- Преподавателю
- Математика
- Учебно-методическое пособие по дисциплине Математика для изучения раздела Логарифмы. логарифмическая функция
Учебно-методическое пособие по дисциплине Математика для изучения раздела Логарифмы. логарифмическая функция
Раздел | Математика |
Класс | 10 класс |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Горская Н.В. |
Дата | 09.01.2016 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
ЗАПАДНЫЙ
ФИЛИАЛ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
Дисциплина: Математика
Тема: «Логарифмы. Логарифмическая функция»
Составитель: Горская Н.В - преподаватель
Пояснительная записка
Данное пособие предназначено для студентов 1 курса(базовый уровень) для самостоятельной работы..
Дидактические материалы в пособии снабжены решениями или указаниями сразу после их формулировки.
В пособии содержатся:
-
дидактические материалы к теме программы, а также материалы, позволяющие организовать повторение изученного;
-
самостоятельные работы по теме.
Каждый раздел включает;
•справочные сведения;
•примеры и задачи с подробными решениями;
•разноуровневые задачи для самостоятельной работы в двух вариантах, позволяющие организовать «плавную» дифференциацию работы с группой (каждое задание имеет условную балловую оценку степени его сложности).
-
Используя балловую оценку заданий для самостоятельной работы и для подготовки к экзаменам, можно организовать: «плавную» дифференциацию обучения математике: в зависимости от качества усвоения темы каждому студенту предлагать конкретный балловый диапазон выполняемых заданий, помогая постепенно поднимать уровень своих математических знаний и умений;
-
разнообразные виды частично-самостоятельных; самостоятельных и проверочных работ, предложив, например, к выполнению избыточный
иной оценки («3», «4» или «5»),
Обязательному базовому уровню знаний и умений соответствуют задания, оцененные в пособии, в основном, баллами 1, 2, 3,4.
Студенты, претендующие на отличную оценку, должны справляться с заданиями, оцененными в 1-7 баллов.
Содержание:
-
Логарифмы
-
Свойства логарифмов
-
Десятичные и натуральные логарифмы
-
Логарифмическая функция и ее график
-
Обратная функция
-
Логарифмические уравнения
-
Логарифмические неравенства
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
ФУНКЦИЯ
Логарифмы
Справочные сведения
Логарифмом положительного числа b по основанию а (записывают logа b), где а > 0, а ≠ 1, называют показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.
Равенство
где b > 0, а > 0, а ≠ 1 называют основным логарифмическим тождеством.
х = logab - корень уравнения ах = b. где а > 0. а ≠ 1, b> 0.
Примеры с решением
-
Найти 1) ; 2) ; 3) .
Решение. 1) По определению логарифма (согласно основному логарифмическому тождеству) ;
2)
3) .
-
Вычислить : 1) ; 2) ; 3) .
Решение. 1) , так как .
2)Пусть . Тогда определению логарифма =
= 16 или . откуда
Пусть . Тогда по определению логарифма
=27 , откуда
-
Выяснить при каких значениях x имеет смысл выраженное:
1) : 2) .
Решение. 1) Выражение имеет смысл , когда
и Так как то имеет
смысл при , т.е. при
2)Так как то имеет смыл при
и т.е. при и
-
Решить уравнение 1) ; 2) .
Решение. 1)Из равенства по определению
логарифма следует, что , откуда .
2)Корень уравнения есть число
. В данном случае .
Задание для самостоятельной работы
Вариант I
Вычислить (1-14):
-
2
-
-
4
-
4
-
4
-
5
-
3
-
4
-
4
-
5
-
6
-
6
-
5
-
5
Вариант II
Вычислить (1-14):
-
2
-
4
-
4
-
4
-
4
-
5
-
3
-
4
-
4
-
5
-
6
-
6
-
5
-
5
Выяснить при каких значениях x имеет смысл выражение
(15-23):
-
2
-
3
-
3
-
4
-
5 где
-
4
-
4
-
5
-
4
Решить уравнение(24-37)
-
2
-
3
-
3
-
3
-
4
-
4
-
4
-
4
-
4
-
4
-
4
-
3
-
4
-
4
Выяснить при каких значениях x имеет смысл выражение
(15-23):
-
2
-
3
-
3
-
4
-
5 , где
-
4
-
4
-
5
-
4
Решить уравнение(24-37)
-
2
-
3
-
3
-
3
-
4
-
4
-
4
-
4
-
4
-
4
-
4
-
3
-
4
-
4
Свойства логарифмов
Справочные сведения
Если - любое действительное число,
то:
-
-
-
, в частности ,
-
-
-
, в частности ,
-
-
-
, в частности ,
-
-
-
, в частности ,
-
-
-
, в частности ,
-
-
-
, в частности ,
-
-
-
, в частности ,
-
-
-
, в частности ,
-
-
-
, в частности ,
-
-
-
, в частности ,
-
-
-
, в частности ,
-
-
-
, в частности ,
-
-
-
, в частности ,
-
-
-
, в частности ,
-
-
-
, в частности ,
-
-
-
, в частности ,
Примеры с решениями
-
Вычислить:
1)
2)
3)
Решение.
