Урок - зачет по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме: «Применение производной к исследованию функции»

7

Урок - зачет по алгебре и началам анализа в 11 классе

по теме: « Применение производной к исследованию функции»

По учебнику автора Колягина Ю. М.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Попова Любовь Петровна: учитель математики МБОУ СОШ №20 по адресу: ул. Школьная д. 2

мкр. Подрезково г.Химки Московской области

Наглядность: карточки.

Цели:

1) Добиваться осмысленного усвоения и прочного запоминания

материала.

2. Проверить усвоение определений по данной теме.

3. Выработать навыки решения примеров и их оформление по следующим темам:

а) нахождение экстремума функции;

б) нахождение промежутков монотонности функции;

в) нахождение наибольшего и наименьшего

значения функции;

г) нахождение интервалов выпуклости;

д ) нахождение точек перегиба;

е) нахождение асимптот.

Тип урока: урок - зачет.

Ход урока.

1. Сообщить тему урока.

2. Раздать карточки.

Дети берут сами карточки и садятся по вариантам, которые они выбрали.

В ряду 2 варианта, всего 6 вариантов, карточки даже в одном варианте не повторяются. Всего 20 учеников и карточек 20.

Общее в варианте это задание, а примеры разные.

3. Ученики каждого варианта рассказывают план решения примера своей карточки, затем один ( любой) ученик идет решать на доске свой пример, а остальные за партой на листочках решают свой.

Около доски 6 учеников.

4. В это время можно начать опрос определений, которые записаны на карточке (отвечают те ученики, кто готов).

5. Если ученик решил на доске пример, он еще раз рассказывает как выполнял задание.

6. После того как выполнили примеры на листочках и около доски, ученики начинают выполнять вторую часть работы.

Задание: нужно по готовой схеме исследования функции построить ее график.

(листочки подписать и сдать)

7. Все результаты заносятся в таблицу.

Итоги зачета по теме:

Применение производной к исследованию функций.

(Все результаты заносятся в таблицу.)

Ф.И.О.

Вопросы.

Пример.

График.

Оценки.

1

2

3

4

…….

12

13

14

Иванов

+

+

5

5

5

Сидоров

+

+

8)Если останется время, то можно провести работу по готовым чертежам.

Сделать вывод о зачете и выставить оценки.

Карточки.

І вариант.

1. Как читается теорема о достаточном условии

возрастания (убывания) функции?

2) Как называются промежутки возрастания и

убывания функции?

۞ Найти экстремумы функции.

У=10+15х + 6х² - х³.

І вариант.

3) Дать определение точки максимума.

4) Дать определение точки минимума.

۞ Найти экстремумы функции.

У= х³ - 3х² - 24х +7.

І вариант.

5). Как называются точки максимума и точки минимума?

6). Укажите необходимое условие экстремума функции.

۞ Найти экстремумы функции.

У = ln (х ²+ 1).

ІІ вариант.

7). Указать достаточное условие экстремума функции.

8). Какие точки называются стационарными?

۞Найти промежутки монотонности функции:

У= х⁴ - ⅓ х³ -2х² + х.

ІІ вариант.

9).Какие точки называются критическими?

10). Как найти наибольшее и наименьшее значение функции?

۞Найти промежутки монотонности функции:

У = х·е^-х

ІІ вариант.

11). Сформулируйте определение выпуклости вверх (вниз).

12). Дать определение точки перегиба.

۞Найти промежутки монотонности функции:

У = х³ - 6х² +9х.

ІІІ вариант.

13). Необходимое условие точки перегиба.

14). Достаточное условие точки перегиба.

۞Найти наименьшее и наибольшее значение функции:

У = 2х ³-3х² -12х +10 на отрезке[-3;3].

ІІІ вариант.

1)Как читается теорема о достаточном условии

возрастания (убывания) функции?

2) Как называются промежутки возрастания и

убывания функции?

۞Найти наименьшее и наибольшее значение функции:

У = х· ln² х на отрезке[1/е;е].

ІІІ вариант.

3) Дать определение точки максимума.

4).Дать определение точки минимума.

۞Найти наименьшее и наибольшее значение функции:

У= х³+3х² -9х - 7 на отрезке[-4;3].

IV вариант.

5). Как называются точки максимума и точки минимума?

6). Укажите необходимое условие экстремума функции.

۞Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз функции:

У= ln (х² + 4).

IV вариант.

7). Указать достаточное условие экстремума функции.

8). Какие точки называются стационарными?

۞Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз функции:

У= х⁵ + 5 х -6.

IV вариант.

9).Какие точки называются критическими?

10). Как найти наибольшее и наименьшее значение функции?

۞Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз функции:

У = х· е^х

V вариант.

11). Сформулируйте определение выпуклости вверх (вниз).

12). Дать определение точки перегиба.

۞Найти точки перегиба функции:

У = (х - 4) ⁵+ 4х + 4.

V вариант.

13). Необходимое условие точки перегиба.

14). Достаточное условие точки перегиба.

۞Найти точки перегиба функции:

У = х²· lnх

V вариант.

1)Как читается теорема о достаточном условии

возрастания (убывания) функции?

2) Как называются промежутки возрастания и

убывания функции?

۞Найти точки перегиба функции:

У = (х +1 )²· (х - 2).

V вариант.

3) Дать определение точки максимума.

4).Дать определение точки минимума.

۞Найти точки перегиба функции:

У = - х⁴ -2х³ +12 х² +15х - 6.

VI вариант.

5). Как называются точки максимума и точки минимума?

6). Укажите необходимое условие экстремума функции.

۞Найти асимптоты графика функции:

У =(х² -2х +3)/(х +2).

