- Преподавателю
- Математика
- Решение тригонометрических уравнений в 10 классе
Решение тригонометрических уравнений в 10 классе
| Раздел | Математика |
| Класс | 10 класс |
| Тип | Конспекты |
| Автор | Калиниченко М.Г. |
| Дата | 10.07.2015 |
| Формат | docx |
| Изображения | Есть |
Элементы модульных уроков в 10 классе
Модульная педагогическая технология конструируется на основе ряда целей.
Важнейшая из них-создание комфортного темпа работы для каждого ученика.
Каждый ученик получает шанс определить свои возможности в учении и приспособиться к тем уровням изучения материала, которые предложены.
Самым главным отличием технологии является применение принципов планирования совместной деятельности учителя и ученика.
Процесс такого планирования:
-
Определение целей для учеников, т. е. устанавливается, кто хочет знать не более того, что требуется госстандартом, а кто готов заниматься более, поскольку планирует поступать в ВУЗ или просто получить высокую оценку.
-
После того как учащиеся определить своими целями, учитель выстраивает свое целеполагание, определяя содержание и объем педагогической помощи учащимся.
Исходя из целей проектируется итоговая диагностика. Она создается с учетом уровневой дифференциации, что позволяет осознанно определить тот минимум знаний, который необходим для получения оценок, определяемых желанием каждого ученика.
На основе целеполагания и планируемой итоговой диагностики отбирается предметное содержание (объяснения и задания из учебника, из дидактических материалов и т. д.)
На основе отобранного содержания выстраивается логика изучения темы ( поурочное планирование). Определяется время и место промежуточной и итоговой диагностик и учебной коррекции. Для каждого урока определяются микро цели и приемы обратной связи; создаются опорные конспекты и задания к уроку.
В результате описанного процесса учитель создает:
-логическую структуру уроков с промежуточной диагностикой;
-разно уровневые материалы для диагностики знаний учеников;
-дидактический материал ко всем урокам.
Модульная педагогическая технология помогает осуществить индивидуальный подход к ученику, включить каждого в осознанную учебную деятельность, мотивировать его, формировать навыки самообучения и самоорганизации, обеспечивая тем самым постепенный переход от пассивно воспринимающей позиции ученика к его сотрудничеству с учителем.
Тема : Решение тригонометрических уравнений
Урок №1 Учебный элемент №1
Простейшие тригонометрические уравнения
Цель: Формировать навыки решения простейших тригонометрических уравнений по заданному алгоритму.
Ученик должен знать: общий вид уравнений 
,
, 
, ctgх=а осознанно выбирая формулы для их решения.
Ход урока.
Решение любого тригонометрического уравнения сводится к решению простейшего уравнения.
Схема:
Если │а│
, то уравнение решений не имеет, если │а│
, то
Х=
Z
Частные случаи:
а) sinх=1, то х=
+ 2πn, где n
б) sinх=0, то х=πn, где n
Ζ
в) sinх=-1, то х=-+ 2πn, где n
arcsin(-a)=arcsina х= 
arcsina+πn, n
Если 
, то уравнение решений не имеет, если 
, то
Х=
Частные случаи:
а) cosх=1, то х=2πn , n
б) cosх=0 , то х=+ πn, n
в) cosх=-1, то х= π+2πn, n
αrcos (-a)=π- arcosa х=
tg=a a
х=arctgа+πn, где n
arctg(-a)=-arctga х=-arctga+πn , n
ctgx=a a
х=arcсtga+
ctgx=-a
arcсtg(-a)=
; то х=
arctgа+πn, где n
Примеры: а) 2 
=1
Х=(-1)arcsin
+πк , где к
Х=
+ πк , где к
ОТВЕТ: Х= + πк , где к
б) tgx=
x=arctg+πn, где n
x=
+πn, где n
ОТВЕТ: x=+πn, где n
Замечания:
Уравнения вида 
tg
, с
=а так же являются простейшими, их нужно решать сначала относительно 
, а далее относительно х.
а) 
= + πк , где к
Х=
+ 2πк , где к
ОТВЕТ: Х= + 2πк , где к
б) 
)=1
х+=2πк, где к
х=-+2πк, где к
ОТВЕТ: х=-+2πк, где к
в) tg(2х-
)=
(2х-)=
+πn, где nZ
2х=
+ πn, где nZ
Х=
+
, где nZ
ОТВЕТ: Х=+, где nZ
г) 
- 5х)=
в силу четности 
, записываем
+ 5х)=
+ 5х=±(π-)+ 2πк, где к
+ 5х=±
π+2πк, где к
5х=±π+2πк - , где к
Х==±
π+
πк -
, где к
ОТВЕТ: Х==±π+πк - , где к
Д.З :на усмотрение учителя
Урок №2 Учебный элемент №2
Тригонометрические уравнения. Метод сведения к квадратному.