-
Зная что .найти: 1) ; .
Решение.
1) ;
2) .
3. Даны числа: 1)1; 2)0; 3) . Записать каждое из них в виде логарифмов некоторого числа по основанию 2.
Решение. 1) ; 2) :
3) .
-
-
-
, в частности ,
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание для самостоятельной работы
Вариант I
Вычислить (1-9):
-
2
-
3
-
3
-
3
-
3
-
4
-
5 5
-
5
-
6
-
5 Зная ,что, найти:
1) ; 2) .
-
6 Зная ,что, найти: 1) ; 2) .
-
Какие из выражений имеют смысл?
-
4 Записать в виде логарифма Некоторого числа по основанию10 число: 1)1; 2)5: 3).
Вариант II
Вычислить (1-9):
-
2
-
3
-
3
-
3
-
3
-
4
-
5
-
5
-
6
-
-
5 Зная ,что, найти:
1) ; 2) .
-
6 Зная ,что, найти:1) ; 2)
-
4 Какие из выражений имеют смысл?
-
Записать в виде логарифма Некоторого числа по снованию
10 число:1)0; 2)-2: 3).
Десятичные натуральные логарифмы.
Формула перехода
Справочные сведения
Вместо пишут lg b(читается: «десятичный логарифм числа b»)
Вместо пишут lg b(читается: «натуральный логарифм числа b»)
Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму
по другому основанию:
где b > 0, n > 0, ,c > 0, .
Частные случаи формулы перехода:
a) где ;
б) ,где
Примеры с решениями
-
С помощью микрокалькулятора вычислить . Результат округлить до
сотых долей.
Решение . Микрокалькуляторы, позволяющие выполнять действия с
логарифмами, имеют только клавиши вычисления десятичных и натуральных
логарифмов, поэтому с помощью формулы перехода запишем данное число в
одном из возможных для вычисления видов: или .
Вычислив с помощью МК значение любой из этих дробей, получим .
-
Зная, что ., найти : 1) ; 2)
Решение. 1) ;
2)
-
Решить уравнение:
Решение.
1)Преобразуем правую часть уравнения
. Таким образом, , откуда
2)Выразим все логарифмы через логарифмы по основанию 2,учитывая что
Тогда исходное уравнение запишется в виде , откуда ,т.е.
3)Перейдем отк логарифму по основанию 6:
Пусть , тогда исходное уравнение запишется в виде или ,откуда
.Если ,то а если , то .
Ответ.
Задание для самостоятельной работы
Вариант I
-
Выразить через логарифм по основании 2.
-
2 Выразить через Логарифм по основанию 3. Зная, что с точностью до найти (3-6):
-
3
-
4
-
4
-
5
-
6 Найти если
Вариант II
-
2 Выразить через логарифм по основании 2.
-
2 Выразить через
Логарифм по основанию 3. Зная, что с точностью до найти (3-6):
-
3
-
4
-
4
-
5
-
6 Найти если
Известно что Найти (8-11):
точностью до 0,01 значение
; найти . Решить уравнение (15-23):
| Вариант II Известно что Найти (8-11):
точностью до 0,01 значение
; найти . Решить уравнение (15-23):
|
|
|
Логарифмическая функция и ее графиком
Справочные сведения
Логарифмическая функция - это функция вида , где а -
Заданное число , .
Свойства логарифмической функции
-
Область определения - множество всех положительных чисел (x>0).
-
Множество значений - множество всех действительных чисел
-
График функции проходит через точку(1;0).
-
На промежутке x>0 функция является :
возрастающей (рис.11). убывающей(рис.12).
-
Функция принимает положительное значение (y>0):
При x>1 (рис 11) при 0<x<1 (рис 12).
-
Функция принимает отрицательные значения(y<0):
При 0<x<1 (рис 11) при x>1 (рис 12).
