Методические указания к выполнению самостоятельных работ по дисциплине «Математика» для специальности 19. 02. 10 «Технология продукции общественного питания» (2 курс)

Государственное автономное образовательное учреждение

Мурманской области среднего профессионального образования

«Мурманский строительный колледж им. Н.Е. Момота»

Методические указания

к выполнению самостоятельных работ по дисциплине

«Математика»

для специальности

19.02.10 «Технология продукции общественного питания»

2015 г.

Методические указания к выполнению самостоятельных работ по дисциплине «Математика» разработаны на основе рабочей программы учебной дисциплины «Математика» по специальностям среднего профессионального образования 19.02.10 «Технология продукции общественного питания»

Организация-разработчик: ГАОУ МО СПО «Мурманский строительный колледж им. Н.Е. Момота»

Разработчики:

Кармановская Т.В., преподаватель ГАОУ МО СПО МСК им. Н. Е.Момота

Рассмотрены и одобрены

предметно-цикловой комиссией

«Естественнонаучные дисциплины»

Председатель _______ И.А. Егорова

Протокол № _____

от «___» _______________ 2015 года.

Рецензент:

Пояснительная записка

По учебному плану в соответствии с рабочей программой на изучение дисциплины обучающимися предусмотрено 24 часа самостоятельной работы. В методические указания включены темы курса. Каждая тема включает в себя теоретический материал, краткие сведения практических заданий.

Самостоятельная работа обучающихся

Объем самостоятельной работы обучающихся определяется государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования (ФГОС СПО) обучающихся по программам общего образования.

Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы является обязательной для каждого обучающегося, её объём в часах определяется действующим рабочим учебным планом.

Самостоятельная внеаудиторная работа по математике проводится с целью:

- систематизации и закрепления полученных теоретических знаний обучающихся;

- углубления и расширения теоретических знаний;

- развития познавательных способностей и активности обучающихся, самостоятельности, ответственности и организованности;

- формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.

Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется обучающимися по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. По математике используются следующие виды заданий для внеаудиторной самостоятельной работы:

- для овладения знаниями: чтение текста (учебника, дополнительной литературы), работа со словарями и справочниками, учебно-исследовательская работа, использование аудио- и видеозаписей, компьютерной техники и Интернета;

- для закрепления и систематизации знаний: повторная работа над учебным материалом (учебника, дополнительной литературы, аудио- и видеозаписей), составление плана и алгоритма решения, составление таблиц для систематизации учебного материала, ответы на контрольные вопросы, подготовка сообщений к выступлению на уроке, конференции, подготовка сообщений, докладов, рефератов, тематических кроссвордов;

- для формирования умений: выполнение схем, анализ карт, подготовка к деловым играм.

Требования к оформлению самостоятельных работ

Каждая тема оформляется в виде реферата, как на листах формата А 4, так и тетради в клетку. Обучающийся сам выбирает форму оформления.

Структура содержания реферата:

1. Титульный лист.

2. Содержание.

3. Используемая литература.

В каждой теме должна быть раскрыта теоретическая часть и представлены практические задания. В теоретической части должна прослеживаться последовательность излагаемого материала. Необходимые графики и рисунки изображаются карандашом и линейкой с соблюдением соответствующего масштаба. Практические задания должны быть представлены с подробным решением.

Раздел: «Теория пределов»

Тема: «Исследование функции на непрерывность»

Цель: раскрыть понятия непрерывности функции, точки разрыва, точек разрыва 1-го и 2-го рода, алгоритм исследования функции на непрерывность.

Функция называется непрерывной в точке , если:

1) функция определена в некоторой окрестности точки ;

2) существует конечный предел

3) этот предел совпадает со значением функции в точке , т.е.

Если функция не является непрерывной в точке , но она определена в окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки ), то называется точкой разрыва функции.

