Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

В данной работе представлены практические работы для учащихся 2 курса специальности "Технология лесозаготовок".В работе есть задания для решения, методические рекомендации по их выполнению, критерии оценки. Всего практических работ 10. Темы практических работ:1.Предел функции. Решение задач.2.Производная, её приложения.3.Интеграл, методы интегрирования, приложения определенного интеграла.4.Дифференциальное исчисление: Простейшие дифференциальные уравнения.5.Решение дифференциальных уравнений.6...
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Департамент образования Вологодской области

Бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования Вологодской области

«Череповецкий лесомеханический техникум им. В.П. Чкалова»



Методические рекомендации для проведения практических работ по математике для обучающихся 2 курса.

Специальность: 250407 «Технология лесозаготовок»

Методические рекомендации составлены в соответствии с Федеральным образовательным стандартом по дисциплины « Математика» для данной специальности.


Разработал преподаватель

математики ЧЛМТ:

Березина М.С.

Череповец

2012 г.


Практические работы.

  1. Предел функции. Решение задач.

  2. Производная, её приложения.

  3. Интеграл, методы интегрирования, приложения определенного интеграла.

  4. Дифференциальное исчисление: Простейшие дифференциальные уравнения.

  5. Решение дифференциальных уравнений.

  6. Числовые ряды. Признаки сходимости.

  7. Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение функций в ряд Маклорена и Тейлора.

  8. Уравнение прямой. Уравнения кривых второго порядка.

  9. Решение задач в полярной системе координат.

  10. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Решение задач.

Часть практических работ оценивается на 3, 4 или 5, часть - идет на зачет. К каждой работе приведены методические рекомендации и образец выполнения наиболее сложных задач. Причем, в конце приведены приложения к некоторым работам, в которых освещены некоторые теоретические вопросы, приведены все необходимые формулы, а также указана литература, в которой данный материал разобран подробнее.

После изучения курса, студенты сдают подшивку из 10 практических работ.

Студент, пропустивший практическую работу по уважительной причине или без нее, должен восстановить ее на консультации.

На каждой работе студенту выдается карта, где он ставит вариант, выполняемой работы, дату и подпись. Преподаватель при проверке выставляет в карту, полученную студентом оценку.




ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1

ТЕМА: Предел функции. Вычисление пределов.

ЦЕЛЬ: Вычислить пределы функций, раскрыть неопределенности.

Перед вычислением пределов, ответить на теоретические вопросы:

  1. Записать определение предела функции.

  2. Перечислите теоремы о пределах (предел суммы, разности, частного, следствия) записать формулы.

  3. Перечислите виды неопределенностей, которые вы знаете.

  4. Записать замечательные пределы.

  5. Привести пример предела функции.

Параметры, используемые в работе:

k - число букв в фамилии студента, n - цифра в номере по списку в журнале, после 10 - последняя цифра (подгруппы).

Задания для решения на практической работе

А. Вычислить пределы:

1. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 2. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 3. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 4.Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс;

5. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 6.Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс; 7. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 8. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Б. Вычислить пределы:

1. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 2. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Работа состоит 10 заданий. Каждый предел оценивается в 1 балл. На оценку «3» нужно набрать 8 баллов (часть А), на оценку «4» и «5» - дополнительные задания(часть Б). Перед выполнением работы следует ответить на теоретические вопросы, если обучающийся не отвечает на вопросы письменно, то после выполнения практической части, следует защита. Оценка за практическую работу выставляется с учетом устного ответа.(а)



ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1

ТЕМА: Предел функции. Вычисление пределов.

ЦЕЛЬ: Вычислить пределы функций, раскрыть неопределенности.

Образец выполнения.

Часть А

1. Вычислите предел: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Вычислим предел, подставив вместо х 5. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс = Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

2. Вычислите предел: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , (неопределенность Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ).

Подставим вместо х два, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, получаем неопределенность Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс - это величина обратная к бесконечно малой, т.е. величина бесконечно большая, а она стремиться к ∞. Иными словами Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , тогда Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =∞. Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =∞.

3. Вычислите предел: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс (неопределенность Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ).

Подставим вместо х бесконечность: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс получаем неопределенность Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс - это величина обратная к бесконечно большой, т.е. величина бесконечно малая, а она стремиться к 0. Иными словами Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =0, тогда Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =0. Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =0.

4. Вычислите предел: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , (неопределенность Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ).

