Элективный курс старинные задачи

МБОУ «средняя общеобразовательная школа № 10»

Элективный курс

Старинные задачи через века и страны.

Автор - составитель

Киржиманкина Т.В.

учитель математики.

Рузаевка

2015 г.

Элективный курс « Старинные задачи через века и страны».

Истинный педагог постарается сделать учение занимательным, но никогда не лишит его характера серьезного труда, требующего усилия воли.

К. Д. Ушинский.

Пояснительная записка.

Статус документа

Рабочая программа элективного курса составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования. При разработке элективного курса учитывалось то, что курс как компонент образования должен быть направлен на удовлетворение познавательных потребностей и интересов учащихся.

Воспитание творческой активности учащихся в процессе изучения ими математики является одной из актуальных задач, стоящих перед учителями школы. Основным средством такого воспитания и развития математических способностей учащихся являются задачи. Умение решать задачи характеризуют состояние математической подготовки учащихся, глубину усвоения учебного материала. Не случайно известный современный методист и математик Д.Пойа пишет: « Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности». Решение нестандартных задач способствует пробуждению и развитию у них устойчивого интереса к математике.

Математическое образование должно подчиняться общей цели - обеспечить усвоение системы математических знаний и умений, развивать логическое мышление, сообщить сведения из истории развития науки. Многие математические задачи нередко кажутся искусственными, оторванными от реальной жизни, просто непонятными. Если же подойти к этим проблемам с позиции исторического развития, то станет виден их глубокий жизненный смысл, их необходимость.

Данный курс вызывает интерес, является средством обученности и средством развития интеллектуальных качеств личности учащихся. Для учащихся, которые не проявляли заметной склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше. Курс направлен на формирование у них новых видов познавательной и практической деятельности, которые не характерны для традиционных учебных курсов. Элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию математических знаний и умений, формированию интереса к предмету, пониманию роли математики в деятельности человека, поможет учащимся оценивать свои возможности по математике. Содержание курса позволяет ученику любого уровня обученности включаться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя, поэтому при изучении акцент следует делать не столько на приобретение дополнительных знаний, сколько на развитии способности учащихся приобретать эти знания самостоятельно, их творческой деятельности на основе использования материалов из истории математики. Каждой группе задач предшествует небольшая историческая справка. Все занятия направлены на развитие интереса школьников.

Место предмета

Программа может быть использована в 6 классе и рассчитана на 17 часов.

Цели курса:

-формирование у учащихся представления о прикладных возможностях математики, ее месте в общечеловеческой культуре;

-формирование логического мышления учащихся;

-активизация исследовательской и познавательной деятельности учащихся.

Задачи курса:

- дополнить знания учащихся задачами прикладного характера;

- формировать умения мыслить, рассуждать, анализировать;

- вовлечь учащихся в игровую, коммуникативную, практическую деятельность как фактор личного развития;

- показать учащимся развитие математической мысли с древних времен, уточнить и систематизировать разрозненные сведения по истории математики;

- расширить кругозор, формировать качества, необходимые человеку для жизни в современном обществе;

-поддерживать интерес к дополнительным занятиям математикой и желание заниматься самообразованием;

- воспитывать у учащихся потребность в самостоятельном поиске знаний и их приложении.

Основное содержание.

История развития математики, из истории появления метрической системы, Л.Ф.Магницкий и его задачи, И.Ньютон и его задачи из « Всеобщей арифметики» , старинные задачи из рукописей, Л.Н.Толстой и его задачи, задачи с историческим содержанием, старинные задачи в художественной литературе, Архимед и стомахион Архимеда.

Требования к уровню подготовки.

В результате изучения курса учащиеся должны:

знать:

- историю развития математики; интересные факты из жизни великих математиков;

- основные приемы и методы решения нестандартных задач;

уметь:

- применять при решении нестандартных задач творческую оригинальность;

- успешно выступать на математических соревнованиях и конкурсах;

- систематизировать, анализировать информацию, использовать разнообразные информационные источники, включая учебную и справочную литературу.

Примерное тематическое планирование.

№

Тема

Кол-во часов

1.

История развития математики. Из истории мер.

1

2.

Л.Ф.Магницкий. Задачи из « Арифметики» Магницкого.

1

3.

Задачи с историческим содержанием.

1

3.

Старинные задачи из рукописей.

3

4.

Старинные задачи через века и страны.

2

5.

И.Ньютон. Задачи из « Всеобщей арифметики» И. Ньютона.

1

7.

Старинные задачи в художественной литературе .

1

8.

Старинные задачи в стихах.

1

9.

Л.Н.Толстой и математика. Задачи Л.Н. Толстого.

1

10.

Великий Архимед. Стомахион Архимеда.

1

11.

Математическая игра « Колесо истории».

2

Резерв

2

Материал для занятий.

Тема 1. История развития математики. Из истории мер.

Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого,

тот никогда его не поймет … Лейбниц

Велико значение математики в повседневной жизни человека. Без счета, без умения правильно складывать, вычитать, умножать и делить числа немыслимо развитие человеческого общества. Все правила не были выдуманы или открыты каким-то одним человеком. Математика возникла из повседневной практики, из жизненных нужд людей в их трудовой деятельности. Математика развивалась медленно и долго. Еще в самые отдаленные времена людям приходилось считать различные предметы, с которыми они встречались в повседневной жизни. Было время, когда человек умел считать только до двух. Число два связывалось с органами зрения и слуха и вообще с конкретной парой предметов. Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил просто « много». Лишь постепенно человек научился считать до трех, затем до пяти, десяти и т.д.

С развитием производства и торговли счет распространяется на множества, содержащие все большее и большее число предметов. Люди в своей практической деятельности не могли обходиться без измерения расстояний, площадей земельных участков, вместимости сосудов. Таким образом, возникновение и развитие математики связанно с трудовой деятельностью людей, развитием общества.

Как бы велико ни было число, его можно записать с помощью всего лишь десяти числовых знаков, цифр: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Современные цифры были выработаны на протяжении многих веков. Совершенствование начертания цифр шло параллельно с развитием письменности. Вначале букв не было. Мысли и слова выражались при помощи рисунков на скалах, на стенах пещер, на камнях. Для запоминания чисел люди пользовались зарубками на деревьях и на палках и узлами на веревках. Далее естественно стали обозначать число один одной чертой, два -двумя, три- тремя черточками и т.д.Но с развитием производства и культуры, когда появилась нужда записывать большие числа, стало неудобно пользоваться черточками. Тогда стали вводиться особые знаки для отдельных чисел. Каждое число, как и каждое слово, обозначалось особым значком, иероглифом.

К первым, самым древним задачам на составление уравнений, по-видимому, относятся некоторые задачи, содержащиеся в древнеегипетском Московском папирусе (Этот папирус хранится в музее изобразительных искусств в Москве. Он изучен и расшифрован русскими учеными).

Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За ней последовали,,, …, затем,, и т.д., т.е. самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. Некоторые народы древности, например, египтяне, выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными ,у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами. Дроби в Древней Руси называли долями, позднее «ломанными числами». В старых руководствах нашли следующие названия дробей на Руси

- полтина, -треть, -четь, -полтреть, - полчеть, - полполтреть,

-пятина, - седьмина, -десятина.

К десятичным дробям математики пришли в разные времена в Азии и в Европе. Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученого ал-Коши в 20-х годах 15 века. Независимо от него, в 80-х годах 16 века десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком С.Стевином. В 1585 г. он написал небольшую книгу под названием «Десятая». Эта книга состояла всего из 7 страниц, однако содержала всю теорию десятичных дробей. Стевин указывал на большое практическое значение десятичных дробей и настойчиво пропагандировал их. Он был первым ученым, потребовавшим введения десятичной системы мер и весов. Однако эта мечта ученого была осуществлена лишь спустя свыше 200 лет, когда была создана метрическая система мер. С начала 17 века начинается довольно интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка, которая поныне сохраняется в этой роли в США, Англии и некоторых других странах. Запятая , как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1616-1617 гг. знаменитым английским математиком Джоном Непером. Десятичную запятую применял и немецкий астроном И.Кеплер. Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. В России учение о десятичных дробях впервые изложил в своей « Арифметике» Леонтий Магницкий в 1703 году.

Это интересно.

Знаки + и - встречаются в 15 веке в рукописях. Знак умножения х введен в 1631 году английским математиком Вильямом Оутредом (1574-1660). Точкой для обозначения умножения систематически пользовался знаменитый немецкий математик 17 века Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Он же применял двоеточие для обозначения действия деления. Знак = был введен английским врачом Робертом Рекордом в 1557 г.

Из истории мер.

Древние русские меры, употреблявшиеся уже в 11-12 вв.

Меры длины

Малая пядь- расстояние между концами растянутых пальцев, большого и указательного19 см

Большая пядь- расстояние между раздвинутыми большим пальцем и мизинцем 23 см

Локоть - расстояние от концов пальцев до локтя согнутой руки = 45 см

Сажень = 3 аршинам 216 см

Косая сажень - расстояние от пальцев левой ноги до конца пальцев поднятой правой руки248 см

Маховая сажень - расстояние между пальцев расставленных в сторону рук176 см

Миля = 7 верстам 7,469 км

Верста = 500 саженям 1,08 км

Аршин 71 см = 16 вершкам = 28 дюймам

Дюйм 2,54 см

Фут 30,48 см = 12 дюймам

Ярд 91 см

Меры массы

Ласт 1,179 т

Гривна = 410 г

Золотник = 4 г

Фунт = 96 золотникам = 410 г

Пуд = 40 фунтам = 16 кг400г

Берковец = 10 пудам

Лот = 13 г

Меры объемов

Ведро 12 л

Бочка 491 л

Штоф 1,3 л

Баррель 159 л

Галлон 4 л

Бушель 36 л

Пинта 0,57 л

Меры площадей

Акр 4047 м²

Десятина 1,1 га

200 лет назад в разных странах, в том числе и в России, применялись различные системы единиц для измерения длины, массы и других величин. Соотношения между мерами были сложны, существовали разные определения для единиц измерения. Поэтому назрела необходимость введения единой системы мер, удобной для всех стран, с простыми соотношениями между единицами. Такая система - ее назвали метрической системой мер - была разработана во Франции. Метрическая система мер принята большинством стран мира. В России ее введение началось с 1899 года. Большие заслуги во введении и распространении метрической системы мер в нашей стране принадлежат Дмитрию Ивановичу Менделееву.

Решение задач

1. Некто купил три четверти аршина сукна и заплатил за них 3 алтына. Сколько надо заплатить за 100 аршин такого же сукна?

Решение: аршина стоят 3 алтына, то 3 аршина стоят 12 алтын , 1 аршин - 4 алтына. Значит100 аршин стоят 400 алтын, что составляет 1200 к.=12 рулей.

2. 1 рубль содержал 4 золотника серебра. Выразите в граммах массу старинного рубля.

Решение: 4,3 * 4 = 17,2 грамма.

3. Выразите в метрах и сантиметрах: а) высоту терема, равную трем косым саженям;

б) длину отрезка полотна, равную 15 локтям; в) ширину горницы, равную двум маховым саженям и трем локтям.

Решение:

а) 248 * 3 = 744 см; б) 15 * 45 = 675 см; в) 176 * 2 + 3 * 45 = 352 + 135 = 478 см.

4. Сколько вершков в версте? Сколько это сантиметров?

Решение: 1 верста = 500 саженей = 1500 аршин = 24000 вершков = 24000 * 4,5= 108000 см.

Познавательная викторина.

1. В Древней Руси деньгами служили серебряные бруски - их назвали гривнами. Если вещь стоила меньше, чем весь брусок, то отрубали половину. Как называлось отрубленная часть серебряного бруска?

Эта часть серебряного бруска называлась рублем.

2. В Сибири была в употреблении мера длины бука. Какое расстояние она обозначала?

Расстояние, на котором человек перестает видеть раздельно рога быка.

3. Назовите пословицы, связанные с числом, не менее трех.

Семь раз отмерь - один отрежь. Семеро одного не ждут.

Один за всех и все за одного.

4. Существует ли разница между маховой саженью и косой саженью? Если да, то какая ? Маховая - между концами пальцев вытянутых в противоположные направления рук. Косая - от каблука правой ноги до кончиков вытянутой левой руки.

5. При царе Иване IV были выпущены монеты, на которых изображался всадник с копьем в руке. Как назывались эти монеты?

Такие монеты назывались копейками.

6. Известно, что 10 единиц составляют десяток, 10 десятков - сотню, 10 сотен - тысячу и т. д. Мы видим, что число 10 играет большую роль. Почему именно число 10, а не другое? Потому, что на наших руках 10 пальцев.

7. Королем Эдвардом была узаконена мера длины, равная средней длине ступни человека. Как называлось эта длина?

Эта длина называлась фут.

8. Татары называли серебряную монету - тенга. А как называли монету равную 6 тенгам ?

Алтын, что означает 6.

9. В известной сказке « Поди туда - не зная куда, принеси то - не знаю что» царь послал стрелка Андрея «за тридевять земель».! Тридевять-это сколько? Тридевять - это 27:9*3=27.

10.Известно, что масса монеты в 1к - 1г, а монеты в 2к - 2г. Что дороже: Килограмм 1- копеечных монет или килограмм 2- копеечных монет? Одинаково.

11. В 1101 году указом Генриха I за основу, в английском обиходе, была взята мера длины ярд. Покажите, как бы вы определили эту длину, если бы были королем Генрихом I. Ярд - это расстояние от носа короля до конца среднего пальца вытянутой его руки. Необходимо показать это расстояние.

12.Мы очень часто пользуемся словом километр. Метр в переводе с французского языка означает мера. Что означает в переводе с французского языка слово кило? Кило-тысяча. 1км=1000м, 1кг=1000г.

13. В рассказ Л.Н. Толстого « Много ли человеку земли нужно?» башкиры продают кулаку Пахому землю по цене « тысяча рублей за день». Что под этим подразумевается? Подразумевается участок земли, который можно обойти за день.

14. Одной из распространенных весовых единиц на Руси был пуд. Скольким килограммам равен пуд?

16 килограммам.

15. В Древней Руси владельцы магазинов, в которых продавались ткани, на работу продавцов с большой охотой брали людей маленького роста. Почему? У людей маленького роста соответственно ладонь и локоть меньше.

Тема 2. Л.Ф.Магницкий. Задачи из « Арифметики» Магницкого.

Сведения о жизни и деятельности Леонтия Филлиповича Магницкого немногочисленны. Известно, что он родился 9 июня 1669 в Осташковском городке, а ныне г. Осташков Тверской области. Достоверных сведений о том, где и как он получил образование, нет.

По некоторым сведениям, учился он в Славяно- греко- латинской академии в Москве и был очень известным своей образованностью человеком. За «остроумие в науках» в 1700 году фамилия Магницкий была дана ему Петром I, который сказал: «в сравнении того, как магнит привлекает к себе железо, так он природными и самообра-

разованными способностями своими обратил внимание на себя».

14 января 1701 года Петр I подписал указ об учреждении в Москве математико-навигационной школы и назначил учителем лучшего математика Москвы Л.Ф. Магницкого. Ему было поручено создать для школы учебник по математике и навигации. В короткий срок Магницкий написал учебник «Арифметика». 21 ноября 1701 года он представил свою рукопись. В 1703 году «Арифметика» была издана и на протяжении 50 лет служила основным учебником по математике для всех учебных заведений России, являясь энциклопедией математических знаний. Книга была издана необычайно большим по тем временам тиражом - в количестве 2400 экземпляров. Один из экземпляров «Арифметики» в 1725 году попал к юному М.В. Ломоносову, который назвал ее «вратами учености» и хранил эту книгу до конца своих дней. Сам Л.Ф.Магницкий в предисловии к книге писал:

И желаем да будет сей труд

Добре пользовать русский весь люд.

В 1715 году Магницкий становится старшим учителем математико-навигационной школы, а с 1732 года и до последних дней своей жизни является ее руководителем.

Современники и потомки Л.Ф. Магницкого давали высокую оценку его деятельности, считая его первым российским издателем и учителем арифметики и геометрии, а его книгу «Арифметика» признавали за образец учености.

Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого

Задача № 1

Собака усмотрела^* зайца в 150 саженях^* от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака - за 5 минут 1300 саженей. За какое время собака догонит зайца?