Для определения типа разрыва в точке находят односторонние пределы и . При этом, если оба односторонних предела конечны в точке , то эта точка называется точкой разрыва первого рода. Если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Раздел: «Неопределенный и определенный интеграл»

Тема: «Решение прикладных задач определенного интеграла»

Цель: привести примеры физических и технических задач, которые можно решать с помощью определенного интеграла.

Вычисление объемов тел вращения

Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью OX и прямыми , (рис. 5), то его объем вычисляется по формуле:

Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 2).

Чтобы получить объем тела вращения из объема тела, полученного вращением фигуры ОАВС, вычтем объем тела, полученного вращением фигуры ОАВ. Тогда искомый объем . По формуле найдем и :

(ед. объема);

(ед. объема);

(ед. объема).

Раздел: «Множества и отношения»

Тема: «Теория графов»

Цель: ввести понятие графа, основные свойства графов. Теория графов.

Такая структура, как граф (в качестве синонима используется также термин "сеть"), имеет самые различные применения в математике, информатике и в смежных прикладных областях, поэтому познакомимся с основными понятиями теории графов.

Граф G = (V, Е) задается парой конечных множеств V и Е. Элементы первого множества v1, v2,..., vM называются вершинами графа (при графическом представлении им соответствуют точки). Элементы второго множества e1, e2, ..., eN называют ребрами. Каждое ребро определяется парой вершин (при графическом представлении ребро соединяет две вершины графа). Если ребра графа определяются упорядоченными парами вершин, то такой граф называют ориентированным (на чертеже при изображении ориентированного графа на каждом ребре ставят стрелку, указывающую его направление). Ориентированный граф с пятью вершинами и семью ребрами изображен на рисунке:

0

1

2

3

4

e7

e1

e2

e5

e6

e4

e3

Если две вершины соединены двумя или более ребрами, то эти ребра называют параллельными (например, ребра е4 и е5). Если начало и конец ребра совпадают, то такое ребро называется петлей (например, ребро е7). Граф без петель и параллельных ребер называется простым.

Если ребро ek определяется вершинами vi и vj (будем обозначать этот факт следующим образом: ek = (vi, vj), то говорят, что ребро ek инцидентно вершинам vi и vj. Две вершины vi и vj называются смежными, если в графе существует ребро (vi, vj).

Последовательность вершин vi1, vi2, .... vik, таких, что каждая пара (yi,(j-1), vij) при 1 < j k определяет ребро, называется маршрутом в графе G. Вершины vi1 и vik называют концевыми вершинами маршрута, все остальные входящие в него вершины - внутренними.

Маршрут, в котором все определяемые им ребра различны, называют цепью. Цепь считают замкнутой, если ее концевые вершины совпадают. Замкнутая цепь, в которой все вершины (за исключением концевых) различны, называется циклом. Незамкнутая цепь, в которой все вершины различны, носит название путь. Если в ориентированном графе существует путь из vi в vj, то говорят, что вершина vj достижима из вершины vi.

Две вершины vi и vj называют связанными в графе G, если в нем существует путь, для которого эти вершины являются концевыми. Граф G называется связным, если каждые две вершины в нем являются связанными. На рис. 1.7 изображен простой неориентированный связный граф.

Последовательность вершин v1, v5, v4, v3 , например, определяет путь, а последовательность вершин v1, v5, v4, v3, v1 - цикл. Деревом будем называть неориентированный связный граф без циклов. Лес - это любой граф без циклов. На рис. 1.8 показаны возможные деревья с пятью вершинами.

Анализ приведенных здесь понятий и определений показывает, что в качестве моделей графы удобно использовать в тех случаях, когда рассматривается система каких-либо объектов, между которыми существуют определенные связи, отношения, когда изучается структура системы, возможности ее функционирования.

Раздел: «Множества и отношения»

Тема: «Отношения и свойства над ними»

Цель: раскрыть понятие отношений, свойства над отношениями.

Бинарным отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения ХХ.

Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.