При решении логарифмических уравнений и неравенствах используется следующие утверждения :
-
Если то равенство справедливо тогда и только тогда, когда .
-
Если то равенство справедливо тогда и только тогда, когда .
-
Если то равенство справедливо тогда и только тогда, когда.
Примеры с решениями
-
Построить график функции и с его помощью ;
-
найти приближенное значение и ;
-
сравнить 1 , 9 и 2.
Решение. Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента:
x
-2
-1
0
1
2
3
На координатной плоскости отметим найденные точки (см. таблицу) и проведем через них плавную линию (рис. 13); при этом учитываем что функция определена при .
-
По графику функции находим
-
Точка графика функции находим с абсциссой 1.9 лежит
Ниже прямой значит
2. Выяснить ,является ли возрастающей или убывающей функция :
1) 2)
Решение . 1) Так как то (по свойству 4 ) функция - возрастающая .
2) Так как то (согласно свойству 4) функция - убывающая
3. Изобразить схематически график функции :
1) ; 2)
Решение. 1) При схематическом построение графика функции (рис 14 ) учитываем, что :
функция определена при ;
график функции проходит через точку (0;1);
функция возрастающая , поскольку основание логарифма .
Для более точного приближения схемы графика к графику функции можно учитывать , что он проходит через точки (a;1) и . В данном случaе график функции проходит через точки (5;1) и (рис .14).
2) Используя свойства логарифмической функцией и зная , что график проходит через точки (1;0), ,(3;-1), строим схематически график функции (рис. 15)
4. Сравнить числа 1) и;2) и.
Решение
1) Функция -возрастающая поскольку основание логарифма ; далее так как то
2) Функция -убывающая и поэтому
5. Выяснить положительным или отрицательным является число
1) 2) .
Решение 1) Согласно свойству 6 функция (основание логарифма ) при принимает отрицательное значение т.е. (рис. 16)
2) В силу свойства 5 функция (основание логарифма) при принимает положительное значение , т.е. (рис. 17).
6. Сравнить с единицей число если 1) ;2) .
Решение Иллюстрируя свойства 5 и 6 схема графиков логарифмических функции (возрастающих или убывающих. В зависимости от основания логарифма ), находим :
1) ; 2) .
7. Решить уравнения 1) ;2)
Решение
1) Согласно утверждению (1) (см. справочные сведения ) имеем , откуда .
1. 2 Найти приближенные значения ;
;;.
2. 2 Сравнить и ;
и .
3. 2 Сравнить и
4. 1 Определить знак чисел (сравнить с нулем ):
;.
Используя графики функции (рис. 20),
Выполнить задания (5-8)
1. 2 Найти приближенные значения ;
;;.
2. 2 Сравнить и ;
и .
3. 2 Сравнить и
4. 1 Определить знак чисел (сравнить с нулем ):
;.
Используя графики функции (рис. 20),
Выполнить задания (5-8)
5. 2 Найти приближенные значения ; ;;. 6. 2 Сравнить и; и . 7. 2 Сравнить и 8. 1 Cравнить с нулем : ;. Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция (9-10) 9. 1 10. 2 Сравнить числа (11-15): 11. 2 и 12. 2 и 13. 2 и 14. 2 и 15. 2 и Используя заданное соотношение, сравнить с единицей положительное число x (16-19) 16. 2 17. 2 18. 2 19. 2 Используя заданное соотношение, сравнить с единицей положительное число x (20-23) 20. 3 21. 3 22. 3
| 5. 2 Найти приближенные значения ; ;;. 6. 2 Сравнить и ; и . 7. 2 Сравнить и 8. 1 Сравнить с нулем : ;. Выяснить, является ли возрастающей или Убывающей функция (9-10) 9. 1 10. 2 Сравнить числа (11-15): 11. 2 и 12. 2 и 13. 2 и 14. 2 и 15. 2 и Используя заданное соотношение, сравнить с единицей положительное число x (16-19) 16. 2 17. 2 18. 2 19. 2 Используя заданное соотношение, сравнить с единицей положительное число x (20-23) 20. 3 21. 3 22. 3
|
23. 3 Решить уравнение (24-27): 24. 2 25. 2 26. 3 27. 3 Решить неравенство (28-31): 28. 3 29. 3 30. 4 31. 5 Решить графически уравнение (32-33): 32. 4 33. 4 Определить, какие точки с целочисленными координатами принадлежат графику функции (34-35): 34. 7 35. 8 | 23. 3 Решить уравнение (24-27): 24. 2 25. 2 26. 3 27. 3 Решить неравенство (28-31): 28. 3 29. 3 30. 4 31. 5 Решить графически уравнение (32-33): 32. 4 33. 4 Определить, какие точки с целочисленными координатами принадлежат графику функции (34-35): 34. 7 35. 8 |
Обратная функция
Справочные сведения
Для нахождения функции, обратной к функции у = f(x). нужно решить уравнение f(x) = у относительно х (если это возможно), а затем поменять местами х и у. Если это уравнение имеет более одного корня, то функции, обратной к функции у = f(x), не существует.
