Конспект урока Арифметические и геометрические прогрессии (9 класс)

Кожевникова Л.А.

Обобщающий урок алгебры в 9 классе

«Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Цели урока:

1) образовательные: обобщить и систематизировать теоретические знания арифметической и геометрической прогрессий; совершенствовать навыки нахождения n-го члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий с помощью формул; отработать навыки построения графиков на компьютере;

2) развивающие: развивать память учащихся, их способность к аналитико-синтетической и сравнительной деятельности, умение проводить аналогии; развивать познавательный интерес учащихся путём самостоятельного поиска информации в Интернете; учить их видеть связь математики с окружающей жизнью;

3) коррекционные: формировать грамотную речь учащихся, совершенствовать чёткое проговаривание всех терминов и понятий;

4) воспитательные: воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов, а также уважительное отношение к одноклассникам.

Оборудование: компьютеры, мультимедийный проектор, раздаточный дидактический материал.

I .Организационный момент.

II. Эмоциональный настрой.

Учитель. Сегодня у нас обобщающий урок по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Мы

- знаем: определения и формулы арифметической и геометрической прогрессий;

- умеем: применять их при нахождении членов и сумм прогрессий;

- хотим: узнать больше про эти прогрессии и научиться применять свои знания при решении практических задач.

Учитель. Давайте вспомним определения прогрессий.

1 группа. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

2 группа. Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Учитель. Давайте сравним формулы n-ых членов прогрессий. Что мы замечаем?

a_n+1 = a_n + d b_n+1 = b_n * q

Ученик. Прочитав подряд определения арифметической и геометрической прогрессий, можно обратить внимание на то, что они похожи. Надо лишь заменить сложение умножением или наоборот. А зная формулу n-го члена арифметической прогрессии, можно получить формулу для геометрической прогрессии, если заменить сложение умножением и умножение - возведением в степень.

III. Мотивация.

Учитель. Сейчас класс разделится на две учебные группы, каждая из которых работает с одним видом прогрессий. Во время работы вы должны внимательно следить как за ответами членов своей группы, так и за ответами соперников, по мере необходимости дополняя и исправляя их. Все ответы будут учтены и оценены в конце урока.

ІV. Задания для групп.

1) «Найди и продолжи последовательности»:

• 3; 8; 13; …

• 2; 6; 18; …

• 1; 2; 3; 5; 8; …

• 3; 1; -1; …

• -1; 2; -4; 8; …

• 1,2; 1,3; 1,4; …

• 0,5; 0,05; 0,005; …

Каждой группе необходимо выбрать «свои» последовательности, а затем продолжить их.

В процессе работы учащиеся следят за ответами товарищей, делают записи в тетради. Проверка на доске и на слайде.

2) «Установи соответствия»:

На слайде установить соответствие между названием и формулой (ученики работают на компьютере).

арифметическая прогрессия: геометрическая прогрессия:

3) «Построй график прогрессии»:

Карточка №1. Вертикальные цирковые стержни имеют такую длину: наименьший 1 дм, а каждый следующий на 2 дм длиннее.

Задания:

1. Запишите последовательность в соответствии с условием задачи.

2. Постройте график заданной прогрессии по данным задачи,

если 1 ≤ n ≤ 7.

3. Сделайте вывод о графике.

Карточка № 2. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две.

Задания:

1. Запишите последовательность в соответствии с условием задачи.

2. Постройте график заданной прогрессии по данным задачи,

если 1 ≤ n ≤ 7.

3. Сделайте вывод о графике.

Графики ученики строят на компьютере:

Учитель. Какой вывод о членах прогрессии мы можем сделать, исходя из графиков?

Ученик. При одинаковых исходных данных, значения членов геометрической прогрессии возрастают быстрее, чем значения членов арифметической.

Учитель. Действительно, ребята. Даже в жизни мы часто применяем такое выражение: «Расти в геометрической прогрессии», что означает «очень быстро».

V. Из истории прогрессий.

Учитель: Ребята. С прогрессиями люди были знакомы уже много лет назад и сейчас мы узнаем об истории прогрессий.

1сообщение: С формулой

a₁ + a_n

S_n = * n

2

связан один из эпизодов биографии К.Ф.Гаусса.

Однажды на уроке, чтобы занять первоклассников, пока он будет заниматься с учениками третьего класса, учитель велел сложить все числа от 1 до 100, надеясь, что это займет много времени, но маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101 и т.д.

И таких чисел будет 50. Осталось умножить 101 • 50. Это маленький мальчик сделал в уме. Едва учитель закончил чтение условия, он предъявил ответ, записанный на грифельной доске, Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже называли "царем математики".

2 сообщение: С IX века известна легенда об изобретении шахматной игры. В награду за свое изобретение автор потребовал от индийского царя пшеницу. Ее должно быть столько, чтобы на первую клетку доски можно положить одно зерно, на вторую - два, на третью - четыре, т.е. чтобы число зерен все время удваивалось.

Сначала индийский царь обрадовался, что дешево отделался, и лишь потом выяснил, что такого количества пшеницы нельзя собрать со всех полей Земли в течение десятков лет. Чтобы поместить это зерно в амбаре, то его размеры будут: высота 4 м, ширина 10 м, длина будет 30 000 000км - вдвое больше, чем расстояние от Земли до Солнца. А чтобы его получить, то надо засеять пшеницей площадь всей Земли, считая моря, океаны, горы, пустыни, Арктику с Антарктидой.

3 сообщение: О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствуют папирусы Ахмеса.

Некоторые задачи имеют отвлеченный характер. Например:

«В доме было 7 кошек.

Каждая кошка съедает 7 мышей.

Каждая мышь съедает 7 колосьев.

Каждый колос дает 7 растений.

На каждом растении вырастает 7 мер зерна.

Сколько всех вместе?»

Автора задачи не интересует, о каких вещах идет речь, важно только их общее количество.

И на Руси решались похожие задачи. Еще в XIX веке в деревнях загадывали:

«Шли 7 старцев.

У каждого старца по 7 костылей.

На каждом костыле по 7 сучков.

На каждом сучке по 7 кошелей.

В каждом кошеле по 7 пирогов.

В каждом кошеле по 7 воробьев.

Сколько всего?»

А ведь это та же задача Ахмеса. Прожившая тысячелетия, она сохранилась почти неизменной.

VІ. Решение практических задач.

Учитель. Сейчас знание формул арифметической и геометрической прогрессий помогает решать множество практических задач.

Задача 1. Чтобы определить глубину шахты, используют следующий приём: тело бросают вниз и засекают время, за которое оно достигает дна шахты.

Определите глубину шахты, если известно, что тело при свободном падении достигло дна за 7 секунд (начальная скорость равна 0, а за каждую следующую секунду тело пролетает на 9,8м больше, чем за предыдущую).

Задача 2. Вкладчик внёс в банк 50000 рублей. Определите величину вклада через два года, если сбербанк начисляет ежегодно 10% годовых.

VІІ. Домашнее задание. Придумать задачу на применение формул арифметической и геометрической прогрессий.

VІІІ. Завершение урока.

Учитель. Итак, сегодня на уроке мы вспомнили определения и формулы арифметической и геометрической прогрессий, узнали об истории этих прогрессий, научились строить графики прогрессий и проводить их сравнительный анализ, применяли формулы прогрессий для решения практических (жизненных) задач.

Я надеюсь, что наш сегодняшний урок не пройдёт для вас даром и знания, полученные на нём, пригодятся вам в жизни.