Факультативный курс по математике «Решение уравнений с модулем»

Пояснительная записка

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел.

Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ.

Владение решением уравнений и неравенств с модулем будет служить пропедевтикой изучения математического анализа в ВУЗе. В частности таких понятий как непрерывность функции, предел функции, производная и др.

Программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения. Это и позволит сделать элективный курс «Решение уравнений с модулем».

Курс рассчитан на учащихся 9-11 классов общеобразовательных школ, проявляющих интерес к изучению математики.

Курс позволит школьникам систематизировать, расширить и укрепить знания, связанные с абсолютной величиной, подготовиться для дальнейшего изучения тем, использующих это понятие, научиться решать разнообразные задачи различной сложности, способствует выработке и закреплению навыков работы на компьютере.

Учителю курс поможет наиболее качественно подготовить учащихся к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ и экзаменов при поступлении в вузы.

Программа факультативного курса предполагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов и рассчитана на 34 часа: 7,5 часов лекций и 26,5 часов практических занятий.

Содержание курса состоит из восьми разделов, включая введение и итоговое занятие. Учитель, в зависимости от уровня подготовки учащихся, уровня сложности изучаемого материала и восприятия его школьниками, может взять для изучения не все темы, увеличив при этом количество часов на изучение других. Учитель также может изменить уровень сложности представленного материала.

Программа содержит темы творческих работ и список литературы по предложенным темам.

В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм организации их самостоятельной работы.

Результатом освоения программы курса является представление школьниками творческих индивидуальных и групповых работ на итоговом занятии.

Цели курса:

обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме «Абсолютная величина»; обретение практических навыков выполнения заданий с модулем; повышение уровня математической подготовки школьников.

Задачи курса:

• вооружить учащихся системой знаний по теме «Абсолютная величина»;

• сформировать навыки применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности;

• подготовить учащихся к ЕГЭ;

• сформировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах;

• сформировать навыки работы со справочной литературой, с компьютером;

• сформировать умения и навыки исследовательской работы;

• способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся;

• способствовать формированию познавательного интереса к математике.

Требования к уровню усвоения учебного материала

В результате изучения программы факультативного курса «Решение уравнений с модулем» учащиеся получают возможность знать и понимать:

• определение абсолютной величины действительного числа;

• основные операции и свойства абсолютной величины;

• правила построения графиков уравнений (в т.ч. функций), содержащих знак абсолютной величины;

• алгоритмы решения уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Уметь:

• применять определение, свойства абсолютной величины действительного числа к решению конкретных задач;

• читать и строить графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины;

• решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Содержание курса

(1 ч в 2 недели, всего 17 ч)

1. Введение (1 ч).

Цели и задачи факультативного курса. Вопросы, рассматриваемые в курсе и его структура. Знакомство с литературой, темами творческих работ. Требования, предъявляемые к участникам курса. Аукцион «Что я знаю об абсолютной величине?».

2. Абсолютная величина действительного числа а (2 ч).

Абсолютная величина действительного числа а. Модули противоположных чисел. Геометрическая интерпретация понятия модуля а. Свойства модуля. Операции над абсолютными величинами. Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля. Применение свойств модуля при решении задач.

3. Графики уравнений (в т.ч. функций), аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины (3 ч).

Правила и алгоритмы построения графиков уравнений, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Графики уравнений

Графики некоторых простейших функций, заданных явно и неявно, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Графики уравнений (в т.ч. функций), аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины в олимпиадных заданиях.

4. Уравнения, содержащие абсолютные величины (8 ч).

Основные методы решения уравнений с модулем. Раскрытие модуля по определению, переход от исходного уравнения к равносильной системе, возведение в квадрат обеих частей уравнения, метод интервалов, графический метод, использование свойств абсолютной величины. Уравнения вида

Метод замены переменных при решении уравнений, содержащих абсолютные величины. Метод интервалов при решении уравнений, содержащих абсолютные величины. Уравнения вида

Способ последовательного раскрытия модуля при решении уравнений, содержащих «модуль в модуле». Графическое решение уравнений, содержащих абсолютные величины. Использование свойств абсолютной величины при решении уравнений. Уравнения с параметрами, содержащие абсолютные величины. Защита решенных олимпиадных заданий.