Подставив вместо х бесконечность, получим в пределе неопределенность Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Чтобы избавиться от данной неопределенности, разделим числитель и знаменатель почленно на старшую степень знаменателя, т.е на х2.

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс= Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =∞.

5, 6. Вычислить предел: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . , чтобы вычислить данный предел, нужно чтобы аргумент функции синус и числитель (знаменатель) совпадали. Для этого домножим числитель и знаменатель на Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Получим Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=60∙1=60. Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =60

7,8. Вычислите предел: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Вычислим пределы отдельно: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ,

Введем новую переменную х=2у, у=0,5х, если Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , то и Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курсМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс. Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс6.

Часть Б.

1. (неопределенностьМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс). Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Чтобы избавиться от данной неопределенности, разложим на множители числитель и знаменатель. Для того, чтобы разложить знаменатель применим формулу: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , чтобы разложить числитель применим формулу: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , где х1 и х2 - корни уравнения. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс. Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

2. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.(неопределенностьМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс).

Чтобы избавиться от данной неопределенности домножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное к знаменателю.

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс==Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2.

ТЕМА: Производная, ее приложения.

ЦЕЛЬ: Используя таблицу производных и правила дифференцирования, решить задачи.

ВАРИАНТ 1

Задание 1. Заполнить пробелы:

а) (х4)′ =…; б) (…)′ = Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; в) (Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс )′ = …; г) (…)′ = Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

(а - 1балл; б - 0,5балла; в и г - по 2 балла)

Задание 2. Найти производную сложной функции:

а). f(x) = (4 - 3x)Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс; б) f(x) = cos2x + sin(x +Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс). (по 3 балла)

Задание 3. Решить задачи:

№1.Составьте уравнение касательной и нормали, проведенных к параболе Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс в точке х0=-1. (4 балла)

№2. Точка движется прямолинейно по закону Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Найдите скорость и ускорение в момент времени t = 2 сек. (3 балла)

№3. Исследовать функцию Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс на монотонность при помощи производной. Найдите максимум функции. (5 баллов)

№4. При помощи производной найдите наибольшее значение функции Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс на отрезке Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .(5 баллов)

Задание 4. Найти частные производные: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс в точке (1;1);

(5 баллов)

Задание 5. Ответить на вопросы теста.(по 0,5 балла)

Продолжите фразу:

  1. Приращением функции f в точке x0 называется ________________________ .

  2. Если функции U и V дифференцируемы в точке x0, то их сумма дифференцируема в этой точке и выполняется равенство ___________________________.

Выбрать ответ, решив задание:

  1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) = 4x2- x в точке x0=1.

А. 3; Б. 5; В. 7; Г. 8.

Работа состоит из 5 заданий, которые оцениваются от 0,5 балла до 5 баллов. Максимальное количество баллов, которые можно заработать, решив все задания верно - 35 баллов.

«3» от 18 до 25 баллов, «4» от 26 до 30 баллов, «5» от 31 до 35 баллов.

Ответить на вопросы теста обязательно!


ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2.

ТЕМА: Производная, ее приложения.

ЦЕЛЬ: Используя таблицу производных и правила дифференцирования, решить задачи.

Методические рекомендации.

Задание 1. Пользуясь таблицей производных, решить примеры.

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс. Примеры

1)Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

2) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 2. Вычислите производные сложной функции.

1) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Здесь две функции: у = х 3 - 4х + 1 и z = у 3 .

Найдем производную: х 3 - 4х + 1 = t

Тогда

f ´(x)=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

2) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Задание 3:

1. Составьте уравнение касательной и нормали к параболе:Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс в точке х0= 4. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

1) Найдём значение функции в точке х = 4: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

2) Найдем производную указанной функции:Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Вычислим значение производной в точке х = 4:Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

3) Подставим полученные значения в уравнение касательной:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Составим уравнение нормали:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс. Подставим все значения в уравнение нормали:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Ответ: Уравнение касательной: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Уравнение нормали: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

2. Точка движется прямолинейно по закону: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Найдите скорость и ускорение точки в момент времени t =6 сек.

Решение: Скорость - это производная пути по времени.Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Ускорение - это производная от скорости: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Ответ:Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

3. Схема исследования функции с помощью первой производной на монотонность и экстремумы:

1) Найти производную; 2) Найти критические точки;

3) Исследовать знак производной в промежутках, на которые критические точки делят область определения функции. Сделать вывод;

4) Найти точки экстремума и вычислить значения функций в точках экстремума.

