Методический семинар в помощь учителям математики

Любителям геометрии известно достаточно много фактов«из жизни» биссектрисытреугольника.Сюда следует отнести:свойство биссектрисы, выражающеесяравенством(рис 1).То,что каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.Две знаменитые формулы:l2a=bc-xy иla=(см.рис.1) И даже несколько изысканную,но также весьма полезную формулуla=
Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Методический семинар в помощь учителям математики

Лемма о «дважды биссектрисе» треугольника

Любителям геометрии известно достаточно много фактов «из жизни» биссектрисы треугольника.Сюда следует отнести:свойство биссектрисы, выражающееся равенством Методический семинар в помощь учителям математики (рис 1).То,что каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.Две знаменитые формулы:l2a=bc-xy и la=Методический семинар в помощь учителям математики (см.рис.1) И даже несколько изысканную,но также весьма полезную формулу la =Методический семинар в помощь учителям математики

Методический семинар в помощь учителям математики

Все это так.Биссектриса-один из главных отрезков в геометрии треугольника.

Мы же сейчас поведем разговор о менее популярном,но чрезвычайно важном,необходимом свойстве биссектрисы.О том, что биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой,проведенной из вершины того же угла.Иными словами,la (биссектриса угла А)является биссектрисой угла ОАН1(рис.2)

Методический семинар в помощь учителям математики

После доказательства этого свойства (назовем его леммой о «дважды биссектрисе») постараемся аргументированно показать,насколько оно полезно при решении геометрических задач.

Лемма. Биссектриса lа треугольника АВС является также биссектрисой угла ОАН1 , где О- центр окружности,описанной около треугольника АВС,АН1 -его высота (рис.3)

Методический семинар в помощь учителям математики

Доказательство.Угол АОС является центральным, Методический семинар в помощь учителям математики.Но и <ВАН1=90°-<В(из треугольника ВАН1)Поскольку биссектриса la делит угол ВАС пополам,то отняв от равных углов САL1 и BAL1 равные части,мы вновь получим равные углы.Поэтому Методический семинар в помощь учителям математики.Лемма доказана.

Задача1.Дан треугольник АВС.Серединный перпендикуля к стороне ВС и продолжение биссектрисы la пересекаются в точке Q (рис 4) Докажите что точка Q лежит на окружности с центромО,описанной около треугольника АВС.

Свойство серединного перпендикуляра и биссектрисы.Продолжение биссектрисы пересекается с серединым перпендикуляром в точке,лежащей на окружности описанной около треугольника.

Методический семинар в помощь учителям математики

Доказательство.Проведем высоту АН1 и радиус ОА.Методический семинар в помощь учителям математики- как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых (АН1 OQ) Следовательно,треугольник АОQ-равнобедренный,причем ОQ=ОА=Rокр.А это и означает,что точка Q принадлежит окружности,описанной около треугольника АВС.

© 2010-2022