Исследовательская работа по математике на тему Нахождение площади многоугольника

Всероссийский детский конкурс научно-исследовательских

и творческих работ «Первые шаги в науке»

Управление образования администрации Яковлевского района

Секция математики

Нахождение площади многоугольника

Исследовательская работа

Выполнена ученицей

7 класса МБОУ «Серетинская ООШ

Яковлевского района

Белгородской области»

Ковалёвой Екатериной Владимировной

Руководитель

учитель математики

МБОУ «Серетинская ООШ

Яковлевского района

Белгородской области»

Ушакова Ольга Анатольевна

с. Серетино

2014 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение - 2 стр.

2. Методы нахождения площади многоугольника - 4 стр.

3. Практическое применение результатов - 7 стр.

4. Заключение - 9 стр.

5. Список литературы - 10 стр.

Введение

«Решение задач - практическое искусство, подобное

плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим

образцам и постоянно практикуясь»

Д. Пойя

Увлечение отдельной областью математики часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. В декабре я участвовала во Всероссийской дистанционной олимпиаде по математике проекта «Инфоурок». Именно там, среди задач мне встретилось задание на нахождение площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток. Решение этой задачи потребовало немало времени, дополнительных построений и знания формул площадей прямоугольников и прямоугольных треугольников.

Именно тогда у меня и возник вопрос, а можно ли находить площади таких многоугольников другими способами?

Так появилась моя исследовательская работа «Нахождение площади многоугольника»

Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Однако чёткой классификации и структурирования задач на клетчатой бумаге по способам решения при изучении литературы по данной теме я не встретила. Возможно, потому, что большинство таких задач считается «занимательными», и не так уж много авторов посвятило этой теме свои изыскания.

Целью данной работы является исследование методов нахождения площади многоугольников.

Объект исследования

Многоугольники, построенные на клетчатой бумаге с узлами вершинах клеток.

Предмет исследования:

Процесс вычисления площадей многоугольников различными методами.

Гипотеза: Можно предположить, что существуют различные методы нахождения площадей многоугольников, построенных на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие поставленные задачи:

1. Изучить литературу по выбранной теме, определить наиболее интересные методы нахождения площади многоугольника.

2. Проанализировать полученные результаты и систематизировать их.

3. Провести практическую работу по нахождению площади многоугольника различными методами

4. Определить группы задач, которые можно решить с помощью исследованного метода нахождения площади многоугольника.

5. Создать информационную карту: «Нахождение площади многоугольника"

Методы исследования

Изучение литературы по выбранной теме, графическое моделирование, анализ и классификация полученных результатов.

Актуальность проблемы

• В курсе геометрии часто встречаются задачи на нахождение площади сложной фигуры: произвольного многоугольника, невыпуклого многоугольника. Так же задачи подобного вида включены в банк заданий ГИА и ЕГЭ т. е. умение школьников решать такие задачи необходимо для успешной сдачи экзаменов. Для нахождения площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в углах клеток, не требуется знание формул площадей простых фигур.

Новизна проекта

Новизна данного проекта заключается в следующем: метод нахождения площади многоугольника с помощью формулы Пика не рассматривается материалом учебников при решении задач в основной и средней школе.

Практическая значимость

• Задачи на бумаге в клетку помогают, как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале.

• Владение методами разбиения сложной фигуры на простые, применение формул нахождения площадей некоторых фигур и формула Пика позволяют в каждом конкретном случае решить задачу рационально, а также проверить полученный результат.

Методы нахождения площади многоугольника.

Изучив литературу по теме, я выделила несколько методов нахождения площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге так, что все его вершины находятся в узлах пересечения клеток.

1. Метод непосредственного применения формул.

В школьном курсе математики изучаются формулы нахождения площади следующих многоугольников: квадрата, прямоугольника, произвольного треугольника, трапеции, параллелограмма, ромба. Если заданный многоугольник является одним из изученных, то нахождение площади сводится к вычислению длин нужных элементов фигуры по клеточкам (высоты, оснований, диагоналей и т. д.) и выполнению расчетов по готовой формуле.

2. Метод сложения площадей.

Данная фигура разбивается с помощью вертикальных и горизонтальных отрезков так, чтобы многоугольник полностью ( без отверстий и наложений) заполняли получившиеся при разбиении прямоугольники и прямоугольные треугольники. Сумма всех площадей фигур, полученных в результате такого разбиения равна площади данного многоугольника.