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции:

  1. Найти критические точки, принадлежащие данному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;

  2. Найти значения функции на концах отрезка;

  3. Сравнить полученные значения. Выбрать необходимое.

Задание 4: Найдите частные производные: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

найдем производную данной функции по переменной х, при этом у считаем константой (постоянной величиной). Используем правило дифференцирования произведения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Найдем производную по переменной у, считая х постоянной величиной.

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Работа состоит из 5 заданий, которые оцениваются от 0,5 балла до 5 баллов. Максимальное количество баллов, которые можно заработать, решив все задания верно - 35 баллов.

«3» от 18 до 25 баллов, «4» от 26 до 30 баллов, «5» от 31 до 35 баллов.

Ответить на вопросы теста обязательно!

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 3

ТЕМА: Интеграл, методы интегрирования, приложения определенного интеграла.

ЦЕЛЬ: Научиться решать интегралы различными методами, используя таблицу и свойства интегралов и применять определенный интеграл для решения прикладных задач.

Практическая работа состоит из шести заданий, которые оцениваются от 1 до 4 баллов. Максимальное количество баллов, которые можно заработать, выполнив все задания - 28. На оценку «3» нужно набрать 16 баллов, на оценку «4» - 22 балла, на «5» - 26-28 баллов.

Вариант 1

1.Вычислить неопределенные интегралы:

1) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 2) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; (по 1баллу); 3) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 4) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

(по 2 балла), где n - количество букв в фамилии.

2. Вычислить определенные интегралы:

1) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 2) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 3) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . (по 2 балла)

3. Проинтегрировать методом подстановки:

1) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 2) 6) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . (по 3 балла)

4. Применить метод интегрирования по частям: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс (4 балла).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

6. Материальная точка движется по прямой с скоростью, определяемой формулой Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения? За 2 - ю секунду? (задачи по 3 балла)

Методические рекомендации

1. Вычислить неопределенный интеграл:

непосредственное интегрирование, по свойствам интеграла и таблице интегралов: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

2. Вычислить определенный интегралМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс. Решение: согласно правилуМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курсМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

3. а) Интегрирование методом подстановки, введем новую переменную:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курсМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курсМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс = t = 4+х3 = Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс= Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=

dt = d (4+х3) = Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

dt = (4+х3)′∙dx

dt = 3x2dx

dx = Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

б) Вычислить определенный интеграл методом подстановки Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Пусть 1-xМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс т.к. ввели новые переменные, связанные с первым

-2xdx=dz равенством Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , то границы изменения переменного

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курсz уже будут другими. Они найдутся из равенства Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курсзаменой аргумента x его значениями 0 и Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс. Сделав эту замену получим Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс. Таким образом,

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

4. Интегрирование по частям, используем формулу Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс :

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, для нахождения полученного в правой части равенства снова интегрируем по частям:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, а значит

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

5. Необходимо сделать чертеж и вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями графиков функций по формуле: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

6. Определяем путь по формуле: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Основные свойства определенного интеграла.

1) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 2) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 3) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ;

4) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 5) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Формула Ньютона-Лейбница. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 4

ТЕМА: Дифференциальное исчисление: Простейшие дифференциальные уравнения.

ЦЕЛЬ: Решить дифференциальные уравнения.

Вариант 1

Задание1.Проверить является ли функция Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс решением дифференциального уравнения Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 2. Найдите общее решение дифференциальных уравнений методом разделения переменных.

а) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; б) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Задание3.Найдите частные решения уравнений первого порядка, удовлетворяющие указанным начальным условиям: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс если у(0)=5;

Задание 4. Решите линейные уравнения первого порядка: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 5. Составить уравнение кривой, проходящей через точку (1;3), если угловой коэффициент касательной к этой кривой в каждой ее точке равен -2Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ.

Задание 1. Проверить, является ли функция Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс решением дифференциального уравнения Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Данное дифференциальное уравнение первого порядка, а, значит, найдем производную первого порядка от данной функции по формуле Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс. Подставим Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс и Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс в данное дифференциальное уравнение Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Получили верное равенство.

Ответ: функция является решением дифференциального уравнения.

Задание 2. Найдите общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных:Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

РЕШЕНИЕ: 1) представим у'=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

2) разделим переменные: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

3) проинтегрируем обе части получившегося равенства по х и у соответственно.

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ,

4) Составим уравнение: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

5) Выразим из последнего уравнения у: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Если дано уравнение с разделенными переменными, то решение начинаем с пункта 3).

