- Преподавателю
- Математика
- Справочник по математике для 10-11 классов
Справочник по математике для 10-11 классов
Раздел | Математика |
Класс | 11 класс |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Коротаева И.Г. |
Дата | 13.09.2013 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
23
Справочник по математике
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Единичная окружность
Градусная мера углов Радианная мера углов
Угол в π радиан равняется углу в 1800, т.е. π = 1800
Чтобы перейти от радианной меры углов к градусной, нужно букву π заменить на 180 и посчитать:
Чтобы перейти от градусной меры углов к радианной, нужно перейти к радианам. Например:
Таблица основных значений тригонометрических функций
Расширенная таблица основных значений
тригонометрических функций
0
0
0
1
0
1
0
-
-
-
-1
0
1
-
-
-1
-
0
-
1
0
-
-1
-
-
-
-
-
-1
-
-
-
0
-
-
-
0
1
1
-
-
-1
-
0
1
0
-
-1
-
-
принимают только значения из промежутка [-1; 1]
Знаки функций по четвертям
Свойства функций
sin(-x) = - sinx cos(-x)=cosx
tg(-x)= - tgx ctg(-x)= - ctgx
Формулы приведения
Для функций
1) Функция меняется на противоположную, если в скобке - дробь и не меняется, если дроби в скобке нет.
2) Знак получаемой функции определяется как знак исходной функции в четверти.
Все получаемые значения можно найти в таблице:
sinx
cosx
cosx
sinx
-sinx
-cosx
-cosx
-sinx
sinx
cosx
sinx
-sinx
-cosx
-cosx
-sinx
sinx
cosx
cosx
tgx
ctgx
-ctgx
-tgx
tgx
ctgx
-ctgx
-tgx
tgx
ctgx
tgx
-tgx
-ctgx
ctgx
tgx
-tgx
-ctgx
ctgx
Основные формулы тригонометрии.
1. Основные тождества
, ,
, ,
2. Формулы двойного угла.
, ,
, ,
3. Формулы сложения и вычитания
,
,
4. Формулы произведения 5. Формулы суммы и разности
Обратные тригонометрические функции
Арксинус:
Арккосинус:
Арктангенс:
Арккотангенс:
Свойства обратных функций
arcsin(-x)= - arcsinx arccos(-x)= π - arccosx
arctg(-x)= - arctgx arcctg(-x)= π - arcctgx
Общие решения тригонометрических уравнений
Прежде чем решить тригонометрическое уравнение, его, если нужно, приводим к простейшему виду (т.е. слева должна стоять только лишь функция, а справа только одно число, например ). Решаем уравнение с помощью общих формул, т.е. подставляем вместо букв в формуле реальные числа, которые даны в уравнении. Для каждого уравнения свое общее решение, т.е в уравнении с синусом общее решение но может содержать арккосинус или арктангенс, а может быть только арксинус!
Общие решения
Частные решения
Если в уравнении с синусом или косинусом в качестве числа стоит 0, 1, -1 то решение этого уравнения по общей формуле записывать не нужно, а сразу выписать ответ:
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.
Правила дифференцирования
Постоянная выносится за знак производной
Производная суммы
Производная произведения
Производная частного
, c - постоянная, число.
Таблица производных
Производная сложной функции
Если функция сложная, т.е. аргумент функции - тоже функция, то находя ее производную, нужно сначала найти производную первой или главной функции и еще умножить на производную второй функции, которая является аргументом первой (главной) функции, т.е.
Если вторая функция, которая дает сложность - линейна, то производная данной функции находится так:
Пример 1,
Пример 2.
Касательная к графику функции
Уравнение касательной: )
k- угловой коэффициент касательной - выражает угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох.
Касательная параллельна оси оХ, если
Касательная образует с осью оХ острый угол, если
Касательная образует с осью оХ тупой угол, если
Применение производной в физике и технике
путь тела, t - время движения.
скорость тела: скорость равна производной от пути.
ускорение тела: ускорение равно производной от скорости.
Пример. Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки A этой прямой изменяется по закону
(м), где t- время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3 с после начала движения.
Скорость тела находится по формуле:
Найдем производную от пути по времени:
Найдем скорость тела через 3 секунды:
м/с
Ответ: = м/с
Применение непрерывности производной
Схема решения неравенства методом интервалов.
-
Приравниваем неравенство к 0.
-
Решаем уравнение, находим его корни.(Если в неравенстве дробь, то числитель приравниваем к нулю а знаменатель не равен нулю).