Функции у = аx (показательная) и у = loga х (логарифмическая) взаимно обратные (рис. 22. 23).
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно) прямой у = х.
Примеры с решениями
-
Найти функцию, обратную к функции .
Решение Решить уравнение относительно находим . Заменив на и на ,получим формулу, задающую обратную функцию : .
-
На одном рисунке построить графики функции при и обратной к ней функции. Найти обратную функцию. Указать область определения и множество значений исходной и к ней функций.
Решение. Строим график функции при и симметричный ему относительно прямой график обратной функции (рис. 24).
Для отыскания обратной функции выразим х через, откуда ; так как по условию . то . Заменив на и на . получаем формулу , задающую обратную функцию.
Для функции область определения задана; тогда множество значений . Для функции область определения , а множество значений .
Найти область определения и множество значений функции , обратной к функции .
Решение. Находим функцию, обратную к данной: ,, заменяем на и на : . Область определения обратной функции - множество всех действительных чисел, кроме .
Множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции Эта область; представляет собой множество всех действительных чисел, кроме , поэтому для обратной функции множеством значений является множество всех действительных чисел, кроме .
Задание для самостоятельной работы
Вариант I
Найти функцию, обратную к данной ;указать ей область определителя и множество значений (1-10):
1. 3
2. 4
3. 5
4. 6
Вариант II
Найти функцию, обратную к данной ;указать ей область определителя и множество значений (1-10):
1. 3
2. 4
3. 5
4. 6
5. 4
6. 5
7. 4
8. 5
9. 5
10. 5
На одном рисунке построить графики данной функции и функции, обратной к данной (11-13):
11. 4
12. 6 при
13. 6 при
5. 4
6. 5
7. 4
8. 5
9. 5
10. 5
На одном рисунке построить графики данной функции и функции, обратной к данной (11-13):
11. 4
12. 6 при
13. 6 при
Логарифмические уравнения
Справочные сведения
Если нее корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.
Если при решении уравнений переходят к следствиям исходного уравнения, то могут появиться посторонние корни. В таких случаях после нахождения корней необходима проверка. Например, после возведения обеих мастей уравнения в квадрат или после применения свойств логарифмов в ходе решения уравнения могут появиться посторонние корни.
Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.
Преобразования, которые приводят к потере корней, при решении уравнений делать нельзя.
При решении уравнений можно:
1) заменять уравнение равносильным ему уравнением (без. последующей проверки);
2) заменять уравнение ого следствием (с проверкой на выявление посторонних корней).
Примеры с решениями
-
Выяснить, какое из уравнений и является следствием другого.
Решение Первое уравнение имеет корни и , а второе - единственный корень . Поэтому первое уравнение является следствием второго .
-
Выяснить, равносильны ли уравнения 1) и;2) и3) и.
Ответ. 1) Равносильны; 2) равносильны; 3) не равносильны, так как множества их корней различны (в первом уравнении: : ; во втором уравнении: , ).
-
Решить уравнение, .
Решение. Заменим данное уравнение (на основании свойства суммы логарифмов) его следствием: . Решим это уравнение. Имеем . откуда .
Проверка. 1) является корнем исходного уравнения: :
2) не является корнем исходного уравнения, поскольку при левая часть уравнения теряет смысл.
Ответ, .
