Применение производной: решение задач прикладного содержания

Алгебра і початки аналізу 11 - Б клас 20. 04. 2015 р.

УРОК № 55

Тема. Розв'язування задач прикладного змісту

Мета уроку: удосконалити вміння та навички розв'язувати прикладні задачі на знаходження найбільших та найменших значень реальних величин, застосовувати знання у нових навчальних ситуаціях; на прикладах підібраних задач розкрити зв'язок теорії з практикою; розвивати вміння учнів моделювати процеси дійсності, використовуючи знання про похідну функції; розвивати навички колективної роботи в поєднанні із самостійністю учнів; розвивати алгоритмічне й логічне мислення, розумову активність, уміння аналізувати, робити висновки, використовувати отриману інформацію в особистому житті; сприяти виникненню потреби в самоосвіті; розвивати пам'ять, культуру математичного мовлення й записів, уміння лаконічно висловлювати свою думку; виховувати увагу, старання, працелюбність, наполегливість, акуратність, охайність, почуття обов'язку, взаємоповагу, уміння раціонально використовувати робочий час; виховувати пізнавальний інтерес до предмета, позитивну мотивацію до навчання, науковий світогляд учнів; виховувати в учнів розуміння різноманітних зв'язків між математикою та іншими предметами; сприяти фізичному вихованню учнів, дбати про профілактику їх стомлюваності на уроках.

Очікувані результати: учні розуміють значення поняття похідної для опису реальних процесів, вміють знаходити найбільше і найменше значення функції при розв'язуванні різних типів прикладних задач.

Основні поняття: похідна функції, точки екстремуму функції, екстремуми функції, критичні точки функції, найбільше значення функції, найменше значення функції.

Обладнання: підручник, схеми, таблиці, роздавальний матеріал, конспект «Найбільше й найменше значення функції, неперервної на відрізку», dvd - плеєр, телевізор.

Тип уроку: удосконалення знань, умінь і навичок.

Міжпредметні зв'язки: біологія, геометрія, економіка, історія, література, основи безпеки життєдіяльності, фізика, хімія.

Девіз уроку: «Думаємо колективно, працюємо оперативно. Сперечаємося доказово - це для усіх обов'язково».

«У природі немає нічого такого, в чому

не проглядався б зміст якогось максимуму чи мінімуму»

(Леонард Ейлер)

«Єдиний шлях, що веде до знання - це діяльність»

(Джордж Бернард Шоу)

ХІД УРОКУ

1. Організаційній етап

• Учитель вітається, перевіряє готовність учнів до роботи.

• Перевірка відвідування заняття учнями.

• Повідомлення девізу і епіграфу уроку: «Єдиний шлях, що веде до знання - це діяльність». (Джордж Шоу).

Вчитель. Цей епіграф і цей девіз обрані мною не випадково. Як ви думаєте, чому я їх обрав?

2. Психологічне налаштування на урок

Усі ми знаємо, що стародавні китайці були мудрими людьми, мудрими в світовому розумінні. Вони любили прислів'я, яке ми повинні завжди пам'ятати: «Людина, яка не посміхається, не повинна відкривати магазин». А я пропоную перефразувати це прислів'я таким чином: «Жоден урок математики не повинен розпочинатись без посмішки».

Френк Ірвінг Флетчер в одній із своїх реклам для компанії «Оппенгейм, Коллінс і К°» подає такий зразок повсякденної філософії:

Ціна посмішки

Її ціна - нуль, але вона багато чого варта.

Вона збагачує тих, хто її приймає, і не збіднює тих, хто її дарує.

Вона триває лише мить, але пам'ять про неї залишається назавжди.

Ніхто не є таким багатим, щоб обійтися без неї, і нікого не збіднюють, а тільки збагачують її наслідки.

Вона створює щастя в домі, заохочує до добрих справ і є ознакою дружби.

Вона - відпочинок для стомлених, світло для зневірених, сонячний промінь для засмучених і найкращий засіб від неприємностей.

Однак її не можна купити, випросити, позичити або вкрасти, оскільки вона не може по-справжньому робити добра, доки її не віддають з доброї волі! …Якщо ви хочете, щоб люди любили вас, дотримуйтесь правила: усміхайтеся.

Отож, посміхніться та подаруйте посмішку один одному.

3. Перевірка домашнього завдання

• Учитель відповідає на запитання учнів, що виникли під час виконання домашнього завдання.

• Розгляд домашньої вправи: № 396 (сторінка 89 підручника), № 397 (сторінка 89 підручника).

4. Актуалізація опорних знань

Актуалізацію опорних знань проводиться як інтелектуальну розминку.