Задание 3. Найдите частное решение уравнения первого порядкаМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, удовлетворяющие указанным начальным условиям при х =1, у = 4.

РЕШЕНИЕ: Общее решение данного уравнения Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Найдем частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: при х =1, у=4. Подставим в формулу Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс вместо х и у их значения:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , возведем обе части последнего равенства в квадрат: 16 = С - 5, отсюда С = 16 + 5, С = 21. Тогда частное решение данного уравнения имеет вид Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 4. Решите линейное уравнение первого порядка: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

РЕШЕНИЕ: Введем новую переменную, тогда Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Подставим полученные значения в уравнение: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Сгруппируем в левой части второе и третье слагаемое и вынесем u за скобки: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Найдем v из условия, что выражение в скобках равно 0. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , решим это простейшее дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , разделим переменные Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Проинтегрируем обе части последнего равенства Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , воспользуемся свойством логарифма: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Тогда Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс. Отсюда Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс и Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Подставим в уравнение Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс вместо Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , и Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс их значения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Проведем обратную замену: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 5. Найдите уравнение линии, проходящей через точку (1;3) и имеющей касательную, угловой коэффициент которой равен Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Используя геометрический смысл производной, составим дифференциальное уравнение Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Решим уравнение, разделив переменные.

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Проинтегрировав обе части уравнения, найдем общее решение. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Подставив начальные данные Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс в общее решение, получим Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Следовательно уравнение линии имеет вид:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Практическая работа состоит из пяти заданий. На оценку «3» нужно решить задания 1-3, на «4» - 1-4, на «5» - 1-5.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

ТЕМА: Решение дифференциальных уравнений.

ЦЕЛЬ: Решить дифференциальные уравнения.

Вариант 1

Задание 1. Решите дифференциальные уравнения второго порядка.

1) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 2) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 3) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , если Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 2. Решите дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

1) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 2) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 3) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 4) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , если у(1)=20, у′(1)=10.

Перед вычислением линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами(задание 2), записать в таблицу различные случаи решения уравнений данного вида.

Задание 1. Решите дифференциальное уравнение второго порядка: у'' = е х.

Введем новую переменную у' = р, тогда у''= р',

р' =е х, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , составим уравнение Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Проведем обратную замену: р=y', Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ,

Найдем решение данного уравненияМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Составим уравнение, у=е х +Сх+С1 Ответ: у=е х +Сх+С1.

Для отыскания частного решения дифференциального уравнения, требуется найти общее решение, затем подставить данные значения и найти постоянные.

Задание 2. Решите дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение уравнений с постоянными коэффициентами: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , сводится к решению характеристического уравнения, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , которое получается из этого уравнения, если, сохраняя в нем коэффициенты, заменить функцию у единицей, а все производные заменить соответствующими степенями k. При этом возможны случаи. ( смотри таблицу заполненную выше)

Задание 2(4). Найдите частное решение уравнения: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс у(0)=-3, у′(0)=0.

Составим характеристическое уравнение и решим его: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Общее решение имеет вид: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Найдем решение удовлетворяющее начальным условиям: у(0)=-3, у′(0)=0.

  1. у(0)=-3: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Найдем С2 из второго условия:

  1. Вычислим производную Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс +

+Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Воспользуемся условием у′(0)=0.

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ,

0=6+С2, С2=-6. Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Работа состоит 2 заданий. На оценку «3» нужно решить задание 1и2(1-3) , на оценку «4,5» - задания 1 и 2 полностью. Таблицу заполнить обязательно!

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 6

ТЕМА: Числовые ряды. Признаки сходимости.

ЦЕЛЬ: Найти сумму ряда, исследовать ряды на сходимость.

1 вариант.

Задание 1. Найдите три первых члена ряда по заданному его общему члену:

А) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; Б) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 2. Найдите общий член ряда, если дано несколько его первых членов:

А) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; Б) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 3. Найдите сумму ряда: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 4. Выясните, выполняется ли необходимое условие сходимости ряда:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Задание 5. Исследуйте на сходимость ряд по признаку Даламбера: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ;

Задание 6. Исследуйте на сходимость ряд по признаку Коши:Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс;

Задание 7. Исследуйте ряд на абсолютную и условную сходимость: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Образец выполнения заданий

Задание 1. Найдите три первых члена ряда по заданному его общему члену:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Решение: Чтобы решить указанное задание нужно помнить, что каждый член числового ряда, как правило, зависит от своего порядкового номера, поэтому чтобы найти а1, а2 и а3 необходимо вместо n в формулу подставить значения: 1, 2 и 3.