Современная трактовка задачи: Собака увидела зайца в 300 метрах от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 1000 метров, а собака - за 5 минут 2600 метров. За какое время собака догонит зайца?

Решение:

1) 1000:2=500 (м) - заяц пробегает за 1 минуту (скорость зайца).

2) 2600:5=520 (м) - собака пробегает за 1 минуту (скорость собаки).

3) 520-500=20 (м) - собака пробегает за 1 минуту больше, чем заяц ( скорость сближения).

4) 300:20=15 (мин.) - за это время собака догонит зайца.

Ответ: собака догонит зайца за 15 минут.

Задача № 2

На мельнице имеется три жернова^*. На первом из них за сутки можно смолоть 60 четвертей ^*зерна, на втором 54 четверти, а на третьем 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за наименьшее время на этих трёх жерновах. За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько на каждый жернов зерна насыпать?

Современная трактовка задачи: На мельнице имеется три жернова. На первом из них за сутки можно смолоть 1500 кг зерна, на втором 1350 кг, а на третьем 1200 кг. Некто хочет смолоть 2025 кг зерна за наименьшее время на этих трёх жерновах. За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько на каждый жернов зерна насыпать?

Решение:

1) 1500+1350+1200=4050 (кг) - мелят три жернова за сутки (24 часа).

2) 4050:2025=2 (раза) - меньше потребуется времени для перемалывания 2025 кг зерна.

3) 24:2=12 (час.) - понадобится, чтобы смолоть 2025 кг зерна.

4) 1500:2=750 (кг) - зерна надо насыпать на первый жернов.

5) 1350:2=675 (кг) - зерна надо насыпать на второй жернов.

6) 1200:2=600 (кг) - зерна надо насыпать на третий жернов.

Ответ: за 12 часов, 750 кг, 675 кг, 600 кг.

Задача №3

В жаркий день 6 косцов выпили кадь ^*кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такую же кадь кваса.

Решение:

6 косцов - 8 человек

х косцов - 3 человека

Зависимость между количеством косцов и людей обратно пропорциональная, так как если увеличивать количество косцов в несколько раз, то количество человек во столько раз уменьшится.

; х = 6 * 8 :3 = 16 ( косцов)

Ответ: 16 косцов выпьют кадь кваса за 3 часа.

Задача №4

Один человек выпивает кадь* кваса за 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь за 10 дней. Ведательно есть^* в колико^* дней жена его особно^* выпьет ту же кадь?

Решение:

1) Сколько кадей кваса выпьет человек за 140 дней?

140:14=10 (кадей)

2) Сколько кадей кваса выпьет человек за 140 дней в месте с женой?

140:10 =14 (кадей)

3) Сколько кадей выпьет жена самостоятельно за 140 дней?

14-10=4 (кади)

4) За сколько дней жена выпьет кадь кваса самостоятельно?

140:4=35 (дней)

Ответ: жена выпьет кадь кваса за 35 дней.

Задача №5

Послан человек из Москвы на Вологду, и велено^* ему в хождении^* своем совершати^* на всякий день по 40 верст; потом другий человек в другий день послан в след^* его, и велено ему идти на день 45 верст, и ведательно есть^* ,в коликий день постигнет второй первого.

Современная трактовка задачи.:Один путешественник отправился в путь пешком из Москвы в Вологду. В день он проходил 40 км. Другой путешественник на следующий день отправился за ним и проходил в день 45 км. Спрашивается, через сколько дней второй путешественник догонит первого?

Решение:

1) На сколько верст в день второй человек проходит больше, чем первый?

45-40= 5 (верст)

2) Через сколько дней второй человек догонит первого?

40 : 5 = 8 (дней)

Ответ: второй человек догонит первого через 8 дней.

Задача №6

Некий человек нанял работника на год, обещав ему дать 12 рублев^* и кафтан^*. Но тот, проработав 7 месяцев, восхотел^* уйти и просил достойной платы с кафтаном. Он же (хозяин) дал ему по достоинству расчёт 5 рублёв и кафтан, и знать надлежит^* какой цены оный^* кафтан был.

Современная трактовка задачи.: Один человек нанял работника на год, обещав ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот, проработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Он же (хозяин) дал ему по достоинству расчёт 5 рублей и кафтан, и надо узнать, сколько стоил этот кафтан.

Решение:

1) Работник не доработал у хозяина 5 месяцев и недополучил 7 рублей. Значит, его

месячная плата составляет (7:5) рубля или 1 р.40 к.

2) Плата за 7 месяцев составит: 1р 40к * 7=9 р 80 к.

3) Но работник получил 5р и кафтан. Значит кафтан стоит 4 р 80 к

Ответ: 4 р 80 к стоил кафтан.

Задача №7

Некий торговец купил 112 баранов старых и молодых, дал 49 рублёв 20 алтын^* За старого платил по 15 алтын и по 2 деньги^*, а за молодого по10 алтын. И ведательно есть^* колико старых и молодых баранов купил он.

Современная трактовка задачи: Один торговец купил 112 баранов старых и молодых и заплатил за них 49 рублей 60 копеек. За каждого старого барана он платил 46 копеек, а за молодого - 30 копеек. И надо узнать, сколько старых и сколько молодых баранов он купил?

Решение:

1) На сколько старый баран дороже молодого?

46 - 30 = 16(коп.) - разница в цене.

2) Если бы торговец купил только молодых баранов, то за них он заплатил бы:

30 * 112 = 3360(коп.)

3) Поскольку за всех баранов заплатили 4960 копеек, то излишек (разница)

в 4960-3360 =1600 копеек пошел на оплату старых баранов.

4) Значит, старых баранов было куплено

1600 : 16 = 100 (штук)

5)Значит, молодых баранов было куплено:

112 - 100 = 12 (штук)

Ответ: 100 старых и 12 молодых баранов купил торговец.

Задача №8

Некто согласился работать с условием получать в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?

Решение

Пусть х флоринов стоит одежда, тогда (х+10):12 флоринов - месячный заработок.

7(х+10):12=х+2

(7х + 70): 12 = х + 2

( 7х + 70) = 12 * (х + 2)

7х+70=12х+24

5х=46

х=9,2

Ответ: одежда стоит 9,2 флорина

Задача № 9.

Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?

Решение

1 гривна=10 копеек, 1 алтын = 3 копейки, 20 алтын = 60 копеек = 0,6 руб., полтора с гривною = 1,5 руб. + 0,1 руб. =1,6 руб.

Пусть бочка стоит х руб.

8х+0,6 = 9х-1,6

х=2,2 ( руб. )

до покупки у него было 2,2*8+0,6=18,2 (руб.)

Ответ: у человека было 18 рублей и 2 гривны

Задача № 10.

Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят. За первую игрушку заплатил одну пятую своих денег, за другую три седьмых остатка от первой игрушки, за третью заплатил три пятых остатка от второй игрушки, а по приезде в дом нашел остальные - 1 рубль 92 копейки. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку он заплатил?

Решение

1 - = - остаток

* = (денег) - за первую игрушку

- =- остаток от второй игрушки

* = (денег) - стоит вторая игрушка

- = (денег) - осталось в кошельке

1,92 : =10,5(руб) - было в кошельке.

10,5 * =2,1(руб) - стоила 1 игрушка

(10,5-2,1) *= 3,6(руб) - стоила 2 игрушка

(8,4-3,6) * = 2,88(руб) - стоила 3 игрушка

Ответ: 10,5 руб., 2,1 руб., 3,6 руб., 2,88 руб.

Словарь старинных слов

* Сажень - мера в 3 аршина, в 12 четвертей, в 2 метра.

* Усмотреть - увидеть.

* Жернов - мельничный камень.

* Четверть - мера массы в 25 кг.

* Кадь - ёмкость цилиндрической формы, сделанная из деревянных клёпок (дощечек) и обтянутая металлическими или деревянными обручами

* Ведательно есть - надо узнать

* В колико - за сколько

* Особно - одна, самостоятельно

* Рублёв - рублей.

* Кафтан - мужская верхняя одежда.

* Восхотел - захотел.

* Знать надлежит - надо узнать.

* Оный - этот.

* Алтын - денежная единица, соответствующая 3 копейкам.

* Деньга - денежная единица, соответствующая половине копейки.

* Ведательно есть - надо узнать, спрашивается.

* Велено - приказано

* В хождении своем совершати - пройти

* Верста - старинная русская единица измерения расстояния, равная 1 066 метрам

* Другий день - следующий день

* Вслед его - за ним

* Идти на день - проходить в день

* Ведательно есть - надо узнать

* В коликий день - в какой день

Задачи для самостоятельного решения.

1. Вопросил некто некоего учителя: « Сколько имеешь учеников у себя, так как хочу отдать сына к тебе в училище». Учитель ответил: « Если ко мне придет учеников еще столько же, сколько имею, и пол столько и четвертая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Сколько было у учителя учеников? (Отв. 36).

2. Некий человек продал коня за 156 рублев; раскаявшийся купец начал отдавать продавцу, говоря, что конь недостоин такой высокой цены. Продавец предложил ему иную куплю, говоря: если тебе кажется цена коню высока, то купи только гвозди, которые у коня в подковах, коня же возьми даром, а гвоздей в каждой подкове 6. За 1-й гвоздь дай мне полушку (1/4 копейки), за другой 2 полушки, за 3-й - копейку, за 4-й - две копейки и т. д. за все гвозди. Купец, полагая, что все гвозди обойдутся не свыше 10 рублев, восхотел коня в дар получити и согласился на такую цену. Ведательно есть, коликим купец он проторговался. (Отв. 4 178 703 3/4 коп.).

3.Некто оставил в наследство жене, дочери и трем сыновьям 4800 рублей и завещал жене всей суммы, а каждому из сыновей вдвое больше, чем дочери. Сколько досталось каждому из наследников ? ( отв. 6000 р., 6000 р., по 1200 р.)

Тема 3. Задачи с историческим содержанием.

Да много решено загадок

От прадеда и до отца

И нам с тобой продолжить

Тропу, которой нет конца.

В. Ноздрев

Предки русского народа - славяне - с незапамятных времен жили на землях Средней и Восточной Европы. Первые письменные упоминания о славянах встречаются в книгах древних римлян, написанных в самом начале нашей эры. Арабские книги говорят о том, что в середине первого тысячелетия славяне вели большую торговлю с греками, арабами и другими народами и храбро воевали с иноземцами, которые пытались их покорить. В Х веке нашей эры у славян появилась письменность. С этого времени начинается "писаная" история Древней Руси. Первые сведения о развитии математики на Руси относятся к IX-XII вв. (древнерусская нумерация, метрология, первые системы дробей и др.). В Древней Руси времен Ярослава Мудрого (978-1054 гг.) уже существовали общеобразовательные школы древнерусского права "Русская правда". Феодальная раздробленность и иноземное нашествие сыграли роковую роль в исторической судьбе, и надолго задержали культурное и научное развитие Киевской и Новгородской Руси. Поэтому вновь математика начинает развиваться на Руси только в XVI в. после освобождения от татарского ига. В первых рукописях создается самобытная русская математическая терминология. Сохранилась рукопись XVI в. "Книга сошному письму", содержащая "статью", посвященную вычислению налога с земельной площади в "сохах". Для расчетов "сошного письма" применялись русские счеты. Арифметические рукописи XVI в. переписывались и в XVII в. и имели традиционное название "Книга рекома по-гречески арифметика, а по-немецки - алгоризма, а по-русски цифирная счетная мудрость".

Устная работа.

Задача 1.

Известно, что до 17 века в России не было газет. Первая русская газета «Куранты» стала выходить с 1612 года. Была она рукописной и издавалась в нескольких экземплярах для царя и его приближенных. Первая газета, издаваемая типографским способом, называлась «Ведомости». Узнайте, когда был напечатан первый номер этой газеты?

Вычислите:

а) 0,5 * 8 б) 6 * 0,9 в) 0,72 : 3,6 г) 0,7 * 0,7

+1,5 + 2,7 + 13,8 - 0,03

- 2,5 - 0,4 : 0,2 : 0,2

: 3 :1,1 - 70 + 0,7

_________ __________ __________ __________

1 7 0 3

Задача 2

Москва выросла из маленького поселения на вершине Боровицкого холма. Вот как рассказывают об этом историческом событии древние летописи. Суздальский князь Юрий Владимирович Долгорукий, возвратившийся в свой стольный град после поездки в Киев, раскинул шатер на берегу реки Москвы. Отсюда он послал приглашение князю Святославу Олеговичу. « Приди ко мне, брате, в Москов». Встреча князей произошла в пятницу на праздник похвалы богородицы, приходившийся на 4 апреля 1147 г. Это число и является датой первого упоминания о Москве в древних летописях. Сердце Москвы - Кремль. В Московском Кремле находится Царь - пушка. Она стояла в Китай- городе и предназначалась для защиты Москворецкой переправы и Спасских ворот, но из нее никогда не стреляли.

Отлитый в 1735 году царь- колокол, хранившийся в Московском Кремле, имеет диаметр 6,6 м. Вычислите длину окружности основания царь - колокола.

Решение: С = D = 6,620,7 м. Ответ: 20,7 м.

Решение задач

Задача 1.

Во время царствования Алексея Михайловича Романова вдоль дороги, от Москвы до Коломенского, были расставлены, на расстоянии 500 саженей друг от друга верстовые столбы с высотой около 2 сажени с орлами. Вычислите высоту столбов и расстояние между ними?

Решение:

1 сажень = 2,16 м , 2 сажени = 2 * 2,16 = 4,32 м - высота столба

1 верста = 500 саженей = 2,16 м * 500 = 1080 м = 1, 08 км - расстояние между верстовыми столбами.

Ответ: 4,32 м ; 1,08 км.

Задача 2.

Из маленькой крепости на окраине Владимиро- суздальского княжества вырос красивый многолюдный город Москва. Вокруг нее объединились все русские земли и уделы в могучее государство - Россию. Из многочисленных племен и народностей образовался единый народ. Укрепленная часть поселения размещалась на высоком Боровитском холме. Юрий Долгорукий приказал строить новый Кремль больших размеров, чем прежий.Московский кремль 11 века занимал 1,5 га. Площадь Кремля, построенного при Юрии Долгоруком была на 7,5 га больше. Вычислите площадь нового Кремля.

Решение:

1,5 + 7,5 = 9 ( га).

Ответ: 9 га

Задача 3.

Защитники стен Кремля были вооружены лишь ручным оружием. Пушки и камнеметы стояли в башнях. Поэтому при строительстве башен надо было учесть и место их расположения, и расстояние между ними, и высоту каждой. Все башни Кремля построены выше его стен. Это и позволяло в случае захвата неприятелем верхнего, боевого хода стены вести обстрел сверху. Расстояние между башнями не превышало 200 м, что соответствовало дальнобойности орудий того времени. Форма башен тоже диктовалась местом их

возведения и ролью в обороне: угловые башни, предназначенные для кругового обстрела местности, возводились круглыми или многогранными, а остальные, из которых вели фронтальный и фланговый обстрел, - четырехгранными.

Вычислите высоту Спасской и Водовзводной башен, если Спасская на 16,95 м выше Боровицкой, а Водовзводная на 9,15 м ниже Спасской. Высота Боровицкой 54, 05 м.

Решение:

1. 54,05 + 16,95 = 71( м )- высота Спасской башни.

2. 71 - 9,15 = 61,85( м) - высота Водовзводной башни.

Ответ: 71 м; 61,85 м.

Задача 4.

На Спасской башне уже несколько веков отсчитывают время куранты - башенные часы с музыкой. Когда они были установлены неизвестно. Ученые предполагают, что в 1491 году. В начале 17 века старые часы продали в Ярославль Спасскому монастырю. Новые поручили изготовить Христофору Галовею. По проекту, составленному Галовеем, и под его наблюдением московские кузнецы Ждан, его сын Шумило Жданов и внук Алексей Шумилов выковали удивительные куранты.Для них Бажен Огурцов в 1624 - 1625 гг. над Спасской башней построил специальную башенку. В трех ее этажах разместили механизм часов, бой которых через окна - слухи разносился над Москвой. Для этих часов литец Кирилл Самойлов отлил 13 колоколов. Галловеевские часы служили весь 17 век. Они много страдали от пожаров в 1704 году. Они пришли в негодность и Петр повелел заменить их новыми. Капитальный ремонт был произведен в 1851-1852 гг. на заводе братьев Бутеноп. Тогда заново изготовили многие детали и полностью переделали музыкальный узел. Часы стали играть в 2,15, 18, 21 час марш Преображенского полка и мелодию Д.С. Бортянского.