3. Метод вычитания площадей простых фигур из площади многоугольника, построенного вокруг данной фигуры

Вокруг данного многоугольника строится четырехугольник так, чтобы его стороны содержали максимальное количество вершин многоугольника и были либо горизонтальны, либо вертикальны. Находится площадь этого описанного прямоугольника и площади фигур, являющимися дополнениями данной фигуры до прямоугольника. Как правило, эти фигуры являются прямоугольниками и прямоугольными треугольниками, или с помощью несложного разбиения их можно разделить на эти фигуры. Далее вычитается из площади описанного прямоугольника сумма площадей всех дополнительных фигур и получается площадь заданного многоугольника.

4. Формула Пика

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.

Так как этот метод не изучается в курсе школьной математики, я решила рассмотреть его подробнее остальных.

Исторические сведения

Автор формулы - Георг Александр Пик (10 августа 1859 - 13 июля 1942) - австрийский математик, родился в еврейской семье. Мать - Йозефа Шляйзингер, отец - Адольф Йозеф Пик. Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900-1901 годах занимал пост декана философского факультета. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика - Неванлинны, лемма Шварца - Пика.

Но больше всего он известен, однако, своей теоремой Пика, которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года Geometrisches zur Zahlenlehre, опубликованной в Праге в Sitzungber, Lotos, Naturwissen Zeitschrift.

Этот результат оставался незамеченным в течение некоторого времени после того, как Пик его опубликовал, однако в 1969 г. Штейнгауз включил его в свой знаменитый "Математический калейдоскоп». С этого времени теорема Пика привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.

Доказательство формулы Пика для прямоугольника с вершинами в узлах клеток.

Пусть АВСD - прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям клеток

Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г - количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом:

каждый из внутренних узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, поэтому их общее количество считаем как единицы площади (В)

каждый из узлов на границе, кроме четырех угловых - половину клетки, поэтому их сумму делим пополам (Г-4)/2

каждая из угловых точек - четверть клетки, поэтому 4 умножаем на ¼ клетки и получаем +1 клетка к площади прямоугольника

Итак, получаем : S = В + + 4 · = =В + - 1 .

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В + - 1 . Это и есть формула Пика.

Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки!

Применение формулы Пика позволяет быстро и точно найти площадь любого многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток.

Применение формулы Пика для вычисления площадей некоторых фигур вызвало у меня некоторые затруднения, а значит, появилась необходимость в дополнительном исследовании.

Очень уж чётким должен быть чертёж и очень внимательно нужно его рассматривать, чтобы определить, лежит ли данный узел внутри фигуры или же попал на её границу. Как точно сосчитать число узлов клеток, лежащих точно на границе?

Определение количества узлов на отрезке

Поскольку граница состоит из отрезков, то нам необходимо определить количество узлов клеток, лежащих на произвольном отрезке с концами в узлах.

С горизонтальными и вертикальными отрезками все решается однозначно: сколько клеток включает в себя такой отрезок, такое количество минус один и будет узлов на данном отрезке.

Теперь рассмотрим наклонные отрезки, концы которых находятся в узлах клеток. Достроим такой отрезок до прямоугольного треугольника по линиям клеток.

У нас концы отрезка А и В - узлы сетки. Обозначим через С первый узел, встречавшиеся после А на отрезке АВ (значит, между А и С больше нет узлов). Построим прямоугольный треугольник А СD с гипотенузой А С и катетами, лежащими на линиях сетки (рис.1).

Если С ≠ В, то сместим этот треугольник вдоль

отрезка АВ на расстояние А С. Получим равный

ему треугольник ССD.

Следовательно, С - узел, и между С и Снет узлов. Ясно,

что если эту процедуру продолжить, мы когда-нибудь

получим в качестве очередной точки С точку В - узел

сетки. Рассматривая большой прямоугольный треугольник

ARB с гипотенузой АВ, приходим к равенствам:

AR = (k+1) · AD,

BR = (k+1) · СD ,

AB = (k+1) · A С ‌

Значит, если k+1 является общим делителем длин двух катетов прямоугольного треугольника, причем наибольшим, то на гипотенузе есть ровно k узлов клеток.

В итоге можно сформулировать правило:

Если n-количество клеток горизонтальной стороны нашего треугольника, а m- вертикальной стороны, то нужно определить НОД чисел m и n.

1. Если m и n взаимно просты, то между А и В на отрезке АВ нет узлов сетки.

2. Если же наибольший общий делитель m и n равен k > 1, то на отрезке АВ между точками А и В расположены ровно (k - 1) узлов сетки.

Теперь, не вглядываясь долго и напряжённо в картинку и не мучаясь сомнениями, мы точно можем определить, через сколько узлов проходит произвольный отрезок с концами в узлах клеток.

