Кружковое занятие по математике О числах (7 класс)

Поговорим о числах.

В материальном мире нет предмета, название которого - «число». Число - это абстрактное понятие, удачно отображающее некоторые свойства реального мира. В жизненных, производственных и других ситуациях нередко требуется проявить хорошее «ощущение числа» (оценка правдоподобности числового результата, его значимости и т. д.) Это вырабатывается постепенно и нуждается в тренировке. Полезны разнообразные примеры чисел, поражающие воображение, причём не только на уровне макро- или микромира, но и для самых обыкновенных, «рядовых» ситуаций.

Пример. Сердце человека в 1 минуту делает в среднем 75 биений; за 75 лет безостановочной работы оно делает около 3 000 000 000 биений!

Ребята, скорее всего, затруднятся прочитать это число, а не то что вообразить его. Неплохо познакомить ребят с названиями больших чисел. Это можно сделать перед введением понятия стандартного вида числа.

О больших числах

1 000 000 - миллион

1 000 000 000 - миллиард или биллион

1 000 000 000 000 - триллион

1 000 000 000 000 000 - квадриллион

1 000 000 000 000 000 000 - квинтиллион

1 000 000 000 000 000 000 000 - секстиллион

1 000 000 000 000 000 000 000 000 - септиллион

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - октиллион

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - нониллион

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - дециллион

На латыни слова «би», «три», «квадра», «квинта» и т. п. означают «два», «три», «четыре», «пять» и т. д. Обратите внимание детей на то, что число троек нулей в записи числа на одну больше, чем латинское число в его названии.

Большие числа называют числами-великанами. Первый числовой великан - миллион. В 5 или в 6 классе можно детей познакомить с миллионом на конкретных примерах. Итак,

МИЛЛИОН.

1. Представьте, что вам нужно между страницами книг найти записку. Но чтобы её найти, надо перелистать 1 000 000 листов различных книг. Перелистать все книги, например, школьной библиотеки, досчитать до миллиона. Сколько бы времени вам потребовалось для этого, если каждую минуту перелистывать по 80 листов, работая ежедневно по 6 часов? Давайте считать вместе.

За 1 час перелистаешь 60∙80= 4800 листов. За 6 часов в 6 раз больше, то есть 4800∙6=28 800 листов. Если теперь разделить 1 000 000 листов на 28 800 листов, то получится почти 35 дней. Больше месяца потребуется для этого, без единого выходного дня, причём каждый день работать по 6 часов, не прерывая работу ни на одну секунду. Рука не выдержала бы такую работу!

На перелистывание надо столько же времени, что и считать подряд. Вот почему тебе и не приходилось подряд считать до миллиона. Слишком тяжёлый труд для одного человека!

2. А сколько нужно времени, чтобы прочитать все те книги, которые вместе насчитывают миллион листов, если на чтение каждого листа расходовать 6 минут?

Ты можешь подсчитать и убедиться, что если читать каждый день по 8 часов непрерывно и отдыхать только по воскресеньям, то для прочтения 1 000 000 листов потребуется 40 лет.

3. Как представить себе миллион учащихся?

Шеренга в 1 000 000 учащихся, если бы каждые два из них заняли один метр, протянулась бы почти от Москвы до Санкт- Петербурга!

4. Толщина книги в 1 000 000 листов сравнима с высотой Исакиевского собора, находящегося в Санкт-Петербурге.

МИЛЛИАРД.

Миллион можно назвать карликом по сравнению с таким числовым исполином, как миллиард.

Если начать считать до миллиарда в десятилетнем возрасте, то закончить счёт можно глубоким 100-летним старцем, работая ежедневно по 6 часов в сутки.

Миллиард - это не просто великан, а великанище. Ведь совсем небольшой промежуток времени одна минута. А миллиард таких минут - это более девятнадцати столетий!

Секунда времени в сравнении с часом нам кажется мгновением. Но миллиард секунд - это около 32 лет.

В бесконечном множестве натуральных чисел, так же как и среди звёзд Вселенной, выделяются отдельные числа и целые их «созвездия» удивительной красоты, числа с необыкновенными свойствами и своеобразной, только им присущей гармонией. Надо только уметь увидеть эти числа, заметить их свойства. Всмотритесь в натуральный ряд чисел - и вы найдёте в нём много удивительного и диковинного, серьёзного, неожиданного и курьёзного. Например,

Квадратные числа с пёстрым «хвостом».

Квадрат любого натурального числа, в хвосте которого девять единиц, является числом с ещё более красивым «хвостом»: …987654321. Убедитесь в этом сами!