Часовая стрелка кремлевских курантов на 0,31 м короче минутной. Вычислите длину стрелок, если они вместе имеют длину 6.25 м.

Решение:

Пусть длина часовой стрелки х м, тогда длина минутной ( х + 0,31) м.

х + х + 0,31 = 6,25

2х = 6,25 - 0,31

2х = 5,94

х = 2,97 (м) - длина часовой стрелки

2,97 + 0,31 = 3,28 (м)- длина минутной.

Ответ: 2,97 м, 3,28 м

Задача 5.

После сражения у села Бородино в сентябре 1812 года русская армия была вынуждена отойти, и французы вошли в город. Москва встретила наполеоновские войска огненным морем. Город весь горел. Оставаться под властью врага москвичи не захотели. Вскоре пришлось бежать и Наполеону. Но перед отступлением французский император распорядился взорвать Кремль. Это не удалось. Изгнав французов из Москвы, наша армия под предводительством М.И.Кутузова освободила все русские земли. В 1841 году победоносная русская армия вернулась в Москву. В память об этом торжестве в 1834 году сооружена величественная Триумфальная арка. Триумфальная арка простояла у Тверской заставы много лет, затем ее в 1936 году разобрали и детали украшений сложили в Музее архитектуры в Донском монастыре. У Тверской заставы она простояла в 3,1875 раз дольше, чем хранилась на территории Донского монастыря. Сколько лет арка стояла у Тверской заста

вы, если известно, что она там стояла на 70 лет дольше, чем длился период хранения деталей в музее?

Решение:

3,1875х - х = 70

х = 32 (года) - хранилась на территории Донского монастыря.

70 + 32 = 102 (года) - арка стояла у Тверской заставы.

Ответ: 102 года.

Задача 6.

Белокаменный Кремль, возведенный при Дмитрии Донском, имел стены длиной 916,2 саженей. Современный кремль имеет стены на 0,256 км длиннее. Вычислите длину стен современного Кремля.

Решение:

1. 916,2 * 2,16 = 1978,992 м 1979 м = 1,979 км

2. 1,979 + 0,256 = 2,235 км.

Ответ: 2,235 км.

Задача 7.

Какой высоты была Спасская башня в 1701 году, если известно, что высота ее шатра 5,79 саженей, высота башенки в 1,7 раза больше, а высота собственно башни в 2,3 раза больше высоты шатра? (высоту каждой части вычислить с точностью до 0,1 м)

Решение:

1. Выразим в метрах высоту шатра: 5,79 * 2,16 = 12, 5064 м 12,5 м

2. 12,5 * 1,7 = 21,25 м 21.3 м - высота башенки

3. 12,5 * 2,3 = 28,75 м 28,8 м - высота собственно башни

4. 12,5 + 21,3 + 28,8 = 62,6 м - высота Спасской башни.

Ответ: 62,6 м.

Задача 8.

Три ядра псковских пушек имели общую массу 160 фунтов, причем масса меньшего из этих ядер составляет 0,25 массы всех ядер. Масса наибольшего ядра составляет 0,6 от массы среднего и большего ядер. Вычислите массу каждого ядра.

Решение:

1. 160 * 0,25 = 40 фунтов = 1 пуд - масса меньшего ядра.

2. 160 - 40 = 120 фунтов = 3 пуда - масса среднего и большего.

3. 120 * 0,6 = 72 фунта - масса большего ядра.

4. 120 - 72 = 48 фунтов - масса среднего ядра.

Ответ: 40 фунтов, 48 фунтов, 72 фунта.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Георгиевский зал Большого Кремлевского дворца имеет форму прямоугольника. Длина зала 61 м, а ширина на 40,5 м меньше. Вычислите площадь Георгиевского зала.

Ответ:1250,5 м².

2.Прямоугольная часть внутреннего помещения Успенского собора имеет ширину 24,9 м, а длину на 10,7 м больше. Определите периметр прямоугольной части внутреннего помещения Успенского собора.

Ответ:121м.

3. Высота скульптурной группы памятника Минину и Пожарскому в 1,225 раза больше высоты его постамента. Вычислите высоту скульптурной группы, если высота памятника 8,9 м.

Ответ:4,9 м

Тема 4.Старинные задачи из рукописей.

Недостаточно лишь понять задачу, необходимо

желание решить ее. Без сильного желания

решить трудную задачу невозможно, но

при наличии такового - возможно. Где есть

желание, найдется путь!

Пойя Д.

Десятки и сотни математических задач на смекалку переходили из поколения в поколение, из уст в уста, от народа к народу, из одних книг в другие. Одна из первых занимательных книг по математике «Задачи для изощрения ума юношества» приписывается ученому монаху 8 века Алькуину из Йорка, работавшим директором школы при дворе франкского короля Карла Великого. Эта книга пользовалась большим успехом на протяжении почти целого тысячелетия. Старейшая, сохранившая до нашего времени копия рукописи Алькуина была переписана около 1000 года.

Следующей, дошедшей до нас замечательный сборник « Занимательных и приятных математических задач» был издан в Лионе в 1612 г. Его автор Баше де Мезириак. Его книга содержала 50 задач с решениями и переиздавалась в 17 -18 вв. Она получила большую известность и была переведена на многие языки, в том числе и на русский в 1877г.

Вслед за книгой Баше появились и другие сборники задач во Франции, Германии и Англии. В России появление отдельных занимательных задач в математических рукописях тоже относится к 17 в., в печати же такие задачи появились впервые в 1703 г. В «Арифметике» Магницкого. Специальные русские сборники занимательных задач стали появляться в конце 18 в. Один из них был издан в 1789 г. В Петербурге И.Краснопольским под названием « Гадательная арифметика для забавы и удовольствия».

Огромное распространение получили в настоящее время замечательные книги Я.И.Перельмана « Занимательная арифметика», «Занимательная алгебра», « Занимательная геометрия», « Живая математика», «Занимательные задачи» и Б. А. Кордемского « Удивительный квадрат», « Математическая смекалка», « Очерки о математических задачах на смекалку».

Десять секунд на размышление: (из книги Ивана Буттера « Занимательные и увеселительные задачи и загадки», изданной в Петербурге в 1831 году.)

1. Три яблока разделить двум отцам и двум сыновьям так, чтобы каждому досталось по целому яблоку. (Решение: Поликарп, Сидор и Карп. Поликарп - отец Сидора, сидор - отец Карпа.)

2) Написать сто без нулей ( 99).

3) Предложи задумать четное число и умножить его на 3, половину полученного произведения умножить снова на 3. Спроси, сколько девяток содержится в полученном числе?

( Решение: = 9х . Таким образом, число девяток, о котором идет речь в задаче, всегда равно х, т.е. половине самого задуманного числа.

Решение старинных задач из рукописей

1. Древнеримская задача II в.

«Некто, умирая, завещал: если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано имения, а жене остальная часть. Если же родится дочь, то ей , а жене . Родилась двойня - сын и дочь. Как же разделить имение?

Решение:

Сын должен получить в 2 раза больше жены, жена - в 2 раза больше дочери. Имение следовало разделить между сыном, женой и дочерью прямо пропорционально числам 4:2:1.

2. Из папируса Ахмеса (Египет, около 2000 лет до н.э.).

Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:

- Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада? Пастух отвечает:

- Я привожу две трети от трети скота. Сочти, сколько быков в стаде?

Решение:

1) * = 2) 70 : = 315(быков) - в стаде.

Ответ: 315 быков.

3. Из Акмимского папируса (7 век)

Некто взял из сокровищницы . Из того, что осталось, другой взял . Оставил же в сокровищнице 192. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?

Решение:

Пусть в сокровищнице было х.

х - взял первый,

х - х = х - осталось

* х = - взял второй

х - х = х - осталось в сокровищнице

х = 192 х = 221.

Ответ: 221.

4.Из книги «Косс» Адама Ризе (16 в.)

Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлось этой суммы, на долю второго -, а долю третьего - 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?

Решение: Пусть выиграли х. Составим уравнение х - (х + х) = 17

х - х = 17; х = 17; х = 28

Ответ: 28 флоридов.

5.У пятерых крестьян - Ивана, Петра, Якова, Михаила Герасима - было 10 овец. Не могли они найти пастуха, чтобы пасти овец. И говорит Иван остальным: "Будем, братцы, пасти овец по очереди - по столько дней сколько каждый из нас имеет овец".По сколько дней должен каждый крестьянин пасти овец, если известно, что у Ивана в два раза меньше овец, чем у Петра, у Якова в два раза меньше, чем у Ивана; Михаил имеет овец в два раза больше, чем Яков, а Герасим - вчетверо меньше, чем Петр?

Решение: Пусть Иван должен пасти х дней, Петр 2х дней, Яков х дней,

Михаил 2 * х = х дней, Герасим х дней

. Составим уравнение

х + 2х + х + х + х = 10; 5х = 10; х = 2 дней - Иван;

Петр -4 дней; Яков -1 день; Герасим -1 день.

Ответ: Петр -4 дня; Яков -1 день; Герасим -1 день; Иван 2 дня.

6.Крестьянин менял зайцев на кур: брал за всяких двух зайцев по три курицы. Каждая курица снесла яйца - третью часть от числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйца, брал за каждые 9 яиц по столько копеек, сколько каждая курица снесла яиц, и выручил 72 копейки. Сколько было кур и сколько зайцев?

Решение: Пусть зайцев 12, а кур 18.Проверим это. 1 курица снесла * 18 = 6 яиц.

Всего 18 * 6 = 108 яиц, 108 : 9 = 12 ( раз). За 9 яиц - 6 коп. Итак, 12 * 6 = 72.

Ответ: зайцев 12, а кур 18.

7.Летело стадо гусей, навстречу им летит один гусь и говорит «Здравствуйте, сто гусей», а те ему отвечают «Нет, нас не сто гусей, а если бы нас было еще столько, сколько есть, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, один гусь с нами, тогда нас было бы ровно сто гусей». Сколько их было?

Решение

Пусть было х гусей. Составим уравнение:

х+х+0,5х+0,25х+1=100

2,75х=99

х=36 ( гусей)- в стае

Ответ: 36 гусей.

8.Задача из рукописи 17 в.

Четыре плотника у некого гостя хотят построить дом. И говорит первый плотник так: «Только б де мне одному тот дом ставити, я бы де его поставил един годом». А другой молвил: «Только б де мне одному тот дом ставити, я бы де его поставил в два года». А третий молвил: «Только б де мне одному тот дом ставити, я бы де его поставил в три года». А четвертый так рек: «Только б де мне одному тот дом ставити, я бы де его поставил в четыре

года».Ино ве те четыре плотника тот дом ставити вместе. Ино сколько долго они ставили, сочти мне?

Решение:

За 12 лет первый плотник построит 12 домов, второй - 6 домов, третий - 4 дома, четвертый -3 дома. Следовательно, за 12 лет вместе они построят 12 + 6 + 4 + 3 = 25 домов. Таким образом, четыре плотника вместе один дом построят за = 175дня.

9.Древнекитайская задача.

Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Решение :

+ =

1: = = 3,9375

Ответ: через 3,9375 дня они встретятся.

10.Отряд солдат подходит к реке, через которую необходимо переправиться. Но мост сломан, а река глубока. Как быть? Вдруг командир замечает двух мальчиков, которые катаются на лодке недалеко от берега. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или только двое мальчиков - не больше! Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Как это было сделано?

Решение:

Дети переехали реку. Один из мальчиков остался на берегу, а другой пригнал лодку к солдатам и вылез. Тогда сел солдат и переправился на другой берег. Мальчик, оставшийся там, пригнал обратно лодку к солдатам, взял своего товарища, отвез на другой берег и снова доставил лодку обратно, после чего вылез, а в нее сел другой солдат и переправился. Таким образом - после каждых двух перегонов лодки через реку и обратно - переправлялся один солдат. Так повторялось столько раз, сколько было солдат.

11.Крестьянка принесла на рынок корзину яблок. Первому покупателю она продала половину всех своих яблок и ещё пол-яблока, второму - половину остатка и ещё пол-яблока, третьему - половину остатка и ещё пол-яблока и т. д. Когда же пришёл шестой покупатель и купил у неё половину оставшихся яблок и пол-яблока, то оказалось, что у него, как и у остальных покупателей, все яблоки целые и что крестьянка продала все свои яблоки. Сколько яблок она принесла на рынок?

Решение:

Задача сразу решается, если сообразить, что последнему (шестому) покупателю досталось одно целое яблоко. Значит, пятому досталось 2 яблока, четвертому 4, третьему 8 и т. д. Всего же яблок было 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63, т. е. крестьянка принесла на рынок 63 яблока.

12. В шесть часов утра в воскресенье гусеница начала всползать на дерево. В течение дня, т. е. до 18 часов, она всползала на высоту 5 м, а в течение ночи спускалась на 2 м. В какой день и час она всползет на высоту 9 м?

Решение:

Часто при решении подобных задач рассуждают так: гусеница за сутки, т. е. за 24 ч, всползет на 5 м без 2 м. Значит, всего в сутки она всползет на 3 м. Следовательно, высоты 9 м она достигнет по истечении трех суток, т. е. она будет на этой высоте в среду в 6 ч утра. Но такой ответ, очевидно, неверен: в конце вторых суток, т. е. во вторник в 6 ч утра, гусеница будет на высоте 6 м; но в этот же день, начиная с шести часов утра, она до 18 ч может всползти еще на 5 м. Следовательно, на высоте 9 м, как легко рассчитать, она окажется во вторник в 13 ч 12 мин.

13.Сошлись два пастуха, Иван и Петр. Иван говорит Петру: «Отдай мне одну овцу, тогда у меня овец будет ровно вдвое больше, чем у тебя!». А Петр ему отвечает: «Нет! Лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас овец будет поровну!». Сколько овец было у каждого?

Решение: пусть у Ивана х овец, а у Петра у овец. Итак, х + 1 = 2 (у - 1); х - 1 = у + 1;

х + 1 = 2у -2; х = 2у - 3; 2у - 3 - 1 = у + 1; у = 5( овец); х = 2 * 5 - 3 = 7 (овец)

У Ивана было 7 овец, у Петра - 5.

14.Старик, имевший трех сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежащее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний - треть и младший - девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали дележ, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, братья обратились к мудрецу. Тот приехал к ним на собственном верблюде и разделил по завещанию. Как он это сделал?

Решение:

Он добавил своего верблюда, а потом половину, то есть 9 верблюдов, отдал старшему, 6 - среднему и 2 младшему сыну, а своего верблюда забрал обратно.

15.Лошадь съедает воз сена за месяц, коза за два месяца, овца за три месяца.За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

Решение.

Поскольку лошадь съедает воз сена за месяц, то за год (12 месяцев) она съедает 12 возов сена. Так как коза съедает воз сена за 2 месяца, то за год она съедает 6 возов сена. И, наконец, поскольку овца съедает воз сена за 3 месяца, то за год она съедает 4 воза сена. Вместе же они за год съедят 12+6+4=22 воза сена. Тогда один воз сена они вместе съедят за 12:22 = месяца.

16.Задача из "Курса чистой математики" Войтяховского (1811 г.)

Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?

Решение

Пусть пробка стоит х копеек, тогда бутылка стоит (х+10) копеек.

х+(х+10)=12

2х=2

х=1(коп) - стоит пробка.

1+10=11 (коп) - Стоит бутылка

Ответ: пробка стоит 1 копейка, бутылка - 10 копеек.

17. Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее даже самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.

Решение :

Разделить 9 монет на 3 группы по 3 монеты. Кладем по 3 монеты. Кладем по три монеты на чашки весов. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда берем две из трех монет и кладем их по одной на чашки. Если весы в равновесии, то легкая монета третья, если нет, то одна чашка поднимется - там фальшивая.

18. Древнекитайская задача из «Математика в девяти книгах».

В клетке сидят фазаны и кролики. У них вместе 35 голов и 94 ноги. Сколько фазанов и кроликов в клетке?

Решение:

Пусть фазанов х, тогда кроликов ( 35 - х) .У фазанов было 2х ног, а у кроликов 4( 35 -х) ног. Составим уравнение 2х + 4 ( 35 - х) = 94

х = 23 фазана.