Практическое применение результатов

В качестве практического исследования, попробуем решить одну и ту же геометрическую задачу всеми изученными методами. Выберем задачу на нахождение площади трапеции.

1. Метод применения формул

S трапеции= (а+в)/2*h=(10+2)/2 *6=36

2. Метод сложения площадей.

S1=(2*6)/2 =6

S2=2*6=12

S3= (6*6)/2=18

S=S1+S2+S3=6+12+18=36

3. Метод вычитания

S_{прямоугольника}=10*6=60

S1=(2*6)/2 =6

S2= (6*6)/2=18

S= S_{прямоугольника} - (S1+S2)=60-(6+18)=36

4. Формула Пика

Г=20 (точки на границе)

В=27 (точки внутри)

S=В+Г/2-1=27+10-1=36

А теперь рассмотрим задания В3 из варианта ЕГЭ 2013 года, выполнить которое можно только двумя из изученных методов, причем решение с помощью формулы Пика наиболее рациональное.

Метод вычитания

S1=(4*5)/2=10

S2=2*3=6

S3=(2*1)/2=1

S4=(9*3)/2=13,5

S5=(6*4)/2=12

Sпрямоугольника=9*7=63

S=63-(10+6+1+13,5+12)=20,5

Формула Пика

Г=7

В=18

S=В+Г/2-1=18+3,5-1=20,5

Формула Пика

Комбинация метода сложения площадей и вычисления площади простой фигуры по формуле

Г=6

В=4

S= 4+3-1=6

Вычислить площади произвольных треугольников можно, зная понятие высоты треугольника, основания, теорему Пифагора и формулы площади произвольного треугольника

Заключение

Своей исследовательской работой мне хотелось бы доказать своим зрителям, что нахождение площади многоугольника может стать очень интересным и познавательным занятием, совсем не сложным и трудоемким, как кажется на первый взгляд.

Поработав с материалом и подготовив его к применению на практике, я сделала следующие выводы:

1. Существуют различные методы нахождения площади многоугольника.

2. Обычный лист бумаги в клетку может выполнять функцию своеобразного инструмента для вычисления площади многоугольника.

3. Формула Пика - самый универсальный метод решения задач данного типа. С помощью изученной формулы Пика можно найти площадь любого многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток, включая невыпуклые.

4. С помощью нахождения НОД длин сторон прямоугольного треугольника можно рассчитать количество узлов на наклонном отрезке.

5. Полученные результаты можно использовать для решения задач на уроках математики, выполнения олимпиадных заданий и подготовки выпускников к ЕГЭ и ГИА.

Мы создали информационную карту для учащихся: "Нахождение площади многоугольника с помощью формулы Пика" (Приложение 1), которой хотелось бы поделиться с присутствующими.

Можно в качестве эксперимента попробовать использовать результаты моего исследования при решении задач на нахождение площади многоугольника, построенного на бумаге в клетку.

Список литературы:

1. В.В. Вавилов, А.В. Устинов. Задачи на клетчатой бумаге. - М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, 2006. - 183 с

2. Ганьшин В.Н. Простейшие измерения на местности. 3-е изд., перераб. и доп., М., Недра, 1983, 108 с., ил.

3. Смирнов В.А, Смирнова И.М. Геометрия на клетчатой бумаге. М., МЦНМО, 2009

Список интернет-ресурсов:

1. hijos.ru/2011/09/14/formula-pika/ сайт «Математика, которая мне нравится»

2. ru.wikipedia.org/wiki/%D4%EE%F0%EC%F3%EB%E0_%CF%E8%EA%E0 свободная энциклопедия «Википедия»

3. kvant.ras.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm журнал «Квант», статья Н.Б. Васильева «Вокруг формулы Пика»

4. sm-shihova.ucoz.ru/Komu_interesno/Komuinteresno_6.pdf - Математика, 5-6: книга для учителя. Автор/создатель: Суворова С.Б., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О.

Приложение 1

Информационная карта "Нахождение площади многоугольника с помощью формулы Пика" ___________________________________________________________________________

Формула Пика S=В + - 1

НОД (9;3)=3, значит отрезок содержит 3-1=2 узла

НОД (5;4)=1, значит на этом отрезке узлов нет

НОД (6;4)=2, значит на этом отрезке 2-1=1 узел

Г =7(количество узлов на границе многоугольника)

В=18 (количество узлов внутри многоугольника)

S=В+Г/2-1=18+3,5-1=20,5 клеток

13