5. Модуль в заданиях ЕГЭ ( 3 часа)

Учебно-тематический план.

№ занятия

Тема занятия

Основная цель занятия

Вид занятия

1.

Введение

Познакомить ребят с курсом, дать историческую справку о введении термина "модуль" и "знак модуля; познакомить ребят с темами творческих работ.

Лекция

Абсолютная величина действительного числа. (2часа)

2

Абсолютная величина действительного числа. Модули противоположных чисел. Геометрическая интерпретация понятия модуля а.

Систематизировать и обобщить знания обучающихся по теме "Абсолютная величина", полученные ими в 6 и 8 классах; рассмотреть геометрический смысл абсолютной величины.

Изучение нового материала. Практикум.

3.

Свойства модуля. Операции над абсолютными величинами.

Рассмотреть основные свойства модуля.

Изучение нового материала. Практикум

Графики уравнений, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины (3 часа).

4.

Правила и алгоритмы построения графиков функций, содержащих знак модуля.

Рассмотреть основные правила построения графиков функций, содержащих модуль.

Изучение нового материала

5.

Построение графиков вида

Научить обучающихся строить графики вида

Практикум

6.

Построение графиков вида

Научить обучающихся строить графики вида

Практикум

Уравнения, содержащие абсолютные величины (8 часов).

7.

Решение уравнений вида |f(x)|=а;

Решение уравнений вида |f(x)|= g (x);

Практикум

8.

Решение уравнений вида |f(x)|= |g(x)|

Практикум

9.

Метод замены переменных при решении уравнений с модулем.

Изучение нового материала.

Практикум

10.

Метод интервалов при решении уравнений с модулем.

Практикум

11.

Графический метод решения уравнений с модулем.

Практикум

12.

Решение уравнений вида

Изучение нового материала.

Практикум

13.

Решение уравнений, содержащих абсолютную величину различными способами.

Практикум

14

Решение дрорбно-рациональных уравнений, содержащих модуль.

Изучение нового материала.

Практикум

Модуль в заданиях ЕГЭ (3 часа)

15.

Модуль в заданиях ЕГЭ типа С1

Практикум

16.

Модуль в заданиях ЕГЭ типа С5

Практикум

17.

Итоговое занятие. Защита ученических проектов и творческих работ.

Разработка занятия факультативного курса

«Решение уравнений с модулем»

по теме: «Решение уравнений вида различными способами.»

Тема: «Решение уравнений, содержащих абсолютную величину различными способами».

Обучающая цель: 1. Сформировать умения решать уравнения с модулем различными способами.

2. Формировать представление о методах математики, как науки (общекультурная компетенция).

Развивающая цель: Развивать:

1. умения сравнивать, анализировать, строить аналогии (учебно-познавательная компетенция);

2.умение находить различные способы решения одного уравнения, содержащего абсолютную величину;

3. умение ставить цель и планировать деятельность, реализовывать план (учебно-познавательная компетенция);

4. умение слушать (коммуникативная компетенция).

Воспитательная цель: 1. Развивать навыки контроля и самоконтроля (компетенция личностного самосовершенствования).

2. Воспитывать ответственность (социально-трудовая компетенция).

Тип занятия: практическая работа.

Ход занятия

Считается, что чем больше способов решения существует у задачи, тем она интереснее с математической точки зрения. Поэтому уравнения с модулями можно смело назвать интересными. Рассмотрим пример.

1. Решить уравнение: (разобрать пример)

Решение. Постараемся найти как можно большее количество решений данного уравнения.

Способ №1. «Возведение обеих частей уравнения в квадрат»

Решение :

1)Возведем обе части уравнения в квадрат.

1. Путем прямой подстановки в исходное уравнение проверим нет ли посторонних корней.

а) если х=0, то |2*0+1|=1; |1|=1

б) если х=1, то |2*1+1|=3; |3|=3

3) Убедились, что посторонних корней нет.

Ответ: 0; 1.

Способ №2. «Снятие модуля с помощью числовой прямой».

1) Для решения данным методом потребуется найти значение переменной при котором подмодульное выражение обращается в ноль:

2) Наносим данную точку на числовую прямую и определяем знаки подмодульного выражения на полученных промежутках.

