Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 классе с расширенным изучением математики и физики

«Применение методов математического анализа при решении практических задач».

Учитель: Вишневская Н.В.

Цели урока: 1. Повторить основные типы задач, решаемые методами математического анализа.

2. Повторить алгоритмы решения.

3. Разобрать решение задач повышенной трудности.

4. Решить экономические задачи.

План проведения урока:

1. На доске разбираются две задачи повышенной трудности (карточки № 7 и № 5). Пока ребята готовятся, класс устно отвечает на вопросы:

2. а) Области, где применяются методы математического анализа;

б) алгоритм решения задач методом поиска наибольших и наименьших значений функции;

в) алгоритм решения задач с помощью определенного интеграла.

3. В это же время 6 человек работают по карточкам (№ 3, 4, 6, 8, 9, 10).

4. Заполняются таблицы.

5. Проверяются задачи на доске, учитель проверяет правильность решения задач по карточкам.

6. Разбирается на доске экономическая задача (карточка № 1, 2).

7. Домашняя контрольная работа.

Алгоритм решения задач методом поиска наибольших и наименьших значений функции.

1. Задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию .

2. Средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке.

3. Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.

Алгоритм вычисления геометрических и физических величин с помощью определенного интеграла.

1. Выражают искомую величину как значение в некоторой точке в функции F.

2. Находят производную f этой функции.

3. Выражают функцию F в виде определенного интеграла от f и вычисляют его.

4. Подставляя значение х = b находят искомую величину.

Домашние задачи (на доске):

Карточка № 7

Два корабля движутся по двум перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О, по направлению к О. В какой-то момент времени оба находятся в 65 км от О, скорость первого равна 15 км/ч, второго - 20 км/ч. От первого корабля отходит моторная лодка, движущаяся со скоростью 25 км/ч.

а) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго?

б) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго и вернуться обратно на первый корабль?

V₁ = 15 км/ч

65 км S₁ О

S₃S₂

65 км

V_л = 25 км/ч

V₂ = 20 км/ч

Решение:

х - время, которое прошло от того момента, когда оба корабля находились в 65 км от О, до момента отправления катера.

- время, которое необходимо катеру на путь от 1-го корабля до 2-го.

В момент отправления катера 1-й корабль был на расстоянии км от О; в момент прибытия катера на 2-ой корабль, расстояние между ним и О было равно км; путь катера равен . Тогда по теореме Пифагора

.

;

;

;

.

Продифференцируем по х:

.

;

;

Ответ: а) 1 час; б) 3 часа.

Карточка № 5

Котел имеет форму параболоида вращения. Радиус его основания R = 3 м, глубина Н = 5 м. Котел наполнен жидкостью, удельный вес которой 0,8 Г/см³. Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.

у

А R В

dy Н

у

О х х

R = 3 м

Н = 5 м

уд. вес = 0,8 Г/см³

Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.

Решение:

В плоскости сечения хОу АОВ - парабола, уравнение которой . Найдем параметр а.

Координаты точки В должны удовлетворять этому уравнению, т.е.

,

, следовательно .

Разделим параболоид на слои плоскостями, параллельными поверхности жидкости. Пусть толщина слоя на глубине (Н - у) равна dy. Тогда, принимая приближенно слой за цилиндр, получим его объем .

Из уравнения параболы , тогда , т.е. вес слоя жидкости равен .

Следовательно, чтобы выкачать жидкость с глубины , потребуется затратить элементарную работу , . Тогда

, тогда .

Ответ: .

Работа в классе.

Карточка № 6

Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила 1 кГ растягивает ее на 1 см?

Решение:

Согласно закону Гука сила F кГ, растягивающая пружину на х, равна , k - коэффициент пропорциональности.

х = 0,01 м

F = 1 кГ

Тогда , следовательно .

Искомая работа .

Ответ: 0,18 кГм.

Карточка № 8

Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 1 кг.

Решение:

По закону Гука .

х = 0,01 м

F = 1 кГ

Тогда , следовательно .

Искомая работа .