35 - 23 = 12 кроликов.

Ответ:12,23.

19. Сапожник сделал сапоги и сказал подмастерью продать их за 25 рублей. К подмастерью на рынке подошло двое инвалидов (у одного нет левой ноги, у другого - правой), и он продал им по сапогу за 12,50 соответственно. Возвращается, отдает деньги сапожнику и рассказывает, как удачно продал.А сапожник отвечает: "Ну что ж ты, инвалидам надо было сделать скидку. Держи 5 рублей, разыщи их и верни по 2,50.″ А подмастерье решил отдать инвалидам только по рублю, а остальные три рубля пропил. Нашел инвалидов и отдал каждому по рублю. Вышло, что сапоги обошлись инвалидам по 11,50. 11,50+11,50 = 23 и еще 3 рубля пропиты. Итого: 26 рублей, а было 25. Откуда лишний рубль?

Решение:

3 рубля, пропитых подмастерьем, уже входят в 23 рубля, заплаченных инвалидами за сапоги. Поэтому их нельзя складывать, как это сделано в условиях задачи. Сапожник получил за сапоги 25 рублей, затем 5 рублей велел отдать инвалидам. Значит у сапожника осталось 20 рублей. Получается, инвалиды, получив обратно по рублю, заплатили за сапоги 23 рубля, из которых 20 рублей досталось сапожнику, а 3 рубля пропил подмастерье. Никаких "лишних" денег в сделке не возникло.

20.Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?

Решение:

Лев за час съест часть овцы,

Волк за час съест часть овцы,

Собака за час съест часть овцы.

вместе за час они съедят: + + =1(овцу)

Ответ: они вместе съели бы овцу за 1 час.

21. Основание Карфагена.Об основании города Карфагена существует древнее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого ее братом, бежала в Африку. Там она купила у нумидийского царя столько земли, "сколько занимает воловья шкура". Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, а впоследствии был построен и город. Попробуйте приблизительно определить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что размер воловьей шкуры 4 кв. м., а ширина ремешков, на которые Дидона ее разрезала, 1 мм.

Решение:

Если площадь воловьей шкуры 4 кв. м. (или 4 млн. кв. мм.), а ширина ремешков 1 мм., то общая длина вырезанного ремня (Дидона, надо думать, вырезала его спирально) - 4 миллиона миллиметров, или 4000 метров, т.е. 4 км. Таким ремнем можно окружить квадратный участок 1 кв. км. и круглый - в 1,3 кв. км.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Три рыцаря, каждый в сопровождении оруженосца, съехались на берегу реки и хотят переправиться на другой берег. Есть лодка, которая может вместить только двух человек. Могут ли переправиться рыцари и их оруженосцы на другой берег при условии, что оказавшись отдельно от своего рыцаря, ни один оруженосец не находился бы при этом в обществе других рыцарей?

2. Работали два крестьянина в поле и решили пообедать. У первого было два хлеба, а у второго - один. В это время подошёл к ним третий и попросил поделиться. Ему дали один хлеб и каждый съел по хлебу. За свою долю крестьянин дал им 6 рублей и, поблагодарив, ушёл. Как поделить оставшимся эти деньги?

3.К табунщику пришли три казака покупать лошадей". Хорошо, я вам продам лошадей, - сказал табунщик, - первому продам я полтабуна и еще половину лошади, второму - половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе же оставлю только 5 лошадей". Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?

4.Паромщик многие годы зарабатывал на жизнь тем, что перевозил через реку людей, их скраб и животных. Платы он большой не взимал, поэтому люди охотно пользовались его услугами, но за всю жизнь так и не удалось ему скопить денег на новый большой паром. На его маленьком пароме хватало места только для самого паромщика и еще чего-нибудь одного. Однажды ему нужно было переправить через реку волка, козу и капусту. Но вот неудача - волка с козой без присмотра оставлять нельзя, козу с капустой тоже. Объясните паромщику как в целости и сохранности переправить через реку капусту и животных?

5.Из знаменитой « Арифметики» Л.Ф.Магницкого.

На мельнице имеется три жернова. На первом из них за сутки можно смолоть 60 четвертей зерна, на втором 54 четверти, а на третьем 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за наименьшее время на этих трех жерновах. За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько для этого на каждый жернов надо зерна насыпать?

Тема 5. Старинные задачи через века и страны.

Алкуин Флакк Альбин

Алкуин Флакк Альбин (ок.735- 804) - англосакс, ученый и педагог, деятель «Каролингского возрождения». Родился недалеко от Йорка, здесь же получил образование в архиепископской школе, которую возглавлял Эгберт Йоркский. До 50 лет Алкуин Флакк Альбин оставался в Йорке, в школе Эгберта, где стал учителем, а с 778 г. - главой школы. В 781 г. Алкуин Флакк Альбин по делам школы отправился в Рим и по пути встретился с Карлом Великим. Глубокие знания и его школьный опыт натолкнули Карла на мысль пригласить ученого в придворную школу. Алкуин долго совмещал свою преподавательскую деятельность в Йорке и в Ахене, но в 793 г. окончательно осел у франков, при дворе, в качестве главы

придворной школы, а также друга и советника Карла. Через три года Алкуин Флакк Альбин стал аббатом монастыря св. Мартина в Туре, где оставался до самой смерти. Здесь же он основал знаменитую школу письменности. В бытность аббатом Алкуин Флакк Альбин особенно внимательно следил за работой местного скриптория. Считается, что именно он вдохновил писцов на разработку нового письма, известного как каролингский минускул.

Большое значение имели труды Алкуин Флакк Альбин по литургии, заложившие основы католической обрядности. После него осталось около 300 латинских писем, дающих представление (более полное, чем хроники и «деяния») о быте, нравах, образовании, занятиях, в том числе и научных, в каролингскую эпоху. Алкуин Флакк Альбин создал ряд учебный пособий: учебник грамматики, учебник риторики, учебник диалектики, сборник задач по арифметике и др. Этими работами пользовались в школах до конца Средневековья. Написаны они были в форме диалога - типичного для средневековой школы: от простых понятий до сложных.

Задача Алкуина.

За сколько прыжков гончая настигнет зайца, если первоначально их разделяет расстояние 150 футов, заяц с каждым прыжком удаляется от собаки на 7 футов, а собака бежит быстрее зайца и с каждым прыжком приближается к нему на 9 футов?

Решение:

1) 9 - 7 = 2 ( прыжка) - скорость сближения

2) 150 : 2 = 75 ( прыжков) - гончая достигнет зайца.

Ответ: за 75 прыжков.

Сергей Александрович Рачинский

Сергей Александрович Рачинский был родом из богатой помещичьей семьи Смоленской губернии. Родился он в 1833 году в родовом поместье, селе Татеве Бельского уезда. По матери был родным племянником поэта Баратынского. Детство его прошло в старой дворянской усадьбе. Когда Рачинскому исполнилось одиннадцать лет, семья переехала в Дерпт, а четыре года спустя - в Москву, где Сергей Александрович поступил в университет. От матери он унаследовал набожность, и церковные впечатления оставили след в его чуткой душе. В первую свою прогулку по Москве в Троицын день он зашел в церковь Успения на Покровке.

Высокий, прекрасный, ярко освещенный солнцем и украшенный березками и цветами храм остался в его памяти как первое светлое и счастливое воспоминание о Москве. В течение года Рачинский готовился к экзамену и в шестнадцать лет поступил на медицинский факультет. На следующий год, испытывая влечение к естественным наукам, перешел вольнослушателем на естественный факультет. После сдачи магистерского экзамена он поступил в архив Министерства иностранных дел в качестве личного секретаря к А.Н. Муравьеву, автору «Писем о богослужении». Можно предположить, что близость к человеку, живущему церковной жизнью, оставила след в жизни Сергея Александровича.

В 1856 году, избрав своим предметом ботанику, он уезжает за границу готовиться к кафедре. Вернувшись, защитил магистерскую диссертацию, и его пригласили занять кафедру ботаники в Московском университете. В 1866 году защитил докторскую диссертацию. В 1868 подал в отставку и до 1872 года вел светскую жизнь в Москве. Переехав в родовое имение в Татево, он почувствовал неудовлетворенность своей жизнью. Это был непростой период его жизни. Однажды он зашел в сельскую школу и попал на урок арифметики, который показался ему необычайно скучным. Сергей Александрович попробовал сам дать урок, стараясь сделать его интересным и живым. Неожиданно его жизнь обрела смысл и начала доставлять ему большую радость. Он стал сельским учителем. В 1875 году С.А. Рачинский построил прекрасное школьное здание, где с этого времени поселился и он сам.

Школа, устроенная Рачинским, представляла собой большое деревянное одноэтажное здание с широкой террасой спереди. Небольшая двухэтажная пристройка заключала внизу две комнаты самого Рачинского, а верх отдали ученикам, занимавшимся иконописанием и живописью. Перед зданием трудами учителя и учеников был разбит большой красивый цветник. Стены террасы и столбы, поддерживающие навес, были украшены вьющимися растениями. Цветы наполняли террасу. В здании размещались столовая, кухня, общежитие, классная комната. Просторная, светлая, с большими окнами классная комната была украшена множеством картин и рисунков из Божественной и русской истории, рисунками его учеников и среди них был известный в будущем художник Богданов-Бельский.

Школа блистала чрезвычайной опрятностью и порядком, и все это поддерживалось учениками под наблюдением Рачинского. Дети сами мыли полы, выметали сор и пыль, рубили дрова, топили печи, таскали воду, ходили за провизией; только для приготовления обеда была старушка, являвшаяся единственной прислугой в школе и в школьном общежитии, в котором иногда набиралось до пятидесяти человек. Родовитый барин Рачинский не только поддерживал в школе порядок наравне с учениками, но и принял на себя самую черную обязанность: он очищал с площади перед школьным зданием навоз, которого особенно много бывало после праздников,когда в церковь и село прие-

езжало множество крестьянских подвод. Весь этот сор и навоз шел обыкновенно в школьные цветники и огороды.

С.А. Рачинский настолько отдал себя детям, что один из посетителей школы даже заметил: «Он был не только учителем своих учеников, мне кажется, мало будет назвать его отцом. Школа была его дом, школьники - его семья, для которой он работал, не покладая рук». Татевские школьники никогда не оставались без надзора, с ними были или сам Сергей Александрович, или его помощник. Дверь в комнату директора никогда не запиралась, ни днем, ни ночью. Он был для учеников и учителем, и слугой, и воспитателем, и надзирателем. При такой отеческой нежности к ученикам он в то же время был с ними тверд, не потворствовал их слабостям и проступкам. Сердечное отношение к школьникам делало в большинстве случаев невозможными сами проступки. В случаях проявления дурного характера Рачинский стремился затронуть в детях чувство справедливости. Мелкие же проступки он старался не замечать. С раннего утра до поздней ночи проводил Рачинский в своем ежедневном подвиге. В шесть часов дети, жившие в общежитии, вставали и шли на молитву. Здесь их уже ожидал Сергей Александрович. Он произносил начальный и заключительный молитвенный возглас, как это положено мирянам. Дежурный ученик читал положенные молитвы, они заканчивались общим пением. Затем следовал завтрак - хлеб с молоком, а в постные дни - с квасом. От завтрака до девяти часов производились хозяйственные работы: кто носил дрова в комнаты, кто воду, кто поливал цветы, кто убирал школу, кто отправлялся на помещичий двор за съестными припасами. Сергей Александрович в это время ходил здороваться со своей престарелой мамой.С девяти начинались занятия до полудня, и сам Рачинский преподавал в старшей группе. В полдень был обед. Столовая служила для ребят и спальней - по стенам были устроены полати с отделениями для каждого мальчика. В этой комнате стояли два длинных стола с лавками по бокам. Во главе одного стола садился Сергей Александрович, а за другим - его помощник.

Затем до двух часов было свободное время, зимой отгребали снег около школы, летом работали в огороде. Если Сергей Александрович по своей слабости не мог принять участие в работах, то он в это время переписывал ноты для школьного хора и рисовал для Татева или соседней школы молитвы, тропари и кондаки двунадесятых праздников с разноцветными заставками и орнаментами. С двух часов до четырех шли уроки, в четыре ребята полдничали, затем отдыхали, играли на дворе или прогуливались, а с шести до девяти продолжались занятия. Решали арифметические задачи на устный счет, читали и заучивали лучшие и доступные крестьянскому пониманию произведения русской словесности. Бывали в это время и спевки.

Арифметические задачи, решаемые в уме, ученики особенно любили. Было заведено так, что сам Рачинский сидел или стоял в сторонке, а тот, кто решит написанную на большой черной доске задачу, подбегает к нему и шепчет на ухо ответ. Если решение верно, мальчик становится по правую руку учителя, если неверно - по левую. Желая поощрить наиболее смышленых детей, Рачинский оделял пряниками тех, кто быстрее всех шептал ему на ухо правильный ответ. Эти задачи были напечатаны в особой книжке «1001 задача для устного счета». В девять часов вечера при непременном присутствии Сергея Александровича читали вечерние молитвы. В субботу и предпраздничные дни уроки оканчивались в двенадцать часов дня. После обеда производилась общая уборка здания школы, а потом ученики шли в баню и, вернувшись, все вместе пили чай. После чая сам Рачинский читал и объяснял очередное воскресное или праздничное Евангелие. После богослужения дети пили чай с пирогами, резвились, отдыхали, уходили к родным, а вечером обыкновенно занимались с Сергеем Александровичем решением устных задач.

Рачинский понял, что дети никогда не полюбят школу настоящим образом, если с ней будут связаны лишь воспоминания об упорном напряженном труде. Он знал, что в детских душах ярче запечатлеваются не будничные, обычные воспоминания, а воспоминания редкие, праздничные, необычные. Поэтому все радости праздничных дней, всю их особенность он тесно связал со школой и этим еще больше привязал к ней сердца крестьянских детей

Задача Рачинского.

Вычислите быстро .

Решение: + = 1 + 1 = 2.

Леонард Эйлер (1707 - 1783) - гений 18 века.

Эйлер - крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира. Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома. Среди его работ - первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислению.

В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского математика П. Ферма и доказал ряд утверждений: малую теорему Ферма, великую теорему Ферма для показателей 3 и 4. Он сформулировал проблемы, которые определили горизонты теории чисел на десятилетия. Эйлер предложил применить в теории чисел средства математического анализа и сделал первые шаги по этому пути. Он понимал, что, двигаясь дальше, можно оценить число простых чисел, не превосходящих n, и наметил утверждение, которое затем докажут в XIX в математике П. Л. Чебышев и Ж. Адамар. Эйлер много работает в области математического анализа.

В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку - топологию.

Даже основные результаты научной деятельности Эйлера трудно перечислить. Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с многочисленными новыми конкретными результатами. У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые дает аналитическое изложение механики вместо геометрического изложения Ньютона, строит механику твердого тела, а не только материальной точки или пластины.

Одно из самых замечательных достижений связано с астрономией и небесной механикой. Он построил точную теорию движения Луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца. Это пример решения очень трудной задачи. Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наиболее громоздкие вычисления. Для многих поколений математиков Эйлер был учителем. По его математическим руководствам, книгам по механике и физике училось несколько поколений. Основное содержание этих книг вошло и в современные учебники.

Задачи Эйлера.

Старший из моих сыновей должен получить 1000 рублей и остатка, следующий - 2000 руб. и часть остатка, третий - 3000 руб. и остатка и т.д.Определить число сыновей и размер завещаемого сбережения.

Решение:

Так как все сыновья получили поровну, то часть = 1000 рублей, а остальные 7000 получил младший сын, который., таким образом, был седьмым сыном. Итак, сыновей 7, а всего денег 7000 * 7 = 49000 рублей.

Ответ:7 сыновей, 49000 рублей.

Задачи Эйлера.

Каждое четное число, начиная с четырех, можно разбить на сумму двух простых чисел. Проверьте это на примере нескольких двузначных чисел.

Задачи Эйлера (из учебника «Введение в алгебру»).

Две крестьянки принесли на рынок 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала второй «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 I крейцера». Сколько яиц было у каждой?

Анания Ширакаци (615 г.)