При n = 1, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

При n = 2, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ;

При n = 3 , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Ответ Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 2. Найдите общий член ряда, если заданы несколько его первых членов: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Решение: Представим 1 в виде дроби Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Заметим, что числители членов ряда - четные числа, следовательно, n - ый член имеет числитель вида 2n. Знаменатели членов ряда - нечетные степени числа 2, 21,23, 25, 27 …, следовательно, знаменатель общего члена ряда можно записать в виде 22n-1. Ответ Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 3. Найдите сумму ряда Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Решение: Сумма ряда равна пределу частичных сумм при n стремящемся к бесконечности: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Таким образом, чтобы найти сумму ряда нужно:

  1. Найти его частичные суммы S1, S2, S3, …

  2. Составить формулу для общего члена последовательности частичных сумм.

  3. Найти предел от полученного выражения.

Найдем сумму нашего ряда по выше указанному плану.

  1. Найдем частичные суммы.

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

  1. Выпишем последовательность частичных сумм : Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , тогда формула общего члена полученной последовательности будет: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

  2. Найдем предел от полученного выражения

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Ответ: сумма ряда S = 1.

Задание 4. Выясните, выполняется ли необходимое условие сходимости ряда:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Решение: Для того чтобы ряд с положительными членами сходился необходимо, чтобы Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Формула общего члена ряда имеет вид Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Проверим выполнимость признака, вычислим предел. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.(Вычисление данного предела подробнее смотри в задании 3 часть 3).

Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , необходимый признак сходимости ряда не выполняется.

Задание 5. Исследуйте на сходимость ряды по признаку Даламбера: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Решение: Воспользуемся признаком Даламбера для исследования ряда на сходимость. Найдем предел Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , если d>1 - ряд расходится, d <1 - ряд сходится.

Общий член данного ряда Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , подставим в формулу вместо n (n +1), получим: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Применим признак Даламбера и найдем указанный выше предел.

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс= Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Ответ: d = 5>1, следовательно, по признаку Даламбера данный ряд расходится.

Задание 6. Исследуйте на сходимость ряды по признаку Коши: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Решение: Воспользуемся признаком Коши для исследования ряда на сходимость. Найдем предел Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , если k>1 - ряд расходится, k <1 - ряд сходится.

Общий член данного ряда Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс. Найдем предел Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , следовательно, по признаку Коши данный ряд сходится.

Задание 7. Исследуйте ряд на абсолютную и условную сходимость: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Решение: Исследуем ряд по признаку Лейбница, для этого запишем ряд

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс= Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Проверим условия

1. члены данного ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т.е.

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

2. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Тогда по признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится этот ряд абсолютно или условно.

Ряд Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , составленный из абсолютных величин членов данного ряда расходится по признаку сравнения. (можно пользоваться другим признаком). Следовательно, данный ряд сходится условно.

Ответ: ряд сходится условно.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 7

ТЕМА: Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение функций в ряд Маклорена и Тейлора.

ЦЕЛЬ: Решите указанные задачи, исследуйте ряды на сходимость. Разложить функцию в ряд Тейлора и Маклорена.

Задание 1. Записать:

  1. Определение ряда Тейлора и Маклорена.

  2. Алгоритм разложения функции в ряда Тейлора и Маклорена.

  3. Определение и формулы радиуса и интервала сходимости.

Вариант 1

Задание 2. Найти интервал сходимости степенного ряда: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 3. Исследуйте сходимость ряда в точке: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс в точке Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 4. Разложите функцию в ряд Тейлора: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , если Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 5. Разложите функцию в ряд Маклорена:Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Практическая работа состоит из шести заданий. На оценку «3» нужно решить задания 1-4, на «4» и «5» - 1-5

Методические рекомендации

Задание 2. Найти интервал сходимости степенного ряда: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Решение: Согласно формуле радиуса сходимости (записана в первом задании), получим Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ,

ряд сходится в интервале Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Исследуем ряд на сходимость в точках Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс и Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . При Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс имеем знакочередующийся ряд Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

1) члены данного ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т.е.

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

2) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Тогда по признаку Лейбница, ряд сходится.

При Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ряд Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс есть обобщенный гармонический ряд сходящийся при Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс (расходящийся при Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ), а Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс в нашем случае равно 2. Следовательно данный ряд сходится в интервале Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 3. Исследуйте сходимость ряда в точке. Данный пример разобран в предыдущем (при Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс и Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ).