2. Раскроем знак модуля на каждом промежутке в соответствии с полученными данными:

• при подмодульное выражение отрицательно, и модуль раскрывается со знаком минус: или Дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, корней нет.

• при подмодульное выражение положительно, и модуль раскрывается со знаком плюс:

2х(х-1)=0

х=0 х=1

3. Проверим все ли полученные корни принадлежат данному промежутку. Убедились, что корни уравнения и принадлежат промежутку

Ответ: 0; 1.

Способ №3. «Замена уравнения смешанной системой».

1) Известно, что:

2) Раскроем модуль: 2х² +1≥0

2х+1=2х² +1

2х+1= - (2х² +1)

1. Неравенство выполняется при любом значении Следовательно, в составе системы на него вообще можно не обращать внимания.

2. Решим совокупность двух упавнений:

Ответ: 0; 1

Способ №4. «Графический способ».

1. Построим в одной системе координат графики функции и

2) Абсциссы точек их пересечения графиков будут являться решениями уравнения. Метод менее точный, но более наглядный. Видно, что это и

Ответ: 0; 1

2. Упражнения для фронтальной и самостоятельной работы:

а) |2х-1|=х-3 д) х+|х+1|=11

б) |х-3|=х-2 е) х-4-|2-х|= -2

в) 3х+1=|х-4 ж) |х+1| - 2=3

г) |3х+1|+х=9

Разработка занятия факультативного курса

«Решение уравнений с модулем»

тема: «Решение дрорбно-рациональных уравнений, содержащих модуль»

Обучающая цель: 1. Сформировать умение решать дробно-рациональные уравнения, содержащие модуль.

2. Формировать представление о методах математики, как науки (общекультурная компетенция).

Развивающая цель: Развивать 1. умения сравнивать, анализировать, строить аналогии (учебно-познавательная компетенция);

2. умение ставить цель и планировать деятельность, реализовывать план (учебно-познавательная компетенция);

3. умение слушать, работать в паре (коммуникативная компетенция).

Воспитательная цель: 1. Развивать навыки контроля и самоконтроля (компетенция личностного самосовершенствования).

2. Воспитывать ответственность (социально-трудовая компетенция).

Ход занятия:

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, чаще всего применяются следующие методы:

1)раскрытие модуля по определению;

2. метод интервалов;

3. возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Задание №1. Решить уравнение

Решение:

если f (x) >0

если f (x) =0

если f (x) <0

Решим данное уравнение методом раскрытия модуля по определению:

1. Раскроем модуль по определению:

2. Решим каждую систему в совокупности отдельно:

или

3. Выберем решение каждой из систем совокупности:

х=3; х=-5

Ответ: -5; 3.

Задание №2. Решить уравнение:

Решение:

Для решения данного уравнения воспользуемся методом раскрытия модуля с помощью числовой прямой.

1. На числовой прямой отметим точки, при которых |х|=0 и |х+1|=0

Числовая прямая при этом разобьется на промежутки:

(-∞; -1], (-1; 0) (0;+ ∞).

2) Решим заданное уравнение на каждом из этих промежутков и отберем корни, удовлетворяющие совокупности.

Ответ:

Задание №3. Решить уравнение:

Решение:

Если˂0, то данное уравнение решений не имеет, так как |х-2|˃0 при любых значениях х.

Если ˃ 0 (х˃0), то обе части уравнения неотрицательны.

Воспользуемся методом возведения обеих частей уравнения в квадрат.

х=3

Ответ: 3.

2. Упражнения для самостоятельной работы:

а)

б) |х+3|=

в) |х+4|=

Дидактические материалы для проведения занятия по теме «Модуль в заданиях ЕГЭ типа №18».

Задание №1. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x² + (a + 4)² = | x + a + 4 | + | x - a - 4 | имеет единственный корень.

Решение:

При каждом конкретном значении параметра a функции f(x) = x² + (a + 4)² и g(x) = | x + a + 4 | + | x - a - 4 |, входящие в левую и правую части уравнения, являются четными, поскольку выполняются следующие условия:

1) они определены на всей числовой прямой (области определения симметричны относительно начала координат);

2) f(-x) = (-x)2 + (a + 4)2 = x2 + (a + 4)2 = f(x),

g(-x) = | -x + a + 4 | + | -x - a - 4 | = | x - a - 4 | + | x + a + 4 | = g(x).