Анания Ширакаци (615 г.) - армянский философ, математик и географ середины 7 века. Он прославился как борец за освобождение своей родины от иностранных захватчиков.Анания писал книги по математике. Он составил таблицы сложения, вычитания и умножения. Его труд « Шеститысячником» мог применяться при делении чисел. Среди книг Анания имеется также арифметика и сборник задач, названный « Вопросы и решения».1300 лет назад Анания решал задачи на дроби. Которые даже для многих ученых из Европы в то время казались трудными.

Задача Анания.

В городе Афины был водоем, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоем за 1 ч, другая, более тонкая, - за 2 ч, третья, еще более тонкая, - за 3 ч. За какую часть часа все три трубы вместе наполнят водоем?

Решение:

За 6 часов первая труба наполнит 6 таких водоемов, вторая - 3, третья - 2. Всего 11 водоемов. Значит, три трубы вместе наполнят один водоем за ч.

Задача Анания.

Один купец прошел через 3 города, взыскивали с него в первом городе пошлины половину и треть имущества и во втором городе половину и треть ( с того, что у него осталось), в третьем городе снова половина и треть ( с того, что у него было). И, когда он прибыл домой, у него осталось 11 денежков. Сколько всего денежков было вначале у купца?

Ответ: 2376 денежков.

Клод Гаспар Баше де Мезириак ( 1587 - 1638) .

Французский любитель математики, поэт - автор оригинальных сборников математических развлечений « Занимательные и приятные математические задачи» 1612 г., « Задачи забавные и сладостные» 1624 г.

Задача Баше де Мезириака.

Разделите 8 мер жидкости поровну, имея посуду емкостью 3 меры и 5 мер.

Решение:

1 способ: ( 8; 0; 0) , (3; 5;0) , ( 3;2;3), (6;2;0), (1;5;2), (1;4;3), (4;4;0).

2 способ: ( 8; 0; 0) , (5; 0;3) , ( 5;3;0), (2;3;3), (2;5;1), (7;0;1), (7;1;0), (4;1;3), (4;4;0).

Этьенн Безу ( 1730 - 1783).

Этьенн Безу - французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе. Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем

уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном ) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный "Курс математики ", написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе . Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.

Задача Безу.

По контракту работникам причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них взыскивается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали?

Решение:

Пусть х - число дней, отработанные работниками. Получим уравнение

48х - 12( 30 - х ) = 0

х = 6 дней.

Ответ: 6 дней.

Задача Э.Безу.

Некто купил лошадь и спустя время продал ее за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила лошадь. Спрашивается: за какую сумму он ее купил?

Диофант (III-IVв ).

На фоне общего застоя и упадка резко выделяется гигантская фигура Диофанта. В III-IV веках нашей эры жил в городе Александрии знаменитый греческий математик Диофант. Почти все математики древности занимались уравнениями. Много внимания им уделял, а главное, много нового внес в способы их решения древнегреческий ученый Диофант. О Диофанте известно очень мало. Есть основание полагать, что он жил около III в. н.э. Одна группа уравнений, так называемые неопределенные уравнения, до сих пор называются диофан -

товыми уравнениями. Именно для них он нашел способ решения. Скудные сведения о Диофанте может дополнить нам лишь надпись на надгробном камне, сформулированная задача. До нас дошли шесть из тринадцати книг "Арифметики", написанных Диофантом, да предание о надписи на его могильном камне. Эта надпись дает возможность определить продолжительность жизни математика, которого позднее назвали "отцом греческой алгебры".

Здесь погребен Диофант, и камень могильный

При счете искусном расскажет нам,

Сколь долог был его век.

Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни;

В двенадцатой части затем прошла его светлая юность.

Седьмую часть жизни прибавим - перед нами очаг Гименея.

Пять лет протекли; и прислал Гименей ему сына.

Но горе ребенку! Едва половину он прожил

Тех лет, что отец, как скончался несчастный.

Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой

И умер, прожив для науки. Скажи мне,

Скольких лет достигнув, смерть воспринял Диофант?

Главный труд Диофанта- "Арифметика", по предположению, состоит из 13 книг. Книга Диофанта "Арифметика" содержала большое количество интересных задач, её изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней. В честь Диофанта назван кратер на Луне.

О жизни Метродора, составителя задачи о жизни Диофанта, ничего неизвестно, нет сведений о времени его жизни и смерти. В историю математики древней Греции он вошел как автор задач, составленных в стихах. Задачи Метродора входили в рукописные сборники и имели в своё время большое распространение.

Задача Диофанта.

Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали.
Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен.
Это подметивший мул обратился к попутчику с речью:
"Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, как будто девчонка?
Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру,
Если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись".
Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.

Решение:

Пусть осел нес х мер, а мул нес у мер.

у + 1 = 2 ( х - 1)

у - 1 = х + 1; у = 2х - 2 - 1 = 2х - (1 + 2 ) = 2х - 3; 2х - 3 -1 = х + 1;

х = 5 мер; у =7 мер. Итак, осел нес 5 мер; мул 7 мер.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача Гольдбаха.

Всякое нечетное число, большее пяти, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. Проверьте это на примере нескольких двузначных чисел.

Задача Бируни.

Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца.

Задача Метродора. Корона весит 60 мин (греческая мера) и состоит их сплава золота, меди, олова и железа. Золото и медь составляют , золото и олово , золото и железо общего веса. Определить вес каждого металла в отдельности.

Решение: Сначала определим, сколько мин приходится на каждую из упомянутых в условии задачи частей.

1) 60 · = 40 (мин) - масса золота и меди;

2) 60 · = 45 (мин) - масса золота и олова;

3) 60 · = 36 (мин) - масса золота и железа.

Сумма полученных результатов превышает массу короны на удвоенную массу золота.

4) (40 + 45 + 36 - 60):2 = 30,5 (мин) - масса золота;

5) 40 - 30,5 = 9,5 (мин) - масса меди;

6) 45 - 30,5 = 14,5 (мин) - масса олова;

7) 36 - 30,5 = 5,5 (мин) - масса железа

Ответ: 9,5 мин; 14,5 мин; 5,5 мин.

Тема 6. Исаак Ньютон. Задачи из "Всеобщей арифметики".

«При изучении наук задачи полезнее правил» - писал Исаак Ньютон в своей "Всеобщей арифметики" и сопровождал теоретические указания рядом примером.

Исаак Ньютон (1643 - 1727)

Исаака Ньютона, великого английского ученого, математики считают математиком, физики - физиком, а астрономы - астрономом. Родился он в местечке Вулсторп, около города Грантема, расположенного в центре Британии, в семье небогатого фермера. Уже в детстве Исаак любил строить сложные механические игрушки, модели различных машин, солнечные и водяные часы, воздушные змеи, разноцветные бумажные фонарики. Эти занятия способствовали тому, что что в нем развилась фанта зия экспериментатора. Дом в Вулсторпе, где родился и

вырос И. Ньютон, сохранился до наших дней. Маленького Исаака воспитывала бабушка (мать вторично вышла замуж и переехала в другой город). Здесь он научился читать, писать и считать. В 12 лет его отправили учиться в город Грантем в королевскую школу. До наших дней на одном из зданий Грантема сохранились сделанные им солнечные часы. Также он любил запускать воздушных змеев. Ночью он привязывал к ним фонари, а случайным зрителям утверждал, что это летают кометы. Своим первым физическим опытом Ньютон считал измерение силы ветра во время бури в 1658 г. Опыт проводился так: сначала Исаак прыгал по направлению ветра, а потом - против. Измерив длины прыжков в первом и во втором случаях, он вычислил силу ветра. Много времени Исаак уделял в это время химическим опытам. Дело в том, что в Грантеме он жил, а семье аптекаря, а в то время аптеки мало чем отличались от лабораторий алхимиков. Все эти занятия привили мальчику вкус к экспериментам, которые требуют аккуратности, точности и «чутья». Заметим, что в дальнейшем Ньютон сам шлифовал зеркала и линзы для своих опытов по оптике, превосходя лучших лондонских мастеров. Мальчик неплохо рисовал, изучал правила рисования пером и красками, и это, видимо, дало толчок его дальнейшим исследованиям в оптике по природе света. В то же время мальчик увлекался решением сложных математических задач. Это увлечение склонило родственников Ньютона к мысли дать ему университетское образование. В 1661 г. Ньютон поступает в Кембриджский университет, в самый престижный его колледж - Тринити-колледж. Он был принят в качестве субсайзера - так называли студентов из бедных семей, которые помимо учебы выполняли обязанности слуг для преподавателей колледжа. В течение двух лет Ньютон изучал математику, геометрию, тригонометрию, древние языки (латинский, греческий и еврейский), а также богословие. Следует заметить, что в дальнейшем Ньютон много сам занимался богословием, написал большое количество работ на эту тему, но ничего оригинального он здесь не создал. В историю Ньютон вошел как гениальный ученый - математик и физик.

Основную часть своих открытий Ньютон совершил в течение двух лет по окончании Кембриджского университета. В то время в Англии свирепствовала эпидемия страшной болезни - чумы, от которой умирали тысячи людей. Ньютон уехал в родной Вулсторп и погрузился в научную работу. Там Ньютон открыл закон взаимного притяжения тел (гравитация). В соответствии с этим законом небесные тела вращаются вокруг Солнца, и, опираясь на этот закон, можно рассчитать их пути - орбиты, как и орбиты искусственных небесных тел - спутников и космических кораблей и станций.

Рассказывают, что идея закона всемирного тяготения пришла к Ньютону в тот момент, когда, сидя в саду, он наблюдал падение яблока на землю. Первая идея, что Земля притягивает яблоко, сама по себе замечательна, но Ньютон догадался, что и яблоко также притягивает Землю , но с силой во столько раз меньшей, во сколько раз масса яблока меньше массы Земли. Здесь же, в Вулсторпе, Ньютон понял, почему белый свет, преломившись в стеклянной призме, распадается на много цветных лучей, а преломившись в дождевых каплях, образует радугу. Он придумал зеркальный телескоп, используя для увеличения предметов вогнутое зеркало, и сам его построил. Занятия математикой привели Ньютона к созданию ее раздела, который называется сейчас высшей математикой. Придуманные им математические понятия и методы позволили изучать движение различных тел и механизмов, определять площади и объемы произвольных фигур и тел, благодаря чему техника получила возможность быстро развиваться. Всю свою дальнейшую жизнь Ньютон приводил в порядок и публиковал открытия, сделанные им с 1665 по 1667 г. в Вулсторпе. Много лет он преподавал в Кембриджском университете, став там профессором. Затем был назначен директором Монетного двора, где провел несколько важных реформ, в частности ввел насечку на ребре монеты. Много лет он являлся членом парламента, хотя там ни разу не выступил.

Последние 25 лет жизни Ньютон был президентом Лондонского королевского общества - английской академии наук, где многое сделал для развития науки. Многие математические труды Ньютона так и не были своевременно опубликованы. Первые его сравнительно подробные публикации относятся к 1704 г. Это работы «Перечисление кривых третьего порядка», где описаны свойства этих кривых, и «Рассуждения о квадратуре круга», посвященные дифференциальному и интегральному исчислениям.В 1688 г. И. Ньютона выбирают в парламент, а в1699 г. он переезжает в Лондон, где получает пожизненное место директора монетного двора.

Работы Ньютона надолго определили пути развития физики и математики. Значительная часть классической механики надолго сохранилась в виде, созданном Ньютоном. Закон всемирного тяготения постепенно осознавался как единый принцип, позволяющий строить совершенную теорию движения небесных тел. Созданный им математический анализ открыл новую эпоху в математике.

Задачи из "Всеобщей арифметики" Исаака Ньютона.

Приведённая ниже задача впервые была опубликована во «Всеобщей арифметике» И. Ньютона, но с той поры она не утратила своей актуальности. Современные бурёнки, как и в XVII веке, пасутся на лугах, жуют траву и дают молоко. Итак, задача.

Задача Ньютона.

Трава на лугу растёт одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы всю траву за 24 дня, а 30 коров - за 60 дней. Сколько коров съест всю траву на лугу за 96 дней?

Решение:

Назовем «пайком» количество травы, съедаемое 1 коровой за 1 день. За 24 дня 70 коров съедают 24 * 70 = 1680 пайков. 30 коров за 60 дней съедают 60 * 30 = 1800 пайков. В обоих случаях была съедена вся трава на лугу. Таким образом, 1800 - 1680 = 120 пайков составляют прирост за 60 - 24 = 36 дней, значит прирост за 24 дня 80 пайков, а первоначальный запас 1680 - 80 = 1600 пайков. За 96 дней прирост будет 1600 + 320 = 1920 пайков. За 1 день съедают 1920 : 96 = 20 пайков, т.е за 96 дней всю траву поедают 20 коров.

Ответ: 20 коров.

Задача Ньютона.

Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом рабочий А может выполнить её один раз в три недели, рабочий В - три раза за 8 недель, рабочий С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе? (в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)

Решение :

Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч)

Рабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч)

Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=(ч)

За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть работы, С выполнит часть работы. Вместе за 1 час они выполнят + + == часть работы.

Тогда всю работу они выполнят за 1: = 64(ч)

Ответ: за 64 часа

Задача Ньютона.

Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?

Решение:

Лев за час съест часть овцы,

Волк за час съест часть овцы,

Собака за час съест часть овцы.

вместе за час они съедят: + + = 1(овцу)

Ответ: они вместе съели бы овцу за 1 час.

Задача Ньютона^*.

Купец имел некоторую сумму денег. 100 фунтов из нее он затрачивал каждый год на содержание своей семьи, прибавляя к оставшейся сумме одну ее треть. Через три года он обнаружил, что его состояние удвоилось. Сколько денег было у него вначале?

Решение:

Купец имел некоторую сумму денег х.

В первый год он истратил 100 фунтов, т.е у него осталось х - 100. К остатку он добавил третью его часть, и у него стало: ( х - 100) + ( х -100) = (4х - 400).

В следующем году он вновь истратил 100 фунтов, и у него осталось

( 4х -400) - 100 = ( 4х - 700).

Увеличив остаток на , он имел ( 4х - 700) + *(4х - 700) = ( 16х - 2800).

В третьем году он снова израсходовал 100 фунтов, и у него осталось

(16х - 2800) - 100 =(16х - 2800) - *900 = (16х - 3700) .

Увеличивая снова остаток на он имел:

( 16х - 3700) + * ( 16х - 3700) = (64х - 14800).

Первая сумма вдвое больше первоначальной, т.е ( 64х - 14800) -2х = 0

х = 1480 фунтов.

Ответ: 1480 фунтов.

Задачи для самостоятельного решения.

1.Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог дать каждому по 3 динария, но он раздает по 2, и у него остается 3. Сколько было бедных? Ответ: 11 человек.

2.Задача К.Маклорена ( 1698 - 1746) - шотланский математик, ученик И.Ньютона.

Несколько человек обедали вместе и по счету должны были уплатить 175 шиллингов. Так как у двоих из них денег не оказалось, каждому из оставшихся пришлось уплатить на 10 шиллингов больше. Сколько человек обедало? Ответ: 7 человек.

Тема 7. Старинные задачи в художественной литературе.

А знаете ли вы поговорки?

Поговорка1.За семь верст киселя хлебать. Сколько это в км ?

1 верста = 1,08 км; 7 верст = 7 * 1,08 км = 7,56 км.

Поговорка 2. От горшка два вершка. Это мало или много ?

1 вершок = 4,5 см; 2 вершка = 9 см; высота горшка 25 см. Итак 25см + 9см = 34 см. Так говорили о человеке, который не имел жизненного опыта, самонадеянно о чем- то судившем, поучавшем кого- либо.

Поговорка 3. Семь пядей во лбу.

1 пядь = 18 см; 7 пядей = 126 см. Так говорили встарь на Руси, желая похвалить умного человека.

Поговорка 4. Мал золотник, да дорог.

1 золотник = 4,3 г

Смысл этого выражения: что- то маленькое, незначительное на вид и по размерам, но очень ценное, важное. Действительно, вес невелик, но измеряли в золотниках массу драгоценных металлов и камней.

Как связана математика и литература?

Математика и литература -

Две ветви человеческой культуры,

Две книги из одной библиотеки,

Две песни из единой фонотеки.

Такие разные, как буква и число,

Неразделимые, как лодка и весло.

Что их роднит, объединяет в вечность?

Великой мысли дух и бесконечность!

Ведь сколько сил приложил граф Толстой,

Чтоб математике учить народ простой.

