Справочник по математике для 10-11 классов

23

Справочник по математике

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Единичная окружность

Градусная мера углов Радианная мера углов

Угол в π радиан равняется углу в 180⁰, т.е. π = 180⁰

Чтобы перейти от радианной меры углов к градусной, нужно букву π заменить на 180 и посчитать:

Чтобы перейти от градусной меры углов к радианной, нужно перейти к радианам. Например:

Таблица основных значений тригонометрических функций

Расширенная таблица основных значений

тригонометрических функций

принимают только значения из промежутка [-1; 1]

Знаки функций по четвертям

Свойства функций

sin(-x) = - sinx cos(-x)=cosx

tg(-x)= - tgx ctg(-x)= - ctgx

Формулы приведения

Для функций

1) Функция меняется на противоположную, если в скобке - дробь и не меняется, если дроби в скобке нет.

2) Знак получаемой функции определяется как знак исходной функции в четверти.

Все получаемые значения можно найти в таблице:

sinx

cosx

cosx

sinx

-sinx

-cosx

-cosx

-sinx

sinx

cosx

sinx

-sinx

-cosx

-cosx

-sinx

sinx

cosx

cosx

tgx

ctgx

-ctgx

-tgx

tgx

ctgx

-ctgx

-tgx

tgx

ctgx

tgx

-tgx

-ctgx

ctgx

tgx

-tgx

-ctgx

ctgx

Основные формулы тригонометрии.

1. Основные тождества

, ,

, ,

2. Формулы двойного угла.

, ,

, ,

3. Формулы сложения и вычитания

,

,

4. Формулы произведения 5. Формулы суммы и разности

Обратные тригонометрические функции

Арксинус:

Арккосинус:

Арктангенс:

Арккотангенс:

Свойства обратных функций

arcsin(-x)= - arcsinx arccos(-x)= π - arccosx

arctg(-x)= - arctgx arcctg(-x)= π - arcctgx

Общие решения тригонометрических уравнений

Прежде чем решить тригонометрическое уравнение, его, если нужно, приводим к простейшему виду (т.е. слева должна стоять только лишь функция, а справа только одно число, например ). Решаем уравнение с помощью общих формул, т.е. подставляем вместо букв в формуле реальные числа, которые даны в уравнении. Для каждого уравнения свое общее решение, т.е в уравнении с синусом общее решение но может содержать арккосинус или арктангенс, а может быть только арксинус!

Общие решения

Частные решения

Если в уравнении с синусом или косинусом в качестве числа стоит 0, 1, -1 то решение этого уравнения по общей формуле записывать не нужно, а сразу выписать ответ:

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.

Правила дифференцирования

Постоянная выносится за знак производной

Производная суммы

Производная произведения

Производная частного

, c - постоянная, число.

Таблица производных

Производная сложной функции

Если функция сложная, т.е. аргумент функции - тоже функция, то находя ее производную, нужно сначала найти производную первой или главной функции и еще умножить на производную второй функции, которая является аргументом первой (главной) функции, т.е.

Если вторая функция, которая дает сложность - линейна, то производная данной функции находится так:

Пример 1,

_{Пример 2.}

Касательная к графику функции

Уравнение касательной: )

k- угловой коэффициент касательной - выражает угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох.

Касательная параллельна оси оХ, если

Касательная образует с осью оХ острый угол, если

Касательная образует с осью оХ тупой угол, если

Применение производной в физике и технике

путь тела, t - время движения.

скорость тела: скорость равна производной от пути.

ускорение тела: ускорение равно производной от скорости.

Пример. Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки A этой прямой изменяется по закону

(м), где t- время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3 с после начала движения.

Скорость тела находится по формуле:

Найдем производную от пути по времени:

Найдем скорость тела через 3 секунды:

м/с

Ответ: = м/с

Применение непрерывности производной

Схема решения неравенства методом интервалов.

1. Приравниваем неравенство к 0.

2. Решаем уравнение, находим его корни.(Если в неравенстве дробь, то числитель приравниваем к нулю а знаменатель не равен нулю).

3. Полученные корни заносим на числовую прямую, разбиваем прямую на интервалы.

4. Определяем на каждом интервале знак, подставив число из интервала в неравенство.