Видит тот, кто хочет. Видит тот, кто смотрит. Ведь люди и в летнюю звёздную ночь не заметят … сияние Полярной звезды, если не направят свой взор в безоблачную высь.

Ниже привожу ряд интересных задач, связанных с одним и тем же числом. Уверена, если детям предлагать такие, на первый взгляд разные, задачи, то они научатся более внимательно относиться к свойствам чисел.

Задача 1. В египетской пирамиде на гробнице начертано число 2520. Почему именно ему выпала такая честь? (Одна из версий такова: это число делится на все без исключения натуральные числа от 1 до 10. Проверьте это: 2520= 2∙2∙2∙3∙3∙5∙7).

Эту задачу можно предложить ребятам при изучении темы «Деление многозначного числа на однозначное», предложив поделить число 2520 последовательно на числа от 1 до 10 и обратив внимание, что оно делится на все эти числа без остатка.

К этой задаче можно вернуться в 6 классе при изучении тем «Признаки делимости» и «Разложение числа на простые множители».

А позже можно ещё раз вернуться к этой задаче, задав ребятам вопрос: какое натуральное число делится на все натуральные числа от 1 до 10?

Я думаю, что при таком подходе к задачам многие ребята смогут без труда ответить на последний вопрос.

Задача 2. В легенде рассказывается, что когда один из помощников Магомета - мудрец Хозрат Али садился на коня, к нему подошёл человек и спросил:

- Какое число делится на 2, 3,4,5,6,7,8,9 без остатка?

Мудрец ответил:

- Умножь число дней в неделе на число дней в месяце(30) и на число месяцев в году. Проверь, прав ли Хозрат Али?

(Мудрец прав: НОК(2,3,4,5,6,7,8,9 = 2520, 2520 = 7∙30∙12).

Задача 3. Найти наименьшее число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, на 3 - остаток 2, на 4 - остаток 3, на 5 - остаток 4, на 6 - остаток 5, на 7 - остаток 6, на 8 - остаток 7, на 9 - остаток 8, на 10 - остаток9.

(Если прибавить к этому числу 1, то полученное число буде делиться на2,3,4,5,6,7,8,9,10. Таким числом будет 2520, а искомое число будет на 1 меньше, то есть 2519).

Задача 4. Выполняя приказ царя Гороха, генерал Муштрук пытался построить всех солдат в ряды сначала по 2, потом по 3, по 4, по 5, по 6, по 7, по 8, по 9, по 10, но к его удивлению, каждый раз последний ряд оставался неполным, так как оставалось соответственно 1,2,3,4,5,6,7,8,9 солдат. Какое наименьшее число солдат могло быть? (Ответ: 2519).

Детям, наверное, будет интересно узнать и о числе Шахразады.

Это число 1001 = 7∙11∙13 - равно произведению трёх последовательных простых чисел.

Заметьте: числа вида abcabc = abc∙1001 делятся на 7, 11,13,1001 (1001 = 7∙11∙13= 7∙143 = 13∙77 = 11∙91).

Зная свойства чисел вида abcabc, ребятам будет по силам следующая задача.

Задача. Записав шесть различных чисел, среди которых нет 1, в порядке возрастания, Оля получила в результате 135 135. Запишите числа, которые перемножила Оля. (Решение: 135 135 = 135∙1001; 135 = 3∙5∙9, 1001 = 7∙11∙13; значит, 135 135 = 3∙5∙7∙9∙11∙13).

На свойстве чисел вида abcabc основан следующий арифметический фокус, который можно продемонстрировать учащимся во внеклассной работе либо на занятиях кружка, ведь умение удивлять учеников в немалой степени способствует развитию интереса к предмету. Итак, фокус.

- Я угадаю задуманное вами число, ничего не спрашивая.

- Напишите на листке бумаги любое трёхзначное число. Припишите к нему это же число ещё раз. Получится шестизначное. Передайте бумажку соседу, что сидит подальше от меня. Пусть он разделит число на 7. Результат отдайте соседу, не сообщая его мне. Он разделит его на 11. Передайте ответ дальше. Разделите его на 13. Дайте мне бумажку с результатом, не показывая его мне.

Извольте вручить задуманное вами число.

Работа с арифметическими фокусами развивает умение работать с числами и цифрами, а разгадка фокусов способствует развитию внимания, сообразительности и логического мышления. Если проделать один и тот же фокус несколько раз, это вызовет интерес. А анализ полученных результатов может подвести ребёнка к разгадыванию фокусов. Предложите ребятам следующие, на мой взгляд интересные, фокусы и предложите их разгадать.

Определение даты рождения и возраста.