Он «Арифметику» создал для них понятную,

Без лишней сложности и для ума приятную!

В одной задаче там косцы луга косили,

Сначала вместе, а потом их разделили.

В другой задаче шапку продают,

И четвертак фальшивый за неё дают.

А первою любовью Софьи Ковалевской

Был молодой ещё писатель Федор Достоевский.

Который, позже, в размышлениях беспечных

Блуждал по миру линий бесконечных.

А Лейбниц Брюсовым воспет

Как мудрости, пророчества рассвет,

Создатель многих вещих книг,

Которых современник не постиг!

И Пушкин алгеброй гармонию поверил.

В лицее кто б о том поверил?

Отметил Карцов в изречении своём:

У вас, дражайший, всё кончается нулём!

Великий Лермонтов любил решать задачи,

С числом и слово ярче, веселей, богаче!

И подтверждает это Грибоедов, дипломат,

Окончив в МГУ физмат.

И «человек есть дробь» - сказал Толстой, учитель,

Что представляешь ты собой, есть твой числитель.

А что ты мыслишь о себе, есть знаменатель.

Сочти какая дробь ты, дорогой приятель!

Великий граф, великий человек,

Прославил Родину, Россию, век.

Число и слово для него едины,

Всесильны и неразделимы!

Что есть число: основа жизни нашей!

А слово делает её уютней, краше!

Число расставит, наведёт порядок,

А слово раздаёт награды и наряды.

Число направит жизнь в логическое русло,

Без слова в этой жизни будет грустно!

Числу присущи нормы и задачи,

От слова ждём добра, успеха и удачи.

Великие умы числу начала льстили,

И возвеличивали, и превозносили!

Но величать «Число» они призвали «Слово»!

Так что важней, что есть первооснова?

Как в жизни нашей каждый день единствен,

Великолепен, положителен, таинствен.

Так слово и число едины в мирозданье,

Два величайших человеческих создания!

Решение старинных задач из художественной литературы.

Многие русские литераторы использовали в своих произведениях математические задачи.

Задача из рассказа А.П.Чехова « Репетитор»

Чехов Антон Павлович (1860 - 1904), прозаик, драматург.

Родился 17 января в Таганроге в купеческой семье, со строгими правилами воспитания. С детских лет Чехов помогал отцу в лавке. В 1868 поступил в гимназию. Когда вся семья Чеховых переехала в Москву, будущий писатель остался в Таганроге и зарабатывал на жизнь репетиторством, чтобы окончить учение. Окончив гимназию в 1879, уехал в Москву и поступил на медицинский факультет Московского университета. В 1884, получив звание уездного врача, Чехов начал заниматься врачебной практикой. Еще будучи гимназистом, он писал юморески, участвуя в гимназическом журнале.

В студенческие годы, чтобы зарабатывать себе на жизнь, сотрудничал в журналах "Стрекоза", "Будильник", "Зритель" и др., подписываясь разными псевдонимами, но чаще всего Антоша Чехонте. С 1882 писал для петербургского журнала "Осколки"( №6 «Репетитор» с подзаголовком «Сценка», 1884г.) вел обозрение "Осколки московской жизни". В 1884 вышла первая книга рассказов Чехова - "Сказки Мельпомены", затем следуют "Пестрые рассказы" (1886), "В сумерках" (1887), "Хмурые люди" (1890). В эти годы писатель испытывает сильное влияние Л. Толстого, которое сказывается в рассказах "Именины", "Скучная история". Неудовлетворенность своим творчеством, своими знаниями, особенно знанием жизни, подвигает его на решение, удивившее современников, - ехать на остров Сахалин, остров царской каторги и ссылки. Это путешествие было подвигом писателя. Поездка через всю страну, пребывание на Сахалине, изучение жизни каторжан и ссыльных, проведенная Чеховым перепись населения Сахалина - все это оставило глубокий след в его творческом сознании. После возвращения он написал книгу "Остров Сахалин" (1893 - 94); отразились сахалинские впечатления и в рассказах "В ссылке" (1892), "Палата № б". Поездка значительно ухудшила состояние здоровья Чехова: обострился туберкулезный процесс.В конце 1880 он много работал для театра: пьесы "Иванов", "Леший", "Свадьба", водевили "Медведь", "Юбилей" и др.

В 1892 Чехов купил имение Мелихово, где помогал местным крестьянам как врач, строил школы для крестьянских детей, выезжал в губернии, охваченные голодом, участвовал во всеобщей переписи населения. В Мелихово было написано много прекрасных произведений: "Попрыгунья", " Скрипка Ротшильда", "Учитель словесности", "Чайка", "Дядя Ваня" и др. В начале века Чехов создал такие замечательные пьесы, как "Три сестры" и "Вишневый сад". Все пьесы были поставлены на сцене МХАТа. В 1898 Чехов переехал в Ялту, где построил дом, в котором у него бывали Л. Толстой, М. Горький; Бунин, Куприн, художник И. Левитан. В 1901 Чехов женился на актрисе МХАТа О. Книппер. В 1904 в связи с резким ухудшением здоровья Чехов поехал для лечения в Германию, на курорт Баденвейлер. Здесь 2 июня (15 н.с.) он скончался.

Как известно, Чехов происходил из семьи торговца. Его отец Павел Егорович держал бакалейную лавку с весьма замысловатой вывеской «Чай, сахар, кофе, мыло, колбаса и другие колониальные товары». Дела шли плохо и, окончательно запутавшись в долгах, отец семейства покидает семью и скрывается в Москве. Вот тогда-то сын Антон, будучи гимназистом в Таганроге, был вынужден зарабатывать средства к жизни репетиторством. Отсюда, по всей вероятности, и возникла идея для будущего рассказа. Рассказ "Репетитор" (1884г.) относится к тем произведениям Чехова, в которых он откровенно смеется над людьми. Чехов с тонким юмором описывает, как беспомощно трудились над задачей и семиклассник репетитор, и его ученик 12-летний Петя, пока не выручил их Петин отец, Удодов.

Задача.

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное - 3 рубля.

Этот рассказ интересен не только с литературной стороны, но и с математической. Эта история с задачей, заставляющая нас смеяться над конфузом злосчастного репетитора, задает сама три задачи:

Как намеревался репетитор решить задачу алгебраически?

Как должен был решить ее Петя?

Как решил ее отец Пети на счетах "по-неученому"?

Рассмотрим их по порядку.

1. Семикласник-репетитор готов был решать задачу "с иксом. Пусть синего сукна было х аршин. Тогда черного ( 138 - х ) аршин.

5х + 3 ( 138 - х) = 540

5х + 414 - 3х = 540

х = 63 (аршин) - синего

138 - 63 = 75 ( аршин) - черного.

Ответ: 63 аршины, 75 аршины.

2. Однако, задача легко решается и арифметически. Если бы вам пришлось решать ее, вы начали бы с предположения, что все купленное сукно было синее. Тогда партия в 138 аршин стоила бы 5 * 138 = 690 рублей; это на 690 - 540 = 150 рублей больше того, что было заплачено в действительности. Разница в 150 рублей указывает, что в партии имелось более дешевое сукно по 3 рубля за аршин. Дешевого сукна было столько, что из двух-рублевой разницы на каждом аршине составилось 150 рублей: 150 / 2 = 75 аршин красного сукна и 138 - 75 = 63 - синего сукна.

3. В рассказе говорится очень кратко: "Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было". В чем однако состояло это "щелканье на счетах"? Каков способ решения задачи с помощью счетов?

Разгадка такова: злополучная задача решается на счетах тем же приемом, что и на бумаге, - теми же арифметическими действиями. Но выполнение их упрощается, благодаря преимуществам, которые наши русские счеты предоставляют всякому, умеющему с ними обращаться. Очевидно, "отставной губернский секретарь" Удодов хорошо умел считать на счетах, потому -что их косточки быстро, без помощи алгебры, открыли ему то, чего репетитор-семикласник добивался узнать "с иксом ".

Проследим же, какие действия должен был проделать на счетах Петин отец. Прежде всего ему нужно было, как мы знаем, умножить 138 на 5. Для этого он, по правилам действий на счетах, умножил сначала 138 на 10, - т.е. просто перенес 138 одним рядом выше, - а затем разделил это число пополам опять-таки на счетах же. Деление начинают снизу: откидывают половину косточек, отложенных на каждой проволоке; если число косточек на данной проволоке нечетное, то выходят из затруднения, "раздробляя" одну косточку этой проволоки на 10 нижних. В нашем случае делят 1380 пополам так: на нижней проволоке, где отложено 8 косточек, откидывают 4 косточки (4 десятка), на средней проволоке из 3 косточек откидывают 1 , а оставшуюся 1 косточку заменяют мысленно 10-ю нижними и делят пополам, добавляя 5 десятков к косточкам нижней; на верхней проволоке раздробляют одну косточку, прибавляя 5 сотен к косточкам средней проволоки. В результате на верхней проволоке совсем не остается косточек : на средней 1 + 5 = 6 сотен, на нижней 4 + 5 = 9 десятков. Итого 690 единиц. Далее Удодову-старшему нужно было из 690 вычесть 540. Наконец, полученную разность, 150, оставалось разделить пополам: Удодов откинул из 5 косточек (десятков) 2, отдав 5 единиц нижнему ряду косточек; потом из 1 косточки на проволоке сотен отдал 5 десятков нижнему ряду: получилось 7.

Задача 2.

В романе М.Е.Салтыкова- Щедрина « Господа Головлевы» сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000 рублей и попросил у бабушки эти деньги взаймы. Он говорил: « Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитайте, сколько денег готов вернуть Петя через год, если бабушка согласилась на его условия.

Решение:

1. 3000 * 0,05 = 1500 ( руб.) - через месяц

2. 1500 * 12 = 1800 ( руб.) - через год прибавка.

3. 3000 + 1800 = 4800 ( руб.) - через год

Ответ : 4800 рублей.

Задача 3.

В новелле О. Бальзака « Гобсек» один из героев, господин Дервиль, взял у ростовщика Госбека сумму в 150000 франков сроком на 10 лет под 15 % годовых. Вычислите, какую сумму вернул Дервиль Госпеку по прошествии этого срока?

Решение:

1) 150000 * 0,15 = 22500 (франков)

150000 + 22500 = 172500 (франков).

2) 172500 * 0.15 = 25 875 (франков)

172500 + 25 875 = 198375 (франков)

3) 198375 * 0.15 = 29756,25 (франков)

198375 + 29756,25 = 228131,25(франков)

4) 228131,25* 0,15 = 34219,687(франков)

228131,25 + 34219,687 = 262350,93(франков)

5) 262350,93 * 0.15 = 262350,93 (франков)

262350,93 + 262350,93 = 301703,56 (франков)

6) 301703,56 * 0,15 = 45255,534 (франков)

301703,56 + 45255,534 = 346959,09 (франков)

7) 346959,09 * 0,15 = 52043,863(франков)

346959,09 + 52043,863 = 399002,95(франков)

8) 399002,95 * 0.15 = 59850,442 (франков)

399002,95 +59850,442 = 458853,39 (франков)

9) 458853,39 * 0,15 = 68828,008(франков)

458853,39 + 68828,008 = 527681.39 (франков)

10) 527681.39 * 0,15 = 79152,208 (франков)

527681.39 + 79152,208 = 606833,59 (франков).

Ответ: 606833,59 (франков).

Задача 4.Задача из легенды « История Морадбальса».

Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так же она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками с четвёртым стражником, у неё осталось 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?

Решение:

1 способ:10 * 2 * 2 *2 * 2 = 160.

2 способ: Пусть всего было х яблок.

1 стражнику отдали х яблок, 2 стражнику отдали (х -х ) * = х яблок;

3стражнику отдали (х - х) * = х яблок; 4 стражнику (х - х) *= х яблок.

Составим уравнение х - (х + х + х + х) = 10.

х - х = 10; х = 160 (яблок) - всего.

Ответ: 160 яблок.

Задача 5^*. Задача из сказки « 1001 ночь».

Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: « если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну». Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение:

Пусть х - число голубей на дереве, у - число голубей под деревом, тогда у - 1 = ;

х -1 = у + 1 , х = 5( голубей) - сидело на дереве ; у = 3( голубя) - сидело под дереве.

Ответ: 5; 3.

Задача 6. Задача из рассказа Л.Н.Толстого « Много ли человеку земли надо?».

О том, как крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал наконец желаемую сумму, представ перед требованием старшины: « Сколько за день земли обойдешь, все твое будет за 1000 р. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Выбежал Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник с периметром 960 м. Каким должен быть четырехугольник, чтобы площадь была наибольшей?

Две усадьбы крестьян огорожены заборами одинаковой длины. Первая усадьба имеет форму прямоугольника со сторонами 220 м и 160 м, а вторая имеет форму квадрата. Площадь какой усадьбы больше и на сколько?

Решение:

1. 220 * 160 = 35200 (м) - площадь усадьбы прямоугольной формы.

2. ( 220 + 160) * 2 = 760 (м) - периметр усадьбы прямоугольной формы.

3. 760 : 4 = 190 (м) - сторона усадьбы квадратной формы.

4. 190 * 190 = 36100 (м) - площадь усадьбы квадратной формы.

Итак, площадь усадьбы прямоугольной формы меньше площади усадьбы квадратной формы на 36100 - 35200 = 900 м .

Задача для самостоятельного решения.

1.В романе М.Е. Салтыкова - Щедрина « Господа Головлевы» есть такой эпизод: « Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: « Сколько было бы теперь у него денег, если бы маменька Арина Петровна подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей ассигнациями не присвоила бы себе, а положила бы в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит. Однако, немного: всего 800 рублей ассигнациями».( Предположить, что Порфирию Владимировичу в момент счета было 53 года).Сколько процентов в год платил ломбард? Ответ: 4 %

2.Задача С. Сатина из журнала «Крокодил»

За десять дней пират Ерема

Способен выпить бочку рома.

А у пирата у Емели

Ушло б на это две недели.

За сколько дней прикончат ром

Пираты, действуя вдвоем? Ответ:5.

Тема 8. Старинные задачи в стихах.

Математик должен быть поэтом в душе.

С.В. Ковалевская

В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмевает славу другого в народных соревнованиях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Задача 1.Древнегреческая задача о статуе Минервы.

(Минерва - в греческой мифологии богиня мудрости, покровительница наук, искусств и ремёсел).

Я - изваяние из злата. Поэты то злато

В дар принесли: Харизий принёс половину всей жертвы,

Феспия часть восьмую дала; десятую - Солон.

Часть двадцатая- жертва певца Фемисона, а девять

Все завершивших талантов - обет, Аристоником данный.

Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?

Решение:

Пусть поэтами в дар принесены х талантов.

Уравнение выглядит так: х - ( + + + ) = 9; х = 40

Ответ: 40 талантов.

Задача 2. Древнеиндийская задача о пчелах.

Есть кадамба цветок.

На один лепесток пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла вся а цвету сименгда,

И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди, трижды их ты сложи,

На кутай этих пчел посади.

Лишь одна не нашла себе места нигде,

Все летала то взад, то вперед

И везде ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне, подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралось?

Решение:

Пусть всего было х пчел. Тогда получим уравнение

.

Ответ: 15 пчел.

Задача 3.

Роскошно липа расцветала

Под ней червяк завелся малый.

Да вверх пополз во всю он мочь -

Четыре локтя делал в ночь.

Но днем сослепу полз обратно

Он на два локтя аккуратно

Трудился наш червяк отважный,

И вот итог работы важной,

Награда девяти ночей: он на верхушке липы сей.

- Теперь, мой друг, поведай ты,

Какой та липа высоты?

Решение:

(4-2)8+4=20

Ответ: высота липы 20 локтей

Задача 4.

Когда Гераклом Герион

Был в жаркой битве сокрушен,

То победителю в награду

Быков отличных было стадо;

Быков на луг отправил он

И погрузился в крепкий сон.

Но сын Вулкана Какус смелый

К быкам, как вор, подполз умело

И сделал все, что он хотел:

Он отобрать себе успел

Одну шестую стада;

Теперь добычу спрятать надо.

В пещеру он быков загнал,

Куда свет дня не проникал,

И вход туда прикрыл надежно:

Найти быков здесь невозможно!

Когда Геракл пришел на луг,

Он насчитал сто двадцать штук.

И не осталось в нем сомненья,

Что состоялось похищенье.

