Работу выполнила ученица 10 «Б» класса

МБОУ «СОШ им.М.М.Рудченко с. Перелюб Перелюбского муниципального района Саратовской области»

Гуляева Мария.

Руководитель: Серова Галина Сергеевна.

Золотое сечение

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) - соотношение двух величин, равное соотношению их суммы к большей из данных величин. Приблизительная величина золотого сечения равна 1,6180339887. В процентном округлённом значении - это деление величины на 62 % и 38 % соответственно.

С математической точки зрения, отношение большей части к меньшей в золотом сечении выражается квадратичной иррациональностью

и, наоборот, отношение меньшей части к большей.

Число ФИ- называется также золотым числом.

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, называл это отношение «божественной пропорцией». Термин «золотое сечение» (goldener Schnitt) был введён в обиход Мартином Омом в 1835 году.

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но кроме того ему приписывают и многие вымышленные свойства

Золотое сечение и гармония в искусстве

Под «правилом золотого сечения» в архитектуре и искусстве обычно понимаются композиции, содержащие пропорции, близкие к золотому сечению.

Некоторые из утверждений в доказательство гипотезы знания древними правила золотого сечения:

• Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.

• Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.

При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов - например, 4:3 или 16:9) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми»

Соотношение длин частей человеческого тела, которому также часто приписывают пропорции «золотого сечения», в большинстве случаев отличаются от такового.

Примеры сознательного использования

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения». Российский зодчий Жолтовский использовал золотое сечение в своих проектах^[4]. Также золотое сечение применялось при строительстве пирамиды Хеопса в древнем Египте.

Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилу золотого сечения, разбив ленту на пять частей (в первых трёх действие развивается на корабле, в двух последних - в Одессе), где переход в город происходит точно в точке золотого сечения.

Геометрия плана гробницы фараона Древнего Египта Менеса построена с использованием пропорции, которую мы сейчас связываем с золотым сечением.

Метод золотого сечения

Метод золотого сечения - метод поиска экстремума действительной функции одной переменной на заданном отрезке. В основе метода лежит принцип деления отрезка в пропорциях золотого сечения. Является одним из простейших вычислительных методов решения задач оптимизации. Впервые представлен Джеком Кифером в 1953 году.

Алгоритм

1. На первой итерации заданный отрезок делится двумя симметричными относительно его центра точками и рассчитываются значения в этих точках.

2. После чего тот из концов отрезка, к которому среди двух вновь поставленных точек ближе оказалась та, значение в которой максимально (для случая поиска минимума), отбрасывают.

3. На следующей итерации в силу показанного выше свойства золотого сечения уже надо искать всего одну новую точку.

4. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

Пентаграмма

Пентагра́мма (пентальфа, пентагерон; греч. πεντάγραμμον от πέντε - «пять» и γράμμα - «черта, линия») - фигура, полученная соединением вершин правильного пятиугольника через одну; фигура, образованная совокупностью всех диагоналей правильного пятиугольника.

Пентаграмма - правильный пятиугольник, стороны которого продлены до точек пересечения, и образуют равнобедренные треугольники на его гранях, то есть - звёздчатая форма правильного пятиугольника.

История

Первые известные изображения пентаграммы датируются примерно 3500 г. до н. э., это нарисованные на глине пятиконечные звёзды, найденные в развалинах древнего города Урука. Изображения пентаграмм встречаются и на египетских статуях. Как сообщает в своей «Новой Энциклопедии Франк-масонства» Артур Уэйт, египтяне называли пентаграмму «звездой псоглавогоАнубиса».

Пентаграмма была широко известна как оберегающий от всякого зла знак; вера в её оберегающие свойства была столь глубока, что в Древнем Вавилоне её изображали на дверях магазинов и складов, чтобы уберечь товары от порчи и кражи. Она также для посвящённых являлась могущественным знаком власти. Так в том же Вавилоне, например, этот знак часто встречается на царских печатях, и, по мнению современных учёных^[1], она олицетворяла собой «власть правителя, распространявшуюся на все четыре стороны света». По другой версии, самые древние обозначения пентаграммы символизировали богиню Иштар и загробный мир Дуат^[2].