• Вікторина «Що? Де? Як? Чому?»

1. Що таке похідна? Де вона застосовується?

2. Як обчислити похідну заданої функції? Що відбудеться з похідною при множенні функції на деяку сталу?

3. Чому дорівнюють похідні суми, різниці, добутку, частки двох функцій?

4. Як змінюється похідна при лінійній заміні аргументу?

5. Що розуміють під фізичним змістом похідної?

6. Що таке критичні точки функції? Як визначити критичні точки функції?

7. Що називається найбільшим і найменшим значеннями неперервної функції, заданої на замкненому відрізку?

8. Де неперервна на замкненому відрізку функція може набувати свого найбільшого і найменшого значень?

9. Як визначити найбільше й найменше значення функції на відрізку?

• Вектор кмітливості «Таблиця похідних»

Необхідно знайти відповідність між картками із записаними функціями та їх похідними

№

з/п

Функція

Похідна

Літера

1.

А

2.

Б

3.

В

4.

Г

5.

Д

6.

Е

7.

Ж

8.

З

9.

И

10.

К

• Підготовка до ЗНО (усне виконання вправ)

1. Знайдіть похідну функції . (ЗНО, 2009)

А

Б

В

Г

Д

2. Знайдіть значення похідної функції у точці . (ЗНО, 2010)

А

Б

В

Г

Д

3. Матеріальна точка рухається за законом , де вимірюється в метрах, а - у секундах. Знайдіть значення (у секундах), при якому миттєва швидкість матеріальної точки дорівнює м/с. (ЗНО, 2011).

А

Б

В

Г

Д

5. Мотивація навчальної діяльності

   Задача - проблема

   Відомо, що вартість експлуатації мікроавтобуса «Газель», що працює на маршруті № 10 в нашому місті та рухається зі швидкістю км/год, складає грн/год. З якою швидкістю повинен рухатись мікроавтобус, щоб вартість км шляху була найменшою?

   

   Скільки дурня не мотивуй, максимум чого ви доб'єтеся - це мотивований дурень!!!

   Джим Рон

6. Повідомлення теми та мети уроку

• Повідомлення теми уроку

Вчитель. Для розв'язання цієї проблемної задачі можна використати набуті знання, вміння й навички. Отже, тема сьогоднішнього уроку: «Розв'язування задач прикладного змісту».

• Повідомлення епіграфу уроку: «У природі немає нічого такого, в чому не проглядався б зміст якогось максимуму чи мінімуму». (Леонард Ейлер).

Вчитель. Ці епіграф обраний мною не випадково. Як ви думаєте, чому я його обрав?

• Постановка мети і завдань уроку (метод: евристична бесіда)

Вчитель. Досягти успіху можна тільки тоді, коли визначена мета і завдання, які кожен ставить перед собою. Відповідно мети уроку спробуйте самостійно сформулювати, які завдання ми поставимо перед собою на уроці (вчитель вислуховує можливі пропозиції, узагальнює і доповнює їх).

Вчитель. Як ви бачите, і цілі, і завдання уроку, сформульовані вами і мною, збігаються, тому я сподіваюся на плідну працю.

• Запис учнями дати і теми уроку в зошити

Вчитель. Підготуємо зошити до роботи. Я хочу нагадати, що під час роботи з діловими документами запорукою успіху є старання, працьовитість, наполегливість, уважність, охайність, акуратність і шанобливе ставлення до тієї справи, яку виконуєш (учні записують дату і тему уроку у зошити).

7. Удосконалення вмінь і навичок

• Колективне розв'язування задач під керівництвом учителя

1. Розв'язання задачі, яка була приведена на етапі формування мотивації навчальної діяльності.

2. Похідна та фізика.

Закон прямолінійного руху тіла заданий рівнянням , - в метрах, - в секундах. Знайти максимальну швидкість руху тіла.

3. Похідна та біологія.

У живильне середовище вносять популяцію з бактерій. Чисельність популяції зростає за законом

, де - виражається в годинах. Знайти максимальний розмір цієї популяції.

4. Похідна та медицина.

Концентрація ліків у крові хворого через деякий час після ін'єкції задається формулою .

Знайти максимальну концентрацію і час, коли вона досягається.

5. Похідна та економіка.

Обсяг продукції (умовних одиниць), , де - робочий час у годинах. Знайти максимальну продуктивність праці та час, коли вона досягається.

6. Похідна та історія, література і геометрія. Задача Дідони.

