Исследовательская работа по математике Лист Мёбиусаю

Школьная научно-практическая конференция учащихся

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
« Верхнехавская средняя общеобразовательная школа № 1»

Верхнехавского муниципального района

Воронежской области

Секция «Математика»

« ЛИСТ МЁБИУСА»

Исследовательская работа

обучающейся 8 «А» класса

Меркушовой Анастасии

Руководитель :Борзакова Юлия

Петровна, учитель математики

2013 г.

Содержание:

1.Введение

1) Загадочная фигура.

2) Памятники фигуре.

3)Название фигуры.

2.Основная часть

1) Историческая справка.

2) Изготовление листа Мёбиуса.

3) Опыты с листом Мёбиуса, его свойства.

4)Применение листа Мёбиуса

3.Заключение

4.Список используемой литературы

5.Диск с презентацией

`

Эту загадочную фигуру, о которой я сегодня хочу рассказать , часто изображают на эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета МГУ

Её используют в логотипах и торговых марках, яркий пример - международный символ повторно использования (переработки)

Во многих странах есть памятники этой фигуре:

Памятник во Франкфурте- на -Майне (Германия)

Памятник в Минске (Беларусь)

Скульптурная композиция перед Центральной научной библиотекой имени Якуба Коласа Изящная металлическая лента закреплена на массивном основании в виде камня-валуна. Вершину конструкции венчает отполированный до зеркального блеска шар. Памятник ленте Мёбиуса в Минске был открыт 22 января 2009 года к восьмидесятилетнему юбилею Национальной академии наук Беларуси. Авторы проекта - специалисты научно-производственного объединения «Центр».

Памятник в Москве около кинотеатра «Горизонт»

Скульптура, украшающая окрестности здания центра физических исследований в американском штате Иллинойс.

Невероятный проект новой библиотеки в Астане (Казахстан)

В Казахстане прошел конкурс на создание архитектурного облика здания Национальной библиотеки, которую планируют построить в столице государства Астане. Архитекторы-победители из датского бюро Bjarke Ingels Group предложили футуристический проект здания площадью 33 тыс. кв. м в форме ленты Мёбиуса.

В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс. Его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена данная фигура.

И огромные памятники ,и крохотная марка- это своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу ,профессору Лейпцигского университета. А наша фигура называется лента или лист Мёбиуса.

17 ноября 1790 года в Германии родился мальчик - здоровый и крепкий малыш. Как и все дети, он сначала научился ползать, потом ходить, позже говорить. Все шло и развивалось своим чередом. Школа, университет. Мальчику повезло: астрономию ему преподавал сам Гаусс, математику - Пфафф. В 26 лет он стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил удивлять их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека за 220 лет растворилось бы в истории, если бы ни одно ненастное утро. На пороге комнаты появилась жена, она была разгневана, что для мирного дома Мёбиусов было редкостью, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: "Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!"

Лист Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей». В 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик К. Ф. Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса - Иоганн Бенедикт Листинг (1808-1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году. Так часто бывает - одна и та же яркая идея появляется у разных людей примерно в одно и то же время. Это значит, что пришла пора для этого открытия. Возможно, кто-то и гораздо раньше догадывался перекрутить и склеить полоску бумаги. Но именно Мёбиус и Листинг впервые обратили внимание многих на этот удивительный объект и описали его свойства.

Пора и нам познакомиться с этим маленьким математическим чудом.

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера), - две стороны. Например, поверхность кольца, надеваемого на палец, имеет две стороны. Одной стороной кольцо соприкасается с пальцем, вторая сторона - наружная. У этих сторон две границы (два края), каждая имеет форму окружности. Если какое-нибудь насекомое захочет переползти с наружной стороны кольца на внутреннюю, то оно при этом непременно должно пересечь ту или иную границу. Чтобы убедиться, что у листа Мёбиуса только одна сторона, давайте изготовим модель листа Мёбиуса.

Запасёмся несколькими листами обычной белой бумаги, клеем и ножницами . Возьмем бумажную ленту, повернем один ее конец на пол-оборота (на 180 градусов), а потом склеим его с другим концом. Получим лист Мёбиуса -знаменитое в математике перекрученное кольцо.

Существует два типа лент Мёбиуса .Это зависит от направления закручивания - левые и правые, то есть развернутые по часовой стрелке и против.

Легко убедиться, что у ленты Мёбиуса только одна сторона

Отметьте любую точку на этом перекрученном кольце на равных расстояниях от краёв. Проводите линию вдоль по кольцу, не отрывая ручки от бумаги . Линия должна всё время

идти посередине между краями полоски. Как это ни удивительно, вы постепенно нарисуете линию вдоль всего кольца (с обеих сторон бывшей полоски) и вернётесь в исходную точку.

"Если кто-нибудь вздумает раскрасить "только одну" сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть лучше сразу погрузит ее всю в ведро с краской"- пишут Рихард Курант и Герберт Робинс в превосходной книге "Что такое математика".

Если начнём постепенно окрашивать лист Мёбиуса в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, то по завершении работы, вы обнаружим , что весь он полностью окрашен.

Пересекать край при этом не потребуется. Кстати, и край у нашего листа только один - если посадить на него гусеницу, она сможет проползти по всему краю листа и вернуться в исходную точку. Вы можете проследить путешествие человека по листу Мёбиуса на рисунках.

Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Он преподнесет вам сюрприз, если вы попытаетесь его разрезать. Разрежем лист по центральной линии.