Следовательно, если число x₀ - корень уравнения f(x) = g(x), то число -x₀ также будет являться корнем этого уравнения. Условие единственности будет выполняться, если x = 0 - корень уравнения f(x) = g(x) и других корней нет.

Подставив в исходное уравнение значение x = 0,получим уравнение относительно параметра a:

(a + 4)² = | a + 4 | + | -a - 4 | ⇔ (a + 4)² - 2| a + 4 | = 0 ⇔

|а+ 4 | =0,

|а+ 4 |- 2= 0

Отсюда получаем три значения параметра:

a = -6, a = -4 и a = -2.

Пусть a = -6. Подставив a = -6 в исходное уравнение, получим:

х² + 4 = | x - 2 | + | x + 2 |.

Правая часть этого уравнения после раскрытия на промежутках модулей имеет вид:

-2х, если х˂ 2,

|х-2|+|х+2| = 4, если -2≤ х ≤ 2,

2х, если х≥ 2

Уравнения x² + 4 = -2x и x² + 4 = 2x не имеют корней, а уравнение x² + 4 = 4 имеет единственный корень x = 0, удовлетворяющий условию -2 ≤ x < 2.

Пусть a = -2. Подставив это значение параметра в исходное уравнение, получим:

х² + 4 = | x + 2 | + | x - 2 |.

Как только что было получено, это уравнение имеет единственный корень x = 0.

Пусть a = -4. Подставив это значение параметра в исходное уравнение, получим:

х² = 2| x | ⇔ |х|=0

|х| =2 ⇔ x = 0, x = -2, x = 2.

Значение a = -4 не соответствует условию задачи.

Ответ: -6; -2.

Задание №2. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

4x - | 3x - | x + a | | = 9| x - 1 | имеет хотя бы один корень.

Решение:

Способ I.

Запишем уравнение в виде 9| x - 1 | - 4x + | 3x - | x + a | | = 0.

Функция f(x) = 9| x - 1 | - 4x + | 3x - | x + a | | непрерывна и

1) неограниченно возрастает при x ≥ 1, так как при любом раскрытии модулей имеем

f(x) = 9x - 9 - 4x 3x x a = kx + m, где k ≥ 9 - 4 - 4 = 1 > 0;

2) убывает при x ≤ 1, так как при любом раскрытии модулей имеем

f(x) = -9x + 9 - 4x 3x x a = kx + m, где k ≤ -9 - 4 + 4 = -9 < 0.

Следовательно, наименьшее значение функция f принимает при x = 1, и уравнение f(x) = 0 будет иметь корень тогда и только тогда, когда f(1) ≤ 0.

Решим это неравенство:

| 3 - | 1 + a | | ≤ 4, -4 ≤ 3 - | 1 + a | ≤ 4,

| 1 + a | ≤ 7, -7 ≤ 1 + a ≤ 7, -8 ≤ a ≤ 6.

Способ II.

Запишем уравнение следующим образом: | 3x - | x + a | | = 4x - 9| x - 1 |.

Раскрывая модули в выражении, стоящем в правой части уравнения, получим:

g (x)= 4х-9|х-1| = -5х+9, если х≥ 1

13х - 9, если х˂1

Для существования решения уравнения должно выполняться условие

g(x) ≥ 0˂=˃ .

На отрезке исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

3х- |х+а |= 4х- 9| х-1|

3х- |х+а |=- 4х+ 9|х- 1|,

| х+а|=-х+ 9|х- 1|

|х+а |= 7х- 9|х- 1|.

Раскрывая модули в правых частях уравнений совокупности, получим замкнутую ломаную, звенья которой - отрезки прямых, имеющих уравнения y = -2x + 9 (AD), y = 8x - 9 (CD), y = 16x - 9 (BA) и y = -10x + 9 (CB)

При каждом фиксированном значении параметра a график функции y_а(x) = | x + a | получается параллельным переносом графика функции

y = | x | вдоль оси Ox на -a единиц.