Задание 4. Разложите функцию в ряд Тейлора. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , если Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Решение: 1) Найдем все производные данной функции:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Все производные, начиная с пятой равны нулю.

2) Вычислим значение функции и ее производных в точке Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс :

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

3) Подставим полученные значения в формулу Тейлора:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Задание 5. Разложите функцию Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс в ряд Маклорена.

Решение: 1) Найдем все производные данной функции, а также значение функции и ее производных в точке х = 0.

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курсМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курсМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курсМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курсМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - -

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курсМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Подставим полученные значения в формулу:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 8

ТЕМА: Уравнение прямой. Уравнения кривых второго порядка.

ЦЕЛЬ: Решить задачи.

Вариант 1.

Задание 1. Построить прямые в одной координатной плоскости:

а) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; Преобразовать к уравнению в отрезках на осях.(2б)

б) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; Найти угол наклона прямой к оси Ох.(2б.)

Задание 2. Найдите точку пересечения прямых Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .(методом Крамера)

Задание 3. Найти расстояние между центрами окружностей и составить уравнение прямой проходящей через эти центры: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс и Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . (5б.) задание 2- 4б.

Задание 4. Найти угол между прямыми: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс и Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . (2б.)

Задание 5. Найти координаты, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .(5б).

Задание 6. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс и проходящей через точку А(-3;-6). (2б.)

Методические рекомендации.

Задание 1. Построить прямые любым способом на одной координатной плоскости.

а) Общее уравнение прямой Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс Произведем следующие преобразования:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

б) Вычислить угол наклона прямой Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс к оси Ох. Разрешив уравнение относительно Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , получим Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , откуда Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . (таблица Брадиса)

Задание 2. Точку пересечения прямых можно найти, как решение системы: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , которое проще всего найти методом КрамераМетодические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс : Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , где Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс получаются из определителя системы, заменой соответствующего столбца, столбцом свободных членов.

Задание 3. Уравнение окружности нужно привести к виду: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , выделив полный квадрат по формулам Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , а затем канонического уравнения определить радиус и координаты центра. Уравнение окружности имеет вид: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , где Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс - координаты центра. Используя координаты центров составить уравнение прямой, проходящей через две точки. Расстояние между центрами находится по формуле:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, где Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Составьте уравнение прямой, проходящей через две точки:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс, где (х11) координаты одной точки, а (х2; у2) - второй.

Задание 4. Найти угол между двумя прямыми:

Угол Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс между двумя прямыми вычисляется по формуле: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , где Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс - коэффициенты при переменных в уравнениях. Угол Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ищем, используя таблицу Брадиса.

Задание 5,6. Для решения данных заданий необходимо воспользоваться таблицами из конспекта.

Работа состоит из 6 заданий, которые оцениваются от 2 до 5 баллов. Максимальное количество баллов, которые можно получить, решив все задания - 20 . «3» от 14 до 16 баллов, «4» от 17 до 18 баллов, «5» от 19 до 20 баллов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 9

ТЕМА: Уравнение прямой. Уравнения кривых второго порядка.

ЦЕЛЬ: Решить задачи.

Вариант 1

Задача 1. Параллельный перенос переводит точку (-4; 1) в точку (2; -3). В какую точку он переведет точку (5;5)?

Задача 2. Параллельный перенос переводит начало координат в точку (-3; -5). В какую фигуру он переведет треугольник АВС с вершинами А(-2; 6), В(4; 8), С(5;3).

Задача 3. Координаты точки в новой системе Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс и Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Найдите координаты этой точки в исходной системе, если при сохранении направления осей начало координат перенесено в точку (-3; 5).

Задача 4. Координаты в исходной системе координат Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс и Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Найдите координаты этой точки в новой системе, если при сохранении направления осей начало координат перенесено в точку (3; 2).

Задача 5. Относительно двух систем координат, имеющих одно и тоже направление осей, известны координаты некоторой точки: (-4; 7) и (- 8;3). Найдите координаты начала каждой из этих систем?

Задача 6. Дана точка А(4; -2). Найти координаты этой точки в новой системе координат при повороте осей на угол Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задача 7. Найдите координаты точки относительно исходной системы, если эта точка имеет координаты (2Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс; 2) в системе, повернутой относительно исходной на угол Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задача 8. Найти прямоугольные координаты точки А(4; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ).

Задача 9. Найти полярные координаты точки: а) (0;5); б) точки (2; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ), симметричной относительно полюса; в) точки (2; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ) симметричной относительно полярной оси.

