График квадратичной функции, содержащей модуль

8

XIII республиканский научный конкурс молодых исследователей «Шаг в будущее Осетии».

Секция - математика.

«График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины.»

Автор:

Асламурзаева Белла Артуровна

СОШ №46, 9 «А» класс.

Научный руководитель:

Преподаватель математики СОШ №46 им. И.М.Дзусова

Дряева М.Г.

город Владикавказ, СОШ №46.

Аннотация

Цель работы: рассмотреть построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.

Методы и приемы: рассмотрение, анализ и построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля, обзор информации в сети Интернет.

Выводы:

1)Для построения графика функции y = |f(x)| , надо сохранить ту часть графика функции y = f(x), точки которой находятся на оси Ох или выше оси Ох, и симметрично отразить относительно оси Ох ту часть графика функции y = f(x), которая расположена ниже оси Ох.

2) Для построения графика y = f(|x|) надо сохранить ту часть графика функции y = f(|x|), точки которой на оси Оу или справа от неё и симметрично отразить эту часть графика относительно оси Оу.

3) Чтобы построить график функции |y|= x 2 - 6х +5 нужно:

Отбросить ту часть графика , которая лежит ниже оси

Ох, а оставшуюся часть симметрично отобразить

относительно оси Ох

Задачи:
1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции.
2) Исследовать изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины.

1.Введение.
Функция, определяемая формулой у=ах²+вх+с, где х и у переменные, а параметры а, в и с - любые действительные числа, причём а≠0, называется квадратичной.
График функции у=ах²+вх+с есть парабола; осью симметрии параболы является прямая . При а>0 «ветви» параболы направлены вверх, при а<0 - вниз.
Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:
1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости;
2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе;
3) соединить отмеченные точки плавной линией.
Определение: абсолютной величиной неотрицательного числа называется само это число, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число.

Свойства: 1 .|a| ≥0, 3 .|a∙b|=|a|∙|b|,

2. |a|²= a², 4. |a/b|=|a|/|b|, b≠0

2. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.
На примере функции у= x 2- 6х +5 я рассмотрела всевозможные случаи расположения модуля.

у = |x 2 - 6х +5|

у = | х | 2 - 6х +5

у = х² - 6|х| +5

у = |х|² - 6|х|+5

у = |х² - 6х| +5

у = |х² - 6|х| +5|

у = x 2 -|6х + 5|

|y|= x 2 - 6х +5
Пример 1:Построим график функции у = |x 2 - 6х +5|.
Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:

1) x 2- 6х +5≥ 0, тогда у= x 2- 6х +5.

Построим данную параболу. Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.

2) x 2- 6х +5<0, тогда у= -(x 2- 6х +5) или -x 2+ 6х -5>0, y= -x 2+ 6х -5.

Построим график данной функции, и выделим все точки параболы с положительной ординатой. Все выделенные в обоих случаях точки образуют график функции у = |x 2 - 6х +5|.

.

Итак ,можно сделать вывод: чтобы получить график функции у = |x 2 -6х + 5|, нужно часть параболы, расположенной ниже оси Ох, зеркально отобразить относительно оси Ох .
Пример 2:Рассмотрим график функции у = |х|²- 6х +5.
Т. к. |х|²= х², то график функции у =|х|² - 6х +5 совпадет с графиком функции у = х² - 6х +5, не содержащей знак абсолютной величины.


.
Пример 3: Рассмотрим график функции у = х² - 6|х| +5.
Воспользуемся определением модуля числа.

Пусть x≥0, тогда y= х² - 6х +5.

Построим параболу у = х² - 6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует неотрицательным значениям х , т.е. часть, расположенную правее оси Оу.

2)Пусть x<0, тогда y= x² + 6х +5.

В той же координатной плоскости построим параболу у = х² +6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует отрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную левее оси Оу. Обведённые части парабол вместе образуют график функции у = х² - 6|х| +5

Итак, можно сделать вывод: для построения графика функции у = х² - 6|х| +5. надо сохранить ту часть графика , точки которой находятся на оси Oy или справа от нее, и симметрично отобразить ее относительно оси Оy.