R рефлексивно на Х хRх для хХ.

Например: 1) отношение равенства

2) отношение "кратно" на N

3. отношение подобия треугольников

Отношение перпендикулярности не рефлексивно, т.к. отрезок не перпендикулярен сам себе.

Отношение R на множестве Х называется симметричным, если выполняются условия : из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у находится в отношении R с элементом Х

На графе это

R симметрична на Х (хRууRх)

Например, симметричными будут следующие отношения:

• отношение параллельности на множестве прямых.

• отношение подобия треугольников

Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества Х выполнено условие: из того, что х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R c элементом х не находится

R антисимметрично на Х <=> (хRу х уRх)

Например, антисимметричными будут следующие отношения: длиннее, больше, больше на

Отношением R на множестве Х называется транзитивным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом Z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом Z.

R транзитивно на Х (хRу уRzxRz)

Например, АВ=2см., АС=3см., и ДК=4см. Отношение "меньше".

Если АВ<АС и АС<ДК, то АВ<ДК

Раздел: «Ряды»

Тема: «Ряды»

Цель: понятие числового ряда, сходимость и расходимость числовых рядов, необходимый признак сходимости ряда, признак сравнения рядов, признак Даламбера, понятие знакочередующегося ряда, признак сходимости Лейбница, функциональные ряды, степенные ряды, область сходимости степенного ряда.

Числовым рядом называется выражение вида

,

где u₁, u₂, u₃,…, u_n,… - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда. u_n - общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда .

Сумма первых n членов ряда называется n-ной частичной суммой ряда и обозначается S_n.

Предел последовательности частичных сумм ряда при , если он существует, называется суммой ряда, т.е.

Если существует, то ряд (61) сходится. В противном случае ряд (61) расходится.

Необходимый признак сходимости

Если ряд сходится, то его общий член при стремится к нулю, т.е. .

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Знакоположительным называется ряд с неотрицательными членами.

Первый признак сравнения.

Пусть даны два ряда с положительными членами:

и

,

причем , Тогда если сходится ряд (64), то сходится и ряд (63); если расходится ряд (63), то расходится и ряд (64).

Второй признак сравнения (в предельной форме).

Пусть для рядов существует предел

.

Тогда если , то либо оба ряда сходятся, либо расходятся одновременно; если и ряд сходится, то сходится и ряд. Если же и ряд расходится, то расходится и ряд.

Стандартные ряды, применяемые для признаков сравнения:

Гармонический ряд: - расходится.

Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле): расходится при и сходится при .

Ряд геометрической прогрессии при сходится, при расходится.

Признак Даламбера.

Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел

,

то этот ряд сходится при и расходится при .

При признак Даламбера не дает однозначного ответа о сходимости.

Знакочередующиеся ряды, их абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если он содержит как положительные, так и отрицательные члены, которые следуют друг за другом поочередно.

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, и общий член ряда по модулю стремится к нулю.

Для сходимости знакочередующегося ряда достаточно выполнения двух условий:

1) ;

2) .

При этом, если ряд (67) сходится по признаку Лейбница и сходится ряд, составленный и модулей его членов

,

то говорят, что ряд (67) сходится абсолютно. Если же ряд (68) расходится, то ряд сходится условно (может как сходиться, так и расходиться).

Функциональные ряды.

Ряд, членами которого являются функции от , называется функциональным:

,

Значение , при котором ряд (69) сходится, т.е. сходится числовой ряд , называется точкой сходимости функционального ряда.

Множество значений аргумента , при которых функции определены, и ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Функция называется остатком функционального ряда.

Степенные ряды. Радиус и область и сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

,

где a, A₀, A₁, A₂, …, A_n, … - действительные числа. Частный случай степенного ряда при :

.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (14) сходится при , то он сходится, причем абсолютно, при любом x, удовлетворяющем неравенству

Если же ряд (14) расходится при , то он расходится и при любом x, удовлетворяющем неравенству

Из теоремы Абеля следует, что существует симметричный интервал абсолютной сходимости степенного ряда относительно точки , которая называется центром сходимости. Половина длины интервала называется радиусом сходимости и обозначается R.