Цель:
Формировать умения решать тригонометрические уравнения приведением к квадратному уравнению.
Закрепить и сделать промежуточную диагностику учеников по простейшим тригонометрическим уравнениям.
Ход урока:
Раздаются карточки для промежуточной диагностики. У каждого ученика в контрольную тетрадь вложена карточка(см. приложения).
По окончании времени проводиться самопроверка и сдается для окончательной проверке учителем. Учащиеся выполняют задания верно, то проставляется сразу балл в графу «оценка за 1 элемент» модуля. Те ученики, которые не справились с заданием или сделали ошибки закончат полное решение на уроке , выполняя задания соседнего варианта на уроке закрепления материала, при подготовке к тематической контрольной работе где будет предложен 5элемент для сильных ребят. До окончательной диагностики по теме каждый из учеников должен усвоить простейшие методы решения тригонометрических уравнений и получить накопительную оценку по теме.
ЭЛЕМЕНТ №1, время выполнения 10 минут
Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.
Решите уравнения :
1 вариант
2 вариант
cos x= ½ (1 балл)
sin x= -1/2 (1 балл)
sin x= -
(1 балл)
cos x= (1 балл)
tg x= 1 (1 балл)
ctg x= -1 (1 балл)
cos(x+
)= 0 (2 балл)
sin(x-)= 0 (2 балла)
2cos x= 1 (1 балл)
4sin x= 2 (1 балл)
3tg x= 0 (1 балл)
cos 4x= 0 (2 балла)
sin 4x=1 (2 балла)
5tg x= 0 (1 балл)
Новый материал: Учитель с учениками делают конспект-эталон для решения уравнений второго элемента модуля.
Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, чтобы пользуясь изученными формулами (см урок №1)нужно преобразовать уравнения к такому виду, чтобы какую-то функцию sinx, cosx, tgx, ctgx или их комбинацию обозначить через переменную , а полученное при этом квадратное уравнение решить.
asin²x+bcosx=0 ; sinx=t; sin²=1 - cos²x
acos²x+bsinx=0 ; cosx=t ; cos²x=1 - sin²x
Пример: №1 Решить уравнение 4 - 
.
Решение: Вместо 
подставим тождественное ему выражение 
Тогда исходное уравнение примет вид
Если ввести y = sin x , получим квадратное уравнение
Оно имеет корни 1 и 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
Sin x = 1 или sin x = 3.
Уравнение sin x = 1 имеет решение x = 
n, n
.
Уравнение sin x = 3 решений не имеет.
Ответ: 
№2 3cos²
- cos - 2=0
Замена:
cos=t │t│≤1
3t²-t-2=0
D=25 ; t= - ; t=1
Обратная замена:
cos=1 или cos=-
=2n, n =
(π-arccos) +2к, к.
Х=4n , n х=
(π-arccos) +4к, к.
ОТВЕТ: 4n , n ; (π-arccos) +4к, к.
Решение упражнений: а) cos2x+3sinx=2; используя формулы двойного угла
б) tg²x - (1+)tgx+ =0
Д.З. конспект, 1) tg²2x - 4 tg2x+3=0
2) 6sin²x + 5cosx-7=0
Урок №3 Учебный элемент №3
Тригонометрические уравнения. Метод разложения на множители.
Цель : Формировать навыки решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.
Проводиться диагностика элемента №2, время работы 10 минут, условия самопроверки и проставления баллов ученики уже знают.
1 вариант
2 вариант
(2 балла)
Новый материал:
Составляется конспект-эталон.
Уравнения типа asin²x+ bsin 2x=0 можно решить при помощи разложения на множители (привести к одному аргументу).
Каждый множитель приравниваем к нулю. Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде совокупности более простых уравнений. Одним из самых популярных является способ вынесения за скобки общего множителя, применение формул сокращенного умножения.
Пример. Решить уравнение
.
Решение. Сначала сгруппируем первый член с третьим, а cos2x представим в виде 
.
Из выражения, стоящего в первых скобках, вынесем sin x, а в выражении, стоящем во вторых скобках, вместо запишем 
. Уравнение примет вид
Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
Ответ:
Примеры: а) cosx(3tgx - 5)=-
б) 4sinx+sin2x=0
в) Cos3x+cοs5x=0
Д.З. конспект, 1) sin(4x - 
=-
2) 3cos²
- cos - 2 =0
3) sin3x+cos7x=0
Урок №4
Однородные тригонометрические уравнения и к ним сводящиеся
Цель: Формировать умения решать однородные уравнения.
Проводиться диагностика решения уравнений учебного элемента №3, после самопроверки выставляются баллы в карточки учащихся.
Задания для самостоятельной работы. Решить уравнения.