VI вариант.

7). Указать достаточное условие экстремума функции.

8). Какие точки называются стационарными?

۞Найти асимптоты графика функции:

У = (-5х+3)/(х+2).

VI вариант.

9).Какие точки называются критическими?

10). Как найти наибольшее и наименьшее значение функции?

۞Найти асимптоты графика функции:

У = ( - х² + 7 х)/( х-3).

VI вариант.

11). Сформулируйте определение выпуклости вверх (вниз).

12). Дать определение точки перегиба.

۞Найти асимптоты графика функции:

У = (х³ +4)/х²

Вопросы и ответы для учителя.

1). Как читается теорема о достаточном условии

возрастания (убывания) функции?

Ответ. Если функция у = f(х) непрерывна и дифференцируема в каждой точке некоторого интервала и если f′(х) > 0 для всех х из этого интервала, то функция f (х) возрастает на этом интервале, а если f′(х)< 0, то она убывает.

2). Как называются промежутки возрастания и убывания функции?

Ответ. Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности этой функции.

3). Дать определение точки максимума.

Ответ. Точка хо называется точкой максимума функции f(х), если для всех х ≠ хо из некоторой окрестности точки хо выполняется неравенство f(х) < f(хо)

4) Дать определение точки минимума.

Ответ. Точка хо называется точкой минимума функции f(х), если для всех х ≠ хо из некоторой окрестности точки хо выполняется неравенство f(х) >f(хо)

5).Как называются точки максимума и точки минимума?

Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума функции.

6)Укажите необходимое условие экстремума функции.

Ответ. Если точка хо является точкой экстремума функции f(х) и в этой точке существует производная, то она равна нулю т. е. f′хо)=0.

7)Указать достаточное условие экстремума функции.

Если функция f(х) дифференцируема в некоторой окрестности точки хо и непрерывна в этой точке, тогда если в точке хо производная меняет свой знак с «+» на «-», то хо- точка максимума, а если с «- » на «+», то хо- точка минимума.

8). Какие точки называются стационарными?

Ответ. Точки, в которых производная функции обращается в нуль, называются стационарными точками этой функции.

9)Какие точки называются критическими?

Ответ. Критическими точками функции называют либо стационарные точки, либо точки, в которых данная функция недифференцируема.

10). Как найти наибольшее и наименьшее значение функции?

Ответ. Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение непрерывной на отрезке [а;b] функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

11). Сформулируйте определение выпуклости функции вверх (вниз).

Ответ. Если функция у = f (х) дифференцируема на интервале (а;b ) и имеет вторую производную и если f″ (х) ≥ 0 во всех точках интервала (а; b), то график функции имеет на этом интервале выпуклость, направленную вниз, а если f″ (х)≤ 0, то график имеет выпуклость вверх.

12).Дать определение точки перегиба.

Ответ. Точка хо - дифференцируемой функции f (х) называется точкой перегиба этой функции, если хо - является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз для функции f(х).

13). Необходимое условие точки перегиба.

Ответ. Если график функции у = f(х) имеет перегиб в точке M (хо ; f(хо)) и функция у = f (х) в точке хо имеет вторую производную, то в этой точке f″(хо) = 0.

14)Достаточное условие точки перегиба.

Ответ. Если функция у = f (х) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки хо и если в пределах этой окрестности f″ (х) имеет разные знаки слева и справа от точки хо, то график у = f(х) имеет перегиб в точке

М(хо ;f(хо))

II часть.

1 вариант.

Построить график функции, если схема исследования функции такова:

1). Область определения функции:

Д (у) = (- ∞;0)(0;+∞)

2). Функция не является ни четной, ни нечетной.

3). Х = 0 - вертикальная асимптота.

У = х - наклонная асимптота.

4). В промежутках (-∞ ; 0) и [ 2; +∞ ) функция возрастает, а в промежутке (0;2] функция убывает

5). х =2 - точка минимума.

У_min = у (2) = 3

6). При х >0, у″ (х) > 0, то есть график функции имеет выпуклость вниз.

7). Точек перегиба нет.

8). Дополнительные точки.

у(1) = 5 у(-1) = 3

у(3) = 3,5 у(-2) = -1

9). Точка пересечения графика функции с осью ох

( -; 0), где -≈ -1,6

2 вариант.

Построить график функции, если схема исследования функции такова:

1). Область определения функции:

Д (у) = (- ∞;-1) (-1;+∞)

2). Функция не является ни четной, ни нечетной.

3). Х =-1 - вертикальная асимптота.

У = х-1 - наклонная асимптота.

4). В промежутках (-∞ ; -2] и [ 0; +∞ ) функция возрастает, в промежутках [-2,-1) и (-1,0] функция убывает

5). а). х = -2 - точка максимума

У_max = у (-2) = -4

б). х = 0 - точка минимума

У_min=у(0) = 0

6). а). При х < -1, у″ (х) < 0, то есть график функции имеет выпуклость вверх.

б). При х >-1, у″ (х) > 0, то есть график функции имеет выпуклость вниз.

7). Точек перегиба нет.

8). Дополнительные точки.

у(1) = 0, 5 у(2) = 1,3

у(-3) = - 4,5 у(-4) = -5

III часть.

( Если останется время.)

Устная работа.

1. Чтение графика.

Функция у = f (х) задана своим графиком. Укажите:

а) область определения функции;

б) при каких значениях х , f (х) ≤ -2;

в) координаты точек, в которых касательные к графику параллельны оси абсцисс;

г) критические точки;

д) экстремальные точки;

е) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

ж) наибольшее и наименьшее значение функции.

Подводим итог и выставляем оценки.