Урок по математике на тему Решение уравнений с модулем (10 класс)

Урок по теме: "Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины (модуля)"

Цель урока: Обобщение и систематизация знаний учащихся , развитие навыка решения уравнений и логического мышления учащихся.

Оборудование урока: таблица "Модуль", плакаты с изображением уравнений содержащих переменную под знаком модуля и с графическим способом решения уравнений.


Ход урока.

I. Орг. момент

Сообщается план урока и почему именно эта тема выбрана.

II. Вступительное слово учителя.

Существенной характеристикой числа, как в действительной, так и в комплексной области является понятие его абсолютной величины (модуля).
Это понятие имеет широкое распространение в различных отделах физико-математических наук. Так, в математическом анализе одно из первых и фундаментальных понятий - понятие предела - в своем определении содержит понятие абсолютной величины числа. В теории приближенных вычислений первым, важнейшим понятием, является понятие абсолютной погрешности приближенного числа. В механике основным первоначальным понятием является понятие вектора, важнейшей характеристикой которого служит его абсолютная величина (модуль).
С понятием модуля (абсолютной величины) действительного числа учащиеся знакомятся еще в 6 классе. Однако в программах общеобразовательных школ и соответствующих учебниках в дальнейшем это понятие ни в теоретических материалах, ни в задачах и упражнениях почти не применяется. Возможность решения уравнений и неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, имеют учащиеся классов или школ с углубленным изучением математики и некоторых других альтернативных школ, однако и в учебниках для этих школ задач подобного рода до обидного мало. В то же время на ЕГЭ задачи с модулем предлагаются все чаще и чаще.

3. .Изучение нового материала
   
   Учитель: при решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, чаще всего применяются следующих методы: 1) раскрытие модуля по определению, 2) возведение обоих частей в квадрат, 3) метод разбиения на промежутки, 4) графический метод.

2. Выступления учащихся:

Сообщение №1 «Некоторые способы решения уравнений с модулями».

Напомним сначала определение числа x:

Приведем также основные свойства модуля, часто применяемых в решение задач:

1. 
   |ab|=|a||b|;

2. 
   |a|ⁿ=|aⁿ|;

3. 
   

4. 
   |a|=0, если a=0

Поговорим о некоторых способах решения задач с модулем. Среди них один занимает самое главное место, так как он является самым общим, однако, иногда не самым рациональным. Заключается он в следующем.

1. 
   Метод интервалов.

Предположим, что имеется уравнение или неравенство, в которое входят один или несколько модулей.

1. 
   Первым делом нужно отделить критические точки. Под этим мы понимаем все значения переменной, при которых один из модулей обращается в нуль.

2. 
   Нанесите полученное множество значений на ось данной переменной, например Ox. Прямая разобьется на несколько конечных и два бесконечных интервала. Каждый интервал соответствует знакопостоянству подмодульных выражений.

3. 
   Рассмотреть столько случаев решения, сколько получилось интервалов. При этом освобождаться от модулей нужно, проверяя знак подмодульного выражения. Т.е. изменять его на противоположный, если выражение отрицательно и оставлять его прежним в противном случае. Важно не забыть, что частным ответом в каждом из полученных случаев является пересечение интервала и найденного решения.

4. 
   Объединить полученные в каждом интервале ответы в один.

Рассмотрим подробнее этот метод на следующем примере.

|x + 2| + |x - 3| = 5

Нанесем на числовую прямую значение x, при котором x + 2 = 0 и значение x, при котором x - 3 = 0. Числовая прямая разобьется на промежутки (-; -2), [-2; 3], (3; +).



Решим уравнений на каждом из этих интервалов.

Рассмотрим первый промежуток, чтобы определить знак подмодульного выражения, возьмем контрольную точку x = 3, подставим ее в наше уравнение -3 + 2 < 0 и во второе -3 - 3 < 0. Аналогично рассмотрим знаки подмодульных выражений на втором и третьем промежутках.