Что у нас получилось? Вместо того, чтобы развалиться на два куска, лента разворачивается в длинную связанную замкнутую полоску, вдвое больше закрученную, чем лента Мёбиуса. Получилась лента, которую фокусники называют «афганская лента».

Если разрезать новую ленту Мёбиуса на расстояние 1/3 ее ширины от края, то получиться два кольца. Но! Одно большое и сцепленное с ним поменьше.

Занесем результаты экспериментов в таблицу.

Число перекручиваний

Результат разрезания

Свойства

0

2 кольца

Длина окружности та же, но кольцо в два раза уже, имеет 2 границы.

1

1 кольцо

Кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, имеет одну границу.

2

2 кольца

Кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но уже.

Можно ставить еще немало экспериментов по разрезанию листа Мёбиуса и получить другие интересные комбинации.

Лист Мёбиуса в форме трилистника

Интересные свойства ленты привлекли внимание математиков и фокусников.

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цир­ке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

У входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка. И это не случайно. Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит всё та же односторонняя поверхность

Лист Мёбиуса -один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения"). Удивительные свойства листа Мёбиуса не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология.

Топология изучает свойства тел и поверхностей пространства, которые не изменяются при деформации, например, растяжении, сжатии или изгибе. Единственное, к чему не должна приводить деформация - это к разрыву.

Топологам приходится изображать множество странных объектов. Одним из наиболее известных является лента Мебиуса, которая встречается во многих работах голландского художника ,неистощимого выдумщика Мориса Эшера (1898-1972). Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же.

Морис Эшер оставил много рисунков с изображением листа Мёбиуса. Его рисунки часто использовались для иллюстраций в фантастических произведениях.

Таинственный лист Мёбиуса, который появился в 1858 году,

повлиял не только на математиков, но и

на художников, скульпторов, архитекторов и многих,

многих, многих… В результате появились картины, скульптуры, марки, другие произведения искусства с изображением ленты Мёбиуса.

Можно встретить множество настольных композиций ленты Мёбиуса.

Не обошли своим вниманием знаменитый лист Мёбиуса и ювелиры.

Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера.

Иногда научно - фантастические рассказы (вслед

за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная

может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как подтверждают физики.

Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

С лентой Мебиуса встречаемся мы и в быту.

Так например, лист Мёбиуса нашел применение и в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста. А также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).

Если оригинально раскроить ткань, то свойства, которыми обладает лента Мёбиуса можно использовать в швейной

промышленности. А можно лист Мёбиуса и связать.

На фотографии мы видим футболку с аппликацией.

На аппликации ,знакомый нам, лист Мёбиуса.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Лист Мёбиуса используется во многих изобретениях, навеянных тщательным изучением свойств односторонней поверхности. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты изнашивается равномерно

. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты в два раза и соответственно время звучания. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это даёт ощутимую экономию.

Устройство под названием резистор Мёбиуса - это недавно изобретенный€ электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности. Никола Тесла запатентовал подобное устройство в начале 1900-ых, патент US#512,340. Катушка для Электромагнитов предназначалась для использования в его системе глобальной передачи электричества без проводов.

Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в тот же самый лист Мёбиуса, согласно теории относительности, чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том,что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках.

Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по - прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, худож­ников и учеников.

Интерес к листу Мебиуса не угасает, хотя лист Мёбиуса был открыт очень давно. В Москве в сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим успехом было принято выступление профессора из г. Токио Джина Акияма «Лист Мёбиуса и его модификации» Его представление напоминало шоу иллюзиониста, где было место и листу Мёбиуса.

Многие поэты посвящают стихи листу Мёбиуса- уникальной односторонней поверхности. Вот одно из них.

Стихотворение « Лист Мёбиуса» ,написала Наталия Юрьевна Иванова

Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем - простота, и вместе с нею - сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:

Познай любовь и ненависть изведай,
Низвергнись в ад - тотчас увидишь рай.
Ты в одночасье насладись победой
И горечь пораженья испытай.

На грани бесконечного блаженства
Испытывая суеверный страх,
Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,
Окажешься в таинственных мирах.

И, вдохновленный этим дерзновеньем,

По экспоненте поднимаясь в высь,
Ты ощутишь восторг освобожденья,
Почувствуешь, как возникает Мысль.

Покажется, что распростерлась Вечность,
Что взломан Мироздания пароль.
И вдруг твое стремленье в бесконечность
Тебя вернет к исходной точке: в ноль.

Как о порог, об этот ноль споткнешься.
Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность - Мёбиуса лист.

Лист Мёбиуса обладает удивительными свойствами и находит применение этих свойств в жизни. Он интересен не только математикам, но и физикам, биологам, писателям, художникам, скульпторам, инженерам и просто школьникам. Мне были очень интересны свойства ленты Мёбиуса, о которых я узнала, проделывая опыты. Я узнала и рассказала лишь о некоторых свойствах этой маленькой загадочной фигуры, и я надеюсь, что кого-то заинтересовал мой рассказ и он продолжит исследования этого чуда.

Список используемых источников и литературы

1.В.А.Гусев и др. «Внеклсная работа по математике в 6-8 классах.под редакцией С.И. Шварцбурда. М., «Просвещение»,2006г

2. «Лист Мёбиуса», журнал для любознательных «Квантик»,№1 январь 2012г,стр.16

3.Материалы сайтов:

arbuz.uz/t_lenta.html

frei.ru/golos/books/

umiranie.chat.ru/sphere.htm websib.ru/noos/math/listmebiusa/