В нем сердце закипело злобой,

Быков он ищет, смотрит в оба,

И вдруг как бы из- под земли

Услышал, что ревут они.

К пещере бросился он в гневе,

Все разметал он в это хлеве

И Какуса убил в мгновенье,

Быков добыл из заточенья;

И стадо он угнал скорей,-

Все получил царь Эвристей.

Теперь скажи мне, вычислитель,

Скольких быков злой похититель

Из стада увести сумел,

И сколько всех быков имел

Геракл могучий и отважный,-

Все это знать нам очень важно?

Решение:

Пусть всего х быков. Составим уравнение

х - х = 120

х = 120

х = 144 быков - всего

* 144 = 24 быков - увел злой похититель.

Ответ: 24 быка.

Задача 5.

Мудрый ценитель времен Хронос вещал:

Какая часть дня протекла,

Если две трети прошедшей дня части

Вдвое той меньше, что сутки закончить должна?

Решение:

Пусть миновало х лет, тогда 2 * х = 12 - х

х = 12 - х; х = 5 лет -миновало.

Ответ: 5 лет.

Задача 6^*. Стая обезьян

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась.

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?

Решение: Пусть всего обезьян х. Составим уравнение х - ()² = 12

х - = 12 ; х = 48 обезьян.

Задача 7.Эрот и музы

Видя, что плачет Эрот,

Киприда его вопрошает:

"Что такое тебя огорчило,

ответствуй немедля".

"Яблок я нес с Геликона немало, -

Эрот отвечает, -

Музы, отколь не возьмись,

Напали на сладкую ношу.

Частью двенадцатой вмиг овладела Эвтерпа,

А Клио патую долю взяла,

Талия - долю восьмую.

С частью двадцатой ушла Мельпомена,

Четверть взяла Терпсихора,

С частью седьмою Эрато

Стремглав от меня убежала.

Тридцать плодов унесла Полигимния.

Сотня и двадцать взяты Уранией.

Триста плодов понесла Каллиопа.

Я возвращаюсь домой

Почти что с пустыми руками:

Только полсотни плодов

Мне оставили музы на долю"

Сколько плодов было у Эрота?

Решение:

Пусть плодов х, составим уравнение

х - (х + х + х + х + х +х+30 +120 +300) = 50

х = 3360 (плодов) - всего

* 3360 = 480 ( плодов) - у Эрота.

Ответ: 480 плодов.

Задача 8. Жуки и пауки

У меня в одной коробке есть жуки

И еще в другой коробке пауки.

Мало их, в одну минуту можно счесть:

Пауков с жуками вместе - только шесть.

Стал считать я в двух коробках, сколько ног.

Очень долго сосчитать я их не мог

Оказалось, ног немало - сорок две,

Ну, скажи теперь мне, сколько тут жуков?

И еще сочти отдельно пауков.

Решение:

Пусть жуков х, тогда пауков ( 6 - х). Составим уравнение 4х + 10 (6 - х) = 42

4х + 60 - 10х = 42; -6х = -18 ; х = 3 - жуков

6-3 = 3 - пауков.

Ответ: 3; 6.

Задача9. Задача о Диофанте.

Здесь погребен Диофант, и камень могильный

При счете искусном расскажет нам,

Сколь долог был его век.

Велением бога он мальчиком был

Шестую часть своей жизни;

В двенадцатой части затем прошла его светлая юность.

Седьмую часть жизни прибавим -

Пред нами очаг Гимения.

Пять лет протекло, и прислал Гименей ему сына

Но горе ребенку! Едва половину он прожил.

Тех лет, что отец, как скончался несчастный.

Четыре года страдал Диофант от утраты той тяжкой.

И умер, прожив для науки. Скажи мне,

Скольких лет достигнув,

Смерть восприял Диофант?

Решение:

1 способ:1) + + + =

2) 1 - =

3) 5 + 4 = 9

4) 9: = 84 года.

2 способ: уравнением х - ( ) = 9; х - х = 9 ; х = 9; х = 84 (лет)

Ответ: 84 года.

Задача 10. Задача о Пифагоре.

О, Пифагор благородный, любимец муз Геликонских,

Сколько жаждущих знаний юношей в доме содержишь?

- Одна половина стремится познать математики чуда,

Четвертая часть изучает бессмертную матерь - природу,

Седьмая ж - молчанье задачей себе намечает,

Прибавь к ним трех женщин - красавиц, средь коих

Прекрасней всех дева Диана. Узнаешь,

Сколько я юных жрецов веду в храм высокой науки.

Решение:

Пусть юношей, жаждущих знаний, х. Составим уравнение

х - (х + х + х) = 3

х = 28.

Ответ: 28 юношей.

Тема 9. Л.Н.Толстой и математика. Задачи Л.Н. Толстой.

Лев Николаевич Толстой родился 28 августа (9 сентября) 1828 года -граф, русский писатель. Толстой был четвертым ребенком в большой дворянской семье. Его мать, урожденная княжна Волконская, умерла, когда Толстому не было еще двух лет, но по рассказам членов семьи он хорошо представлял себе "ее духовный облик"; некоторые черты матери : блестящее образование, чуткость к искусству, склонность к рефлексии) и даже портретное сходство Толстой придал княжне Марье Николаевне Болконской ("Война и мир"). Отец Толстого, участник Отечественной войны, запомнившийся писателю добродушно- насмешли-

ливым характером, любовью к чтению, к охоте (послужил прототипом Николая Ростова), тоже умер рано (1837). Воспитанием детей занималась дальняя родственница Т. А. Ергольская, имевшая огромное влияние на Толстого: "она научила меня духовному наслаждению любви". Детские воспоминания всегда оставались для Толстого самыми радостными: семейные предания, первые впечатления от жизни дворянской усадьбы служили богатым материалом для его произведений, отразились в автобиографической повести "Детство".

Когда Толстому было 13 лет, семья переехала в Казань, в дом родственницы и опекунши детей П. И. Юшковой. В 1844 году Толстой поступил в Казанский университет на отделение восточных языков философского факультета, затем перевелся на юридический факультет, где проучился неполных два года: занятия не вызывали у него живого интереса и он со страстью предался светским развлечениям. Весной 1847 года, подав прошение об увольнении из университета "по расстроенному здоровью и домашним обстоятельствам", Толстой уехал в Ясную Поляну с твердым намерением изучить весь курс юридических наук (чтобы сдать экзамен экстерном), "практическую медицину", языки, сельское хозяйство, историю, географическую статистику, написать диссертацию и "достигнуть высшей степени совершенства в музыке и живописи". В 1859 году Толстой открыл в деревне школу для крестьянских детей, помог устроить более 20 школ в окрестностях Ясной Поляны, и это занятие настолько увлекло Толстого, что в 1860 году он вторично отправился за границу, чтобы знакомиться со школами Европы. Толстой много путешествовал, провел полтора месяца в Лондоне (где часто виделся с Герценом), был в Германии, Франции, Швейцарии, Бельгии, изучал популярные педагогические системы, в основном не удовлетворившие писателя. Собственные идеи Толстой изложил в специальных статьях, доказывая, что основой обучения должна быть "свобода учащегося" и отказ от насилия в преподавании. В 1862 году издавал педагогический журнал "Ясная Поляна" с книжками для чтения в качестве приложения, ставшими в России такими же классическими образцами детской и народной литературы, как и составленные им в начале 1870-х годов. "Азбука" и "Новая Азбука". В 1862 году в отсутствие Толстого в Ясной Поляне был проведен обыск (искали тайную типографию). Пережитая Толстым личная драма нашла отражение в его дневниковых записях. Поздней осенью 1910 года, ночью, тайно от семьи, 82-летний Толстой, сопровождаемый лишь личным врачом Д. П. Маковицким, покинул Ясную Поляну. Дорога оказалась для него непосильной: в пути Толстой заболел и вынужден был сойти с поезда на маленькой железнодорожной станции Астапово. Здесь, в доме начальника станции он провел последние семь дней своей жизни. За сообщениями о здоровье Толстого, который к этому времени приобрел уже мировую известность не только как писатель, но и как религиозный мыслитель, проповедник новой веры, следила вся Россия. Событием общероссийского масштаба стали похороны Толстого в Ясной Поляне.

Задачи Л. Н. Толстого.

1.Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Решение:

На первом лугу косцы проработали дня - вся бригада и дня - половины бригады, что составляет рабочего дня. На втором лугу в первый день работала бригады в течение дня, т.е затрачено рабочего дня целой бригады. Т.к по площади второй луг в 2 раза меньше первого, то для того, чтобы выкосить его, вся бригада должна была бы работать дня, следовательно , на второй день на меньшем лугу останется - = часть работы всей бригады за день. А т.к эту работу выполнил один косец, значит вся бригада состояла из 8 косцов.

Ответ: 8 косцов.

2. Продавец продает шапку стоимостью 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. На сколько обманули продавца?

Решение:

Доходы продавца: 25 рублей от мальчика; расходы: шапка (10 рублей) + сдача (15 рублей) + соседка (25 рублей). Итого 50 - 25 = 25, т. е. убыток 25 рублей.

3. Пятеро братьев разделили между собой наследство отца поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой. И тогда у всех пяти братьев стало поровну. Много ли стоили дома?

Решение.

800 * 3 = 2400 (руб.) - заплатили двум меньшим;

2400 : 2 = 1200 (руб.) - получил каждый в наследство;

1200 * 5 : 3 = 2000 (руб.) - стоил дом.

Ответ: дом стоил 2000 рублей.

Тема 10. Великий Архимед. Стомахион Архимеда.

Задача. Архимед погиб в возрасте 75 лет во время осады Серакуз в 212 году до н.э. Определите год рождения Архимеда. ( ответ: 287 г до н.э).

Прошло уже больше двадцати двух столетий, как на острове Сицилия, находящемся в Средиземном море в городе Сиракузы в семье греческого астронома и математика родился мальчик. Впоследствии он станет известен всему миру под именем Архимеда. Отец мальчика Фидий много уделял воспитанию и обучению сына. Архимед, как губка, впитывал в себя все, чему учил его отец, и вскоре ученик перерос своего учителя. Архимед отправляется в Александрию - мировой центр науки и культуры. Там, в Александрийской академии, он внимательно и прилежно изучил многие рукописи , хранившиеся в Александрийской библиотеке. Возвратившись на родину, он сделал ряд

замечательных открытий и изобретений. Он изготовил прибор и с его помощью измерил поперечник (диаметр) Солнца. Он сделал небесный глобус, который вращался при помощи струи падающей воды. На этом глобусе можно было наблюдать движение планет, солнечные и лунные затмения, смену фаз Луны. Архимед изобрел машину «улитка», которая орошала поля, винт, благодаря вращению которого можно было перекачивать по трубе жидкость (такой винт используется сейчас в мясорубках и в ряде других машин). Ученый разработал систему блоков, которая позволяла передвигать громадные тяжести. И это далеко не полный перечень всех изобретений Архимеда. До нас дошли девять математических сочинений Архимеда. Как физик он открыл закон, устанавливающий условия при которых тело, погруженное в жидкость, плавает и не тонет, а также обосновал закон рычага. Архимеду приписывают крылатую фразу: «Дайте мне точку опоры, и я поверну Землю». Об этом ученом уже при жизни ходили легенды. В одной из них говориться, что Архимед, с помощью созданных им механизмов, легким движением руки спустил с берега в воду тяжелый корабль, который не могли сдвинуть с места несколько десятков рабочих. В другой легенде сказано, что с помощью нескольких зеркал Архимед направил солнечные лучи на вражеский корабль, и он загорелся. Огонь, перекинувшись на другие суда, сжег весь римский флот. В то время римляне вели войну с городом-государством Сиракузы и в течение трех лет не могли взять главный город. Возглавляя оборону города, Архимед приказал изготовить разнообразные метательные орудия, ранее невиданные. Мощные метательные машины забросали осаждавших камнями. Благодаря мощным подъемным механизмам, корабли римлян захватывались крюками, переворачивались и тонули. Лишь после длительной осады Сиракузы вследствие измены были взяты. Это случилось в 21 году до н.э. Архимед был убит римским воином в то время, когда чертил на песке геометрические фигуры

Легенда об Архимеде.

Сиракузский царь Гиерон захотел выяснить из чистого ли золота его корона и поручил эту задачу Архимеду. Трудность состояла в том, чтобы определить объём короны, которая имела очень сложную форму. Как-то Архимед принимал ванну, и тут ему в голову пришла блестящая идея: погружая корону в воду можно определить её объём, измерив, объём вытесненной ею воды. Согласно легенде Архимед выскочил голый на улицу с криком «эврика», то есть «нашел». Так был открыт Закон Архимеда.

Не менее интересна классическая игра Архимеда - стомахион.

Стомахион Архимеда - классическая игра - головоломка на составление различных фигур из частей особым образом разрезанного исходного квадрата. Эта игра была распространена в позднюю эпоху Римской империи (4 -6 вв.). Описание стомахиона сохранилось в двух отрывках из сочинения Архимеда. Овладев секретом «стомахионной мозаики», можно составить различные фигурки, например коробля, меча, кинжала, колоны,

петуха. Можно показать, что площади всех14 частей Стомахиона Архимеда находятся в рациональных отношениях. Иногда вместо квадрата берут прямоугольник и даже произвольный параллелограмм. При составлении фигур части исходной фигуры можно переворачивать « лицевой» стороной вниз. Необходимо лишь соблюдать условие, чтобы составленная фигура, содержала все его 14 частей. Потомки стомахиона - игра танграм.

2

9

1

3

10

8

7

11

4

12

14

5

13

6

Головоломки - игрушки на все времена. До появления компьютерных и бурного развития настольных игр, одним из основных развлечений для большинства людей была игра - головоломка "Танграм". В наше время очень много людей увлекаются головоломками. Они любимы не только детьми, но и взрослыми. Игра помогает развивать логическое мышление, геометрическую интуицию. Это способ отвлечения от повседневных проблем и направлены на развитие различных мыслительных процессов - сопоставление, обобщение, установление последовательности, определение отношений «целое» - «часть».

Что такое танграм?

Головоломка - непростая задача, для решения которой, как правило, требуется сообразительность, а не специальные знания высокого уровня. Общепринятая классификация головоломок отсутствует, можно лишь условно разделить их на несколько групп:

 Устные головоломки - задачи, полное условие которых может быть сообщено в устной форме не требующие для решения привлечения никаких дополнительных предметов (загадки, шарады).

 Головоломки с предметами - логические задачи с обычными бытовыми предметами (спичками, монетами, карточные головоломки).

 Печатные головоломки - напечатанные или нарисованные "картинки", в которых надо нарисовать какие-то символы по определенным правилам (кроссворды, ребусы).

 Механические головоломки - предметы, специально изготовленные как головоломки (кубик Рубика, змейка Рубика, пазлы, танграм).

Легенды появления танграма

Танграм - очень древняя игра - головоломка. Она появилась в Китае более 4000 лет назад. Существует целый ряд версий и гипотез возникновения игры "Танграм".

Легенда первая: версия про разбитую плитку.

Более 4000 тысяч лет назад у одного человека из рук выпала фарфоровая плитка и разбилась на семь частей. Расстроенный, он в спешке старался ее сложить, но каждый раз получал все новые интересные изображения. Это занятие оказалось настолько увлекательным, что впоследствии квадрат, составленный из семи геометрических фигур, назвали Доской Мудрости.

Легенда вторая: три мудреца придумали «Ши-Чао-Тю».

Появление этой китайской головоломки связано с красивой легендой. Почти две с половиной тысячи лет тому назад у немолодого императора Китая родился долгожданный сын и наследник. Шли годы. Мальчик рос здоровым и сообразительным не по летам. Одно беспокоило старого императора: его сын, будущий властелин огромной страны, не хотел учиться. Мальчику доставляло большее удовольствие целый день забавляться игрушками. Император призвал к себе трех мудрецов, один из которых был известен как математик, другой прославился как художник, а третий был знаменитым философом, и повелел им придумать игру, забавляясь которой, его сын постиг бы начала математики, научился смотреть на окружающий мир пристальными глазами художника, стал бы терпеливым, как истинный философ, и понял бы, что зачастую сложные вещи состоят из простых вещей. Три мудреца придумали "Ши-Чао-Тю"- квадрат, разрезанный на семь частей.

Легенда третья: семь книг Тана.