Решим уравнение на каждом из этих промежутков, т.е. решим равносильную уравнению совокупность смешанных систем:

1)



-х - 2 - х + 3 = 5
-2х + 1 = 5
-2х = 4

х = -2
-2

Не может быть корнем.

2)



х + 2 - х + 3 = 5
0х = 0 x любое число из [-2; 3].

3)

х + 2 + х - 3 = 5, x = 3
3 , не может быть корнем.

Вывод: Решение второй системы является объединением решений 3-х систем.

Ответ: x принадлежит [-2;3] или все значения сегмента [-2;3].

2. 
   Сообщение №2 Графический метод.

Этот способ уже не столь универсален, но им нельзя пренебрегать, если он применим. Часто уравнение или неравенства с модулем содержит только линейные выражения относительно переменной. В этом случае существует очень простой рецепт построения графиков с модулями, что часто существенно облегчает решение задачи. Он базируется на простом замечании - графики таких выражений состоят из кусков линий, т.е. являются ломаными. Метод состоит в следующем:

1. 
   Найти, как и раньше, все критические точки и нанести их на ось абсцисс. Найти непосредственно значения заданной функции в этих точках (это удобно делать с помощью отдельной таблицы) и нанести их на координатную плоскость.

2. 
   В каждой из конечных интервалов, получаемых после разбиения критическими точками, график является прямой и может быть простым соединением нанесенных в предыдущем пункте точек на координатной плоскости.

3. 
   Выбрать две удобные для вычисления точки, расположенные в левом и правом бесконечных интервалах и аналогично п.1 найти значения функций в них. Окончательно, соединяя построенный участок графика с оставшимися двумя точками, получим требуемый график.

Проиллюстрируем это на примере построения графика |x+2|+|x-3|=5. Построим график функции

у = |x + 2| + |x - 3| и y = 5

х + 2 = 0, x -3 = 0

x₁ = -2 x₂ = 3



Наносим на ось корни линейных функций стоящих под знаком модуля. На каждом из трех промежутков знаки этих линейных функций постоянны и мы можем избавиться от знака модуля.

если x < - 2, то y =-(x + 2) - (x - 3) = -2x + 1
если -2 < x < 3, то y = +(x + 2) - (x - 3) = x + 2 - x + 3 = 5
если x > 3, то y = +(x + 2) + (x - 3) = 2x - 1

При построении графика провести вертикальные прямые x = -2 и x = 3, которые разобьют плоскость на три части. В левой части надо провести прямую y=-2x + 1, в центральной полосе y = 5 и в правой y = 2x - 1: (для контроля надо следить, чтобы ломаная была непрерывной, т.е. чтобы значения в разделяющих точках изломах, вычисленные по соседним формулам совпали). В нашем случае при x - 2 значение функции y = -2x + 1 совпадает со значением y = 5, точно так же при x=3 совпадают значения функции y = 5 и y=2x - 1

Строим график

1) y = -2x + 1

х

-3

-4

у

7

9

2) у = 5

3) y = 2x - 1

х

4

5

у

7

9

Графики и y = 5 пересекаются на промежутке, если .

Ответ

3. 
   Сообщение №3 Раскрытие модуля по определению .

Решить уравнение

Решение.

.

Проверим справедливость неравенства для найденных значений х:

1. 
   верное неравенство, значит 0 - корень данного уравнения.

2. 
   неверное неравенство, значит - посторонний корень.

3. 
   верное неравенство, значит - корень данного уравнения

Ответ: ; 0.

3. 
   Решение уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение содержащее модуль.

Решить уравнение

Решение.

.

.

2)

Ответ: .

IV. Итоги урока.

3. Домашнее задание.

Всем учащимся даются задания для самостоятельного решения:

Записать в тетради решения уравнений вида:

1. |2x-3|=11

2. |2x-5|=5-4x

3. |4x-3|=4x-3

4. |x+2|+|x-3|=5

5. |x+1|-|x-2|+|3x+6|=5