Пример 4: Рассмотрим график функции у = |х|² - 6|х|+5.
Т.к. |х|²= х², то график функции у = |х|² - 6|х| +5 совпадает с графиком функции у = х² - 6|х| +5, рассмотренном в примере 3.
Пример 5. Построим график функции у = |х² - 6х| +5.
Для этого построим сначала график функции у = х² - 6х. Чтобы получить из него график функции у = |х² - 6х|, нужно часть параболы, расположенную ниже оси х, заменить линией ей симметричной относительно оси х. Т.к. нам

Нужно построить график функции у = |х² - 6х| +5, то график рассмотренной нами функции у = |х² - 6х| нужно просто поднять по оси у на 5 единиц вверх.

Пример 6: Построим график функции у = |х² - 6|х| +5|.
Для этого сначала построим график функции у =х²- 6|х| +5. (см. пример 3).

Т. к. наша функция полностью находится под знаком модуля, то для того, чтобы построить график функции

у = |х² - 6|х| +5|, нужно часть параболы, расположенную ниже оси Ох, заменить линией ей симметричной относительно оси Ох.

Пример 7:Построим график функции у = x 2 -|6х + 5|.

Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:

6х+5≥0, т.е. х ≥ -5∕6, , тогда функция примет вид у=x² - 6х -5.

Построим параболу и обведем ту часть , где x≥-5∕6,

6х+5<0, т.е. х < -5∕6, тогда функция принимает вид у=x² + 6х +5.

Построим эту параболу и обведем ту её часть, которая расположена левее точки с абсциссой х =-5∕6,

Обведенные в обоих случаях части парабол являются графиком данной функции.

Пример 8. |y|= x 2 - 6х +5

Равенство |y|= x 2 - 6х +5 не задает функции, т. к. при

x 2 - 6х +5 >0 имеем 2 значения y, соответствующих

данному значению x, а при x 2 - 6х +5 <0, ни одного такого

значения. График данного уравнения строится так:

Отбрасываем ту часть графика , которая лежит ниже оси

Ох, а оставшуюся часть симметрично отображаем

относительно оси Ох.

Увлекшись построением графиков функций, у меня возникла интересная идея. Чтобы эту идею воплотить , мне надо было придумать функции, графики которых имеют определенный вид.

1. y= -2|x|²+8, где -2≤x≤2

2. y=±|x²-6x+5|+4, где 1≤x≤5

3. y=-|x²-4x|+8, где 2-2√3 ≤ x ≤ 2+2√3

4)y=

5)y=±|x²-6x+5|+4, где 1≤x≤4

6)x²+(|y-4|-2)²=4, где 0≤y≤8, x=0

7)x²+(|y-4|-2)²=4, где 0≤x≤2

Выводы:

1)Для построения графика функции y = |f(x)| , надо сохранить ту часть графика функции y = f(x), точки которой находятся на оси Ох или выше оси Ох, и симметрично отразить относительно оси Ох ту часть графика функции y = f(x), которая расположена ниже оси Ох.

2) Для построения графика y = f(|x|) надо сохранить ту часть графика функции y = f(|x|), точки которой на оси Оу или справа от неё и симметрично отразить эту часть графика относительно оси Оу.

3) Чтобы построить график функции |y|= x 2 - 6х +5 нужно:

Отбросить ту часть графика , которая лежит ниже оси

Ох, а оставшуюся часть симметрично отобразить

относительно оси Ох

Заключение:

И в заключение я хотела бы сказать, что для досканального изучения материала исследовательская работа подходит больше всего. Мне удалось выйти за рамки того материала по данной теме, который дается в школе. В дальнейшем я собираюсь углубить свои знания по данной теме и научиться строить графики более сложных функций. Хотелось бы еще научиться строить графики уравнений, используя различные программы для построения графиков, в том числе Microsoft Exel.

Используемая литература:
1.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл.: М.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева. 2. Курс высшей математики для техникумов. И. Ф. Суворов, Москва - 1967.
3. Математика. Алгебра и элементарные функции. М. И. Абрамович, М. Т. Стародубцев.
4. А.Г. Мордкович Книга для учителя. Беседы с учителями. Москва - «Оникс 21 век», «Мир и образование», 2005 г.