-
Полученные корни заносим на числовую прямую, разбиваем прямую на интервалы.
-
Определяем на каждом интервале знак, подставив число из интервала в неравенство.
-
Выписываем в качестве ответа нужные интервалы. Если в неравенстве стоит знак >0, то выписываем положительные интервалы, и если стоит знак <0, то соответственно выписываем отрицательные интервалы.
Пример: Решить неравенство
Приравниваем неравенство к 0:
Разбиваем неравенство на 2 части
Из первого уравнения находим корни: x1=5, x2=-7/2
Из второго уравнения
Заносим эти три корня на числовую прямую, разбиваем ее на интервалы:
+ - + -
-7/2 4 5
Определяем знаки на каждом интервале, подставляя числа из интервалов в неравенство.
Выписываем ответ, выбираем те промежутки, на которых знак положительный.
Ответ:
Применение производной к исследованию функций
Наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на интервале [а;b].
-
Находим производную функции .
-
Решаем уравнение =0, т.е. находим точку экстремума на интервале.
-
Находим значение функции f(x) в этой точке.
-
Находим значения функции f(x) в концах интервала - точках а и в (f(a)и f(в)).
-
Выбираем нужное значение. Если ищем максимальное, то выбираем наибольшее, если ищем минимальное, то выбираем наименьшее значение.
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ
- первообразная для функции
Таблица первообразных
Площадь криволинейной трапеции
S=F(b)-F(a) -формула для нахождения площади криволинейной трапеции, где
F(x)- первообразная функции f(x), которая задает криволинейную трапецию;
а и b - концы интервала, границы криволинейной трапеции;
F(a) и F(b) - значения первообразной в концах интервала.
Если криволинейная трапеция расположена ниже оси оХ, то ее площадь берется с минусом.
S=- (F(b)-F(a))
СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ
Уравнение
Решение зависит от степени n
n- четное => 2 корня
n - нечетное = 1 корень
Причем, если
a>0 - 2 решения;
a=0 - одно решение;
a<0 - нет решений
причем, справедливо равенство
Пример:
Извлекаем корень пятой степени:
Ответ: x=-1
Таблица степеней
Показательные уравнения
Уравнения вида называются показательными.
Для того, чтобы решить подобное уравнение, нужно b представить в виде основания a в некоторой степени: , получим уравнение , основания а - равны, значит равны и показатели, т.е. f(x)=c, решая это уравнение, находим x.
Пример 1:
Приводим числа 49 и к одному основанию - 7:
Раскрываем скобки, перемножая показатели:
Отбрасываем основания, переходим к показателям: 2x+2=-1
Решаем это уравнение: 2x=-1-2
2x=-3
x=-3:2
x=-1,5
Ответ: x=-1,5
Пример 2:
Применяем формулу 1 свойства степени:
Выносим за скобки общий множитель:
Приведем 9 к основанию 3:
Отбрасываем основания, переходим к показателям:
Ответ: x=2
Показательные неравенства
Неравенства вида ()называются показательными.
Для того, чтобы решить подобное неравенство, как и уравнение, нужно b представить в виде основания a в некоторой степени: , получим неравенство , основания а - равны и их отбрасываем, переходя к показателям. При этом обращаем внимание на основание а:
если а>0, То переходим к неравенству f(x)>c, решая это неравенство, находим x;
если 0<а<1, тогда при переходе к показателям следует поменять знак на противоположный, т.е. развернуть его: f(x)<c, решая это неравенство, находим x;
Пример 1:
Приводим числа 9 и к одному основанию - 3:
Раскрываем скобки, перемножая показатели:
Отбрасываем основания, переходим к показателям, т.к. основание 3 >1, то знак неравенства не меняем: -6+3x>4x-2
Решаем это неравенство: 3x-4x>6-2
-x>4
Умножим обе части на (-1), при этом поменяются все знаки: x< -4
Ответ: x< -4
Пример 2:
Применяем формулу 1 свойства степени:
Выносим за скобки общий множитель:
Приведем 27 к основанию 3:
Отбрасываем основания, т.к. основание 3>1? То знак неравенства не меняем, переходим к показателям:
Ответ: x>3
Пример 3:
Приводим числа 16 и к одному основанию 2:
Отбрасываем основания, переходим к показателям, при этом замечаем. Что основание 2>1, следовательно знак неравенства не меняем:
Решаем неравенство, прибавляя к каждой части неравенства 1:
Ответ:
ЛОГАРИФМЫ.
Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени с, в которую нужно возвести основание а, чтоб получилось b:
a - основание, b - аргумент, c - показатель степени
Десятичный логарифм:
Натуральный логарифм: - экспонента.
Основное логарифмическое тождество:
Свойства логарифмов
Логарифмическое уравнение.
Уравнение, которое содержит х под знаком логарифма называют логарифмическим.
Чтобы решить данное уравнение, заменяем b на логарифм по тому же основанию, т.е. . Отбрасываем одинаковые логарифмы и переходим к аргументам, получаем следующее уравнение: . Из этого уравнения находим х. Учитываем ОДЗ: подлогарифмическое выражение, содержащее х должно быть больше нуля (по определению логарифма), т.е. решаем неравенство: f(x)>0. Решив неравенство, проверяем, удовлетворяют ли корни этому неравенству.
Если в правой, левой или обоих частях уравнения стоит сумма (разность) логарифмов, то их нужно сложить (вычесть), пользуясь правилами 3,4,5, так, чтобы слева и справа осталось по одному логарифму. А затем их отбросить.
Пример:
Сделаем из числа 2 логарифм по основанию 2:
Пользуясь правилом 3. складываем логарифмы:
Отбрасываем логарифмы:
Решаем линейное уравнение:
Находим ОДЗ:
Решаем это неравенство:
Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: - удовлетворяет, а значит является корнем уравнения.
Ответ: х=8.
Логарифмическое неравенство.
Неравенство, которое содержит х под знаком логарифма называют логарифмическим.
Неравенство решаем так же, как логарифмическое уравнение. Чтобы решить данное неравенство, заменяем b на логарифм по тому же основанию, т.е. . Отбрасываем одинаковые логарифмы и переходим к аргументам. При переходе к аргументам следует учитывать основание а:
если а>0, то переходим к неравенству , решая это неравенство, находим x;
если 0<а<1, тогда при переходе к показателям следует поменять знак на противоположный, т.е. развернуть его, решая это неравенство, находим x;
Учитываем ОДЗ: подлогарифмическое выражение, содержащее х должно быть больше нуля, т.е. решаем неравенство: f(x)>0. Решение неравенства и ОДЗ пересекаем и общее решение этих неравенств выписываем в ответ.
Если в правой, левой или обоих частях уравнения стоит сумма (разность) логарифмов, то их нужно сложить (вычесть), пользуясь правилами 3,4,5, так, чтобы слева и справа осталось по одному логарифму. А затем их отбросить.
Пример:
Сделаем из числа 2 логарифм по основанию 6:
Пользуясь правилом 5 перенесем множитель 3 в правой части неравенства в степень аргумента 2:
Пользуясь правилом 3. складываем логарифмы:
Отбрасываем логарифмы, учитывая, что основание 6>1, то знак неравенства не меняем:
Решаем линейное неравенство:
Находим ОДЗ:
Решаем это неравенство:
Пересекаем полученные неравенства:
58
Ответ: выписываем общую часть
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Прямоугольный параллелепипед
a, b, c-измерения параллелепипеда (длина, ширина, высота)
a, b,с - измерения
(длина, ширина, высота)
d - диагональ
Куб Все ребра куба равны а
Призма
Пирамида
Цилиндр
Осевое сечение - прямоугольник
- длина окр.-
Конус.
Осевое сечение - равнобедренный треугольник.
Развертка конуса - сектор
Шар
В сечении - круг
Планиметрия
Треугольники
Произвольный треугольник (длины сторон, лежащих против вершин A, B и C, равны a, b, c соответственно; α , β , γ - величины углов A, B и C; p - полупериметр; R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; S - площадь; hA - высота, проведенная из вершины A):
- теорема косинусов;
- теорема синусов.
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник (a, b - катеты; c - гипотенуза; ac, bc - проекции катетов на гипотенузу; hc - высота, опущенная из вершины прямого угла):
- теорема Пифагора.
Равносторонний (правильный) треугольник:
Параллелограмм (a и b - смежные стороны; a - угол между ними; ha - высота, проведенная к стороне a):
Ромб
Прямоугольник:
Квадрат (d - диагональ):
Трапеция (a и b - основания; h - расстояние между ними; l - средняя линия):
Окружность, круг (r - радиус; c - длина окружности; S - площадь круга):
Сектор (l - длина дуги, ограничивающей сектор; n° - градусная мера соответствующего центрального угла; α - радианная мера центрального угла):