Задача 10. Вычислите расстояние между точками А(6; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ) и В(5; Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ).

Работа состоит из десяти задач. На оценку три нужно решить 8, на оценку четыре - 9 , на оценку пять - 10.

Методические рекомендации

Задача 1. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс (1); Подставив координаты точек, найдем Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс (2). Затем переведем точку (5; 5) в новую систему. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс (3).

(Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс) - координаты в данной системе; (Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс) - координаты в новой системе.

Задача 2. Найти координаты каждой точки в новой системе (2).

Задача 3. Пользуемся формулами (1).

Задача 4. Пользуемся формулами (3).

Задача 5. Пользуемся формулами (2). Для начала другой системы переставить местами переменные в правых частях равенств.

Задача 6. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Задача 7. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задача 8. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задача 9. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задача 10. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ УГЛОВ

Функция / угол

0
или

π/6
или
30°

π/4
или
45°

π/3
или
60°

π/2
или
90°

2π/3
или
120°

3π/4
или
135°

5π/6
или
150°

π
или
180°

3π/2
или
270°


или
360°

sin α

0

1/2

√2/2

√3/2

1

√3/2

√2/2

1/2

0

-1

0

cos α

1

√3/2

√2/2

1/2

0

-1/2

-√2/2

-√3/2

-1

0

1

tg α

0

√3/3

1

√3

-

-√3

-1

-√3/3

0

-

0

ctg α

-

√3

1

√3/3

0

-√3/3

-1

-√3

-

0

-



ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 10

ТЕМА: Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Решение задач.

ЦЕЛЬ: Выполнить задания.

Задание 1. Вычислить: (n - количество букв в фамилии)

1) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 2) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 3) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 4) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 5) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ; 6) Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

вариант 1

Задание 2. Проверьте равенство: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 3. Решите уравнения: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 4. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Задание 5. В закрытой коробке находится 5 белых, 6 черных и 4 синих шара.

1. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что шар окажется белым. 2. Наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что вынули:

а) два белых; б) синий и черный шары;

Задание 6. Мастер обслуживает три станка. Вероятность нормальной работы (без неисправностей) первого станка в течение рабочего дня составляет 0,85, второго - 0,8, третьего - 0,75. Найти вероятность того, что:

а) в течение всего рабочего дня нормально работают все три станка;

б) в течение всего рабочего дня потребуют ремонта все три станка

Задание 7. Найдите математическое ожидание дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины, заданной законом распределения:

Х

0,3

1

1,2

1,5

3

7

р

0,1

0,1

0,2

0,3

0,1

р

Дисперсию вычислите по определению и по теореме.

Работа состоит из семи заданий. На оценку три нужно решить 1,2,5(1.2(а)),6,7, на оценку четыре 1,2,4,5,6,7, на оценку пять - все.

Методические рекомендации.

Задание 1. Вычислить: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

РЕШЕНИЕ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =

=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Ответ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс =294.

Задание 2. Проверьте равенство. Для того чтобы проверить равенство практической работе, необходимо по формулам (см. приложение) вычислить правую и левую части. Затем сравнить их, если они совпадают - равенство верно, в противном случае равенство не верно.

Задание 3. Решите уравнение. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

РЕШЕНИЕ: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Подставим полученное значение в исходное уравнение: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Т.к. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , разделим обе части равенства на х, (х - 2)(х - 1) = 56,

х2 - 2х - х +1=56, х2 - 3х - 54=0. Решим данное квадратное уравнение: х1=9,

х2= - 6. Поскольку Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , х2 = - 6 не подходит.

Ответ: х=9.

Задание 4. В школе в одном полугодии изучается 14 предметов. В расписание можно включить в день по 7 различных уроков. Сколькими способами могут быть распределены уроки в день?

РЕШЕНИЕ: Распределение уроков в день представляет всевозможные размещения из 14 по 7, поэтому всех способов размещения

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Ответ: расписание можно составить 17297280 способами.

Задание 5. В закрытой коробке 7 белых, 8 черных и 15 красных шаров.

а) Наугад вынимают один. Какова вероятность того, что шар окажется красным.

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим событие:

  1. А - из коробки вынут один красный шар;

  2. Общее число исходов: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ;

  3. Число благоприятных исходов - 15;

  4. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс.

Ответ: вероятность того, что из коробки вынут красный шар - 0,5.

б) Наугад вынимают два. Найдите вероятность того, что вынули два белых шара; черный и красный шары.