5. Выписываем в качестве ответа нужные интервалы. Если в неравенстве стоит знак >0, то выписываем положительные интервалы, и если стоит знак <0, то соответственно выписываем отрицательные интервалы.

Пример: Решить неравенство

Приравниваем неравенство к 0:

Разбиваем неравенство на 2 части

Из первого уравнения находим корни: x₁=5, x₂=-7/2

Из второго уравнения

Заносим эти три корня на числовую прямую, разбиваем ее на интервалы:

+ - + -

-7/2 4 5

Определяем знаки на каждом интервале, подставляя числа из интервалов в неравенство.

Выписываем ответ, выбираем те промежутки, на которых знак положительный.

Ответ:

Применение производной к исследованию функций

Наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на интервале [а;b].

1. Находим производную функции .

2. Решаем уравнение =0, т.е. находим точку экстремума на интервале.

3. Находим значение функции f(x) в этой точке.

4. Находим значения функции f(x) в концах интервала - точках а и в (f(a)и f(в)).

5. Выбираем нужное значение. Если ищем максимальное, то выбираем наибольшее, если ищем минимальное, то выбираем наименьшее значение.

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ

- первообразная для функции

Таблица первообразных

Площадь криволинейной трапеции

S=F(b)-F(a) -формула для нахождения площади криволинейной трапеции, где

F(x)- первообразная функции f(x), которая задает криволинейную трапецию;

а и b - концы интервала, границы криволинейной трапеции;

F(a) и F(b) - значения первообразной в концах интервала.

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси оХ, то ее площадь берется с минусом.

S=- (F(b)-F(a))

СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ

Уравнение

Решение зависит от степени n

n- четное => 2 корня

n - нечетное = 1 корень

Причем, если

a>0 - 2 решения;

a=0 - одно решение;

a<0 - нет решений

причем, справедливо равенство

Пример:

Извлекаем корень пятой степени:

Ответ: x=-1

Таблица степеней

Показательные уравнения

Уравнения вида называются показательными.

Для того, чтобы решить подобное уравнение, нужно b представить в виде основания a в некоторой степени: , получим уравнение , основания а - равны, значит равны и показатели, т.е. f(x)=c, решая это уравнение, находим x.

Пример 1:

Приводим числа 49 и к одному основанию - 7:

Раскрываем скобки, перемножая показатели:

Отбрасываем основания, переходим к показателям: 2x+2=-1

Решаем это уравнение: 2x=-1-2

2x=-3

x=-3:2

x=-1,5

Ответ: x=-1,5

Пример 2:

Применяем формулу 1 свойства степени:

Выносим за скобки общий множитель:

Приведем 9 к основанию 3:

Отбрасываем основания, переходим к показателям:

Ответ: x=2

Показательные неравенства

Неравенства вида ()называются показательными.

Для того, чтобы решить подобное неравенство, как и уравнение, нужно b представить в виде основания a в некоторой степени: , получим неравенство , основания а - равны и их отбрасываем, переходя к показателям. При этом обращаем внимание на основание а:

если а>0, То переходим к неравенству f(x)>c, решая это неравенство, находим x;

если 0<а<1, тогда при переходе к показателям следует поменять знак на противоположный, т.е. развернуть его: f(x)<c, решая это неравенство, находим x;

Пример 1:

Приводим числа 9 и к одному основанию - 3:

Раскрываем скобки, перемножая показатели:

Отбрасываем основания, переходим к показателям, т.к. основание 3 >1, то знак неравенства не меняем: -6+3x>4x-2

Решаем это неравенство: 3x-4x>6-2

-x>4

Умножим обе части на (-1), при этом поменяются все знаки: x< -4

Ответ: x< -4

Пример 2:

Применяем формулу 1 свойства степени:

Выносим за скобки общий множитель:

Приведем 27 к основанию 3:

Отбрасываем основания, т.к. основание 3>1? То знак неравенства не меняем, переходим к показателям:

Ответ: x>3

Пример 3:

Приводим числа 16 и к одному основанию 2:

Отбрасываем основания, переходим к показателям, при этом замечаем. Что основание 2>1, следовательно знак неравенства не меняем:

Решаем неравенство, прибавляя к каждой части неравенства 1:

Ответ:

ЛОГАРИФМЫ.

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени с, в которую нужно возвести основание а, чтоб получилось b:

a - основание, b - аргумент, c - показатель степени

Десятичный логарифм:

Натуральный логарифм: - экспонента.