Ответ: 0,125 кГм.

Карточка № 9

Сила F, с которой электрический заряд отталкивает заряд (того же знака), находящийся от него на расстоянии r, выражается формулой

,

где k - постоянная.

Определить работу силы F при перемещении заряда из точки , отстоящей от на расстоянии , в точку , отстоящую от на расстоянии , полагая, что заряд помещен в точке , принятой за начало отсчета.

Решение:

Работа определяется по формуле , . Тогда

.

При получим .

Ответ: .

Карточка № 3

Определить силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса R = 6 м, диаметр которого находится на поверхности воды.

Решение:

Сила давления жидкости на площадку площадью S при глубине погружения х равна , - удельный вес жидкости.

О

х С

dх

А В

Полукруг параллельными прямыми разделим на полоски, которые примем за прямоугольник. Пусть заштрихованная полоска имеет длину АВ, ширину dx и находится на глубине х .

.

Давление воды на полоску, находящуюся на глубине х, будет равно .

Отсюда

,

,

,

.

Удельный вес воды 1 см³ = 1 Г, следовательно вес 1м³ = 1000 кГ.

;

1 кГ 9,81 н

1 бар = 0,987 атм.

Ответ: 144000 кГ.

Карточка № 4

Скорость движения точки м/сек. Найти путь s, пройденный точкой за время Т = 8 сек после начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток?

Решение:

, следовательно , , .

Следовательно .

.

Ответ: 512 м; 64 м/сек.

Карточка № 1 (решается в классе на доске)

Средние совокупные издержки производства мыла (в тыс. рублей на тонну) на Мухинском мыловаренном заводе изменяются в зависимости от объема годового выпуска Q (в тоннах) по закону:

.

Связь между годовым объемом продаж, равным величине годового выпуска Q, и ценой мыла Р (в тыс. рублей за тонну) описывается формулой

.

Реализовав по фиксированной цене все сваренное за год мыло, завод получил максимально возможную прибыль. Какова была при этом выручка предприятия?

Решение:

Выразим через Q сначала цену мыла из формулы .

;

.

Тогда прибыль G можно выразить:

.

Найдем критические точки этой функции:

.

, .

Критические точки 100, -340, -120.

Отрицательные корни не имеют экономического смысла.

Q

100

+

0

-

G

max

;

.

Значит оптимальный годовой объем мыла т, тогда цена (тыс. руб./т).

Тогда годовая выручка R составит: (тыс. руб.).

Ответ: 1 млн. руб.

Карточка № 10

Найти величину давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что его основание равно 8 м, высота 12 м, верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 5 м.

Решение:

5 м

8 м

х

dx 12 м

, , м.

кГм.

.

Ответ: кГм.

Карточка № 2 (дополнительная)

Производственные мощности позволяют предприятию «Линотрон» выпускать не более 600 тонн ваты в год. Зависимость величины совокупных издержек (в тыс. рублей) от годового объема производства Q (в тоннах) имеет вид

.

Связь между годовым объемом продаж ваты, который совпадает с объемом годового производства, и ценой на вату Р (в тыс. рублей за тонну) описывается функцией

.

Цена на вату устанавливается 1 января 1995 года и пересматривается лишь 1 января следующего года.

Найдите с точностью до 1 % рентабельность производства по издержкам, если за 1995 год предприятие получит максимально возможную прибыль.

Решение:

Используя зависимости и , выразим

Определим интервал значений цены Р, на котором функция имеет смысл.

600 т - это максимальный объем производства, значит при этом будет .

,

; - не имеет экономического смысла.

Значение определим из условия .

; - не имеет экономического смысла.

; .

, .

.

Оптимальная цена тыс. руб.

Оптимальный объем производства:

т.

Совокупные годовые издержки тыс. руб.

Рентабельность %.

Ответ: 11 %.

В конце урока дети получают тексты домашней контрольной работы.

у у

а 0 b x 0 a b x

S = S =

y y

a b

0 x 0 a b c x

S = S =

y y

a 0 b c x a 0 b c x

S = S =