РЕШЕНИЕ: Введем в рассмотрение следующие события:

В - из коробки вынули два белых шара,

С - из коробки вынули красный и черный шары.

  1. Событие В: 1) общее число исходов - выбрать два шара из имеющихся Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс способов;

2) число благоприятных исходов - выбрать два белых шара из имеющихся 7 Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс способ;

3) P(В)Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс - вероятность вынуть два белых шара.

  1. Событие С: 1) 435 способов;

2) вынуть черный шар из этого ящика можно 8 способами, вынуть красный шар - 15 способами; всего благоприятных исходов Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс способов;

3) P(C) = Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс - вероятность вынуть черный и красный шар.

Ответ: вероятность того, что из коробки вынули два белых Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс , черный и красный шары равна Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Задание 6. Аэропорт принимает каждый день три авиарейса. Вероятность того, что вовремя прибудет первый рейс, составляет 0,9; второй - 0,85; третий - 0,8. Найти вероятность того, что: а) все три рейса прибудут вовремя; б) все три рейса опоздают;.

РЕШЕНИЕ: Введем в рассмотрение следующие события и найдем их вероятности:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс- первый самолет прилетел вовремя, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ;

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс- второй самолет прилетел вовремя, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ;

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс- третий самолет прилетел вовремя, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Также рассмотрим противоположные события и найдем их вероятности:

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс- первый самолет опоздал, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ;

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс- второй самолет опоздал, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс ;

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс- третий самолет опоздал, Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

а) Событие В: все три рейса прибудут вовремя, при этом Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Так как события независимы применим теорему о вероятности произведения независимых событий. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Ответ: вероятность того, что все три рейса прибудут вовремя составит 0,612.

б) Событие С: все три рейса опоздают, при этом Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс . Воспользуемся той же теоремой. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Ответ: вероятность, что все три рейса опоздают равна 0,003.

Задача 5. Найдите математическое ожидание дисперсию (по определению и по теореме) и среднее квадратичное отклонение случайной величины, заданной законом распределения:

Х

3

4

5

7

11

13

17

р

0,1

0,1

0,2

0,3

0,1

0,1

Р7

РЕШЕНИЕ:

Сначала найдем р7 по формуле из задания 2. р7 = Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Х

3

4

5

7

11

13

17

р

0,1

0,1

0,2

0,3

0,1

0,1

0,1

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс,

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курсВычислим дисперсию по определению: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Найдем закон распределения для величины х - м(х), для этого вероятности оставим без изменения, и из каждого значения х вычтем м(х) = 7,9

х-м(х)

-4,9

-3,9

-2,9

-0,9

3,1

5,1

9,1

р

0,1

0,1

0,2

0,3

0,1

0,1

0,1

Найдем закон распределения величины (х - м(х))2,

(х-м(х))2

24,01

15,21

8,41

0,81

9,61

26,01

82,81

р

0,1

0,1

0,2

0,3

0,1

0,1

0,1

Найдем математическое ожидание величины (х - м(х))2

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=2,401+1,521+

+1,682+0,243+0,961+2,601+8,281=17,69. Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Вычислим дисперсию по теореме: Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Найдем закон распределения для величины х2:

Х2

9

16

25

49

121

169

289

р

0,1

0,1

0,2

0,3

0,1

0,1

0,1

Найдем М(х2)=Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс= =0,9+1,6+5+14,7+12,1+16,9+28,9=80,1.

Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс=80,1- 7,92=80,1 - 62,41=17,69.

Найдем среднее квадратичное отклонение Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс .

Работа состоит из семи заданий. На оценку три нужно решить 1,2,5(1.2(а)),6,7, на оценку четыре 1,2,4,5,6,7, на оценку пять - все.






ЛИТЕРАТУРА


  1. Апанасов П.Т., Орлов М. И. Сборник задач по математике. М.: Высшая школа. 1987г. - 303с.

  2. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. М.: Высшая школа. 1999г. - 495с.

  3. Виленкин Н.Я. Алгебра и начала анализа 10,11 кл. М.: Мнемозина, 2003.

  4. Дадаян А.А. Математика: Учебник. - 2-е издание. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М. 2006. - 552. - (Профессиональное образование).

  5. Дадаян А.А. Сборник задач по математике. М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007г. - 352с. (Профессионально-техническое образование).

  6. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. 10 - 11 классы. - М.:«Просвещение». 2000г.

  7. Погорелов А.В. Геометрия 7 - 11 классы. - М.: Просвещение, 1990г. - 384с.


© 2010-2022