У евреев пентаграмма ассоциировалась с их священным Пятикнижием, полученным Моисеем от Бога. Древние греки называли пентаграмму Пентальфа, что означает «пять букв альфа», поскольку символ может быть разложен на альфу пять раз. Для ранних христиан пентаграмма была напоминанием о пяти ранах Христа: от тернового венка на лбу, до гвоздей в руках и ногах.

Пентаграмма встречается на печатях Александра Македонского^[3].

Пентаграмму, по словам Агриппы (XV век), использовали пифагорейцы^[4] в качестве отличительного знака принадлежности к их сообществу. Они учили, что мир состоит из пяти взаимосвязанных элементов (Огня, Воды,Воздуха, Земли и Эфира). Для отражения этой доктрины вокруг пентаграммы изображались пять букв:

• ύ - ύδωρ (самый верхний), символизирующая воду;

• Γ - Γαια (левый верхний), символизирующая землю;

• ί - ίδέα (правый нижний), символизирующая идею, или дух по другой версии - ίερόν (храм);

• έ - έιλή (верхний правый угол), символизирующая огонь;

• ά - άήρ (нижний левый угол), символизирующая воздух.

Пентаграмма встречается также на талисманах гностиков, как символ интеллектуального всемогущества.

По версии известного исследователя Каббалы Гершома Шолема, магисредневековой Европы узнали о пентаграмме под именем «печати царя Соломона» из арабских манускриптов.

Пентаграмма и Золотое сечение

Пифагор утверждал, что пентаграмма, или, как он её называл, гигиея (в честь греческой богини здоровья Гигиеи) представляет собой математическое совершенство, так как скрывает в себе золотое сечение (φ = (1+√5)/2 = 1,618…). Если разделить длину любого цветного сегмента пентакла на длину самого длинного из оставшихся меньших сегментов, то будет получено золотое сечение, которое в свою очередь пересекает параллельно направленную нить (φ).

Золотое сечение в нашем мире.

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя.

Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах - рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Гете называл спираль "кривой жизни". Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Паук плетет паутину спиралеобразно.

1. Величины отростков и лепестков цикория подчинены правилу золотой пропорции

2. Золотая пропорция в теле ящерицы - длина хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38

3. У многих бабочек узоры на крыльях, соотношение размеров грудной и брюшной части тела соответствуют золотой пропорции

4. Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем числа "правых "и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи.

5. Рога и бивни животных развиваются в форме спирали.
Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.

Математическая эстетика
Цейзинга

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что пропорции золотого сечения проявляются в отношении частей тела человека - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения.

Золотое сечение в живописи и архитектуре.

1. На живописном полотне существуют четыре точки повышенного внимания. Зрительные центры расположены на расстоянии 3/8 и 5/8 от краев любой картины и фотографии.

2. Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на"золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

3. Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании Собора Парижской Богоматери «Нотр - Дам де Пари»

4. Золотое сечение в архитектуре России.

Выводы

• Понятие «золотое сечение» не изучается в школьном курсе математики, а рассматривается как гуманитарный фон в историческом развитии математики.

• В данной работе рассмотрены способы нахождения «Золотого сечения», изложены примеры золотой пропорции в природе и теле человека, в архитектуре зданий родного города и школы, в расположении зрительных центров на фотографиях, рисунках учащихся, в дизайне школьных клумб.

• При общении с проектировщиками и строителями узнали, что при строительстве зданий используются другие формулы. Но мы видим в современной архитектуре гармоничные и красивые сооружения, пропорции которых совпадают с коэффициентом золотого сечения.

• В своей работе хотели продемонстрировать красоту и широту «Золотого сечения» в реальной жизни. Проведенные исследования доказали, что многое в окружающей природе подчиняется правилу золотого сечения.