Урок по теме: Новые способы решений квадратных уравнений

УРОК ПО ТЕМЕ "НОВЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ"

Цели урока

Образовательные:

• обобщение и систематизация основных знаний и умений по теме;

• формирование умения решать квадратные уравнения.

Развивающие:

• развитие логического мышления;

• памяти;

• внимания;

• общеучебных умений;

• умения обобщать.

Воспитательные:

• воспитания трудолюбия;

• взаимопомощи;

• взаимоуважения и математической культуры.

Ход урока

Здравствуйте, ребята. Нам предстоит поработать над очень важной темой: «Новые способы решения квадратных уравнений». Вы уже достаточно знаете и умеете по этой теме, поэтому наша с вами задача: обобщить и сложить в систему все те знания и умения, которыми вы владеете.

Чтобы у нас царила атмосфера доброжелательности, предлагаю начать урок с таких слов:

В класс вошел - не хмурь лица,

Будь разумным до конца.

Ты не зритель и не гость−

Ты программы нашей гвоздь.

Не ломайся, не смущайся,

Всем законам подчиняйся.

А законы у нас сегодня будут такие: каждый из вас имеет возможность получить, оценку за урок по результатам работы на различных его этапах. И еще один не обсуждаемый закон: для ответа на поставленный вопрос вы поднимаете руку и нив коем случае не перебиваете друг друга. Желаю всем удачи.

Приступим к работе. Для того чтобы включиться в работу и сконцентрироваться предлагаю вам небольшую устную разминку. Но вопросы будут не только по теме урока, проверяем ваше внимание, и умение переключаться.

1. Какое название имеет уравнение второй степени?

2. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

3. Когда начался 21 век?

4. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если Д больше 0?

5. Очень плохая оценка?

6. Что значит решить уравнение?

7. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если Д меньше 0?

8. Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения.

Уравнения с давних времен волновали умы человечества. По этому поводу у английского поэта средних веков Чосера есть прекрасные строки, предлагаю их эпиграфом нашего урока:

Посредством уравнений, теорем,

Я уйму всяких разрешил проблем.

Квадратные уравнения тоже не исключение. Они очень важны и для математики, и для других наук. Раз мы говорим об уравнениях, давайте вспомним − что это такое?

− Равенство, содержащее неизвестное.

Является ли уравнением выражение (х+1)∙(х−4)=0?

− Да.

Каким наиболее рациональным способом мы можем его решить?

− Приравнивая каждый множитель к нулю. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Хорошо. Теперь давайте проверим, насколько хорошо вы умеете определять виды квадратных уравнений. Вашему вниманию предлагается тест, в котором записаны, пять уравнений. Напротив, каждой колонки вы ставите плюс, если он: принадлежит к данному виду.

ТЕСТ «ВИДЫ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Ф.И.

Полное

Неполное

Приведенное

Не приведённое

Общий балл

х²+8х+3=0

6х²+9=0

х²−3х=0

х²+2х+4=0

3х+6х²+7=0

Молодцы. С видами квадратных уравнений мы разобрались. А с каким еще понятием мы постоянно сталкиваемся при решении квадратных уравнений?

− С дискриминантом .

А зачем он нам нужен?

− Он определяет число корней квадратного уравнения.

И как количество корней зависит от Д?

− Дети перечисляют случаи.

ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО СВОЙСТВА КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Ребята, мы с вами решали квадратные уравнения по формуле. Сегодня вы должны познакомиться с еще одним способом решения, который позволит устно и быстро находить корни квадратного уравнения.

1. Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите сумму коэффициентов.

х²−5х+1=0 1−5+1=−3

9х²−6х+10=0 9−6+10=13

х²+2х−2=0 1+2−2=1

х²−3х−1=0 1−3−1=−3

При решении некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет сумма коэффициентов.

Рассмотрим это на уравнениях.

2. Решите уравнения (4 учащихся у доски).

х²+2х−2=0 x₁=1 x₂=−2

х²+2х−3=0 x₁=1 x₂=−3

х²−3х+2=0 x₁=1 x₂=2

5х²−8х+3=0 x₁=1 x₂=3/5

− Ребята, а сейчас посмотрим на эти уравнения и их корни.

− Попробуйте найти какую−нибудь закономерность:

1. в корнях этих уравнений; (первый корень=1);

2. в соответствии между отдельными коэффициента и корнями; (второй корень или с/а);

3. в сумме коэффициентов (сумма коэффициентов равна 0).

Ребята, к какому выводу вы пришли? Придумайте правило.

Учитель слушает ответы учеников й делает вывод:

Если в уравнении ах²+bх+с=0; а+b+c=o,

х₁=1; х₂=с/а (если а=1 то х₁=1; х₂=c)

Это свойство применяется для устного решения квадратных уравнений. Рассмотрим это на следующих примерах.

Выберите из уравнений те, которое решаются с помощью нового свойства и решите их:

2х²−8х+3=0 х²+8х+16=0

х³+4х−5=0 8х−4х²=4

х²+2х=0 7х−х²−2=0

3х²−6х+3=0 х²−3х=0

−х²−5х+6=0 х²−3х=0

ТЕОРЕМА ВИЕТА

Посмотрите внимательно на таблицу.

Уравнение

Корни

Произведение корней

Сумма корней

х²−2х−15=0

5 и −3

−15

2

х+3х−28=0

4 и −7

−28

−3

у²−14у+48=0

6 и 8

48

14

х²+15х+36=0

−12 и −3

36

−15

x²+px+g=0

х₁ и х₂

? (х₁*х₂=q)

? (х₁+х₂=p)

ОТКРЫТИЕ НОВОГО ЗНАНИЯ

Какое предположение можно сделать? Сравните сумму и произведение корней с коэффициентами уравнений. Какая существует зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами? Сформулируйте утверждение и заполните последнюю строку таблицы. (Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Сформулированное утверждение называется теоремой Виета − по имени выдающегося французского математика Француа Виета.

Рассмотрим доказательство теоремы Виета.

Дано приведенное квадратное уравнение: х²+pх+q=0, D=p²−4q;

Закрепим теорему Виета.

1. Проверьте, правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

A) x²+3x−40=0, х₁=−8, х₂=5;

Б) х²−2х−3=0, х₁=−1, х₂=3.

2. №580 (устно), 585, 587.

Задание на дом: №582, 586, 588. Приготовить сообщения о Француа Виет.

РЕФЛЕКСИЯ

Оцените степень сложности урока. Вам было на уроке:

• Легко

• Обычно

• Трудно

Оцените степень вашего усвоения материала:

• Усвоил полностью, могу применить;

• Усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;

• Усвоил частично;

• Не усвоил.