Учитель предлагает всем ученикам проделать следующие вычисления. Порядковый номер месяца рождения умножить на 100 и к полученному произведению прибавить число месяца, на которое приходится день рождения. Затем полученную сумму нужно умножить на 2 и к тому, что получилось, прибавить 8. Результат нужно умножить на 5, к произведению прибавить 4 и получившуюся сумму умножить на 10. К тому, что получилось, остаётся прибавить полное число лет (возраст), увеличенное на 4. Каждый ученик, проделавший эту работу, пусть запишет на листке бумаги свою фамилию и получившееся число. Учитель смотрит каждый листочек и объявляет возраст и дату рождения автора.

Решение. Пусть х - порядковый номер месяца, у - число этого месяца, а р - число лет. Тогда

(((100х + у) ∙2 + 8) ∙5 + 4) ∙10 + р + 4 = 10 000 х + 100 у + р + 4.

Разгадка. Из полученного числа учитель вычитает 444 и разность разбивает справа налево на группы по две цифры в каждой. Первая группа справа даёт возраст, вторая - число, а третья - порядковый номер месяца рождения.

Угадывание суммы цифр.

Пусть каждый ученик задумает какое-нибудь трёхзначное число, запись которого не содержит одинаковых цифр. Затем из цифр этого трёхзначного числа пусть составит всевозможные двузначные числа (их будет 6) и вычислит сумму всех этих чисел. Потом ученики по очереди называют свои окончательные суммы, а учитель сообщает, какой была сумма цифр задуманного числа.

Решение. Пусть задуманное число имеет вид авс, тогда из его цифр можно составить следующие двузначные числа ав, ва ,вс, св, ас са, сумма которых будет равна:

10а + в + 10в + а + 10в + с + 10с + в + 10 + 10а + с + 10с + а = 22а + 22в + 22с = 22( а + в + с).

Разгадка: надо разделить названную сумму на 22.

Работать с числом - вот главное предназначение математики. В учебниках математики кроме простых и составных чисел есть упоминание о дружественных числах, о совершенных числах, а вы расскажите ребятам, что есть ещё

Числа женственные и мужественные.

В очень древнем китайском манускрипте (более 4.000 лет до нашей эры) чётные числа назывались женственными, а нечётные - мужественными. Так вот, употребляя все однозначные числа от 1 до 9 по одному разу и применяя только действия сложения, вычитания, умножения и деления, предложите ученикам составить такое равенство, в котором все женственные числа оказались бы по одну сторону от знака равенства, а все мужественные - по другую.

(Возможные ответы:

3 + 5 - 7 + 9 : 1 = 2 ∙4 - 4 + 6 или 3 + 5 + 7 - 9 : 1 = 8 : 2 - 4 +6).

Из своей практики знаю, что ребята с интересом решают подобные задачи. Так предложите им задачу

Пять двоек.

Однажды Витя Малеев получил в школе пять двоек подряд по пяти предметам. Дома после такого печального события Витя занимался очень усердно. Устал порядочно, но тут внезапно как-то сама по себе возникла у него забавная мысль: нельзя ли, оперируя полученными двойками, соорудить все школьные оценки, включая единицу. Удалось! Смотрите:

1 = 2 + 2 - 2 - 2:2; 2 = 2 + 2 + 2 - 2 - 2; 3 = 2 + 2 - 2 + 2:2; 4 = 2∙2∙2 - 2 - 2;

5 = 2+2+2 - 2:2.

Усталость уступила место заинтересованности. Витя любил активный отдых и решил продолжить внезапно возникшую математическую забаву. Постепенно ему удалось образовать из пяти двоек все числа от 1 до 26. При этом он употреблял только такие действия: сложение, вычитание, умножение, возведение в степень и, где нужно, скобки. А вам это удалось бы? Попробуйте!

Применяя в работе подобные материалы (задачи, фокусы, занимательный материал), стараюсь следовать заповеди К. Д. Ушинского: «Сделать учебную работу насколько возможно интересной и не превратить её в забаву…»

Использованная литература.

1. Т. Д. Гаврилова, «Занимательная математика 5-11 классы», Волгоград, «Учитель», 2003 г.

2. Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Канин, «Математическая шкатулка», Москва, «Просвещение», 1988 г.

3. Д. В. Клименченко, «Задачи по математике для любознательных», Москва, «Просвещение», 1992 г.

4. Б. А. Кордемский, «Увлечь школьников математикой», Москва, «Просвещение», 1981 г.

5. Л. В. Гончарова, «Математика. Предметные недели в школе», Волгоград, «Учитель», 2005г.