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов

Логарифмическое уравнение.

Уравнение, которое содержит х под знаком логарифма называют логарифмическим.

Чтобы решить данное уравнение, заменяем b на логарифм по тому же основанию, т.е. . Отбрасываем одинаковые логарифмы и переходим к аргументам, получаем следующее уравнение: . Из этого уравнения находим х. Учитываем ОДЗ: подлогарифмическое выражение, содержащее х должно быть больше нуля (по определению логарифма), т.е. решаем неравенство: f(x)>0. Решив неравенство, проверяем, удовлетворяют ли корни этому неравенству.

Если в правой, левой или обоих частях уравнения стоит сумма (разность) логарифмов, то их нужно сложить (вычесть), пользуясь правилами 3,4,5, так, чтобы слева и справа осталось по одному логарифму. А затем их отбросить.

Пример:

Сделаем из числа 2 логарифм по основанию 2:

Пользуясь правилом 3. складываем логарифмы:

Отбрасываем логарифмы:

Решаем линейное уравнение:

Находим ОДЗ:

Решаем это неравенство:

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: - удовлетворяет, а значит является корнем уравнения.

Ответ: х=8.

Логарифмическое неравенство.

Неравенство, которое содержит х под знаком логарифма называют логарифмическим.

Неравенство решаем так же, как логарифмическое уравнение. Чтобы решить данное неравенство, заменяем b на логарифм по тому же основанию, т.е. . Отбрасываем одинаковые логарифмы и переходим к аргументам. При переходе к аргументам следует учитывать основание а:

если а>0, то переходим к неравенству , решая это неравенство, находим x;

если 0<а<1, тогда при переходе к показателям следует поменять знак на противоположный, т.е. развернуть его, решая это неравенство, находим x;

Учитываем ОДЗ: подлогарифмическое выражение, содержащее х должно быть больше нуля, т.е. решаем неравенство: f(x)>0. Решение неравенства и ОДЗ пересекаем и общее решение этих неравенств выписываем в ответ.

Если в правой, левой или обоих частях уравнения стоит сумма (разность) логарифмов, то их нужно сложить (вычесть), пользуясь правилами 3,4,5, так, чтобы слева и справа осталось по одному логарифму. А затем их отбросить.

Пример:

Сделаем из числа 2 логарифм по основанию 6:

Пользуясь правилом 5 перенесем множитель 3 в правой части неравенства в степень аргумента 2:

Пользуясь правилом 3. складываем логарифмы:

Отбрасываем логарифмы, учитывая, что основание 6>1, то знак неравенства не меняем:

Решаем линейное неравенство:

Находим ОДЗ:

Решаем это неравенство:

Пересекаем полученные неравенства:

58

Ответ: выписываем общую часть

СТЕРЕОМЕТРИЯ

Прямоугольный параллелепипед

a, b, c-измерения параллелепипеда (длина, ширина, высота)

a, b,с - измерения

(длина, ширина, высота)

d - диагональ

Куб Все ребра куба равны а

Призма

Пирамида

Цилиндр

Осевое сечение - прямоугольник

- длина окр.-

Конус.

Осевое сечение - равнобедренный треугольник.

Развертка конуса - сектор

Шар

В сечении - круг

Планиметрия

Треугольники

Произвольный треугольник (длины сторон, лежащих против вершин A, B и C, равны a, b, c соответственно; α , β , γ - величины углов A, B и C; p - полупериметр; R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; S - площадь; h_A - высота, проведенная из вершины A):

- теорема косинусов;

- теорема синусов.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник (a, b - катеты; c - гипотенуза; a_c, b_c - проекции катетов на гипотенузу; h_c - высота, опущенная из вершины прямого угла):

- теорема Пифагора.

Равносторонний (правильный) треугольник:

Параллелограмм (a и b - смежные стороны; a - угол между ними; h_a - высота, проведенная к стороне a):

Ромб

Прямоугольник:

Квадрат (d - диагональ):

Трапеция (a и b - основания; h - расстояние между ними; l - средняя линия):

Окружность, круг (r - радиус; c - длина окружности; S - площадь круга):

Сектор (l - длина дуги, ограничивающей сектор; n° - градусная мера соответствующего центрального угла; α - радианная мера центрального угла):