• Читання фрагменту з поеми «Енеїда» Івана Петровича Котляревського:

  В тім городі жила Дідона,

  Розумна пані і моторна,

  Трудяща, дуже працьовита,

  А город звався Карфаген

  Для неї трохи сих імен:

  Весела, гарна, сановита…

• Легенда про заснування Карфагену.

Фінікійська царівна Дідона (Елісса), рятуючись від переслідувань свого брата, відправилася на захід вздовж берегів Середземного моря, де шукала собі пристановища. На узбережжі Туніської затоки вона почала вести переговори з Ярбом про купівлю для себе землі. І попросила вона зовсім мало - стільки, скільки можна «обгородити шкірою з бика» . І коли Дідона і Ярб дійшли згоди, Дідона порізала шкіру бика на тоненькі смужки, зв'язала їх і обгородила ними велику територію, чого Ярб не чекав. На ній Дідона побудувала фортецю, а поблизу неї - місто Карфаген.

• Формулювання задачі Дідони.

Хіба не дивно, що в ті далекі часи ставились і розв'язувались такі цікаві, складні і досить проблемні задачі?

То ж поміркуймо, яку найбільшу кількість землі можна обгородити шкірою з бика? Або, мовою математики, яка із замкнених кривих, що має задану довжину, може охопити найбільшу площу? Фактично, нам треба знайти найбільше значення деякої неперервної функції на відрізку. Цю класичну задачу сама Дідона розв'язала правильно. А кривою, що охоплює найбільшу площу, є круг - найдосконаліша, на думку Піфагора, плоска фігура (відеофрагмент - задача Дідони).

• Розв'язування задачі Дідони.

Фізкультхвилинка (відео): виконання учнями комплексу вправ для зняття м'язового напруження

• Робота в парах

Працюючи в парах учні розв'язують самостійно завдання:

«Служба експрес-таксі встановила тариф копійок за годину під час руху автомобіля зі швидкістю км/год. Пасажир, сідаючи в таксі, може обирати швидкість руху автомобіля. Яку швидкість (у км/год) має обрати пасажир, щоб його витрати на км шляху були найменшими?»

(Виконується взаємоперевірка)

• Самостійне розв'язування задач

1. Залежність добового удою в літрах від віку корів в роках визначається рівнянням

, де . Знайдіть вік дійних корів, при якому добовий удій буде найбільшим.

2. Нехай кількість речовини, що вступила в хімічну реакцію задається залежністю (моль). Знайти швидкість хімічної реакції через секунди. (Похідна та хімія).

8. Підсумок уроку. Рефлексія

1. Учитель відповідає на питання, що виникли в учнів у ході уроку.

2. Бліцопитування.

• Які теоретичні відомості ви застосовували на уроці?

• Які із задач були найскладнішими?

• У чому полягали труднощі під час розв'язування цих задач?

3. Складання сінквейну на тему «Похідна». (Похідна. - Складна, багатообіцяюча. - Мислити, вирішувати, думати. - Найбільше досягнення науки - похідна. - Знання!)

4. Слово вчителя.

Вчитель. Фрідріх Енгельс свого часу зауважив, що «лише диференціальне числення дає природознавству можливість зображати математично не тільки стани, а й процеси: рух». Зверніть ще раз свою увагу на один з епіграфів уроку: «У природі немає нічого такого, в чому не проглядався б зміст якогось максимуму чи мінімуму».

На уроці ми вирішували завдання, пов'язані з різною діяльністю людини. Але їх об'єднує одне - це спосіб вирішення. Ми переходили від реальних ситуацій до їх математичних моделей. Ми переконалися, що таке абстрактне поняття, як похідна, допомагає вирішувати багато життєвих завдань. Сподіваюсь, що з завданнями аналогічного змісту Ви впораєтесь на ДПА.

5. Учитель відзначає роботу учнів на уроці, повідомляє оцінки, пояснюючи кожну з них.

9. Домашнє завдання

1. Повторити § 11 (підручник: Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. Математика. 11 клас. Рівень стандарту. Київ, «Генеза»; 2011).

2. Розв'язати № 394 (сторінка 89 підручника), № 419 (сторінка 95 підручника).

3. Підготовка до ДПА і ЗНО: повторити відсотки та основні задачі на відсотки.

4. Творче завдання. За останні років чисельність гризунів в місті Д. виросла в разів і досягла мільйона особин: по одному щурю на кожного жителя. За рік одна пара щурів здатна відтворити штук собі подібних. За словами епідеміологів, щурі є переносниками багатьох хвороб - чуми, сказу, енцефаліту. Складіть задачу за наведеними даними і розв'яжіть її.

Учитель дякує учнів за роботу на уроці, бажає їм успіхів, удачі!!!

1

© Москальчук Валерій Володимирович