Задание для самостоятельной работы
Вариант I
Выяснить, какой из двух данных уравнений является следствием другого (1-4)
1 3 и
Вариант II
Выяснить, какой из двух данных уравнений является следствием другого (1-4)
1 3 и
-
2. 4 и
3. 5 и
4.6и
Записать какое-нибуть следствие уравнения (15-14):
5. 3
6. 4
7. 5
8. 6
9. 5
10. 6
11. 5
12. 5
13. 6
14. 3
Объяснить, почему данные уравнения равносильны (15-17):
15. 3 и
16. 3 и
17. 3 и
Выяснить, равносильны ли уравнения
(18-21):
18. 3 и
2. 4 и
3. 5 и
4.6и
Записать какое-нибуть следствие уравнения (15-14):
5. 3
6. 4
7. 5
8. 6
9. 5
10. 6
11. 5
12. 5
13. 6
14. 3
Объяснить, почему данные уравнения равносильны (15-17):
15. 3 и
16. 3 и
17. 3 и
Выяснить, равносильны ли уравнения
(18-21):
18. 3 и
-
19. 4 и
20. 5 и
21. 5 и
22. 7 Следствие некоторого уравнения имеет три корня. Сколько корней может быть у исходного уравнения?
23. 8 Решить без ошибок два различных следствия одного и того же уравнения, в первом случае учащийся получит в качестве корней числа -2, 1 и 5, а во втором случае - числа -2, 0, 5 и 7 .
1) Можно ли на основании приведенных данных определить корни уравнения ?
2) Какие числа могут быть корнями исходного уравнения ?
Решить уравнение (24-39):
24. 4
25. 4
26. 4
27. 4
28. 5
29. 5
19. 4 и
20. 5 и
21. 5 и
22. 7 Следствие некоторого уравнения имеет два корня. Сколько корней может быть у исходного уравнения?
23. 8 Решить без ошибок три различных следствия одного и того же уравнения, в первом случае учащийся получит в качестве корней числа -3, 0 и 2, а во втором случае - числа 0 и 5 , в третьем - числа 2 и 7.
Что можно сказать о корнях уравнения ?
Решить уравнение (24-39):
24. 4
25. 4
26. 4
27. 4
28. 5
29. 5
-
30. 5
31. 5
32. 6
33. 7
34. 8
35. 4
36. 5
37. 4
38. 4
39. 5
Решить систему уравнений (40-41):
40. 7
41. 6
30. 5
31. 5
32. 6
33. 7
34. 8
35. 4
36. 5
37. 4
38. 4
39. 5
Решить систему уравнений (40-41):
40. 7
41. 6
Логарифмические неравенства
Справочные сведения
Простейшие логарифмические неравенства
(1)
и
(2)
где , имеет решения при любом .
Если (рис. 25), то множество решений неравенства (1) - промежуток ,а множество решений неравенства (2) - интервал .
Если (рис. 26), то множество решений неравенства
- интервал , а множество решений неравенства
- промежуток . Неравенство
при равносильно двойному неравенству
а при - двойному неравенству
Примеры с решениями
-
Найти область определения неравенства
Решении. Область определения данного неравенства - множество значений х, при которых выражения, стоящие под знакамилогарифмов, положительны, т.е. множество знамений ,удовлетворяющих системе неравенств
Множество решений первого неравенства системы - промежуток ; множество решений второго неравенства состоит из двух промежутков и ., Оба неравенства системы выполняются при
Ответ, .
2. Решить неравенство: 1) ; 2) ; 3) .
| Решение. 1) Так как , то данное неравенство можно записать в виде
Согласно свойству возрастания функции данное неравенство равносильно неравенству
.
Ответ, .
2) Запишем данное неравенство в виде
.
Это неравенство равносильно системе неравенств
откуда
Ответ.
3)Данное неравенство, записанное в виде
равносильно системе неравенств
Эта система равносильна каждой из следующих систем :
Ответ.
Задание для самостоятельной работы
Вариант I
Найти область определения функции (1-2):
1. 1
2. 3
Найти область определения неравенства (3-4):
3. 4
4. 5
Решить не равенство (5-34):
5. 3
6. 3
7. 3
8. 3
9. 4
10. 4
11. 4
12. 4
13. 4
14. 4
15. 4
Вариант II
Найти область определения функции (1-2):
1. 1
2. 3
Найти область определения неравенства (3-4):
3. 4
4. 5
Решить не равенство (5-34):
5. 3
6. 3
7. 3
8. 3
9. 4
10. 4
11. 4
12. 4
13. 4
14. 4
15. 4
-
16. 4
17. 4
18. 4
19. 4
20. 5
21. 5
22 5
23. 5
24. 5
25. 6
26. 6
27. 5
28. 5
29. 5
30. 6
31. 6
32. 6
33. 7
34. 7
16. 4
17. 4
18. 4
19. 4
20. 5
21. 5
22 5
23. 5
24. 5
25. 6
26. 6
27. 5
28. 5
29. 5
30. 6
31. 6
32. 6
33. 7
34. 7