Имеется два критических положения графика функции y_а(x) = | x + a |. В обоих случаях он проходит через точку A(1; 7). Из условия y_а(1) = 7 получаем уравнение | 1 + a | = 7. Отсюда a₁ = -8 и a₂ = 6.

Соответственно, исходное уравнение будет иметь решение при -6 ≤ -a ≤ 8 или -8 ≤ a ≤ 6. При других значениях параметра a график функции

у_а(x) = | x + a | не будет иметь общих точек с ломаной AВСD.

Ответ: -8 ≤ a ≤ 6.

Задание №3. Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x)=х²-3|х-а²|-5х имеет более двух точек экстремума.

Решение:

При х ≥ а² f(x)=х²-8х+3а², поэтому график функции есть част параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии х=4.

При х ≤ а² f(x)=х²-2х-3а², поэтому график функции есть част параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии х=1.

Все возможные виды графика функции f(x) показаны на рисунках.

Обе параболы проходят через точку (а²; f(а²)).

Функция у= f(x) имеет более двух точек экстремума, а именно три, в единственном слечае: 1˂а²˂4, откуда 1˂|а|˂2.

Ответ: -2˂а˂-1; 1˂а˂2.

Задания ЕГЭ типа №16 для самостоятельной работы:

а) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение |- 4| = ах-3 на промежутке (0;+∞) имеет более двух корней.

б) При каких значениях параметра а уравнение |х-3|+|х+3|=ах+6 имеет более одного корня?

в) Найти все такие значения параметра а, при каждом из которых уравнение х⁶-а|х|+а²-32а=0 имеет единственное решение.

Дидактические материалы для проведения занятия по теме «Модуль в заданиях ЕГЭ типа №13».

Задание №1. Решите уравнение: | cos x | = sin x .

Решение. Из данного уравнения получаем равносильную систему

cos x = sin x tg х=

cos x = sin x ˂=˃ tg х=

sin х ≥0 sin х ≥0

х = +2п, п Z

˂=˃ х =- +2п, п Z

sin х ≥0

Так как функции tgx и sin x имеют общий наименьший положительный период

2 , то отбор корней проведем на тригонометрическом круге.

Ответ: х = +2k, +2п; k, п Z.

Задание №2. Решите уравнение: | cos x | = cos x + 2sin x .

Решение:

Рассмотрим две области на числовой прямой, на которых cos x ≥ 0 и cos x ˂ 0.

1) Пусть cos x ≥ 0 , тогда данное уравнение принимает вид:

cos x = cos x + 2sin x ˂=˃ sin x = 0 ˂=˃ x =π n, nZ.

Условию cos x ≥ 0 удовлетворяют только значения x = 2πn, nZ.

2) Для условия cos x ˂ 0 исходное уравнение перепишем в таком виде и решим его:

- cos x = cos x + 2sin x

- 2 cos x = 2sin x

sin x + cos x = 0

tgx +1 =0 ˂=˃ tgx =- 1 ˂=˃ х=+k; k Z.

Условию cos x ˂ 0 удовлетворяют только значения х=+k; k Z.

.

Ответ: 2π n, nZ; +k; k Z.

Задание №3. Найти все решения уравнения 2 cos 2 x -|1+2 1 на отрезке [0;4].

Решение:

1) Перепишем уравнение в виде |1+2=2 cos 2 x-1

2) Раскрывая знак модуля, получаем совокупность:

1+2≥0

1+2=2 cos 2 x-1

1+2˂0

-1-2=2 cos 2 x-1

3) Решим каждую систему совокупности отдельно:

1+2≥0 1+2˂0

1+2=2 cos 2 x-1 или -1-2=2 cos 2 x-1

а) Решим первую полученную систему в совокупности. С помощью формулы cos 2 x=1- 2 получим:

1+2≥0 ≥

2+=0 ˂=˃ ˂=˃ х=π n, nZ

= х=(-1)^k+k; k Z.

Точка +=≈3,55

б) Решим вторую полученную систему:

1+2˂0 ˂

-1-2=2 cos 2 x-1 ˂=˃ 2--1=0

Данная система решения не имеет.

Промежутку [0;4] принадлежат корни: 0; ; .

Ответ: 0; ; .

Задания для самостоятельной работы:

а) 2sin²x= ||

б) |х+3| cos х=х+3

23