Радиус сходимости R может принимать значения . Сходимость ряда в точках и исследуется дополнительно и добавляется к интервалу, образуя область сходимости.

Радиус сходимости находится по формуле

Или при применении радикального признака Коши:

Раздел: «Дифференциальные уравнения»

Тема: «Дифференциальные уравнения»

Цель: понятие дифференциального уравнения, порядка дифференциального уравнения, общего и частного решения дифференциального уравнения, виды дифференциальных уравнений, дифференциальные уравнения в частных производных.

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида

где x - независимая переменная, y - неизвестная функция этой переменной, - ее первая производная.

Если уравнение можно разрешить относительно , то его записывают .

Решением дифференциального уравнения называется функция - первообразная для функции , которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка записывается в виде , где С - произвольная постоянная.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию, называется задачей Коши. Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀, нужно в общее решение уравнения подставить x = x₀, y = y₀ и из полученного уравнения найти C, затем найденное значение C подставить в общее решение.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида

или

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для того, чтобы решить уравнение, нужно разделить переменные x и y, т.е. собрать в левой и правой его частях функции, зависящие только от одной переменной.

Заменим производную на и разделим переменные. Получим:

Решение этого уравнения находим почленным интегрированием левой и правой частей:

где С = С₂ - С₁.

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Дифференциальное уравнение вида

где p(x), q(x) - заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Для решения уравнения воспользуемся способом подстановки. Будем искать неизвестную функцию y в виде y = u(x)v(x). Тогда Подставим значения y и в уравнение (45):

Выберем v(x) так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е.

,

тогда получится уравнение

Оба уравнения являются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Общее решение исходного уравнения запишется как произведение частного решения уравнения и общего решения уравнения:

Дифференциальные уравнения 2-го порядка

Дифференциальным уравнением 2-го порядка называется уравнение вида

где х - независимая переменная, y - неизвестная функция этой переменной, и - ее производные.

Общее решение уравнения 2-го порядка имеет вид:

y = g(x, C₁, C₂),

где С₁ и С₂ - две произвольные постоянные.

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение

где p и q - вещественные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения имеет вид: ,

где у₁ и у₂ - два линейно независимых частных решения этого уравнения, С₁ и С₂ - произвольные постоянные.

Для нахождения линейно независимых частных решений у₁ и у₂ используется характеристическое уравнение вида

.

В зависимости от корней характеристического уравнения получаются различные виды функций у₁ и у₂ и вид общего решения уравнения (таблица 6).

Таблица

Дискриминант

характеристического уравнения

Корни характеристического уравнения

Вид общего решения уравнения

действительные

различные

действительные

равные

комплексные

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения

при

Решение: Проинтегрируем обе части дифференциального уравнения

,

- общее решение дифференциального уравнения,

Подставим вместо x и y заданные значения

,

подставим в общее решение дифференциального уравнения, получим , выразим переменную y, получим следующее

, разделим обе части на 2

, избавимся от корня, возведем обе части в квадрат

- частное решение дифференциального уравнения.

Пример.

, подставим в исходное уравнение раскроем скобки

приводя подобные слагаемые получим следующее

, разделим обе части на и проинтегрируем обе части уравнения, получим

,

, подставим в исходную подстановку, получим

Рекомендуемая литература

1. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика. - М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2011

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - М: Издательский центр «Академия», 2011

3. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009

4. Дадаян, А.А., Математика. - М.: ФОРУМ: ИНФРА, 2007.

5. Дадаян, А.А., Сборник задач по математике. - М.: ФОРУМ: ИНФРА, 2007.

Интернет ресурсы:

1. festival.1september.ru/

2. fepo.ru

3. mathematics.ru