1 вариант
2 вариант
(2 балла)
(2 балла)
(3 балла)
(3 балла)
Новый материал:
Однородные уравнения первой степени asinx+bcosx=0 или однородные второй степени asin²x+bcosxsinx +cos²x=0 приводятся к виду atgx+b=0 atg²x+btgx+c=0.
Покажем как решать однородное уравнение 1-й степени, т.е.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Поделим обе части уравнения на cos x или sin x. Но предварительно надо доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль. Предположим, что cos x=0. Тогда 5sin x-2∙0=0 
sin x=0. Получается, что если sin x=0, то и cos x=0 , чего быть не может ввиду равенства 
.
Значит можно поделить уравнение на cos x: 
Получим уравнение 5tg x-2=0. Отсюда 
.
Решение однородных уравнений вида 
начинается с того, что обе части уравнения делят на cos²x или sin²x
Пример 2. 
.
Решение. Данное уравнение не является однородным. Но его можно превратить в однородное, заменив 3sin2x на 6sin x cos x и число 2 на 
.
Приведя подобные слагаемые, получим уравнение
. Аналогично решению примера 1, докажем, что cos x
0 .
Тогда можно обе части уравнения поделить на . Получим
или 
. Отсюда
.
ОТВЕТ :
ПРИМЕРЫ:
-
3sin²x+
sin2x=2 -
4sin²x + 2cos2x=3
-
Sin2x+2cos2x=1
Д.З. конспект, примеры: 1) 4sin²x+sin2x=3 2) sin²x-0,5 sin2x=0
Урок №5
Решение тригонометрических уравнений
Цель : Закрепить навыки решения различных учебных элементов, скорректировать решение учебных элементов №1-4 . Подготовиться к тематической аттестации по данной теме
Проводиться диагностика решения уравнений учебного элемента №4, после самопроверки выставляются баллы в карточки учащихся.
1 вариант
2 вариант
(2 балла)
(2 балла)
(3 балла)
(3 балла)
Ученики прошли первый обязательный уровень решения тригонометрических уравнений. Теперь им необходимо самостоятельно выбрать метод решения уравнений. У слабоуспевающих учеников есть возможность провести решение уравнений из учебных элементов соседнего варианта в которых были сделаны ими ошибки . Дополнительные баллы после самопроверки выставляются в оценочный лист.
Решение примеров: 1) tgx-2ctgx+1=0 решение рассматривается на доске под руководством учителя
tgx-
+1=0 ОДЗ:
tg²x-2+tgx=0 cosx≠0 x≠+πk k
tgx=t sinx≠0 x≠2πn n
t²+t-2=0
D=9 t=-2; t=1
Обратная замена: tgx=-2 tgx=1
x=-arctg2+πl; l
x=+πm ; m
С учетом ОДЗ ОТВЕТ: x=-arctg2+πl; l x=+πm ; m
РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ С КОНСУЛЬТАЦИЕЙ УЧИТЕЛЯ сильными учениками и проведение коррекции учебных элементов №1-4 слабыми учениками.
-
1-cosx=2sin²
2б - sin²x+sin2xcosx=0 2б
-
2ctgx-3tgx+5 2б
-
2sinxcosx+
-2cosx-sinx=0 3б
Тематическая аттестация по теме: «Решение тригонометрических уравнений»
Учебный элемент №5 Самостоятельный выбор метода
Слабые ученики могут продолжить решение элементов №1-4 с накоплением коррекционных балов.
1 вариант
2 вариант
cos2x+3sin x=2
sin2x-cos2x=0
cos x cos2x=1
Учебный элемент №6
-
sin6x+cos6x=1-2sin3x (2 )
-
-
-
-
sin x(sin x+cos x)=1
-
В случае затруднений воспользуйтесь подсказками.
-
Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin6 x, сos 6x.
-
Обозначьте x-2=t , решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы
. -
Сгруппируйте первое и третье слагаемые, примените разложение на множители.
-
Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin4x, cos4x, формулой понижения степени
. -
Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.
-
Приведите дроби к общему знаменателю. А затем используйте основное тригонометрическое тождество
, сведите к квадратному.
Приложение 1. Оценочный лист учащегося.
Фамилия
Имя
УЭ
К-во баллов за основные задания
Корректирующие задания
Общее к-во баллов за этап
№1
№2
№3
№4
№5
№6
Итоговое количество баллов n баллов
Оценка
Приложение 2. Анализ работ учащихся.
В классе ____ учеников.
Писали работу ____ ученика.
Получили оценку
«5»
«4»
«3»
«2»
Уровень успешности -
Уровень обученности -
Основные ошибки.
-
Ошибки вычислительные.
-
Незнание тригонометрических формул.
-
Незнание области определения тригонометрических функций.
Таблица баллов:
«5» n≥42
«4» 30≤n≤41
«3» 20 ≤n≤29
«2» n≤19