Решение задач с рисунками по математике

»

Геометрия вокруг нас

Кемерово 2016

Введение

При изучении геометрии приходится доказывать много различных теорем, иногда их доказательства довольно трудны. Многие из нас задают себе вопрос: зачем все это нужно?

И это естественный вопрос, т.к. школьный учебник не дает полного ответа на этот вопрос. В связи с этим возникла необходимость исследовать реальные ситуации, которые могут быть разрешены с помощью геометрических знаний.

Самым важным и интересным является переход от текста задачи к математической модели. Это сводится к построению геометрического чертежа.

Решив соответствующую геометрическую задачу, следует снова вернуться к практической стороне исходной задачи и дать ответ на поставленный в ней вопрос. Именно так приходится поступать при решении практических задач на производстве, в технике, в науке.

Ситуация №1

От пункта А, расположенного на берегу, к пункту В, лежащему на острове, требуется провести телефонную связь. Как, не переплывая на остров, определить необходимое количество (длину) телефонного кабеля? (Пункты А и В расположены на берегах, а кабель прокладывается по дну реки, т. е. условно ищем длину отрезка АВ).

Математическая модель

Дано:

отрезок АВ

Найти: АВ

Решение:

Для того чтобы найти расстояние от точки А до недоступной точки В, надо провесить произвольную прямую АС, измерить углы ВСА и АСВ и, построив их по другую сторону от прямой АС, провесить прямые АD и CD.

AD=AB.

Ситуация №2

Если между точками А и В имеется препятствие, то расстояние АВ можно найти следующим образом. Выбрать точку С, из которой видны точки А и В, и провести прямые АС и ВС. Отложить СА₁₌СА_, СВ₁₌СВ.Расстояние А₁В₁ будет равно искомому расстоянию АВ. Докажите это.

Математическая модель

Дано:

СА₁₌СА, СВ₁₌СВ

Доказать:

А₁В₁₌АВ

A

Док-во:

СА₁₌СА по условию

СВ₁₌СВ по условию

Углы АСВ и В₁СА₁ вертикальные, значит они равны.

Тогда треугольники В₁СА₁ и АСВ равны по двум сторонам и углу между ними.

Т. к. треугольники равны, то А₁В₁=АВ.

Ситуация №3

Для определения расстояния от точки В до недоступной точки А провешивают произвольную прямую ВС, измеряют углы АВС и ВСА и, построив их по другую сторону от прямой ВС, провешивают прямые ВD и СD. Докажите что расстояние ВD равно искомому расстоянию АВ.

Математическая модель

Дано:

треугольники АВС и BCD.

Доказать:

ВD=АВ

Док-во:

Т. к. угол DBC ранен углу ABC,a угол АСВ равен углу BCD и есть общая сторона ВС, то треугольники АВС и BDC равны по двум сторонам и углу между ними.

Значит сторона AB равна BD.

Ситуация №4

Как измерить изображенный на доске угол, часть которого вместе с вершиной стерли.

Решение:

Для решения поставленной задачи проведем прямую, пересекающую остатки сторон. С помощью транспортира измерим образованные углы (меньшие, т.е.расположенные в сторону вершины). Учитывая, что сумма углов треугольника 180°, найдем неизвестный угол.

Ситуация №5

Угол между стропильными ногами черепичной крыши составляет 90^о. Вычислите высоту крыши, если расстояние между концами стропильных ног равно 12 м.

Математическая модель:

В

Дано:

треугольник АВС,

угол В = 90°, АС = 12

Найти:

высоту треугольника АВС.

А С

Решение:

Т.к. АВ=ВС, то треугольник АВС равнобедренный, откуда следует, что углы при основании равны по 45°. Если провести высоту в треугольнике АВС, то два получившихся треугольника тоже будут равнобедренными. Эта высота будет еще и медианой. Поэтому высота будет равна половине основания, т.е. 12 : 2 = 6см.

Ситуация №6

Как найти высоту дерева, имея прямоугольный треугольник с углом 30^о.

Решение:

Надо установить прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза занимала вертикальное положение, продолжение катета прошло через вершину дерева, а продолжение другого катета через основание дерева. Т. к. в прямоугольном треугольнике напротив угла 30^о катет равен половине гипотенузы, то надо измерить расстояние от основания дерева до конца треугольника и разделить на 2. Получится расстояние, равное высоте дерева.

Ситуация №7

От оконного стекла треугольной формы откололся один из его углов. Можно ли по сохранившейся части заказать стекольщику вырезать такое же оконное стекло? Какие следует снять размеры.

.

Решение:

Решение основывается на применении признака равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам

Надо измерить сторону, противоположную отколотой вершине и 2 угла прилегающих к ней. Затем заказать окно с этими данными. По первому признаку равенства треугольников эти два окна будут равны.

Заключение

В данной работе представлены решения практических задач с помощью геометрии.

В дальнейшем нам предстоит изучать более сложный геометрический материал. Все это люди придумали не из праздного любопытства. С помощью математики мы познаем окружающий мир, получаем возможность решать практические задачи с применением математических знаний.