докажите, что объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

11. Выведите формулу объема усеченной пирамиды.

12. Выведите формулу объема шара.

13. Выведите формулу объема шарового слоя.

Задания к зачету

КАРТОЧКА 1

1. Запишите формулы объемов конуса и его пятой части.

2. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна , высота пирамиды равна . Чему равен объем пирамиды?

3. а) Зная формулу объема прямоугольного параллелепипеда, докажите, что объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

б) Зная формулу объема прямоугольного параллелепипеда, докажите, что объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

КАРТОЧКА 2

1. Запишите формулу объемов пирамиды и ее третьей части.

2. Чему равен объем шара, если площадь его сферической поверхности равна ?

3. а) Зная формулу объема прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, выведите формулу объема прямой треугольной призмы.

б) Зная формулу объема любого параллелепипеда, докажите, что объем треугольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

КАРТОЧКА 3

1. Запишите формулы объемов цилиндра и его двадцатой части.

2. Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник. Чему равна образующая конуса, если радиус основания равен ?

3. а) Зная формулу объема прямой треугольной призмы, докажите, что объем прямой призмы равен произведению площади основании на высоту.

б) Зная формулу объема треугольной призмы, докажите, что объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

КАРТОЧКА 4

1. Запишите формулы объемов шара и его двенадцатой части.

2. Во сколько раз нужно увеличить диаметр шара, чтобы его объем увеличился в два раза?

3. а) Докажите, что объем треугольной наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

б) Докажите, что объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

КАРТОЧКА 5

1. Запишите формулы объемов куба и его десятой части.

2. Осевое сечение конуса - прямоугольный треугольник. Чему равен диаметр основания конуса, если его образующая равна см?

3. а) Зная формулу объема наклонной треугольной призмы, докажите, что объем произвольной наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

б) Зная формулу объема любой треугольной пирамиды, докажите, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

КАРТОЧКА 6

1 Куб пересечен диагональной плоскостью, Чему равен объем каждой части куба?

2. Как вычислить объем цилиндра, зная диаметр его основания и высоту ?

3. Выведите формулу объема конуса.

КАРТОЧКА 7

1. Прямоугольный параллелепипед пересечен диагональной плоскостью. Чему равен объем каждой его части?

2. Радиус шара равен радиусу основания равностороннего конуса. Какое из тел имеет больший объем?

Ответ: объем шара больше, так как при данном условии объем конуса можно рассматривать как часть объема шара, описанного около конуса.

3. а) Зная формулу объема треугольной пирамиды, докажите, что объем произвольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

б) Выведите формулу объема шарового слоя.

КАРТОЧКА 8

1. Чему равен объем правильной четырехугольной призмы, если сторона основания равна м, высота призмы м?

2. Угол между образующей конуса и радиусом основания равен , образующая конуса равна . Чему равен объем конуса?

3. Выведите формулу объема цилиндра.

КАРТОЧКА 9

1. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен . Радиус основания равен . Запишите формулу для объема конуса.

2. Радиус шара равен радиусу основания равностороннего цилиндра. Какое из тел имеет больший объем?

З. Выведите формулу объема шара.

КАРТОЧКА 10

1. Запишите формулу объема для правильной треугольной призмы, каждое ребро которой равно .

2. Даны равносторонние цилиндр и конус с равными радиусами оснований. Объем, какого тела больше? Ответ обоснуйте.

Ответ: объем цилиндра больше, так как при данном условии объем конуса можно рассматривать как часть объема цилиндра, описанного около конуса.

3. Дана наклонная треугольная призма с боковым ребром, равным . Сечение, перпендикулярное боковым ребрам, треугольник с катетами и . Докажите, что объем призмы вычисляется по формуле .

Программно-методическое обеспечение

1. Сборник нормативных документов. Математика. Федеральный компонент государственного стандарта. Федеральный базисный план. Составители: Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев, - М,: Дрофа, 2004.

2. Сборник «Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 10-11», Москва, Просвещение, 2010

3. Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 2010.

4. Геометрия, 7 - 9: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 2008.

5. Б.Г. Зив. Дидактические материалы по геометрии для 11 класса. - М. Просвещение, 2013.

6. Контрольно - измерительные материалы «Геометрия 10» и «Геометрия 11», А.Н. Рурукин, Москва, ВАКО, 2013

7. С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. Изучение геометрии в 10 - 11 классах: Методические рекомендации к учебнику. Книга для учителя. - М.: Просвещение, 2013.

Материально- техническое обеспечение

№ п/п

Наименование раздела, наименование объектов и средств материально-технического обеспечения

Количество на 25 учащихся

% обеспеченности

Иллюстрации (плакаты)

1.

Комплект таблиц

1х10

100%

2.

Комплект таблиц «Портреты ученых»

100%

Средства ИКТ

1.

Операционная система Linux

1

100%

2.

Операционная система Windows XP

1

100%

Цор ( инструменты общепедагогические)

1

100%

3.

Оpen Office

1

100%

4.

Adobe Reader

1

100%

5.

KMPlayer

1

100%

Цор (инструменты специализированные)

7.

Диск «Антирешебник»

1

100%

Информационные источники специализированные)

1.

ege.yandex.ru/

2.

учисьучись.рф/testing/

3.

examen.ru/ege-testing/tests-list

4.

fipi.ru/

Учебно-лабораторное оборудование

1.

Мультимедийный компьютер

1

100%

2.

Мультимедиапроектор

1

-

3.

Интерактивная доска

1

100%

4.

Аудиторная доска с магнитной поверхностью и набором приспособлений для крепления таблиц

1

100%

5.

Комплект инструментов классных: линейка, транспортир, угольник (30⁰, 60⁰), угольник (45⁰, 45⁰), циркуль

1

100%