«В записках покойного профессора Челленора, попавших в руки автора, - утверждал Лойд, - имеются сведения о том, что семь книг о танграмах, каждая из которых насчитывает ровно тысячу фигур, были составлены в Китае более 4000 лет назад. Эти книги ныне стали столь большой редкостью, что за те сорок лет, которые профессор Челленор провел в Китае, ему лишь раз удалось видеть первое издание первого из семи томов (сохранившихся полностью) и несколько разрозненных фрагмента второго тома». Согласно легенде Лойда, Тан был легендарным китайским мудрецом, которому его соотечественники поклонялись как божеству. Фигуры в своих семи книгах он расположил в соответствии с семью стадиями в эволюции Земли. Его танграмы начинаются с символических изображений хаоса и принципа «инь и ян». Затем следуют простейшие формы жизни, по мере продвижения по древу эволюции появляются фигуры рыб, птиц, животных и человека. По пути в различных местах попадаются изображения того, что создано человеком: орудию труда, мебель, одежда и архитектурные сооружения. Лойд часто цитирует высказывания Конфуция, философа по имени Шуфуце, комментатора Ли Хуанчжан и вымышленного профессора Челленора. Ли Хуанчжан упоминается в связи с тем, что по преданию он знал все фигуры из семи книг Тана прежде, чем научился говорить. Встречаются у Лойда и ссылки на «известные» китайские пословицы типа «Только глупец взялся бы написать восьмую книгу Тана».

Первое изображение танграма (1780) обнаружено на ксилографии японского художника Утомаро, где две девушки складывают фигурки. Название "танграм" возникло в Европе, вероятнее всего, от слова "тань" (что означает "китаец") и корня "грамма" (в переводе с греческого "буква"). На первых порах им пользовались не для развлечения, а для обучения геометрии.

Буквально слово танграм означает «семь дощечек мастерства». Танграм - головоломка, состоящая из семи танов (плоских геометрических фигур), полученных делением квадрата на семь частей - два больших (1, 2), два маленьких (3, 4) и один средний треугольник (5), один квадрат (6) и один параллелограмм (7), которые складывают определённым образом для получения другой, более сложной, фигуры (изображающей человека, животное, предмет домашнего обихода, букву или цифру и т. д.). Фигура, которую необходимо получить, при этом обычно задаётся в виде силуэта или внешнего контура.

Суть игры заключается в конструировании на плоскости разнообразных предметных силуэтов, напоминающих животных, людей, предметы быта, транспорт, буквы, цифры, цветы и т.д. Всего насчитывают более 7 000 различных комбинаций. Самые распространенные из них - фигуры животных, птиц и человека.

Правила игры:

 В каждую собранную фигуру должны входить все семь элементов.

 При составлении фигур элементы не должны налегать друг на друга.

 Элементы фигур должны примыкать один к другому.

 Начинать нужно с того, чтобы найти место самого большого треугольника.

В результате игры получается плоскостное силуэтное изображение. Оно условно, схематично, но образ легко угадывается по основным характерным признакам предмета: его строению, пропорциональному соотношению частей и форме

Тема 11.« Колесо истории»

( с использованием компьютерных технологий)

Слава нашей стороне!

Слава нашей старине!

Колесо истории мы повернем

И рассказывать начнем,

Чтобы все вы знать могли

О делах родной земли.

Цели: образовательная - расширение умственного кругозора учащихся через ознакомление с историческими фактами развития математики;

воспитательная - повышение интереса учащихся к изучению матема­тики, воспитание эстетического и художественного вкуса;

развивающая - развитие логического мышления учащихся.

Оборудование: видеопроектор, ПК, бланк результатов участников

1 тур

2 тур

3 тур

Супер- игра

итог

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1 участник

2 участник

3 участник

План :

1. Вступительное слово ведущего.

2. Проведение трех туров и супер - игры.

3. Подведение итогов.

1. Вступительное слово ведущего (слайд 1).

«Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет». Любая наука могла бы гордится такой историей, как история математики. История математики тысячами нитей связана с историей других наук, историей техники, историей искусства, она суще­ственная часть истории человеческой культуры. В ней ясно обозначен вклад в математику ученых - представителей народов Востока и Запада, древних и новых, больших и малых. В ней есть главы, посвященные от­дельным людям и их научным подвигам. Эти главы нельзя читать без вол­нения.

Всем, кто учит математику.

Всем, кто учит математике

Всем, кто любит математику

Всем, кто хочет узнать историю математики

Наш конкурс «Колесо истории».

Итак, начинаем путешествие в историю математики (слайд 2).

Условия игры:

1)К участию в игре привлекаются трое учащихся со своими командами.

2)Игра состоит из трех туров и супер-игры (для финалиста).

3) За каждый пра­вильный ответ участник «проходит» 10 верст. Участник, прошедший наи­большее количество верст, выходит в финал.

2. Проведение трех туров и супер-игры.

I тур. «Великие математики».

Развитие высшей математики продолжалось на протяжении многих веков благодаря великим открытиям и трудам ученых - математиков. Каждый из них сделал немало для развития науки математики. Гнеденко так ска­зал: «Прогресс науки неотделим от достижений талантливых математи­ков». Давайте вспомним некоторых из них.

(Участникам предлагаются три вопроса с тремя возможными вариантами ответов)

Вопрос 1.(слайд 3)

О, мудрые братья! Я подвел итог предшествующему развитию греческой математики, создал фундамент для дальнейшего его развития. Мой труд состоит из 13 книг. Первая книга содержит важнейшие предложения о сторонах и углах треугольника, о построении треугольника, о перпендикулярах и параллельных прямых, о параллелограммах и их площадях, о площадях треугольников.

О, потомки! Поведайте же мне, кто я?

Ответ: Виет, Евклид, Декарт.

Правильный ответ: (слайд 4) Как наука геометрия оформилась в 3 веке до нашей эры благодаря трудам ряда греческих математиков и философов. Наибольшая заслуга в этом принадлежит Евклиду, жившему в г. Александрия. Он, опираясь на исследования и выводы своих предшественников - Фалеса, Пифагора, Гиппократа, Евдокса и других древнегреческих ученых, привел в систему накопленные по геометрии сведения, дополнил их своими исследованиями и открытиями, а затем последовательно изложил в 13 книгах, назвав их «Начала». Его труд на протяжении свыше 2000 лет служил учебным пособием по геометрии.

Вопрос 2.(слайд5)

В русской поэзии имеется много стихов, посвященных гениям русской и мировой математики. Одному из таких ученых посвятил свои стихи В. Фирстов:

Высокий лоб, нахмуренные брови

В холодной бронзе - отраженный луч…

Но даже неподвижный и суровый

Он как живой, - спокоен и могуч

Когда-то здесь, на площади широкой,

На этой вот Казанской мостовой,

Задумчивый, неторопливый, строгий,

Он шел на лекции - великий и живой.

Пусть новых линий не начертят руки,

Он здесь стоит взнесенный высоко

Как утверждение бессмертья своего

Как вечный символ торжества науки.

Ответ: Лобачевский, Самосский, Колмогоров.

Правильный ответ: (слайд 6) Николай Иванович Лобачевский в 1807 году 16-летним юношей был зачислен студентом Казанского университета. В 1816 году уже в качестве профессора Лобачевский читал лекции по математике и физике, дважды до 1825 года он избирался деканом физико-математического факультета, а с 1827 года в течение 19 лет стоял ректором Казанского университета. Мировая слава Лобачевского в его работах в области геометрии, которая сейчас называется геометрией Лобачевского.

Вопрос 3.(слайд7)

Россия. Начало 18 века. Математика получает свое дальнейшее развитие.

В 1703 в свет выходит великая книга, автором которой был один из самых образованных людей России. Его книга содержала не только сведения из арифметики, но и давала основы знаний по алгебре, геометрии и астрономии. Эту книгу вполне можно было назвать энциклопедией математических знаний того времени. Ломоносов высоко ценил эту книгу и знал ее наизусть.

О нем самом известно немного, Родился в 1669 году в семье крестьянина Телятина. С детских лет выделялся любознательностью и умением самостоятельно познавать окружающий мир, изучил 6 языков. Петр высоко ценил его за большую образованность, за умение передавать другим свои знания, что послужило поводом для необычного поступка царя: он заменил его настоящую фамилию более благозвучной с его точки зрения, связанную со свойством одного из представленных минералов. Определите этот камень и назовите фамилию ученого.

Ответ: магнитный железняк, магнезит, красный гранит.

Правильный ответ: (слайд8) Этот человек родился в Тверской губернии. Он создал первый русский учебник по математике и навигации для школы. М. В. Ломоносов хранил этот учебник до конца своих дней и называл его «вратами учености»

В знак признания достоинств этого математика Петр пожаловал ему другую фамилию Магницкий, чем хотел подчеркнуть, что развитый ум и знания привлекают к человеку других людей с такой силой, с какой магнит притягивает к себе железо.

II тур. «Математические мотивы в художественной литературе».

Что любят, то и находят повсюду, и было бы странно не встретиться с ма­тематикой в художественной литературе. Почему странно? Потому что, как верно заметил А. Блок, сама поэзия, сами настоящие стихи - это и есть «математика» слова. Так что всякий действительный художник - не­множко математик, потому что в жизни нет ничего такого, чего бы не было в романах, рассказах и стихах, а математика - слишком заметная тема жизни, чтобы не стать темой литературы.

(Участникам предлагаются три вопроса с тремя возможными вариантами ответов).

Вопрос 1.(слайд9)

Сущность человеческой природы была очень хорошо высказана русским писателем с помощью математического понятия «дробь».

Вот оно: Человек - есть дробь. Числитель это - достоинства человека, знаменатель это- оценка человеком самого себя. Увеличить своего числителя - свои достоинства- не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя- свое мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизится к совершенству?

Кто автор этих слов?

Ответ: А.С.Пушкин, Л.Н.Толстой, И.С.Тургенев.

Правильный ответ: (слайд10) Среди любимых наук великого русского писателя Л. Н. Толстого (1828 - 1910) одно из самых первых мест занимает математика. Он постоянно интересовался решением различных задач. Л. Н. Толстой горячо ратовал за развитие мыслительной деятельности детей, за индивидуальный подход в обучении. Педагогическая деятельность Л. Н. Толстого в области математики была связана с организацией на свои средства школы в Ясной Поляне с изданием в 1872 году «Арифметики « в составе «Азбуки».

Вопрос 2.(слайд11)

О каком числе идет речь в стихотворении Сергея Боброва.

Гордый Рим трубил победу

Над твердыней Сиракуз

Но трудами Архимеда

Много больше я горжусь

Надо нынче нам заняться,

Оказать старинке честь,

Чтобы нам не ошибиться,

Чтоб окружность верно счесть.

Надо только постараться

И запомнить все как есть:

Три- четырнадцать- пятнадцать-

Девяносто два и шесть!

Ответ:  , е, С

Правильный ответ: (слайд 12) Если число, выражающее длину окружности, разделить на число, выражающее диаметр этой окружности, то получим =3,15159265358979… .

Вавилоняне во 2 тыс. до н.э. удовлетворялись значением =3. В 5 веке китайский математик и астроном Цзу Чун - чжи (ок.430г.- ок.501г.), нашел =3,1415929…. Нидерландский математик Лудольф Ван Цейлен (1540г. - 1610 г.)вычислил 35 десятичных знаков после запятой у числа .В течение 20 лет (с1853г. По 1873г.) английский математик У. Шенкс вычислил 707 десятичных знаков числа , допустив ошибку на 528-м знаке. В

1989 году японский ученый Я. Канэда, используя суперкомпьютер получил для числа 201 326 000 цифровых знаков после запятой.

Вопрос 3. (слайд 13)

Кто автор литературных произведений: «Воспоминания детства», «Нигилистка», «Борьба за счастье»?

Ответ: Ада Лавлейс, С. В. Ковалевская, Софии Жермен.

Правильный ответ: (слайд 14)Софья Васильевна Ковалевская родилась 15 января 1850 года .в семье генерала В. Корвин - Круковского. Математические способности ее проявились в возрасте 13 лет. Она серьезно занималась научными исследованиями, литературной деятельностью, писала романы, стихи, драмы. Помимо научных заслуг, ей принадлежит исключительное место в истории женского движения.

I I I тур. «Математические жемчужины».

Бхаскар сказал: «Я глубоко почитаю математику, потому что знакомые с ней видят в ней средство к познанию всего существующего». По мере возникновения новых задач познания само содержание матема­тики не может оставаться неизменным. Оно, подобно живому организму, развивалось и развивается: на математическом древе появляются новые ветви, вырастают новые корни.

(Участникам предлагаются три вопроса с тремя возможными вариантами ответов)

Вопрос 1.(слайд 15)

Где впервые были введены отрицательные числа?

Ответ: Индия, Китай, Русь.

Правильный ответ: (слайд 16) Отрицательные числа были впервые введены по видимому, в Китае. Они используются в 8 книге древнекитайского трактата «Математика в девяти книгах» принявшего тот вид в 263 году. В этой книге трактата приводится применение правила «фан-чен»- своеобразный алгоритм для решения системы линейных уравнений. Применение этого правила требует вычитания больших чисел из меньших и из «ничего». Там же отрицательные числа встречаются и в качестве отрицательных коэффициентов при неизвестных. В этих книгах отрицательные числа рассматриваются как долг, нехватка.

Вопрос 2.(слайд 17)

Какое математическое обозначение было введено благодаря типографской опечатке?

Ответ: %, loq, cos.

Правильный ответ: (слайд18) В 1685 году в Париже было напечатано руководство коммерческой арифметики де ла Порта. В одном месте этой книги наборщик ошибочно принял обозначение cto за дробь и напечатал в виде %, после указанной опечатки авторы также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и с середины 19 века он получил всеобщее признание.

Вопрос 3. (слайд 19)

Одну особенность числа 365 вы знаете все. Кто скажет, чем замечательно это число? Число 365 еще замечательно тем, что оно является суммой квадратов трех последовательных чисел 10, 11, 12 и суммой квадратов двух следующих чисел.

У известного русского художника Богданова-Бельского есть картина, изображающая занятия устным счетом. В классе возле доски сидит учитель, а около него стоят ученики, занятые устным решением трудного примера. Ученики сосредоточены и увлечены работой, так как пример действительно труден и интересен. Вот он: . Решите и вы его устно.

Ответ:3, 2, 0, 1.

Правильный ответ: (слайд 20) Учитывая, что =, , то

= + =1+1 =2.

(Ведущий подводит итоги игры каждого иг­рока (сообщает сколько верст прошел каждый)).

Супер - игра (без помощи команды).(слайд21)

1.Кому принадлежат слова: «Математика - царица наук, арифметика - ца­рица математики»?

Ответы: Гаусс, Лейбниц, Эйлер.

2.Кто автор слов: «В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии».

Ответы: А. С. Пушкин, Н. Е. Жуковский, А. Н. Крылов.

3.Кто сказал: «В геометрии нет царского пути»?

Ответы: Гаусс, Евклид, Пифагор.

3.Подведение итогов. Ведущий подводит итоги игры :1) называется количество верст, пройденных участниками и известные ученые - математики дают им рекомендации , 2) учащимся, которые заинтересовались историей математикой, жизнью и деятельностью великих ученых математиков, учитель предлагает дополнительную литературу (слайд 22) .

Человеческой природе свойственно уважение к прошлому. Это уважение иногда вызывает у учащихся желание взглянуть на математику как на науку сквозь туман старины, прикоснутся к седой древности, тысячелетним тайнам и загадкам…

Пускай останется извечный мир загадок

Чтоб продолжалась жизнь, не ведая конца.

Литература.

Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики. М. "Просвещение" АО "Учебная литература" 1996.

Глейзер Г.И. История математики в школе. М. "Просвещение" 1995.

Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М. "Просвещение" 1995.

Чистяков В. Д. Старинные задачи по элементарной математике. - Минск: вышэйшая школа, 1978.

Барвин И. И., Фрибус Е. А. Старинные задачи. Книга для учащихся. - М.: Просвещение,199

3. Болгарский Б.В. Очерки по истории математики. -2-е иэд., Выш.школа,1979.

Крыситский В. Шеренга великих математиков - Варшава: Наша Ксенгарня, 1981.

Рыбников К.А. История математики - М.: Просвещение, 1994. - 123 - 125 с